0 引　言

近年来，无人艇系统逐渐成熟，并凭借其优势广泛应用于军事与民用领域^[1]。相较于单无人艇，无人艇集群具有更强的感知和执行能力，能够提高性能、鲁棒性及拓展性。在多艇协同控制中，编队问题是目前重要的研究领域，拥有丰富的研究成果。而无人艇集群常面对复杂环境和任务，其通信拓扑会发生改变，这给编队控制带来了严峻挑战。

在无人艇集群的通讯拓扑发生改变时，为确保信息传输的安全性，切换控制^[2]至关重要。OLFATI等^[3]分析了固定拓扑的有向网络、切换拓扑的有向网络以及具有通信时滞的有向网络下一致性问题。Yu等^[4]针对无人机集群，通过构建分布式通信机制，设计了一种自适应编队控制策略。

无人艇系统通常设置采样间隔来更新状态，较高的采样频率会造成资源浪费，故引入事件触发机制，当指定状态超过一定限度，则进行数据的传输与更新。同时，需避免芝诺行为的发生。黄兵等^[5]利用神经网络和事件触发来补偿不确定性和扰动。而静态触发机制虽能够降低通信成本，但随着时间推移，阈值减小，事件会被频繁触发。张磊等^[6]结合变结构与自适应控制，提出一种动态事件触发机制，有效规避Zeno现象。Chen等^[7]提出了一种混合事件触发来解决有限通信范围系统的一致性问题。

外界干扰与未建模动态广泛存在于各类系统中，常对其产生影响，故干扰处理也是控制问题中一大重点。Zhang等^[8]提出强化学习策略，使用逼近器估计未知动力学，在预设时间内收敛到期望精度。姜朝宇等^[9]将干扰统一，设计有限时间扰动观测器在线估计，通过构造虚拟控制律实现半全局一致有界。

鉴于以上分析，本文设计一种切换律用于切换拓扑。同时，提出一种动态事件触发机制以减少通信压力，并使用扰动观测器进行干扰的观测。

1 问题描述 1.1 图论知识

本文利用无向图描述通信拓扑连通性，可表示为$ G = \{ v,\varepsilon \} $，其中，节点集$v = \{ 1, \ldots ,N\} $为跟随艇数量，边集$\varepsilon \subseteq v \times v$为无人艇之间信息传递。集群中有$N$艘跟随艇和下标为$l$的领航艇，定义邻接矩阵$ {\boldsymbol{A}} = [{a_{ij}}] $，若${a_{ij}} = 1$，表示第$i$,$j$艘无人艇可相互通信；定义入度矩阵${{\boldsymbol{D}}_{{\text{in }}}} = {diag} \{ {d_1}, \ldots ,{d_N}\} $，${d_i} = \displaystyle\sum\nolimits_{j = 1}^N {{a_{ij}}} $；定义拉氏矩阵${\boldsymbol{L}} = {{\boldsymbol{D}}_{{\mathrm{in}}}} - {\boldsymbol{A}}$。

当编队结构改变，则无人艇通信拓扑将重置。定义切换信号$\varepsilon (t):[0, + \infty )$。$ {l_1} < {l_2} < \cdots $为切换时刻，定义驻留时间${T_k}$。令$num({t_1},{t_2})$为$ [{t_1},{t_2}) $间隔内切换次数，当编队结构为$\varepsilon (t) = \alpha \in \Delta $，则对应状态量均用上标$\alpha $表示。同时，假设各种编队模式下，每个跟随艇至少存在一条从领航艇到其本身的路径。

1.2 相关引理

定理1　集群实现编队一致性需要满足：

$ \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \tilde \chi _i^\alpha (t) = \mathop {\lim }\limits_{t \to \infty } \left({\chi _i}(t) - h_i^\alpha (t) - {\chi _l}(t)\right) = 0。$

(1)

定理2　 假设存在正常数$b$和$\lambda $，对$\forall t \geqslant {t_0}$，有$\left\| {\varsigma (t)} \right\| \leqslant b{e^{ - \lambda (t - {t_0})}}\left\| {\varsigma ({t_0})} \right\|$，则切换信号$\varepsilon (t)$指数稳定。

1.3 多无人艇数学模型

第$i$艘无人艇的数学模型可表示为：

$ \left\{ {\begin{array}{l} {{{\dot \eta }_i} = R({\psi _i}){v_i}}，\\ {{M_i}{{\dot v}_i} + {C_i}({v_i}){v_i} + {D_i}({v_i}){v_i} = {\tau _i} + {d_i}} 。\end{array}} \right. $

(2)

式中：$i = l,1, \ldots ,{N^\alpha }$，${\eta _i} = {[{x_i},{y_i},{\psi _i}]^{\text{T}}}$为惯性坐标系下无人艇的位置及角度；${v_i} = {[{u_i},{v_i},{r_i}]^{\text{T}}}$为机体坐标系下的速度和角速度；${d_i}$为受到的外界干扰。${\boldsymbol{R}}({\psi _i})$为2个坐标系之间的旋转矩阵；${{\boldsymbol{M}}_i}$为惯性矩阵；${{\boldsymbol{C}}_i}({v_i})$为科氏力矩阵；${{\boldsymbol{D}}_i}({v_i})$为阻尼矩阵。

定义${\xi _i}(t) = R({\psi _i}){v_i}(t)$为辅助变量，则式(2)改写为：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot \eta }_i} = {\xi _i},} \\ {{{\dot \xi }_i} = {u_i} + {C_{i'}}({\eta _i},{{\dot \eta }_i}){\xi _i} + {D_{i'}}({\eta _i},{{\dot \eta }_i}){\xi _i} + {\delta _i}} 。\end{array}} \right. $

(3)

式中：${\xi _i}(t) = {[{\dot x_i}(t),{\dot y_i}(t),{\dot \psi _i}(t)]^{\text{T}}}$为无人艇在地球坐标系下的速度及角速度；${u_i} = RM_i^{ - 1}{\tau _i}$为力与力矩。且参数定义如下：$ {{\boldsymbol{C}}'_i}({\eta _i},{\dot \eta _i}) = - {\boldsymbol{RM}}_i^{ - 1}{{\boldsymbol{C}}_i}({{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\xi _i}){{\boldsymbol{R}}^{ - 1}} $，${{\boldsymbol{D}}'_i}({\eta _i},{\dot \eta _i}) = \dot R{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}} - {\boldsymbol{R}}M_i^{ - 1}{{\boldsymbol{D}}_i}({R^{ - 1}}{\xi _i}){{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}$，${\delta _i} = {\boldsymbol{R}}M_i^{ - 1}{d_i}$。

令${\chi _i}(t) = {[\eta _i^T(t),\xi _i^{\text{T}}(t)]^{\text{T}}}$,${\chi _l}(t) = {[\eta _l^{\text{T}}(t),\xi _l^{\text{T}}(t)]^{\text{T}}}$中包含了领航艇的位姿以及速度信息。令${w_i} = {C_{i'}}({\eta _i},{\dot \eta _i}){\xi _i} + {D_{i'}}({\eta _i},{\dot \eta _i}){\xi _i} + {\delta _i}$，则式(3)可记作：

$ {\dot \chi _i}(t) = A{\chi _i}(t) + B[{u_i}(t) + {w_i}(t)]。$

(4)

式中：$ A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{0_{3 \times 3}}}&{{I_3}} \\ {{0_{3 \times 3}}}&{{0_{3 \times 3}}} \end{array}} \right],B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{0_{3 \times 3}}} \\ {{I_3}} \end{array}} \right] $，${w_i}$为总干扰。假设领航艇可忽略干扰作用，干扰对每艘无人艇影响相同，并可将未知动力学看作时变有界信号。

定义$h_i^\alpha (t) = {[{(h_{\eta i}^\alpha (t))^{\text{T}}},{(h_{\xi i}^\alpha (t))^{\text{T}}}]^{\text{T}}}$，${(h_{\eta i}^\alpha (t))^{\text{T}}}$为在编队模式$\alpha $下第$i$艘无人艇与领航艇之间的位置关系，且满足$\dot h_{\eta i}^\alpha (t) = h_{\xi i}^\alpha (t)$，则第$i$艘无人艇的期望轨迹可写作：

$ {\left(\eta _i^d(t)\right)^\alpha } = h_{\eta i}^\alpha (t) + {\eta _l}(t)。$

(5)

编队误差$\tilde \chi _i^\alpha (t) = {\chi _i}(t) - h_i^\alpha (t) - {\chi _l}(t)$，求导得：

$ \dot \tilde \chi _i^\alpha = A\tilde \chi _i^\alpha (t) + B\left[u_i^\alpha (t) + {w^\alpha }(t) - {\left(\dot \xi _i^d(t)\right)^\alpha }\right]。$

(6)

2 控制器的设计 2.1 扰动观测器的设计

认定无人艇中的干扰${w^\alpha }(t)$可表示为：

$ \dot w_i^\alpha (t) = {\boldsymbol{P}}_i^\alpha w_i^\alpha (t) 。$

(7)

式中：${\boldsymbol{P}}_i^\alpha $为一个已知矩阵。

构建一种局部观测器来估计未知干扰${w^\alpha }(t)$：

$ \begin{split}{\dot{\hat{w}}}_{i}^{\alpha }(t)=&{P}^{\alpha }{\hat{w}}_{i}^{\alpha }(t)+{{\boldsymbol{Q}}}_{i}^{\alpha }{\tilde{\chi }}_{i}^{\alpha }(t)- \\ &{c}_{i}^{\alpha }{\displaystyle {\sum }_{i=1}^{{N}^{\alpha }}{a}_{ij}^{\alpha }\left[{\hat{w}}_{i}^{\alpha }(t)-{\hat{w}}_{j}^{\alpha }(t)\right]} \end{split} 。$

(8)

式中：$ \hat w_i^\alpha (t) $和$\hat w_j^\alpha (t)$为第$i$、$j$艘无人艇干扰估计值；${\boldsymbol{Q}}_i^\alpha $为观测矩阵；$c_i^\alpha $用于调整估计效应权重。

2.2 带有扰动观测器的控制律设计

定义扰动误差为：

$ e_{wi}^\alpha (t) = \hat w_i^\alpha (t) - w_i^\alpha (t) 。$

(9)

式中：$\hat w_i^\alpha (t)$为扰动估计值；$w_i^\alpha (t)$为实际扰动值。

对上式求导并调用式(7)可得：

$ \begin{split}{\dot{e}}_{wi}^{\alpha }(t)=&{P}^{\alpha }{e}_{wi}^{\alpha }(t)+{{\boldsymbol{Q}}}_{i}^{\alpha }{\tilde{\chi }}_{i}^{\alpha }(t)-\\ &{c}_{i}^{\alpha }{\displaystyle {\sum }_{j=1}^{{N}^{\alpha }}{a}_{ij}^{\alpha }\left[{\widehat{w}}_{i}^{\alpha }(t)-{\widehat{w}}_{j}^{\alpha }(t)\right]}。\end{split} $

(10)

式中：${\boldsymbol{Q}}_i^\alpha $表示系数矩阵；$c_i^\alpha $表示设定的合适参数。

局部控制器为编队子控制器$ u_{ai}^\alpha (t) $和干扰子控制器$ u_{bi}^\alpha (t) $之和，分别用于消除编队、扰动误差：

$ \begin{array}{*{20}{l}} {u_i^\alpha (t) = u_{ai}^\alpha (t) + u_{bi}^\alpha (t)} ，\end{array} $

(11)

$ u_{ai}^\alpha (t) = - S_1^\alpha a_{il}^\alpha \tilde \chi _i^\alpha (t) - S_2^\alpha \sum\nolimits_{j = 1}^{{N^\alpha }} {a_{ij}^\alpha } \left[\tilde \chi _i^\alpha (t) - \tilde \chi _j^\alpha (t)\right]，$

(12)

$ u_{bi}^\alpha (t) = - \hat w_i^\alpha (t) + {(\dot \xi _i^d(t))^\alpha }。$

(13)

2.3 动态事件触发机制的设计

设计动态事件触发机制为：

$ {[e_{\chi i}^\alpha (t)]^{\text{T}}}{\boldsymbol{\Phi}} _i^\alpha e_{\chi i}^\alpha (t) \leqslant \rho _i^\alpha (t){\left[\tilde \chi _i^\alpha (t)\right]^{\text{T}}}{\boldsymbol{\Phi}} _i^\alpha \tilde \chi _i^\alpha (t) 。$

(14)

式中：$e_{\chi i}^\alpha (t) = \tilde \chi _i^\alpha (t_k^i) - \tilde \chi _i^\alpha (t)$为触发误差；$\tilde \chi _i^\alpha (t_k^i)$为触发时刻误差；$\tilde{\boldsymbol{ \chi }}_i^\alpha (t)$为当前时刻误差；$\Phi _i^\alpha $为正定矩阵。$\rho _i^\alpha (t) = \sigma _i^\alpha {e^{ - \delta _i^\alpha \left\| {e_{\chi i}^\alpha (t)} \right\|}}$为触发阈值，$\sigma _i^\alpha \in [0,1]$，$\sigma _i^\alpha $和$\delta _i^\alpha $影响触发频率。结合式(6)和式(13)可得：

$ \begin{split} {\dot{\tilde{\chi }}} _i^\alpha (t) =& A{\tilde \chi}_i^\alpha (t) - BS_1^\alpha {a_{il}^\alpha} {{\dot{\tilde{\chi }}}_i^\alpha} (t_k^i) - \\ &BS_2^\alpha \sum\nolimits_{j = 1}^{{N^\alpha }} {a_{ij}^\alpha \left[\tilde \chi _i^\alpha (t_k^i) - \tilde \chi _j^\alpha (t_k^j)\right]} - Be_{wi}^\alpha (t)。\end{split} $

(15)

利用克罗内克积运算可得：

$ \begin{split}{\dot{\tilde{\chi }}}^{\alpha }(t)=&\left[{\tilde{A}}^{\alpha }-({\tilde{S}}_{1}^{\alpha }+{\tilde{S}}_{2}^{\alpha })\right]{\tilde{\chi }}^{\alpha }(t)- \\& ({\tilde{S}}_{1}^{\alpha }+{\tilde{S}}_{2}^{\alpha }){e}_{\chi }^{\alpha }(t)-{\tilde{B}}^{\alpha }{e}_{w}^{\alpha }(t) \end{split}，$

(16)

$ \dot e_w^\alpha (t) = ({\tilde P^\alpha } - {\tilde c^\alpha }{\tilde L^\alpha })e_w^\alpha (t) + {Q^\alpha }{\tilde \chi ^\alpha }(t) ，$

(17)

$ \tilde S_1^\alpha = A_l^\alpha \otimes BS_1^\alpha ,\tilde S_2^\alpha = {L^\alpha } \otimes BS_2^\alpha 。$

(18)

2.4 编队切换律的设计

考虑状态误差和控制输入，构造成本函数为：

$ \begin{split} E({{\tilde \chi }^\alpha }(t),\bar u_a^\alpha (t),t) =& {{({{\tilde \chi }^\alpha }(t))}^{\text{T}}}\tilde M_1^\alpha {{\tilde \chi }^\alpha }(t)+ \\ & {{(\bar u_a^\alpha (t))}^{\text{T}}}\tilde M_2^\alpha \bar u_a^\alpha (t)。\end{split} $

(19)

式中：$\bar u_a^\alpha (t) = - (\tilde S_1^\alpha + \tilde S_2^\alpha )[{\tilde \chi ^\alpha }(t) + e_\chi ^\alpha (t)]$。而长期成本函数设计为：

$ W(t) = \left\{ {\begin{split} & {\displaystyle\int_{{l_m}}^t E \left({{\tilde \chi }^\alpha }(c),\bar u_a^\alpha (c),c\right){\text d}c,m = 0} ，\\ &{\displaystyle\sum\nolimits_{k = 0}^{m - 1} {\int_{{l_k}}^{{l_{k + 1}}} {E\left({{\tilde \chi }^\alpha }(c),u_a^\alpha (c),c\right){\text d}c} } } +\\ &{\;\;\;\; \int_{{l_m}}^t {\left({{\tilde \chi }^\alpha }(c),\bar u_a^\alpha (c),c\right)} {\text d}c,m \geqslant 1} 。\end{split}} \right. $

(20)

成本函数值不断变化且最终趋于稳定，若编队能保持，则成本函数将在一定范围内。若通信拓扑变化，成本函数将超出界限。下一切换时刻${l_{m + 1}}$为：

$ {l_{m + 1}} = \inf \{ t > {l_m}\left| {|W(t) - {W^*}(t)\mid > {s^\alpha }} \right.\}。$

(21)

式中：${l_m}$为切换时刻；${s^\alpha }$为编队结构$\alpha $下切换阈值。${W^*}(t)$为期望的成本值；$W(t)$为当前长期成本值。

3 稳定性分析 3.1 一致性分析

在编队结构$\alpha $下，构造Lyapunov函数：

$ {V^{\varepsilon (t)}}(t) = {[{\tilde \chi ^\alpha }(t)]^{\text{T}}}\tilde K_1^{\varepsilon (t)}{\tilde \chi ^\alpha }(t) + {[e_w^\alpha (t)]^{\text{T}}}\tilde K_2^{\varepsilon (t)}e_w^\alpha (t)。$

(22)

当$t \in [{t_k},{t_{k + 1}})$时，动态事件触发机制满足：$ {[e_{\chi i}^\alpha (t)]^{\text{T}}} \Phi _i^\alpha e_{\chi i}^\alpha (t) - \sigma _i^\alpha {[\tilde \chi _i^\alpha (t)]^{\text{T}}}\Phi _i^\alpha \tilde \chi _i^\alpha (t) \geqslant 0 $。若触发时刻间不存在切换，对Lyapunov函数求导得：

$ \begin{split} \hat{V}^{\alpha}(t)\leqslant & [\tilde{\chi}^{\alpha}(t)]^{\mathrm{T}}\{\tilde{K}_{1}^{\alpha}\tilde{A}^{\alpha}+(\tilde{A}^{\alpha})^{\mathrm{T}}\tilde{K}_{1}^{\alpha}-\tilde{K}_{1}^{\alpha}(\tilde{S}_{1}^{\alpha}+\tilde{S}_{2}^{\alpha}- \\& (\tilde{S}_{1}^{\alpha}+\tilde{S}_{2}^{\alpha})^{\mathrm{T}}\tilde{K}_{1}^{\alpha}\} \tilde{\chi}^{\alpha}(t)-[\tilde{\chi}^{\alpha}(t)]^{\mathrm{T}}\{\tilde{K}_{1}^{\alpha}\times(\tilde{S}_{1}^{\alpha}+\tilde{S}_{2}^{\alpha})+ \\& (\tilde{S}_{1}^{\alpha} + \tilde{S}_{2}^{\alpha})^{\mathrm{T}}\tilde{K}_{1}^{\alpha}\}e_{\chi}^{\alpha}(t)-[\bar{\chi}^{\alpha}(t)]^{\mathrm{T}}[\tilde{K}_{1}^{\alpha}\tilde{B}^{\alpha} + (Q^{\alpha})^{\mathrm{T}}\tilde{K}_{2}^{\alpha}] \times \\& e_{w}^{\alpha}(t)+[e_{w}^{\alpha}(t)]^{\mathrm{T}}[(\tilde{B}^{\alpha})^{\mathrm{T}}\tilde{K}_{1}^{\alpha}+\tilde{K}_{2}^{\alpha}Q^{\alpha}]\tilde{\chi}^{\alpha}(t)+ \\& [e_{w}^{\alpha}(t)]^{\mathrm{T}}\{\tilde{K}_{2}^{\alpha}(\tilde{P}^{\alpha}-\tilde{c}^{\alpha}\tilde{L}^{\alpha})+(\tilde{P}^{\alpha}-\tilde{c}^{\alpha}\tilde{L}^{\alpha})^{\mathrm{T}}\}e_{w}^{\alpha}(t)+ \\& [\tilde{\chi}^{\alpha}(t)]^{\mathrm{T}}\sigma_{i}^{\alpha}\Phi^{\alpha}\tilde{\chi}^{\alpha}(t)-[e_{\chi}^{\alpha}(t)]^{\mathrm{T}}\Phi^{\alpha}e_{\chi}^{\alpha}(t)。\\[-5pt] \end{split} $

(23)

若事件触发时刻$[{t_k},{t_{k + 1}})$间存在切换瞬间，当未切换前，其稳定性分析如上；切换后时间段稳定性如下。定义${\kappa ^\alpha }(t) = {[{[{\tilde \chi ^\alpha }(t)]^{\text{T}}}{[e_\chi ^\alpha (t)]^{\text{T}}}{[e_w^\alpha (t)]^{\text{T}}}]^{\text{T}}}$，可得：

$ \begin{split} &{{\dot V}^\alpha }(t) + \lambda {V^\alpha }(t) + E({{\tilde \chi }^\alpha }(t),\bar u_a^\alpha (t),t) - E({{\tilde \chi }^\alpha }(t),\bar u_a^\alpha (t),t) \leqslant \\ &\;\;\;\; {{\dot V}^\alpha }(t) + \lambda \{ {[{{\tilde \chi }^\alpha }(t)]^{\text{T}}}\tilde K_1^\alpha \tilde \chi (t) + {[e_w^\alpha (t)]^{\text{T}}}\tilde K_2^\alpha e_w^\alpha (t)\} + \\ &\;\;\;\; {\text{ }}{[{{\tilde \chi }^\alpha }(t)]^{\text{T}}}\tilde M_1^\alpha {{\tilde \chi }^\alpha }(t) + {[{{\tilde \chi }^\alpha }(t) + e_\chi ^\alpha (t)]^{\text{T}}}(A_l^\alpha \otimes B{S_1} + \\ & \;\;\;\;{\text{ }}{L^\alpha } \otimes B{S_2}{)^{\text{T}}}\tilde M_2^\alpha (A_l^\alpha \otimes B{S_1} + {L^\alpha } \otimes B{S_2}) \times \\& \;\;\;\; {\text{ }}[{{\tilde \chi }^\alpha }(t) + e_\chi ^\alpha (t)] - E({{\tilde \chi }^\alpha }(t),\bar u_a^\alpha (t),t) 。\\[-5pt] \end{split} $

(24)

下面给出一系列符号的定义：

$ \left\{\begin{array}{l} \Upsilon _1^\alpha = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Lambda _1^\alpha }&{\Lambda _2^\alpha }&{\Lambda _3^\alpha } \\ { \Lambda _2^\alpha }&{ - {\Phi ^\alpha }}&0 \\ {\Lambda _3^\alpha }&0&{\Lambda _4^\alpha } \end{array}} \right],\Upsilon _2^\alpha = [\begin{array}{*{20}{c}} { \Lambda _5^\alpha } &{\Lambda _6^\alpha }& 0 \end{array} ], \\ {\Upsilon ^\alpha } = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Upsilon _1^\alpha }&{\Upsilon _2^\alpha } \\ {\Upsilon _2^\alpha }&{ - \tilde K_1^\alpha (\tilde M_2^\alpha )\tilde K_1^\alpha } \\ \end{array}} \right] < 0, \\ {\Lambda _1^\alpha = \tilde K_1^\alpha {{\tilde A}^\alpha } + {{({{\tilde A}^\alpha })}^{\text{T}}}\tilde K_1^\alpha - A_l^\alpha \otimes (K_1^\alpha BS_1^\alpha ) - } \\ \;\;\;\;\;\;\;{{L^\alpha } \otimes (K_1^\alpha BS_2^\alpha ) - A_l^\alpha \otimes {{(K_1^\alpha BS_1^\alpha )}^{\text{T}}} - } \\ \qquad\;\;\; {{L^\alpha } \otimes {{(K_1^\alpha BS_2^\alpha )}^{\text{T}}} + {\sigma ^\alpha }{\Phi ^\alpha } + \lambda \tilde K_1^\alpha + \tilde M_1^\alpha ,}\\ \Lambda _2^\alpha = - A_l^\alpha \otimes {(K_1^\alpha BS_1^\alpha )^{\text{T}}} - {L^\alpha } \otimes {(K_1^\alpha BS_2^\alpha )^{\text{T}}}, \\ \Lambda _3^\alpha = {({{\tilde B}^\alpha })^{\text{T}}}\tilde K_1^\alpha + \tilde K_2^\alpha {Q^\alpha }, \\ \Lambda _4^\alpha = \tilde K_2^\alpha ({{\tilde P}^\alpha } - {{\tilde c}^\alpha }{{\tilde L}^\alpha }) + {({{\tilde P}^\alpha } - {{\tilde c}^\alpha }{{\tilde L}^\alpha })^{\text{T}}}\tilde K_2^\alpha + \lambda \tilde K_2^\alpha , \\ \Lambda _5^\alpha = \Lambda _6^\alpha = - A_l^\alpha \otimes (K_1^\alpha BS_1^\alpha ) - {L^\alpha } \otimes (K_1^\alpha BS_2^\alpha )。\end{array}\right. $

(25)

故式(24)可改写为：

$ \begin{split} &{{\dot V}^\alpha }(t) + \lambda {V^\alpha }(t) \leqslant {[{\kappa ^\alpha }(t)]^T}[\Upsilon _1^\alpha - {\left( {\Upsilon _2^\alpha } \right)^{\text{T}}}[ - \tilde K_1^\alpha \times \\ &\;\;\;\; {(\tilde M_2^\alpha )^{ - 1}}\tilde K_1^\alpha {]^{ - 1}}\Upsilon _2^\alpha ][{\kappa ^\alpha }(t)] - E({{\tilde \chi }^\alpha }(t),\bar u_a^\alpha (t),t)。\end{split} $

(26)

利用舒尔补定理^[10]，可得：$ {\Upsilon ^\alpha } < 0 $。又满足$E({\tilde \chi ^\alpha }(t),\bar u_a^\alpha (t),t) > 0$，且${\Lambda ^\alpha } < 0$，可得：

$ {\dot V^\alpha }(t) + \lambda {V^\alpha }(t) < 0 。$

(27)

由此可知，在$t \in [{l_m},{l_{m + 1}})$时，${\dot V^{\varepsilon (t)}}(t) < - \lambda {V^{\varepsilon (t)}}(t)$能够呈现指数衰减，并且可得到：

$ {V^{\varepsilon (t)}}(t) < {e^{ - \lambda (t - {l_m})}}{V^{\varepsilon ({l_m})}}({l_m})。$

(28)

设计参数$K_1^{{l_{m + 1}}} \leqslant \mu K_1^{{l_m}},K_2^{{l_{m + 1}}} \leqslant \mu K_2^{{l_m}}$，并满足$ {\text{num(}}{l_0},t) \leqslant \ln \mu /{T_k} $，得到：

$ \begin{split} & {V^{\varepsilon (t)}}(t) < {e^{ - \lambda (t - {l_m})}}{V^{\varepsilon ({l_m})}}({l_m})\leqslant \\ &\;\;\;\; {\text{ }} {\mu ^{{\text{num}}\:({l_0},t)}}{e^{ - \lambda (t - {l_m})}} \ldots {e^{ - \lambda {(_1} - {l_0})}}{V^{\varepsilon ({l_0})}}({l_0})\leqslant \\ & \;\;\;\;{\text{ }} {e^{(ln\mu /{T_k} - \lambda )(t - {l_0})}}{V^{\varepsilon \left( {{l_0}} \right)}}({l_0})。\\ \end{split} $

(29)

定义参数$\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\lambda } = \min \{ {\lambda _{\min }}(K_1^\alpha ),\quad {\lambda _{\min }}(K_2^\alpha )\} $，$\bar \lambda = \max \{ {\lambda _{\max }}(K_1^\alpha ),{\lambda _{\max }}(K_2^\alpha )\} $。即可得：

$ \underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\lambda } {\left\| {{{\tilde \kappa }^{\varepsilon (t)}}(t)} \right\|^2} \leqslant \bar \lambda {e^{(\frac{{\ln \mu }}{{{T_k}}} - \lambda )\left( {t - {l_0}} \right)}}{\left\| {{{\tilde \kappa }^{\varepsilon (t)}}\left( {{l_0}} \right)} \right\|^2}。$

(30)

式中：${\tilde \kappa ^\alpha }(t) = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{{[{{\tilde \chi }^\alpha }(t)]}^{\text{T}}}}&{{{[e_w^\alpha (t)]}^{\text{T}}}} \end{array}]^{\text{T}}}$。最终可得：

$ \left\| {{{\tilde \kappa }^\alpha }(t)} \right\| \leqslant \sqrt {\bar \lambda {e^{(\frac{{\ln \mu }}{{{T_k}}} - \lambda )\left( {t - {l_0}} \right)}}//\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{\lambda } } \left\| {{{\tilde \kappa }^\alpha }({l_0})} \right\|。$

(31)

由定理2可知编队系统为指数一致性稳定。

3.2 芝诺行为的排除

定义采样触发误差为：

$ \dot e_\chi ^\alpha (t) = {\dot \tilde \chi ^\alpha }({t_k}) - {\dot \tilde \chi ^\alpha }(t),t \in [{t_k},{t_{k + 1}})。$

(32)

由于事件触发机制为间隔时间采样，所以在$t \in [{t_k},{t_{k + 1}})$内，测量值${\tilde \chi ^\alpha }({t_k})$保持不变。

由上述可知：

$ \left\| {{{\dot \tilde \chi }^\alpha }(t)} \right\| \leqslant \iota \left\| {{{\tilde \chi }^\alpha }(t)} \right\| + \Psi。$

(33)

式中：$\iota = \left\| {{{\tilde A}^\alpha } - \left( {\tilde S_1^\alpha + \tilde S_2^\alpha } \right)} \right\|$。由此可得：

$ \left\| {\dot e_\chi ^\alpha (t)} \right\| \leqslant \iota \left\| {{\chi ^\alpha }(t)} \right\| + \Psi \leqslant \iota \left\| {e_\chi ^\alpha (t)} \right\| + \iota \left\| {{{\tilde \chi }^\alpha }\left( {{t_k}} \right)} \right\| + \Psi 。$

(34)

沿着时间$\left[ {{t_k},t} \right]$积分，由于$e_\chi ^\alpha \left( {{t_k}} \right) = 0$，则：

$ \begin{aligned}&{\displaystyle {\int }_{{t}_{k}}^{t}{e}^{-\iota s}(\Vert {\dot{e}}_{\chi }^{\alpha }(s)\Vert -\Vert {e}_{\chi }^{\alpha }(s)\Vert ){\text d}s\le {\displaystyle {\int }_{{t}_{k}}^{t}{e}^{-\iota s}(\Vert {\tilde{\chi }}^{\alpha }\left({t}_{k}\right)\Vert +\Psi ){\text d}s\text{，}}}\\ &\;\;\;\;\;\; \Vert {e}_{\chi }^{\alpha }(t)\Vert \le (\Vert {\tilde{\chi }}^{\alpha }\left({t}_{k}\right)\Vert +\frac{\Psi }{\iota })({e}^{\iota \left(t-{t}_{k}\right)}-1)。\\[-15pt]\end{aligned} $

(35)

当定义${\bar \varpi ^\alpha }(t_{k + 1}^ - ) = e_\chi ^\alpha (t_{k + 1}^ - )$，$\varpi _{{t_{k + 1}}}^\alpha = {\bar \varpi ^\alpha }(t_{k + 1}^ - )$，

$\theta = \mathop {\arg \min }\limits_k \{ \left\| {\varpi _{{t_{k + 1}}}^\alpha } \right\|/\left\| {{{\tilde \chi }^\alpha }\left( {{t_k}} \right)} \right\| + \frac{\Psi }{\iota }\} $，则间隔${\tau _{\min }}$：

$ {\tau _{\min }} \geqslant \frac{1}{\iota }\ln ({(\left\| {\varpi _{{t_{\theta + 1}}}^\alpha } \right\|/\left\| {{{\tilde \chi }^\alpha }\left( {{t_\theta }} \right)} \right\| + \frac{\Psi }{\iota })_{\min }} + 1) > 0。$

(36)

可得${\tau _{\min }}$恒正，故该事件触发机制可避免芝诺行为。

4 仿真验证 4.1 仿真条件

集群包含1艘领航艇和5艘跟随艇。领航艇的轨迹为：${x_l} = t$，${y_l} = t$。设置无人艇初始状态（见表1）。

设置参数$\mu = 1.2$，$\lambda = 2$，${T_k} = 10\ {\rm s}$。定义初始通信拓扑见图1(a)，图1(b)和图1(c)为2种通信拓扑。

3种编队结构中期望相对位置${(h_{\eta i}^\alpha (t))^{\text{T}}}$设为：

$ h_{xy}^1 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}&{ - 1} \\ 1&{ - 1} \\ { - 2}&{ - 2} \\ 0&{ - 2} \\ 2&{ - 2} \end{array}} \right],h_{xy}^2 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1} \\ 0&{ - 2} \\ { - 1}&{ - 3} \\ 1&{ - 3} \end{array}} \right],h_{xy}^3 = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - 1} \\ 0&{ - 2} \\ 0&{ - 3} \end{array}} \right]。$

(37)

在动态事件触发机制中，可调参数设置为$\sigma = 0.5$，$\delta = 3$。无人艇控制器中的各参数设置为：

$ \left\{\begin{array}{l} {P^1} = {P^2} = {P^3} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0 \\ { - 1}&0&0 \\ { - 1}&1&{ - 1} \end{array}} \right], \\ {c^1} = diag\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.6}&{2.5}&{1.6}&{1.2}&{2.8} \end{array}} \right\}, \\ {c^2} = diag\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1.1}&{2.3}&{2.1}&{1.4} \end{array}} \right\}, \\ {c^3} = diag\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 2&{1.3}&{2.2} \end{array}} \right\}, \\ S_1^\alpha = [\begin{array}{*{20}{c}} {\tilde S_{11}^\alpha }&{\tilde S_{12}^\alpha } \end{array}],S_2^\alpha = [\begin{array}{*{20}{c}} {\tilde S_{21}^\alpha }&{\tilde S_{22}^\alpha } \end{array}], \\ \tilde S_{11}^\alpha = \tilde S_{12}^\alpha = \tilde S_{21}^\alpha = \tilde S_{22}^\alpha = diag\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}& {10}& {10} \end{array}} \right\} 。\end{array} \right. $

(38)

4.2 仿真结果

代入上述参数得到图2～图6的仿真结果。图2展示了集群的实时轨迹，可看出各跟随艇从初始位置出发在五角星位置第一次编队切换，在圆圈位置第二次编队切换，且能够实现编队队形。

图3～图4为跟随艇的速度曲线变化，在各部分共同作用下无人艇的速度逐渐趋于稳定，且2次编队结构切换时刻展现出合理变化以调整编队队形。

图5为无人艇的触发时间间隔，充分反应出该动态事件触发机制能够有效地减轻通信负担。

图6为无人艇动态时间触发函数$\rho (t)$曲线。

由上述仿真图像所知，在扰动观测器、动态事件触发机制和编队切换的共同作用下，集群能够有效地实现在切换拓扑下的编队控制，且效果优异。

5 结　语

本文在切换拓扑的情况下，利用基于成本的切换律以确定切换时刻，构造扰动观测器避免外界干扰，设计动态事件触发机制来减小通信负担。由仿真可知，该方法能够实现无人艇集群的编队控制。