0 引　言

振动控制与结构轻量化是船舶行业的两大热点问题，钢-聚氨酯夹层板结构（Steel-Polyurethane Sandwich plate，SPS）因其在抑制振动和轻量化方面展现出的优势，引起了船舶行业的广泛关注 ^[1]。使用夹层板结构作为传统钢结构的替代已经成为抑制振动的一种思路。由于夹层板结构包含众多设计参数，为了寻求最佳设计方案，可以采用优化设计技术进行改进，从而显著提升夹层板结构的设计效率。

响应面法是一种渐进近似的优化设计方法，它利用多项式方程来拟合响应值与设计变量之间的关系，从而获得最佳的设计方案 ^[2]。响应面法具有优化周期短、精度高、能综合考虑各因素之间交互效应等优势^[3]，因此，可以将响应面法应用在船舶结构的优化设计中。

李威^[4]探讨了采用响应面技术对船舶局部构件进行优化的可行性。黄重阳等^{[5 − 6]}运用响应面法，建立某船的甲板结构和船底结构的优化模型，实现结构的轻量化。朱兆一等^[7]在以复合材料船舶开孔板架的稳定性和结构重量为目标，进行多目标优化设计。康财杰^[8]运用基于拉丁超立方抽样的响应面法对双体游艇进行了轻量化结构设计。赵培龙^[9]构建了多种船舶结构的响应面优化模型，并对不同模型的精度进行了评估与比较。GORSHY 等^[10]设计了一种基于遗传算法的多目标优化方法，成功应用于某型散货船的设计优化中。ARAI等^[11]以某油轮的横舱壁为案例阐述了响应面法在船舶结构设计中的适用性，提出为保证准确性，必须对拟合方程的阶数以及评价因子进行检验。LEE等^[12]为了减少响应面分析的时间并使预测误差最小，提出一种基于神经网络的响应面优化方法，针对某散货船底的加筋板架建立多目标优化设计模型，并验证其适用性。LIU等^[13]讨论了如何选择和拟合响应面函数以及如何进行评估，利用Box – Behnken试验设计生成了关于应力及振动频率的响应面函数，并通过相关系数和修正系数等评价指标对模型进行验证。鄢条广^[14]使用基于中心组合试验设计的响应面法对舰船薄壁齿轮箱体进行振动响应优化。

本文采用基于Box-Behnken试验设计的响应面法对SPS舱壁进行优化，为了使结构振动的幅频响应值最小，以结构尺寸和质量为限制条件，构建相应的优化模型并形成设计方案；之后，使用有限元仿真来验证优化的有效性。

1 初步设计与计算 1.1 SPS舱壁设计方案

某125000 DWT散货船的发电机室与会议室之间为需要替代的目标舱壁。发电机室内的柴油发电机产生的振动会对相邻会议室的正常使用造成一定程度的影响，因此考虑在振动的传播过程当中对振动强度进行一定程度的抑制。为此采用SPS舱壁替代钢制舱壁，首先需要形成一套初步替代方案。示意图见图1。

原有的钢制舱壁板尺寸为3.2 m×3 m，厚度为10 mm。在高度方向上，设有4根规格为12.5 mm/8 mm的角钢，以加强其结构，角钢尺寸为125 mm×80 mm×8 mm，整体结构的总质量为902.06 kg。

依据等刚度设计的原则，结合中国船级社发布的《钢夹层板材料船舶结构建造指南》中的有关要求，面板的厚度被设置为3 mm，芯材的厚度则定为15 mm。为保持整体的刚性，4根角钢将被保留，其型号将调整为较低的规格，选择的角钢为10/8，尺寸为100 mm×80 mm×8 mm。计算得到SPS舱壁结构（见图2）的总重量为740.18 kg。

1.2 SPS舱壁幅频响应计算

在模型构建上，采用了混合方法对SPS舱壁进行建模，即舱壁的芯层使用实体形式建模，而上、下面板及加强构件则使用壳体形式建模。材料特性参数取自英国IE公司提供的试验数据，具体的参数信息见表1。

应用模态叠加法对舱壁结构的幅频响应进行分析，从中提取的模态阶数设定为40。考虑阻尼的影响，因此在材料特性中引入恒定阻尼系数，钢材设定为0.01，聚氨酯为0.065。边界条件被设置为四边固支。在舱壁的后板上施加10⁻² MPa压强作为激励源，扫频范围设定为0～150 Hz，步长为0.3 Hz。

在等刚度条件下，2种舱壁的幅频响应对比结果如图3所示。可以看出，由于2种舱壁的刚度接近，响应峰值对应的频率均集中在50 Hz附近。钢制舱壁的响应峰值为28.102 mm，初步设计得到的SPS舱壁的响应峰值为3.9 mm，证明了SPS舱壁在减振方面具有显著优势。

2 优化过程 2.1 响应面模型的构建 2.1.1 设计变量的确定

有诸多因素会影响SPS舱壁结构的幅频响应值，全部考虑会造成设计变量过多，增加运算成本，依据文献[15]对夹层结构振动特性进行参数化分析后得出的结论，振动响应较为敏感的几何参数主要有6个：下面板厚度D₁、芯层厚度D₂、上面板厚度D₃、加强筋腹板高度H、加强筋面板宽度L、加强筋厚度T。因此，在其他条件不变的前提下，选择将上述6个参数作为优化模型的设计变量（见图4），以探讨这些尺寸参数对结构幅频响应值的影响。

2.1.2 目标函数和约束条件

为了达到减小幅频响应值与降低结构质量的目标，SPS舱壁在幅频响应值和重量方面均要低于原有结构，即要求结构的幅频响应值不得超出28.102 mm，重量应控制在902.06 kg以下。还必须满足刚度和强度的要求，变形应控制在1.6 mm以内，范式等效应力的最大值则不得超过材料的屈服强度。设幅频响应值为f (x)，mm；结构变形为D(x)，mm；结构应力为S(x)，MPa；结构总重量为W，kg。根据优化目标和约束条件，建立的模型为：

$ \begin{gathered}\min f\left(x\right)，\\ S.T.\left\{\begin{gathered}f\left(x\right)\leqslant f'\left(x\right), \\ D\left(x\right)\leqslant D'\left(x\right), \\ S\left(x\right)\leqslant S'\left(x\right), \\ t_{\mathrm{bottom}}\leqslant t\leqslant t_{\mathrm{top}}, \\ W\leqslant W'。\\ \end{gathered}\right.\end{gathered} $

(1)

式中：$f^{'}{(x)} $为钢制舱壁的幅频响应值；$D^{'}{(x)} $为钢制舱壁所受到的最大变形；$S^{'}{(x)} $为材料的屈服强度；t_bottom和t_top分别为结构尺寸的下限和上限；$W^{'} $为钢制舱壁的质量。

合理的试验设计能够实现用较少数据获得较高精度的优化模型，因此，本文选择精度高，试验次数相对较少的Box-Behnken试验设计方法。每个因素均选取了3个不同的水平，用−1、0、+1分别表示每个变量的下限、中心和上限。最终形成了一个包含3个水平和6个因素的试验设计，试验参数及其取值范围参见表2。

使用Design-expert软件辅助试验设计，在试验设计中考虑了6个因素的极值，并将幅频响应结果视为反馈结果，同时将最大变形、最大应力以及整体结构的质量设定为约束条件，最终形成了54种不同的试验方案。之后，采用通用有限元仿真分析软件Ansys/Workbench进行计算，从而获得每一试验组的幅频响应结果、最大变形量以及最大应力，并和结构的整体质量一并记录在表3中。

在试验设计结束后，必须采用回归分析对试验获得的数据进行拟合，通常将其展现为二阶多项式的形式。

得到回归方程后，为了提升方程的可靠性并对其进行简化，需要剔除几个影响较小的变量，最终得到幅频响应值与各因素关系的二阶回归方程为：

$ \begin{split} f\left( x \right) = \, &2.1- 0.1 1{D_1} -0.4 {D_2} - 0.091 {D_3} -\\ &0.65H - 0.29L - 0.3T + 0. 012{D_1} {D_2} -\\ & 0.025{D_1}{D_3} + 0.075{D_1}H + 0.15{D_1}L -\\ & 0.097{D_1}T - 0.086{D_2}{D_3} + 0.032{D_2}H + \\ &0.041{D_2}L + 0.06{D_2}T + 0.056{D_3}H - \\ &0.68{D_3}L -0.22{D_3}T + 0.071HL+ \\ & 0.065HT + 0.046D_1^2 + 0.19D_2^2 + 0.027D_3^2 + \\ &0.38{H^2} + 0.2{L^2} + 0.24{T^2} 。\\[-1pt] \end{split} $

(2)

2.1.3 优化模型的检验

为了验证该二阶回归方程是否能够准确体现优化目标和设计变量之间的关系，需要对其进行方差分析，相关分析结果见表4。通常，如果显著性检验得到的F值高，且其相应的P值低于0.05，则可以认为该优化模型具有统计显著性^[16]。在本研究中，优化模型的F值达到了8.9，且其对应的P值明显低于0.05，这意味着回归模型呈现出良好的适应性。此外，还要用决定系数R²值、校正决定系数R²_adj和预测决定系数R²_pred对优化模型进行进一步检验，结果如表5所示。决定系数R²越大，并且越接近于1，说明模型的相关性越好，优化模型的决定系数R²为0.9924，满足要求。如果校正决定系数R²_adj和预测决定系数R²_pred接近且均趋近于1，表明模型具有较好的拟合效果。优化模型的校正决定系数R²_adj为0.9910，而预测决定系数R²_pred为0.9237，二者接近且均趋近1，表明模型的拟合效果较为显著。此外，回归模型中的信噪比达到了72.54，远超出标准值4，反映出优良的拟合效果。

2.2 响应曲面的构建

通过回归方程可以生成响应曲面图和等高线图，可以直观地观察到不同设计因素之间的交互对于结构的幅频响应值的影响。

通过比较，下面板厚度D₁×加强筋宽度L、上面板厚度D₃×加强筋宽度L和上面板厚度D₃×加强筋厚度T是3组最重要的因素。

观察图5可以发现，3组变量之间展示了相似的相互作用趋势。当尺寸逐渐增大时，结构的幅频响应值会在初期迅速下降，随后在继续增大尺寸的过程中，下降的速率会逐渐减缓。原因在于当其他条件保持不变时，结构的尺寸增大将导致整体刚度的提升，进而引发幅频响应值的降低。通过等高线图的分析可以发现，3组变量的交互作用形成了椭圆形曲线，这一现象表明3组交互变量对幅频响应值的影响显著。

3 优化结果与讨论 3.1 SPS舱壁优化结果

经过优化分析后得到的SPS舱壁各设计参数的最佳组合详见表6，优化结果显示结构的总重量为696.73 kg。通过优化模型拟合出的幅频响应预测值为1.9969 mm；对使用最优组合方案建立的有限元模型进行仿真计算后得出的结果为2.0987 mm，将此结果作为实际值。经过分析，模型所预测的值与实际值之间的偏差为4.85%，这表明模型的优化结果具有较高的可信度。

3.2 优化结果讨论

对比初步设计得到的SPS舱壁与优化后的SPS舱壁的幅频响应值，结果如图6所示，经过优化，幅频响应值降低46.1%，同时质量也减少5.5%。

由于得到的部分构件尺寸不规整，存在加工难度，为了提升生产效率，对SPS舱壁的部分构件尺寸进行调整，具体变化见表7。调整后，幅频响应值几乎不变，而结构的整体重量略有增加。

4 结　语

1）与调整加强构件的尺寸及芯层厚度相比，改变上、下面板的厚度对SPS舱壁结构的幅频响应结果影响更加显著。因此，通过优化上下面板的厚度，可以更加有效地降低SPS舱壁的幅频响应值。

2）优化后的结果显示：结构的幅频响应下降26.1%，同时质量减小5.5%，这表明优化过程有效，优化方法可以应用于结构的振动响应优化中。