0 引　言

水下航行器机械设备运转过程中产生的振动通过其下面的基座结构传递到航行器的船体结构，因此，减弱基座结构的振动及其振动传递对减小水下航行器的结构振动具有重要意义。

迄今为止，从结构声学设计的角度出发，通过在局部设置变厚度板的方法降低水下航行器设备基座结构、船体结构振动的研究已经取得了大量的成果。在局部采用厚度按幂函数衰减规律变化且幂函数的指数不小于2的一维或二维板结构^{[1 − 4]}，利用有限元分析方法研究了盒式结构^{[5 - 6]}、浮筏结构^[4]、设备基座^[7]等结构的振动特性，或通过结构振动试验与理论研究对比^{[8 − 10]}的方式分析变厚度板的结构参数、结构形式等对目标结构减振效果的影响，均得出了变厚度板能降低目标结构的中高频振动的结论。另外，现有的数值仿真模型中大多数都采用体单元对含变厚度板的结构进行离散，单元规模较大，计算效率不高。

在上述研究中，几乎都是把变厚度板嵌在目标结构中，比如嵌在基座的面板或腹板上，但是由于受到目标结构强度要求、尺寸等方面的限制，变厚度板的尺度相对较小，对目标结构的振动控制的频率范围大多表现在中高频，然而，对水下航行器低频段结构振动的控制是急需解决的问题。因此，本文通过使用重量轻的材料使附加的变厚度板相对目标结构较小，从而避免产生因为目标结构重量增大而引起振动特性改变的现象。另外，为了提高计算效率，采用面单元模拟变厚度板结构，为水下航行器减振降噪设计提供新的思路和参考。

1 变厚度消波阻尼板消波减振的基本理论

在薄板中，当不考虑转动惯量和剪切变形的影响时，弯曲波的波速计算式^[11]为：

$ {c_b} = {\left[ {2\text{π} fh\sqrt {\frac{E}{{12\rho \left( {1 - {\mu ^2}} \right)}}} } \right]^{\frac{1}{2}}}。$

(1)

式中：$ f $为频率；$ h $为板的厚度；$ \rho $为材料的密度；$ E $为材料的杨氏模量；$ \mu $为泊松比。当板厚$ h $随着坐标$ x $的变化而变化：

$ h\left(x\right)=\varepsilon x^m。$

(2)

式中：$ \varepsilon $为常数；$ x $为沿板长度或宽度方向的坐标；$ m $为正有理数。那么，在变厚度区域内，弯曲波的波速$ {c_b}\left( x \right) $为：

$ c_b^{ }\left(x\right)=\left[\frac{E\omega^2h^2\left(x\right)}{12\rho\left(1-\mu^2\right)}\right]^{\frac{1}{4}}。$

(3)

式中：$ \omega $为角频率。薄板结构中，波数的表达式为：

$ k=\left[\frac{12\rho\omega^2\left(1-\mu^2\right)}{Eh\left(x\right)^2}\right]^{\frac{1}{4}}。$

(4)

当波传播到零厚度区域时，群速度$ {c_g} = {{\mathrm{d}}\omega } /{{\mathrm{d}}k} $的大小趋于0，到达$ x = 0 $处所需要的时间$ t = \int {{\mathrm{d}}x} /{{c_g}} $将趋于无穷大，所以，由于$ x = 0 $处的板厚等于零，因此，弯曲波不能传到$ x = 0 $的位置，在$ x = 0 $处不会产生反射波。同时，在末端$ x = 0 $的区域，波的相速度$ {c_p} = $0，根据能量守恒原理，在没有能量损失的情况下，$ x = 0 $处的结构振动速度为无穷大。

当结构不在液体中并且$ m \geqslant 2 $时，弯曲波以任意入射角度进入变厚度区域，在$ x = 0 $处都不会发生反射，如果结构浸入液体中，那么当$ m \geqslant {5 \mathord{\left/ {\vphantom {5 3}} \right. } 3} $^{[12 - 13]}时，在$ x = 0 $处不会发生反射。另外，若$ m $值过大则容易破坏变厚度轮廓潜在的理论平滑度，轮廓是否平滑的评判标准为归一化波数远远小于1^{[14 - 15]}。

$ NWV = \frac{{{\mathrm{d}}k}}{{{\mathrm{d}}x}}\frac{1}{{{k^2}}} \ll 1 。$

(5)

将式(4)代入式(5)中可得

$ \frac{1}{2}{\left[ {\frac{E}{{12\rho {\omega ^2}\left( {1 - {\mu ^2}} \right)}}} \right]^{\frac{1}{4}}}\frac{1}{{h{{\left( x \right)}^{\frac{1}{2}}}}}\frac{{\mathrm{d}h\left( x \right)}}{{\mathrm{d}x}} \ll 1 。$

(6)

根据式(6)可知，在变厚度区域内，归一化波数$ NWV $是关于频率$ \omega $以及位置$ x $函数。当频率很小、$ x $值较大的情况下变厚度区域的平滑性较容易破坏。同时，这一约束条件也包含了对波的频率以及比例参数$ \varepsilon $的限制。

$ \varepsilon\ll\left(\frac{3\rho\omega^2}{E}\right)^{\frac{1}{2}}。$

(7)

若使变厚度板结构对弯曲波起到聚焦的作用，波长$ \lambda $至少要小于变厚度板的特征尺寸$ {x_1} $，即$ kx \geqslant 1 $。令$ kx \geqslant 1 $，可得变厚度板聚焦效应的起始频率：

$ \omega_{c1}=\frac{h_1}{x_1^2}\sqrt{\frac{E}{12\rho\left(1-\mu^2\right)}}。$

(8)

式中：$ {h_1} $为均匀区域的厚度；$ {x_1} $为变厚度区域的长度。根据式(7)，若使变厚度消波板满足平滑的需求，角频率需满足$ \omega > {\omega _{c2}} $，$ {\omega _{c2}} = \sqrt {{{{\varepsilon ^2}E} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\varepsilon ^2}E} {3\rho }}} \right. } {3\rho }}} $。在实际应用中，变厚度消波板结构在开始有聚焦效应的频率范围内，即使不满足$ \varepsilon $的限制条件（$ {\omega _{c1}} < \omega < {\omega _{c2}} $），依然可以有效地降低波速，只不过由于反射能量较高而会降低变厚度消波板的性能^[15]。

根据式(3)和式(4)，当板厚按照幂律连续变化且最薄处厚度变为0时，弯曲波无法到达板厚等于0的位置。本文根据上述现象设计变厚度消波阻尼板，设计的思路是，变厚度消波阻尼板由等厚度板、变厚度板和阻尼板构成，变厚度消波阻尼板布置在目标结构振动较大的位置，通过调节变厚度板的长度、材料及板厚等参数改变板的固有频率，实现与振源的耦合共振，从而吸收并耗散弯曲振动能量。由于在实际工程当中无法将板的边缘处的厚度加工为零厚度，因此，在板的最薄处贴一块阻尼板以吸收振动能量。

本文中，$ \varepsilon $、$ m $在满足上述要求的情况下^{[14 - 15]}，根据变厚度板结构声学设计的需要，分别取不同的值。

2 数值仿真结果的试验验证

为了验证本文提出的变厚度板有限元模型和变厚度板对振动控制分析的准确性，将数值仿真的结果与实验结果进行对比，验证数值仿真的正确性。实验装置、各个参数以及实验结果等均来自文献[16]。2块变厚度板内嵌到矩形板，矩形板的尺寸如图1所示，钢的材料参数如表1所示，变厚度板的$ \varepsilon $为0.0005，$ m $等于2.2，变厚度板的板厚按式(9)^[16]变化。

$ h\left(r\right)=0.000\;5r^{2.2}+0.000\;85。$

(9)

式中：$ r $为与变厚度区域中心的距离。在矩形板的上表面对角线的交点A施加垂直于矩形板的激振力，如图1所示。激振力的频率范围为1～800 Hz，振动加速度的测点O在矩形板的上表面对称轴上，距离板的长边0.03 m。

用Abaqus软件建立图1(c)所示的有限元模型，分析内嵌变厚度板的矩形板的振动频率响应。在建模中，为了与文献保持一致从而进行比较，采用体单元进行建模，将计算结果与实验结果^[16]进行对比，结果如图2所示。在全频段范围内，2条频响曲线差异较小，在最后2个峰值处，频率存在一定的差别，约2%，主要是实验用的内嵌2块变厚度板的矩形板模型在铣削加工过程中引起的几何误差以及矩形板的边界与数值仿真模型边界设置的差别所引起的，总体来看，仿真与实验的整体响应趋势基本吻合，验证了有限元仿真模型和数值仿真方法的可靠性。

3 基座面板振动控制研究 3.1 基座面板振动特性分析

建立水下航行器动力舱及舱内旋转设备基座的有限元模型，如图3所示。舱段、舱段壳板上肋骨、基座面板及支撑工字钢的几何尺寸如表2所示。舱段、基座面板及支撑工字钢材料均为钢材，参数如表1所示，壳板、肋骨、工字钢等均采用板单元建模，在基座面板上表面矩形的面积中心施加垂向、单频、单位正弦激励力F，用来模拟旋转设备工作时在垂向给基座面板的作用力。计算结构振动响应，对于每一个频率，提取基座面板上所有节点的振动加速度并比较，找到加速度的最大值。然后绘制加速度最大值随频率的变化函数曲线，即得到振动加速度的最大值的频响曲线如图4所示。

可知，振动峰值分别位于201、258、321、474、537和576 Hz处，这6个峰值频率分别记为f₁～f₆，出现这6个峰值的基座面板的位置分别记作P₁～P₆，如图5所示。其中，P₁和P₄点相距较近，P₂与P₆点相距较近。为了降低这6个峰值，设计6块变厚度消波阻尼板，使板的第1阶固有频率分别在f₁～f₆附近，并将板分别安装在P₁～P₆处，实现与振源的耦合共振，从而吸收并耗散弯曲振动能量，达到降低基座面板振动的目的。

3.2 复合型变厚度消波阻尼板设计 3.2.1 变厚度板网格划分方法

变厚度消波阻尼板是一种利用声波传播特性实现振动控制的创新型附加结构，可以以单片或多个固有频率不同的单片组合的形式固连到基座面板振动较大的位置处，吸收振动能量，由3块单片变厚度板构成的复合型变厚度消波阻尼板如图6所示。

根据文献[17]，每个结构波长范围内需要划分10个网格以保证数值仿真结果能准确反映结构波的聚集情况，变厚度结构中弯曲波的波长$ \lambda $由波长公式确定，当式(10)中的变厚度板最薄位置的板厚$ h $为0.0001 m、激振力的最高频率为600 Hz时，最薄位置的波长为0.02 m，因此本文中取0.002 m作为网格尺寸，以此为基础，分别采用三维体单元和二维面单元对变厚度板划分网格，并用场函数给二维面单元赋板厚，结果如图7所示。分别计算采用2种建模方法情况下变厚度板的固有频率，在保证前三阶固有频率近似相同的情况下（见表3），采用面单元建立的模型共有11577个节点、11300个单元，采用体单元建立的模型共有127908个节点、113500个单元，体单元的数量是面单元的10倍左右。因此，为了提高计算效率，采用面单元进行建模。

$ \lambda = \frac{{{c_b}}}{f} = \sqrt {\frac{{2\text{π} h\left( x \right)}}{f}} {\left[ {\frac{E}{{12\rho \left( {1 - {\mu ^2}} \right)}}} \right]^{\frac{1}{4}}} 。$

(10)

3.2.2 变厚度板固有频率设计

1）根据3.1节的基座面板振动峰值频率设计6块变厚度板，分别记为B₁～B₆，将变厚度板一端的边界条件设为固支，另一端边界条件设为自由状态，如图7所示，同时，通过调节变厚度板的长度使B₁～B₆的厚度变化部分的第1阶固有频率分别接近峰值频率f₁～f₆，从而得到变厚度板的主要参数，宽度均为0.05 m，等厚度部分的板厚为0.016 m，幂指数$ m $为2，常数$ \varepsilon $的取值如表4所示，变厚度板的材料是复合材料，材料参数如表1所示，B₁～B₆的第1阶模态如表5和图8所示。因为峰值频率f₁与f₄对应的基座面板位置（分别为P₁和P₄）相距很近，峰值频率f₂与f₆对应的基座面板位置（分别为P₂与P₆）相距很近，因此，将B₁与B₄叠放在一起构成复合型变厚度消波阻尼板，记作B₁₄，将B₂与B₆叠放在一起构成复合型变厚度消波阻尼板，记作B₂₆，调整B₁₄和B₂₆的板厚或材料参数，使B₁₄的固有频率接近f₁与f₄，使B₂₆的固有频率接近f₂与f₆，结果如表6和图9所示。

2）将得到的变厚度板分别固连在基座面板下方相应的位置处，如图10所示，通过改变变厚度板的长度，使固连到基座面板上的变厚度板的厚度变化部分的第1阶固有频率分别接近峰值频率f₁～f₆，这里以B₂为例，图11为通过改变变厚度板的长度改变其固有频率，并使之趋近于谱峰频率258 Hz的过程。

由于变厚度板的材料密度远小于基座面板的材料密度，因此6块变厚度板的总重量仅为基座面板重量的1.7%，保证了变厚度消波阻尼板的重量对目标结构振动性能影响不大。

3.3 安装消波阻尼板的基座面板振动分析

为了研究变厚度消波阻尼板对基座面板振动的控制作用，将3.2节设计的变厚度板固连在基座面板下方相应的位置处，如图10所示，激振力的频率范围是5～600 Hz。对于每一个频率，计算得到安装变厚度消波阻尼板后的基座面板上的结构振动，提取基座面板上所有节点的振动加速度并比较，找到加速度的最大值，然后绘制加速度最大值随频率的变化函数曲线，即得到振动加速度的最大值的频响曲线，并与图4所示的安装变厚度板前的振动响应进行比较，结果如图12所示。

可以看出，安装变厚度消波阻尼板后，在整个频段范围内，基座面板振动峰值都获得了较大幅度的降低，在频率201、258和321 Hz处振动峰值降低最为明显，大约为20 dB。

4 结　语

1）采用本文提出的网格划分方法等建模和计算方法能够保证与变厚度板相关的问题的计算精度，同时能够提高计算效率。

2）通过使变厚度板与振源的耦合共振吸收并耗散弯曲振动能量，能够达到降低结构（基座面板）振动的目的。

3）通过将变厚度板组合或单片安装在目标结构上，能够同时降低目标结构在低频和高频的振动峰值。

4）与内嵌式变厚度板相比，本文采用的将变厚度板安装在目标结构上的建模方法既能降低结构的振动，又不降低目标结构的强度，另外，通过采用密度较小的复合材料以减小变厚度板的重量，从而避免了因为重量过大而影响目标结构的振动特性。

本文研究结果可以为船舶结构声学设计提供参考。