在木材干燥过程中，既有热量迁移，也有水分物质迁移。这两种迁移现象的一维宏观规律在有关木材干燥的教科书(朱政贤，1992；南京林产工业学院，1984)中都有给出：

(1)

(2)

式中q和i分别是单位时间单位面积上的热流和水分物质流，a和a′分别是导温系数和导湿系数，T和u分别是温度和木材含水率，δ是热湿传导系数，c和ρ分别是木材的比热和密度，x是空间坐标。

从(1)、(2)式可以看出，温度梯度在引起热流的同时产生一个水分物质流，但是含水率梯度则只引起水分物质流，而不产生热流。人们发现：自然现象之间的相互影响往往表现有一种对称性。既然温度梯度在引起热流的同时可产生水分物质流，那么含水率梯度在引起水分物质流的同时为什么不能引起热流？对此，杨庆贤(1998)作过原理性分析，得到了肯定的结论。本文应用不可逆过程热力学原理对木材干燥过程热-质迁移及其耦合现象作定量分析，并建立起含有耦合效应的宏观迁移规律。

1 几个关系式

标量场A的实质导数(斯木尔诺夫，1956)

(3)

式中是流场空间某点的速度，grad是梯度算符，在直角坐标系中,

连续性方程

(4)

式中ρ是流体密度，div是散度算符，如速度的散度为

散度运算公式

(5)

2 热力学微分方程

应用不可逆过程热力学原理研究木材干燥中的热-质迁移的核心问题是求出该过程中的熵的产生率的具体表达式。对处于接近平衡态区域的研究对象，下面热力学微分方程成立(普里高京等，1960)

(6)

式中S和U是比熵和比能(单位质量的熵和内能)，μ_i和n_i分别为第i种组元的化学势和单位体积物质的量(单位为摩尔)，ρ是密度。

将(6)式乘以ρ/dt，并经适当整理后，得单位体积的熵变率

(7)

3 熵等恒方程

按照(3)式，单位质量的熵S对时间t的全导数为

(8)

不可逆过程、热交换和流体流动均可引起熵的改变，即

(9)

式中g是由于不可逆过程引起单位体积单位时间的熵增量，第二项和第三项分别是由于热交换和流体流动引起单位体积单位时间的熵增量。

利用(4)式和(5)式，可把(9)式改写为

(10)

把(10)式代入(8)式，可得单位体积的熵变率

(11)

4 能量守恒方程

根据(3)式，单位质量的内能U对时间t的全导数为

(12)

由于分子能量迁移、外力和压力张量做功以及系统与外界的质量交换均可引起系统内能随时间的变化，即

(13)

式中是单位体积的分子迁移的能流，是第i类组元相对于质心的扩散速度，是每摩尔第i类组元受到的外力(包括分子间的长程作用力)，是压力张量，包括流体静压力p和粘性压力张量，即

(14)

式中是单位张量，带两点的乘积是两个二级张量的标量积。

利用(4)式和(5)式，可以把(13)式改写为

(15)

把(15)式代入(12)式，得单位体积的内能改变量

(16)

5 组元质量平衡方程

根据(3)式，单位体积内第i类组元物质的量的实质导数为

(17)

利用(5)式，将(17)式改写为

(18)

式中右边第一项，是由于化学反应在单位体积单位时间内生成的第i类组元的物质的量。第二项和第三项分别是由于流体膨胀和分子扩散引起组元i单位体积单位时间物质的量的增加。

6 质量守恒方程(连续性方程)

根据(3)式或直接对(17)式两边同乘以组元i的摩尔质量，然后对i求和，即得

(19)

利用(5)式和(4)式，从(19)式可得质量守恒方程

(20)

7 熵产生率方程

把(16)、(18)和(20)式代入(7)式，经适当运算后得

(21)

利用(5)式和(14)式，把(21)式改写为

(22)

比较(11)和(22)两式，即得熵流和熵产生率g分别为

(23)

(24)

事实上，能流矢量是包括传导和辐射的热流矢量和扩散过程中伴随各组元的能量迁移，即(普里高京等，1960)

(25)

式中H_i是第i组元的偏摩尔焓。

把(25)式代入(24)式，经简单运算后，得

(26)

式中m_i是第i类组元一个分子的质量，S_i是第i类组元的偏摩尔熵(T_Si=H_i-μ_i)，μ_i是系统状态参数T、P和n_i的函数，因此有

(27)

式中v_i是第i类组元的偏摩尔体积，下标j≠i表示除n_i之外所有其它的n_j均保持不变。

把(27)式代入(26)式，并令

  为第i类组元的质量流通量

  为扩散势梯度

则得熵产生率为

(28)

在木材干燥中，如果只有热量和水分物质的迁移，而没有宏观的动量迁移和化学反应微弱而忽略，则(28)式可简化为

(29)

式中q和i分别表示热量和水分物质。

8 线性唯象方程

根据不可逆过程热力学，熵的产生率g可以写成“流”与“力”的内积之和(内积代表：两个标量的数字积，两个矢量的标量积，或者两个二级张量的二重简缩积)，即

(30)

根据(30)式的要求，从(29)式不难做出木材干燥中“流”与“力”的选择(一般具有一定的自由性)。

根据输运定律的普遍表示，对于离平衡态不远的系统，任何一个不可逆过程的流j_i和各种与其耦合的力X_j线性相关，即

(31)

式中L_ij称为唯象系数，根据Onsager关系

(32)

按照Curie(居里)定理，(31)式中能够与流ji耦合的各种力X_j它们的张量阶数之差必须为偶数或为零。从(29)式可以看出，木材干燥中所有的“流”和“力”都是矢量或同阶张量，因此，均可耦合。根据(31)式，木材干燥过程热-质传递的线性唯象方程为

(33)

(34)

9 木材干燥过程热-质迁移的宏观规律

令

(35)

(36)

(37)

(38)

把(32)式代入(38)式，得

(39)

把(35)、(36)、(37)、(38)、(39)式代入(33)式，得

(40)

(41)

定义下列各量

(42)

式中u是多孔性物质含水率。

(43)

导温系数表示当物体加热或冷却时，物体各部分温度趋于一致的能力，式中ρ是物质的密度，c是物质的比热容。

(44)

导湿系数的意义与导温系数相类似，即表示当物体润湿或干燥时，物体各部分湿度趋向一致的能力。

(45)

(46)

因为u、Θ、T互为函数关系，则有

(47)

把(47)式两边同除以gradT，并利用(41)、(42)式，可得热湿传导系数

(48)

同理有

(49)

把(49)式两边同除以gradu，并利用(40)、(42)式，可得湿热传导系数

(50)

在以上近似中利用了条件

(51)

这是因为含水率的变化远比温度的变化对扩散势的影响大。

把(48)、(50)、(51)式代入(40)、(41)式，并利用(43)、(44)两式，可得木材干燥过程热-质迁移的宏观规律

(52)

(53)

如果热-质传递过程只限于一维空间，则(52)、(53)式可简化为

(54)

(55)

比较(54)、(55)式与(1)、(2)式，容易看出湿度梯度对热流的贡献为。

10 结论

正如温度梯度在引起热流的同时会引起水分物质流一样，湿度梯度在引起水分物质流的同时也会引起热流；湿度梯度对热流的贡献为acρβgradu，若是一维空间则为；引起水分移动(包括热流的耦合项)的驱动力应是扩散势梯度gradΘ，而不仅仅是含水率梯度。从扩散势梯度的定义可以推知，推动水分移动的力除含水率梯度外，还有蒸汽压梯度(Bramhall, 1979)和分子间的长程作用力。