优势高模型和立地指数曲线的构建在林分生长模型及经营模型系统中占有重要地位。目前，对于优势高模型的构建主要采用2种方法，一种是直接应用理论方程的原型，许多具有渐近值和拐点的单变量函数均可用于林分优势高生长的模拟(Zeide, 1993; Garcia, 1997); 另一种是通过变换利用理论方程的差分形式(Borders et al., 1988; Amaro et al., 1998)。后一种方法表现更为灵活，已日渐成为主流研究方法，但国内却几乎无此方法的具体应用。对于地位指数曲线的研制，通常采用以下3种方法：(1)参数预估法(Mark et al., 1998)；(2)导向曲线法(Newberry et al., 1978；Lee et al., 1999b)；(3)差分方程法(Borders et al., 1984; Lee, 1999a; Kalle, 2002)。一般认为，多形树高模型能说明和描述一个立地指数决定一条树高曲线的现象，较单形树高模型能更好地模拟树高生长，且具有良好的说理性(Devan et al., 1982; Mark et al., 1998)。对于杉木人工林多形地位指数方程的构建，过去常采用第(1)、(2)种方法，前者(南方十四省区杉木栽培科研协作组，1982；骆期邦等，1989)将方程中的参数全部或部分地表达为立地指数的函数，此种方法的优点为比较清晰地表达了方程的多形涵义，但往往存在标准年龄时树高与指数值不一致以及在优势高和树龄已知时立地指数不易给出的问题；后者直接应用具有多形涵义的理论生长方程，目前研究较多的Sloboda方程即属此类，但缺乏对其他常用理论生长方程多形表达方式的探讨。总的来看，虽然国内外对优势高模型以及多形地位指数方程有过比较深入的探讨，但对众多的单形和多形优势高模型缺乏系统的比较研究，未能指明各树高模型拟合精度高低的实质原因，缺乏对诸多理论方程多形表达形式的深入了解和探究，无形中局限了理论方程在此方面的应用，也因此影响了不同树种优良优势高模型及多形地位指数方程的研制。本文基于国内外几种常用的优势高方程，采用差分方程法研建了各方程多形表达式，探讨了其作为多形优势高方程的表达机制，对各方程模拟优劣进行了较为全面具体的分析，以期为杉木及其他树种人工林优势高生长模型和地位指数方程的研建奠定良好的理论及实践基础。

1 材料与方法 1.1 材料

材料来源于20世纪50年代中期及80年代初在全国范围内所做的部分杉木(Cunninghamia lanceolata)优势木的解析木资料，所采用的标准地分布于湖南会同县、广西大苗山、贵州黎平县及福建南平市和三元县，均属杉木中心产区，调查年度分别为1981、1954、1955及1956年，福建省的解析木为插条造林，其他省均为实生苗造林。所用优势木树龄均达到或接近杉木指数年龄(20 a)，生长已基本稳定，对达到或超过指数龄的优势木，直接用20年生时的树高确定立地指数级，对未达到的，则通过杉木全国地位指数表查表确定，得到上述4地点所选标准地分布的立地指数级个数，分别为6、7、7、8，并将解析木资料按所在地和立地指数级进行归类处理。各标准地的解析木资料详见表 1。

1.2 方法 1.2.1 树高生长方程

本文选择5种具有拐点和渐近线的“S”型生长方程作为模拟优势高生长过程的候选方程：Richards、Weibull、Korf、Logistic以及Schumacher(Rennolls, 1995；李久先, 1996；Amaro et al., 1998；李希菲等，1999；段爱国等，2003)。各方程数学表达形式如表 2所示。

1.2.2 差分方程

对任一反映树高及年龄关系的方程，使用差分法总能得到其差分形式。拟合差分方程的数据资料可源自于固定样地、间隔样地以及采集解析木资料的临时样地。当数据为长期观测资料或解析木资料时，采用差分方程更为适宜(Amaro et al., 1998)。本文对表 2中5种理论生长方程作差分运算，分别得出它们的差分表达形式。以参数b为自由参数，保留渐近值参数a和形状参数c，差分消元后得到4个2参数差分方程和1个1参数差分方程；采用差分但不消元的方式，分别得到Richards、Weibull函数的3参数差分方程；另为探讨所选自由参数不同时差分方程的拟合效果，同时产生了自由参数分别为a和c时Richards函数的差分方程。所得到的差分方程列于表 3。为尽量全面地介绍优良树高方程，并比较3参数差分方程的拟合特性，这里也列出了Sloboda方程的差分形式。

设H=H₂, t=t₂; SI=H₁, T=t₁，其中SI、T分别表示立地指数和指数年龄，代入表 3中的所有差分方程，则可得到以各差分方程为基础的地位指数方程，见表 4。

1.2.3 多形地位指数方程

对于表 4中所有地位指数方程，若t=T，则有y=SI，这意味着由差分法所得到的这些方程被用作地位指数方程时，将不会产生标准年龄时树高值与指数值不一致的矛盾。进而分析表 4中各曲线方程的拐点取值情况，可以发现K_c、R_c1、R_c2、R_c4、W_c1、L_c、Sch_c、S_c等8个方程的拐点横坐标均与立地指数相关，这表明由此8种方程所描述的地位指数曲线族能保证不同的立地指数具有不同的树高生长曲线，即方程为多形地位指数方程。进一步的探讨可以发现，对于方程K_c、R_c1、R_c4、L_c、Sch_c的拐点表达式，当SI增大时，t减小；对于方程R_c2，由于ln < 0，因此，亦存在t随SI的增大而减小的性质；方程W_c1的拐点表达式中，t随SI的变化状况与参数c的取值有关；由Sloboda方程导出的方程S_c的拐点表达式t随SI的变化状况不明显。这样，至少编号为K_c、R_c1、R_c2、R_c4、L_c、Sch_c等6个方程的拐点显示出了良好的生物学意义，即立地条件越好(SI愈大)，拐点出现的越早(t愈小)，反之，立地条件越差(SI愈小)，拐点出现越迟(t愈大)，这充分反映了好的立地速生期到来较早的生物学规律。

基于理论生长方程研制地位指数曲线族时，导向曲线法与差分方程法均可取得单形或多形效果，不同的是，两者拟合的数据基础不一致，从地位指数方程形成的方式来看，差分法更具有其优越性和合理性。

1.2.4 参数估计

将所采集的数据资料整理成2种形式：一种为树高、年龄的形式，用于5种理论生长方程原型的拟合；另一种为双树高双年龄的形式，为不重复年龄段的数据组合，用于10种差分方程的拟合。每一种形式的数据拟合时，都分立地、省市以及产区3个层次进行整合，比较不同层次各预选方程的拟合精度。由于所选方程均表现为非线性，故采用SAS软件之非线性回归法求解。

1.2.5 模型选择标准

一般检验模型好坏的依据有2点，一是模型及其参数的生物学涵义，另一就是由统计指标所表征的模型实际拟合效果，但往往是两者的折衷(Amaro et al., 1998)。这里所选用的统计量有平均误差(MR)、绝对误差(AMR)、相对误差(RAR)、残差平方和(RSS)、标准误差(SE)以及决定系数(R²)，其中，AMR、RAR、RSS、SE为模型精度指标，AMR与R²分别表示模型的偏差及效率。各统计量计算公式见表 5。

2 结果与分析 2.1 优势高生长模型拟合性能的比较分析

本部分将建模数据基础分为产区、地区、立地3个大小不同的层次，所有数据均来自杉木中心产区，产区下划分湖南、广西、贵州及福建等4个数据来源地区，每一地区按指数级划分为不同的立地。表 6列出了5种理论生长方程原型及10种差分方程模拟优势高生长时的参数值和各项精度指标。

2.1.1 理论生长方程拟合精度产生差异之原因探讨

从表 6可以看出，当数据来源于同一地区相同立地指数的林分时，各项指标均显示5种理论生长方程模拟精度高低结果为：Korf>Richards>Weibull>Schumacher>Logistic。将各方程拟合所得的参数值分别代入表 4中的拐点表达式，得到5方程模拟优势高生长时拟合曲线的拐点大小，上述5方程拐点纵坐标相对渐近值的比率，即拐点的相对位置依次为：0.000 1~0.178 6、0.049 8~0.310 3、0.030 3~0.394 0、0.135 3、0.5。结合方程精度大小分析，可以发现：方程拐点的相对位置与方程优势高模拟精度有着密切的相关关系，相对位置越低且存在一个变动范围的方程具有较高的模拟精度；对于相对位置固定的方程，固定值越小方程模拟精度越高，且与方程参数个数无关(如2参数Schumacher和3参数Logistic方程)。对于许多树种而言，由于快速的早期生长，其优势高生长曲线不存在拐点，更符合一种上凸形状的生长模式，这恐怕也是Logistic方程不适宜作优势高生长方程的缘故。

2.1.2 以差分方程为主的所选方程拟合性能之研究

(1) 不同建模数据层次时各方程拟合精度的分析从表 6可知，当建模数据基础为立地层次时，各方程AMR值均小于0.5 m或略高，RAR都小于0.05，这说明所选方程均能较好地模拟优势高生长进程。AMR、RAR、SR等3项指标显示各方程模拟精度由高到低为Korf、W_c2、Richards、R_c4、S_c、Weibull、K_c、R_c1、W_c1、Schumacher、Logistic、Sch_c、L_c。这一结果表明：理论生长方程原型较对应的保留一个自由参数的差分方程的模拟精度高；对于Weibull的2参数差分方程W_c1，参数c的拟合值均大于1，表明该方程为多形表达式。同时可知，对相同立地的数据进行拟合时，多形方程模拟精度并不较单形高。R_c1、Richards、Korf等3方程的MR值相对较小，说明这3方程的平均误差相对x轴的分布更为对称。

当建模数据基础为地区层次时，从表 6可以看到，所选8种差分方程的SR、AMR的最大值分别为1.703 2、1.008 7，分别远远小于和小于方程原型SR、AMR的最小值11.687 7和2.636 0；差分方程的决定系数R²值均在0.95以上，明显高于原型方程的R²值(0.6241~0.8652)。这就表明，地区层次时，差分方程的模拟精度较方程原型高出许多，多形方程较单形方程模拟精度高。多形树高方程中，Korf、Richards、Weibull等3方程的2参数多形形式及Sloboda方程的3参数多形表达式拟合精度较高，AMR值都在0.55以下，相对误差均小于0.05，残差分布也比较均匀，表明此4种多形方程能较好地模拟同一地区不同立地时优势高的生长。进而分析不同地区各方程的优势高模拟情况可得出：5种理论生长方程原型模拟的绝对平均误差都在2.4 m之上，均不太适宜用作各地区的优势高生长模型；8种差分方程对不同地区优势高生长的模拟性能比较稳定；除Sloboda方程的3参数多形表达式拟合精度差异不明显外，各优势高模型对杉木实生苗更为适宜。

当建模数据基础为产区层次时，从表 6可以看到，差分方程与方程原型、多形方程与单形方程之间的模拟特性表现出了与地区层次时相同的规律性。各项统计指标虽有时指示不一，但综合来看，Korf、Richards2方程的2参数多形形式及Sloboda方程的3参数多形表达式模拟精度较高，AMR、RAR、SR值分别小于0.55、0.05、0.5，表明这3个多形方程在产区层次时也能对优势高生长进行较好的模拟；Weibull方程的2参数多形形式的MR值最小，为-0.3181，表明该方程偏差为负且较大；Richards、Weibull方程的3参数多形形式模拟精度低于相应的2参数多形形式。

总地来说，对于不同建模数据基础，各方程的模拟精度随建模区域的扩大而减小，立地层次时的模拟精度明显高于地区层次和产区层次，而地区层次时的模拟精度要高于产区层次。

(2) 立地、年龄对优势高模型拟合精度的影响残差分析结果表明，不同方程的残差分布随年龄的变化规律并不一致，5种理论生长方程的差分、多形形式与其原型间表现差异较大。各项统计指标显示模拟精度较好的方程K_c、R_c1及S_c各年龄段的残差值随年龄的增大变化不明显，其残差中值一直接近于0，其中，对于方程R_c1(即自由参数为b时Richards方程的2参数多形表达式)，残差分布显示方程在早期及后期略微低估了优势高的生长，而在中期约15~40年间高估了一点。从总体上来看，各理论方程原型绝对误差的最大值呈先增大后减小的趋势，而几乎所有的差分方程则呈逐渐减小的趋势。

除Sloboda方程的3参数多形表达式外，优势高生长方程拟合的残差值均随立地指数的增大而呈增大趋势，总的来说，即所选生长模型对低立地指数的优势高生长估计偏高，而对高立地指数则估计偏低，且偏离程度随立地指数的增大呈先减小后增大的趋势。所有差分方程或多形方程相对各理论方程原型而言，残差值随立地指数增大而增大的趋势相对平缓，表明差分方程或多形方程对不同立地优势高生长的模拟性能更为稳定。残差变化趋势表明，不同方程从偏低估计趋势到偏高估计趋势的转变过程中，立地指数的临界值不完全一致，约在16~22指数级之间。

(3) 模型渐近值参数的探讨从表 6可以看到，当数据建模基础为地区和产区层次时，方程W_c2和方程S_c，即Weibull方程的2参数多形表达式和Sloboda方程的3参数多形表达式拟合所得渐近值参数表现异常大，与理论生长方程渐近值参数所表征的生物学涵义不相符合，除此2种方程外，其他方程的参数a值取值范围较为合理，基本保证了方程渐近值参数的生物学意义。造成渐近值参数异常大的原因源自于拟合数据和模拟方程2个方面，当模拟方程出现这种情况时，所得到的模型一般只适宜拟合数据范围内的推导，而不宜作长期的生产预测。

2.1.3 自由参数不同时方程拟合性能分析

表 7列出了Richards方程3种差分形式在地区和产区层次时模拟优势高生长的统计结果。可以看到，自由参数为c的差分式的MR值表现最好，但该式其他指标表现较差，Amaro等(1998)曾认为此式模拟效果较好；基于本文研究的数据资料、各项指标综合表明，自由参数为b和a的差分方程模拟结果更令人满意。结合表 4可知，自由参数为a时，差分方程为单形表达形式，这2种方程均可用作优势高生长模型，但若构建多形地位指数曲线族，自由参数为b的差分方程显然为唯一选择。

2.2 多形地位指数方程的研制

从前面的研究可以知道，以差分形式出现的多形优势高模型具有良好的生物学解释基础和相当高的模拟精度，其中以Korf、Richards、Weibull方程的2参数多形表达式及Sloboda方程的3参数多形表达式模拟精度较高，这些方程均可用于多形地位指数方程的研制。鉴于Korf方程的2参数多形表达式的形式较为简洁，且又能保证高精度及关键参数的生物学意义，这里选用该式构建杉木人工林部分中心产区的多形地位指数方程：。将立地指数值10、12、14、16、18、20、22、24分别代入上式，得到图 1所示的杉木人工林多形地位指数曲线族。图中虚线描述了指数年龄时不同立地指数优势高生长所达到的高度值，可以看到，由6式所构建的杉木多形地位指数方程不会产生标准年龄时树高与指数值不一致的问题，并且由上式可以很方便地求出立地指数SI的表达式。

表 8列出了不同立地指数时各优势高生长曲线的拐点横坐标。随着立地指数的增大，拐点横坐标呈递减趋势，表明所建立的地位指数曲线族确保了其多形的涵义，同时也反映了立地指数越高，优势高速生期到来越早的生物学特性。

3 结论

多形优势高模型及多形地位指数方程的研制一直是森林生长模型研究领域的重点和难点。本文放弃以前经常采用的参数预估法及导向曲线法，而采用差分法构建了以Korf等6种理论生长方程为基础的多种多形地位指数方程，探讨了它们的多形表达涵义，并对所选用的13种优势高方程的模拟性能进行了较为全面的分析，得到5点主要结论：(1)基于理论生长方程，通过差分法可以构建具有良好生物学解释基础的多形优势高方程；(2)理论生长方程的拐点取值情形对其模拟优势高生长的精度具有至关重要的影响作用；(3)对于同一立地的优势高生长模拟，方程原型及差分方程均具有较好的模拟性能，而前者精度更高；但对于更大范围数据的拟合，如地区或产区层次时，差分方程则表现更优；(4)多形优势高方程展现出了较高的模拟精度，其中以Korf、Richards、Weibull方程的2参数多形表达式及Sloboda方程的3参数多形表达式为佳；(5)采用优良的多形优势高生长模型能够构建说理性完备的多形地位指数方程。