0 引　言

被动定位，尤其是纯方位被动定位，在军事领域中有着重要的应用，如空中平台的静默探测（红外等手段）、水面舰艇的电子战定位（雷达侦察）以及水下声呐被动探测等。其中，面对复杂的海况环境，远距离被动探测声呐精度低、误差大，导致水下纯方位目标跟踪面临着可观测性差，收敛速度慢，目标机动检测延迟时间长等难题，受到了国内外学者的广泛关注。但由于水下应用的特殊性，纯方位目标机动检测跟踪领域公开发表的文献较少，尤其是远距离水面及水下目标远程跟踪警戒应用方面的文献。

现有的纯方位目标跟踪算法主要基于批处理和递推滤波，以最小二乘法^[1]、极大似然估计、Taylor级数运动要素估计为代表的批处理算法广泛应用于非机动目标跟踪当中，许兆鹏等^[2]提出了一种双基阵纯方位匀速直航目标运动分析算法，对扩展卡尔曼滤波算法（Extended Kalman Filter, EKF）和极大似然估计算法（Maximum Likelihood Estimate, MLE）进行了海试验证，从试验层面验证了算法的有效性，且在仿真条件下，MLE算法的收敛速度优于EKF算法。袁富宇等^[3]针对Taylor级数法的奇异性，提出了一种大权值改进方法，并给出初值选取方案，保证了算法迭代计算的收敛性；以Kalman滤波类算法为代表的递推滤波主要应用于机动目标跟踪中，胡雄飞等^[4]提出了一种基于UD迭代扩展卡尔曼滤波（UD Iterative Extend Kalman Filter, UD-IEKF）的纯方位机动目标定位与跟踪算法，降低了线性化误差，提高了滤波精度。肖碧琴^[5]提出一种线性与非线性相结合的算法，将最小二乘估计值作为UKF滤波估计值，缓解了因滤波初值而产生的滤波发散问题。但是，Kalman滤波类算法在远距离纯方位目标跟踪中产生的雅克比矩阵奇异这一问题仍没有得到很好地解决。

机动目标跟踪的另一种解决思路是建立合理的机动模型，典型算法是交互多模型算法^{[6 − 8]}，这种算法无需进行机动检测，直接估计目标当前状态，RISTIC等^[9]提出一种基于IMM-PLE的纯方位机动目标跟踪算法，将伪线性变换与交互多模型结合，但文中目标初速度太大（初速度达650 kn以上），明显针对超音速目标；张俊根^[10]提出一种基于多平台IMM-PF算法，改进了滤波更新阶段，但其仿真条件是目标初速度为250 kn，量测噪声标准差$ {\sigma _B} $=0.01°，不符合远距离水面及水下目标跟踪需要。远距离水面及水下目标的纯方位目标机动检测也可以将注意力集中在对机动时刻的估计上，常用的算法主要有基于方位序列均值变化的累积和算法^[11]，基于方位预测误差序列均值变化的重复利用序列概率似然比检测^[12]等，给纯方位目标机动检测问题的研究带来了多元化思路。

本文提出了一种基于时间节点联合估计的多平台纯方位机动目标跟踪算法，将目标机动时刻看作“时间未知节点”，与目标运动要素联合估计。仿真计算结果表明，该算法针对水面及水下远距离纯方位机动目标跟踪，具有机动检测延迟时间短、检测灵敏度高、目标机动后精度高的优点。

1 多平台目标运动要素与机动时刻联合估计

纯方位机动目标跟踪时，目标运动要素及机动时刻的联合估计量为：

$ X = {({x_0}{\text{ }}{y_0}{\text{ }}{V_x}{\text{ }}{V_y}{\text{ }}\Delta {V_x}{\text{ }}\Delta {V_y}{\text{ }}{t_m})^{'}} 。$

(1)

其中：$ {\left( {{x_0},{y_0}} \right)^{'}} $为目标初始位置；$ {\left( {{V_x},{V_y}} \right)^{'}} $为目标初始速度；$ {\left( {\Delta {V_x},\Delta {V_y}} \right)^{'}} $为机动后目标速度变量；$ {t_m} $为待估计的目标机动时刻。估计模型为平台关于目标的方位量测方程：

$ {B}_{i,k}=actg\frac{{x}_{0}+{V}_{x}\cdot \Delta {t}_{k}+\Delta {V}_{x}\cdot {({t}_{k}-{t}_{m})}_+-{x}_{oi}}{{y}_{0}+{V}_{y}\cdot \Delta {t}_{k}+\Delta {V}_{y}\cdot {({t}_{k}-{t}_{m})}_+-{y}_{oi}}+{\varepsilon}_{i,k} 。$

(2)

其中：$ {\left( {{x_{o,i}} , {y_{o,i}}} \right)^{'}} $为平台位置坐标（为简单起见，假定观测平台静止不动，$ i = 1, \cdots ,p $）；$ \Delta {t_k} $（$ k = 1, \cdots ,n $）为目标当前时刻与初始时刻的时间差，即$ \Delta {t_k} = {t_k} - {t_0} $，$ {\varepsilon _{i,k}} $为量测噪声，而

$ {\alpha _ + } = \left\{ \begin{gathered} \alpha，\alpha > 0，\\ 0，\alpha \leqslant 0。\\ \end{gathered} \right. $

(3)

在合理范围内选取状态初值$ {X_0} $，在$ {X_0} $处对方位$ {B_{i,k}} $一阶Taylor展开：

$ {B}_{i,k}={B}_{i,k}({X}_{0})+\nabla {B}_{i,k}({X}_{0})\cdot dX+{\varepsilon}_{i,k}。$

(4)

式中：$ dX $为估计值与状态初值的迭代差值，即$ dX = \hat X - {X_0} $,$ \nabla {B_{i,k}} $为$ {B_{i,k}} $在X0处的偏导数。

令

$ {z_{i,k}} = {B_{i,k}} - {B_{i,k}}({X_0})，$

(5)

$ {H_{i,k}} = \nabla {B_{i,k}}({X_0})，$

(6)

结合式(4)～式(6)，由线性加权最小二乘解得

$ dX = {\left(\sum\limits_{i = 1}^p {\sum\limits_{k = 1}^n {{w_{i,k}}H_{i,k}^{'}} } {H_{i,k}}\right)^{ - 1}}\left(\sum\limits_{i = 1}^p {\sum\limits_{k = 1}^n {{w_{i,k}}H_{i,k}^{'}{{\tilde z}_{i,k}}} } \right)，$

(7)

$ {w_{i,k}} $为加权系数，重复迭代，下一轮迭代值为

$ {X_1} = {X_0} + dX。$

(8)

直到迭代收敛。

2 目标运动要素与机动时刻分段估计

相较于匀速直航状态估计（目标状态为4维：$ {\left( {{x_0},{y_0},{V_x},{V_y}} \right)^{'}} $），在进行机动目标状态估计时，机动时刻的迭代分量$ d{t_m} $在迭代过程中出现震荡收敛情况，这里用一个仿真来进行说明：目标初始距离30 km，机动前后速度$ {V_0} $=21 kn，$ {V_1} $=18 kn，机动前后航向$ {C_{T0}} = {90^ \circ } $，$ {C_{T1}} = {60^ \circ } $，机动时刻t_m=6 min，观测时间T=8 min，目标机动时刻与运动要素联合估计模型的dt_m分量变化如图1所示，在应范围内呈现震荡收敛。

为了缓解这一情况，本文又提出了目标运动要素与机动时刻两阶段估计模型。具体算法如下，把目标机动前后运动要素及机动时刻拆分为2组参数：

$ {X_1} = {({x_0}{\text{ }}{y_0}{\text{ }}{t_m})^{'}}，$

(9)

$ {X_2} = {({V_x}{\text{ }}{V_y}{\text{ }}\Delta {V_x}{\text{ }}\Delta {V_y})^{'}}。$

(10)

步骤1　联合估计目标两段运动要素及机动时刻$ {x}_{0}、{y}_{0}、{V}_{x}、{V}_{y}、\Delta {V}_{x}、\Delta {V}_{y}、{t}_{m} $。

步骤2　将$ {x}_{0}、{y}_{0}、{t}_{m} $当作已知参数，把$ {V_x} $$ 、{V}_{y}、\Delta {V}_{x}、\Delta {V}_{y} $作为待估计参数。

步骤3　再将估计的$ {V_x} $$ 、{V}_{y}、\Delta {V}_{x}、\Delta {V}_{y} $看作已知参数，把$ {x}_{0}、{y}_{0}、{t}_{m} $作为待估计参数进行估计。

步骤4　返回步骤2，进行反复迭代，直到迭代收敛。

改进后２种估计模型的$ {\mathrm{d}}{t_m} $迭代过程如图2所示，收敛振幅有显著的缩小。

3 目标机动判别

在机动检测前，首先对基于时间节点联合估计的纯方位目标跟踪结果进行一番考察。选取4种仿真态势：只变速机动、只变向机动、变速变向机动、匀速直航；以大地直角坐标系为例，具体态势参数如下：

以双观测平台为例，平台1、平台2的位置坐标为P₁(0,0)、P₂ (15,0)，单位：km，假定平台静止不动。目标方位采样间隔$ \Delta t = 1 $ s，初始时刻目标位置在y轴上，与观测平台1的初始距离为$ {D_0} $，方位量测误差均方根$ {\sigma _B} = {1^ \circ } $，目标发生机动时刻皆为t_m=6 min。

态势1（只变速机动）：$ {D_0} $=30 km，目标航向90°，机动前目标速度18 kn，机动后目标速度25 kn，目标总航向时间T=8 min。

态势2（只变向机动）：$ {D_0} $=30 km，目标机动前航向为90°，机动后航向45°，机动前后目标速度18 kn，目标总航行时间T=8 min。

态势3（变速变向机动）：$ {D_0} $=30 km，目标机动前航向为90°，目标机动后航向为45°，机动前目标速度18 kn，机动后目标速度为25 kn，目标总航行时间T=8 min。

态势4（不机动）：$ {D_0} $=30 km，目标航向90°，目标速度18 kn，目标总航行时间T=8 min。

迭代初值选取如下：目标初距$ {D_0} $=18 km，目标速度25 kn，目标初始航向C_T1=45°，目标速度变量迭代初值∆V=0，机动时刻迭代初值$ {\hat t_m} $=300 s。每组态势仿真10000次，统计机动时刻估计均值$ {E_{{{\hat t}_m}}} $和均方差$ {\sigma _{{{\hat t}_m}}} $。仿真结果如表1所示。

结果表明，基于时间节点联合估计模型的目标机动时刻估计算法针对3种机动形式下的态势，机动时刻估计均值在真实时刻附近，但对于匀速直航态势，在每一次航路中估计得到的机动时刻估计值为不合理数值，这里选取其中的40组估计结果，结果见表2。

结果表明，目标匀速直航时，估计得到的机动时刻估计值与真实机动时刻相差甚远，甚至出现负值的情况，这是由于在匀速直航态势下算法迭代过程不收敛导致的。分析估计匀速直航目标时${\mathrm{d}}{t_m} $迭代过程和目标机动时的$ {\mathrm{d}}{t_m} $的迭代过程，如图3所示。

可知，当目标机动时，$ {\mathrm{d}}{t_m} $的迭代过程逐渐收敛，目标匀速直航时，$ {\mathrm{d}}{t_m} $的迭代过程震荡发散。对每组态势仿真10000次，统计每组航次中$ {\mathrm{d}}{t_m} $的均方根$ MS{E_{{\mathrm{d}}{{\hat t}_m}}} $，其中$ MS{E_{{{\hat t}_m}}} = \sqrt {\displaystyle\frac{1}{{ite\_num}}\sum\limits_{j = 1}^{ite\_num} {{{({{\hat t}_{m,j}} - {E_{{{\hat t}_m}}})}^2}} } $，ite_num为迭代次数，表3为随机选取的部分结果。

表中，当目标机动时，$ {\mathrm{d}}{t_m} $分量的均方根$ MS{E_{d{{\hat t}_m}}} $远远小于目标匀速直航时的$ MS{E_{{\mathrm{d}}{{\hat t}_m}}} $。综上，提出机动检测判别规则如下：

$ \left\{\begin{array}{l} (MS{E}_{{\mathrm{d}}{\widehat{t}}_{m}} < 100)\cap ({\widehat{t}}_{m} > 0)\cap ({\widehat{t}}_{m} < T)\quad 目标机动，\\ (MS{E}_{{\mathrm{d}}{\widehat{t}}_{m}} > 100)\cup ({\widehat{t}}_{m} < 0)\cup ({\widehat{t}}_{m} > T)\quad 目标不机动。\end{array} \right.$

4 仿真分析 4.1 评价指标及算例态势

仿真统计分析算法的虚警率、机动检测率、机动时刻估计精度以及机动后段跟踪精度。虚警率：在目标匀速直航时，误检为机动的概率；机动检测率：每组态势仿真N次，在目标机动后t分钟内检测到n次机动，则该组态势在机动后t分钟内的机动检测率为$ \displaystyle \frac{n}{N} \times 100\text% $；机动时刻估计精度：估计机动时刻$ {\hat t_m} $，则$ \Delta {t_m} = \left| {{{\hat t}_m} - {t_m}} \right| $，机动时刻估计误差用其均值表示：$ {E_{\Delta {t_m}}} = \displaystyle \sum\limits_{i = 1}^N {\Delta {t_{mi}}} /N $；机动后段跟踪精度：位置误差$ {\rm d}{D_k} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{{({{\hat D}_k} - r{D_k})}_i}} /N $，航向误差$ {\rm d}C_T^k = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{{(\hat C_T^k - r{C_T})}_i}} /N $，速度误差$ {\rm d}{V_k} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^N {{{({{\hat V}_k} - rV)}_i}} /N $，其中$ {\hat D_k}、\hat C_T^k、{\hat V_k} $分别为在$ {t_k} $时刻的目标速度、航向、距离估计值。仿真算例态势如下。

匀速直航：目标初始航向90°，速度18 kn，目标初距分别为30、40、50 km，量测噪声$ {\sigma _B} $=1°，目标总航行时间为8 min。

只变速机动：目标初始航向90°，初始速度15 kn，目标初距分别为30、40、50 km，机动后速度增量$ \Delta v $=3～11 kn，量测噪声$ {\sigma _B} $=1°，机动时刻t_m=6 min。总观测时间为8 min。

变向机动：目标初始航向90°，初始速度15 kn，目标初距分别为30、40、50 km，机动转角$ \alpha $=30～90°，量测噪声$ {\sigma _B} $=1°，机动时刻$ {t_m} $=1 min，目标总航行时间为8 min。

迭代初值选取：由于基于时间节点联合估计的机动目标跟踪算法是对所有运动要素及机动时刻一起估计，需要对目标初距D₀，目标机动前速度V_x0、V_y0，目标机动时刻t_m，目标机动后速度增量∆ V_x、∆V_y同时赋初值，迭代初值选取情况如下：目标初距D₀在[6,30]km区间内随机选取。初始时刻速度V₀在[8,30]kn区间内随机选取，初始航向C_T1在[0°,360°]区间内随机选取。机动时刻t_m初值选取值固定为300 s，机动后速度增量初值为∆V_x=∆V_y =0。

4.2 仿真结果及分析

1）匀速直航虚警率

在上述仿真条件下，算法分别在T=5、6、7 min启动，对目标进行机动检测。每组态势仿真10000次，统计2种机动目标估计模型的虚警率。最大迭代次数为20次。表4为统计的结果。

结果表明，在目标初始距离30～50 km，速度18 kn，量测噪声1°的态势下，提出算法的虚警率最高为3.52%，在远距离（目标初距50 km）短时跟踪（跟踪时间小于6 min）有较大的优势。但机动检测算法的虚警率不随目标初距变短以及跟踪时间的延长而降低，在1%～2%左右，究其原因，可能是dt_m分量与其他分量存在非线性乘积关系，且目标不机动时dt_m本身具有随机性，即使产生不合理的数值，仍然有几率落入判别机动的条件中。

2）机动检测率

为验证目标初始距离、速度、机动转角等因素变化对机动检测结果的影响，统计联合估计模型和分段估计模型的机动检测率。其中表5为只变速机动条件下的机动检测率，表6为变向机动条件下的机动检测率，观测时间T=6.5、7、7.5、8 min，即统计目标机动后0.5、1、1.5、2 min内算法的机动检测率。

表5、表6的结果表明，该算法的机动检测率在目标初距30～50 km、速度变量不小于3 kn，自动转角不小于30°的态势下，目标机动后2 min时的机动检测率为100%。

3）机动时刻估计精度

统计不同距离、不同速度增量、不同机动转角下机动时刻估计精度。

① 只变速的机动时刻估计精度

图4为目标初距对2种估计模型下机动时刻估计误差的影响，仿真参数：目标初距D₀在30～50 km范围内变化，目标机动前速度V₁=18 kn，目标机动后速度V₂=23 kn，目标机动前后航向C_T1=C_T2=90°，量测噪声σ_B=1°。

图5为速度增量对2种估计模型下机动时刻估计精度的影响，仿真参数：目标初距30 km，初始速度18 kn，速度增量在3～12 kn范围内变化，机动前后航向90°，量测噪声为1°。

只变速态势下，目标初距在30～50 km范围变化时，联合估计模型的机动时刻估计精度在9.11～16.5 s范围内，分段估计模型的估计精度在8.9～15.1 s范围内；在速度增量在5～12 kn范围内变化时联合估计模型和分段估计模型的估计精度分别为10.3 s～3.91 s和9.5～3.83 s。仿真结果表明，算法针对目标初距30～50 km，速度变量不低于3 kn的态势，可以有效对机动时刻进行估计，尤其是分段估计模型，有效抑制了估计机动时刻迭代分量dt_m在迭代过程中产生的震荡情况。

② 只变向的机动时刻估计精度

图6为目标初距对机动时刻估计精度的影响，仿真参数：目标初距30～50 km范围变化，机动前速度18 kn，机动后速度21 kn，机动前航向90°机动后航向45°，量测噪声1°。

图7为目标初始速度对机动时刻估计精度的影响，仿真参数：目标初距30 km，初始速度在10～18 kn范围变化，速度增量3 kn，机动前航向90°，机动后航向45°量测噪声1°。

图8为目标变向转角对机动时刻估计精度的影响，仿真参数为：目标初距30 km，机动前速度18 kn，机动后速度21 kn，机动前航向90°机动转角α在−60°～60°范围内变化，量测噪声1°。

变速、变向态势下，在上述仿真参数范围内，算法的机动时刻估计误差均在15 s以内，仿真结果表明，该机动检测算法能够有效地对机动转角不小于30°的目标进行检测和机动时刻估计。

4）机动后目标跟踪精度

为验证该算法对机动后目标跟踪效果的影响，对典型态势进行仿真，目标态势参数为：目标初距30 km，机动前后速度$ {V_1} $=18 kn、$ {V_2} $=21 kn，机动前后航向$ {C_{T1}} $=90°、$ {C_{T2}} $=145°，机动时刻$ {t_m} $=6 min，量测方位噪声$ {\sigma _B} $=1°，观测时间为500～710 s，仿真10000次，统计机动后目标位置误差$ {\rm d}{D_k} $，速度误差$ {\rm d}{V_k} $，航向误差$ {\rm d}C_T^k $，图9～图11为2种跟踪模型的跟踪位置误差、速度误差和航向误差。

仿真结果表明，在上述仿真态势下，2种模型在机动后2～7 min时间内均有不错的跟踪性能表现，且运动要素与机动时刻分段估计模型收敛速度更快，直到机动后6 min后，二者的跟踪精度相近。这表明基于时间节点联合估计模型可以利用机动前后的方位序列来估计目标的运动要素，具有机动检测速度快，机动时刻估计精度高，跟踪误差小的优点。

5 结　语

本文针对中远距离纯方位目标机动检测问题，提出了一种基于时间节点联合估计的多平台纯方位机动目标跟踪算法，将目标机动时刻看作 “时间未知节点”，与机动前后目标运动要素联合估计，建立了目标运动要素与机动时刻联合估计模型和目标运动要素与机动时刻分段估计模型。仿真结果表明，在仿真条件下，算法的虚警率低于3%；在速度增量不低于5 kn、机动转角不低于30°、机动检测延迟时间1.5 min内的条件下，机动检测率达95%以上，机动时刻估计误差低于15 s。机动后2 min的跟踪位置误差小于1%，速度误差小于1.5 kn，航向误差小于4°。具有机动检测速度快、估计机动时刻精度高、跟踪误差小的优点。