2. 河北省工业机械手控制与可靠性技术创新中心,河北 沧州 061001
2. Hebei Industrial Manipulator Control and Reliability Technology Innovation Center, Cangzhou 061001, China
船舶轴系不但需要承担自身的重量,还需要承受来自船舶柴油机的负荷、船舶螺旋桨的推力以及船体本身的振动变形等动态以及静态的载荷[1]。除此之外,随着船舶技术快速发展,船体不断地大型化,例如船舶轴承直径和长度这些尺寸数据不断的增大,这进一步提升了船舶轴承承受的载荷的复杂性,所以需要监测船舶轴承负荷情况,以避免船舶故障的发生[2]。船舶轴系工作状态通过轴承动载荷来体现,作为船舶轴系工作状态的重要指标,轴承动载荷不但能够对船舶轴系的工作状态进行检测,还能够对船舶的轴系校中质量进行评价,因此对船舶的轴系的性能评价有着重要意义[3]。由于缺乏测量工具,当前对于船舶轴承动载荷的测量工作进行得比较少[4]。本文借助有限元仿真技术,对船舶的轴承承载进行仿真分析,这有助于我国船舶轴承技术的快速发展。
1 有限元仿真技术 1.1 有限元计算理论有限元技术以Newmark法为基础,对刚度矩阵进行转置操作,以此来达到增量转换的目的,并且模型的线性解算通过逼近原理来实现。在隐式算法中需要对刚度矩阵进行逆运算,因此要求刚度矩阵为非奇异矩阵,否则,在大变形情况下,计算结果无法收敛[5]。对于高动态模型,通常基于微积分对增量步进行解算,以便能够得到模型的动态状况。当模型处于运动状态的时候,其全局系统下的离散方程如下式:
$ {\boldsymbol{M}}{\ddot u_n} + K\left( {{u_n}} \right){u_n} = {R_n}。$ | (1) |
式中:un为位移矢量;M为质量矩阵。基于中心差分变换,能够得到下式:
$ {u_{n + 1}} = {u_n} + \Delta {t_{n + 1}}{\dot u_n} + \frac{1}{2}\Delta t_{n + 1}^2{\ddot u_n}\text{,} $ | (2) |
$ {\dot u_{n + 1}} = {\dot u_n} + \frac{1}{2}\Delta {t_{n + 1}}\left( {{{\ddot u}_{n + 1}} + {{\ddot u}_n}} \right)\text{,} $ | (3) |
$ K_nu_n=\sum\limits_i\int_{V^{\left(l\right)}}B_n^{\mathrm{T}}S_n\mathrm{d}V。$ | (4) |
根据上述公式可得:
$ \left( {\frac{1}{{\Delta {t^2}}}M} \right){u_{n + 1}} = {R_n} - \sum\limits_i {F_n^i} - \frac{1}{{\Delta {t^2}}}\left( {{u_{n - 1}} - 2{u_n}} \right)\text{。} $ | (5) |
式中:
基于式(5),则可以获得形变位移矩阵在t时刻的数学表达式:
$ _0^tB_L^{\left(k\right)}=_0^tB_{L_00}^{\left(k\right)t}X^{\mathrm{T}}。$ | (6) |
通过对式(6)中的变形梯度
$ {}^t{\hat F^{\left( m \right)}} = \int_{{0_V}} {{}_0^t} B_L^{{\mathrm{T}}_0^t}\tilde S{{\mathrm{d}}^0}V。$ | (7) |
在进行有限元分析的时候,一般采用节点接触法计算离散化的接触问题,该方法是把单边接触转变为面接触,利用离散化的方法进行解算,如下式:
$ {\hat X^m}\left( \zeta \right) = X_1^m + \left( {X_2^m - X_1^m} \right)\zeta 。$ | (8) |
归一化处理之后的切线矢量的计算方法如下式:
$ {t_m} = \frac{1}{e}\hat X (\xi ) 。$ | (9) |
式(9)中的
$ \mathop X\limits^ \wedge (\xi ) = X_2^m - X_1^m \text{,} $ | (10) |
$ e = \left\| {X_2^m - X_1^m} \right\|。$ | (11) |
从面节点和主面之间的最小间隔:
$ {g_N} = \left[ {{X^s} - \left( {1 - \bar \zeta } \right)X_1^m - \bar \zeta X_2^m} \right]{n_m}。$ | (12) |
式中:nm为单元的法向矢量。并且从面节点的投影坐标计算方法如下:
$ \bar \zeta = \frac{{\left( {{X^s} - X_1^m} \right){t_m}}}{e}。$ | (13) |
将点和面之间的接触转变成平衡方程的模型,如式(14)所示,式中aN为罚函数系数。同时法向力矢量可以通过式(15)来计算。
$ {t_N} = {a_N}{g_N}\text{,} $ | (14) |
$ t = {t_N}{N_m}\text{。} $ | (15) |
船舶的轴承是由高强度以及高模型的刚性材料构成的,并且不容易变形[6]。因此为了能够得到精确的船舶轴承模型特征,则需要对船舶轴承的有限元模型匹配最精确的模型参数,这是船舶轴承有限元解算的关键步骤,对后续有限元仿真的结果的精确有着决定性的作用[7]。船舶轴承的应变数学模型可以用下式表示:
$ S = \frac{{\partial U\left( F \right)}}{{\partial F}}。$ | (16) |
式中:S为形变量。船舶轴承的本构方程有多种形式,其广义的表现形式如下式:
$ U = \sum\limits_{i + j}^N {{C_{ij}}{{\left( {{{\bar I}_1} - 3} \right)}^i}{{\left( {{{\bar I}_2} - 3} \right)}^j} + \sum\limits_{i = 1}^N {\frac{1}{{{D_i}}}{{\left( {{J_{el}} - 1} \right)}^{2i}}} } 。$ | (17) |
式中:Cij为剪切性能;Di为可压缩性系数。
以熵统计理论为基础,可以构建出船舶轴承的本构模型,其剪切模型的表达式如下式:
$ U' = \mu \left[ {\lambda _m^2\ln \left( \eta \right)\alpha \left( {\frac{{\bar I}}{2}} \right)} \right] + \frac{1}{D}\left[ {\frac{{J_{el}^2 - 1}}{2} - \ln {J_{el}}} \right]。$ | (18) |
式中:
$ \bar I = \left( {1 - \beta } \right){\bar I_1} + \beta {\bar I_2}\text{,} $ | (19) |
$ \eta = \sqrt {\frac{{\bar I - 3}}{{\lambda _m^2 - 3}}}。$ | (20) |
船舶轴承长时间工作之后会出现Mullins效应。在Mullins效应方程中,应变能密度的计算方法如下式:
$ W\left( F \right) = \left( {1 - d} \right){W_0}F。$ | (21) |
式中:F为船舶轴承的形变梯度;d为船舶轴承的损伤系数,其数值大小如下式:
$ d = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {d\left( x \right)},{x > 0} ,\\ {d\left( {\max \left[ {x\left( s \right)} \right]} \right)},{{\mathrm{others}}} 。\end{array}} \right. $ | (22) |
船舶轴承的Mullins效应可以通过引入损伤参数κ来模拟,其计算方法如下式:
$ \kappa = 1 - \frac{1}{r}erf\left[ {\frac{1}{m}\left( {{W_m} - \bar W\left( {{\lambda _1},{\lambda _2}} \right)} \right)} \right]\text{。} $ | (23) |
船舶轴承应力应变拟合曲线如图1所示。可知,随着应变的变大,船舶轴承受到的应力也变大。
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图 1 船舶轴承本构模型的应力应变曲线 Fig. 1 Stress-strain curve of ship bearing constitutive model |
在仿真过程中,船舶轴承的转动利用电机来驱动,并且电机的驱动扭矩通过估算的方法确定。本文利用吸工装置来吸收轴承传递给螺旋桨的驱动力,以此来替代螺旋桨。激励频率一般通过轴频和电机级数相乘得到,并且电机在工作过程中的扭振激励可以表示为:
$ {M_m} = \beta {M_e}\sin \left( {p\omega t + \varepsilon } \right)。$ | (24) |
船舶螺旋桨的激振扭矩可以以函数级数的形式来描述,并且函数的基频可以表示为:
$ {M_x} = {M_0} + \sum\limits_{k = 1}^\infty {{M_{k{Z_p}}}\sin \left( {k{Z_p}\omega t + {\varepsilon _{k{Z_p}}}} \right)}。$ | (25) |
考虑到式中的相位角取决于船舶尾部的伴流系数,但是船舶尾部的伴流系数很难确定,因此螺旋桨的激振扭矩的经验计算式为:
$ {M_{{Z_p}}} = \beta {M_0}。$ | (26) |
船舶螺旋桨的激励扭矩计算式为:
$ {M_{v{z_p}}} = 9549.3\beta \frac{p}{{v{n_p}}}{\left( {\frac{{vn}}{{v{n_p}}}} \right)^2}\text{。} $ | (27) |
利用有限元仿真软件Ansys对船舶轴承动力学模型进行构建。在50 r/min工况下,船舶轴承的仿真结果如图2~图4所示。由图2可知,船舶的角加速度在0.0125~0.01565°/s2之间波动。由图3可知,船舶的角速度在300°/s上下波动。可以看出,船舶的轴承角速度并没有无限制的往上涨,而是维持在一定的数值上下波动,这是因为船舶轴承在转动过程中需要克服阻力做功。由图4可知,受力最大值可达37 N。
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图 2 船舶轴承的角加速度曲线 Fig. 2 Angular acceleration curve of ship bearings |
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图 3 船舶轴承的角速度 Fig. 3 Angular velocity of ship bearings |
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图 4 船舶中间轴承径向受力曲线 Fig. 4 Radial force curve of ship′s intermediate bearing |
模型中钢的参数主要涉及轴承密度、泊松比等,设置的划分大小为100 mm,并且对船舶轴承模型添加相应的约束以及载荷,包括轴承的约束、螺旋桨的驱动力以及重力。添加完船舶轴承系统的外部激励之后,船舶轴承振幅随频率变化的曲线如图5所示,可以看出最大振幅可达0.35 mm。
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图 5 船舶轴承振动幅值随频率变化曲线 Fig. 5 Frequency dependent curve of vibration amplitude of ship bearings |
任何机械结构均存在固有频率,通常情况下机械结构的固有频率和其自身的质量以及刚度相关。船舶轴承的固有频率的计算方法如式(28)所示,可知,影响船舶轴承固有频率的因素主要有螺旋桨质量和轴承的刚度。仿真得到的船舶纵振频率随轴承刚度的变化曲线如图6所示。可知,纵振频率随着轴承钢度的增大而变大。
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图 6 不同轴承刚度下纵振频率的变化曲线 Fig. 6 The variation curve of longitudinal vibration frequency under different bearing stiffness |
$ \omega = \frac{1}{{2{\text{π}}}}\sqrt {\frac{{{K_{th}}}}{m}}。$ | (28) |
图7为船舶轴承垂向承受的最大压力随转速的变化曲线。可知,在船舶轴承转速为150 r/min时,船舶轴承的垂向受力的最大值出现了最小的情况。
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图 7 船舶轴承垂向承受的最大压力随转速的变化曲线 Fig. 7 The variation curve of the maximum vertical pressure borne by ship bearings with rotational speed |
图8为船舶轴承受力随轴承弹性模量的变化曲线。可知,随着弹性模量的增大,船舶轴承受到的应力也随之变大。
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图 8 船舶轴承受力随轴承弹性模量的变化曲线 Fig. 8 The variation curve of ship shaft bearing force with bearing elastic modulus |
船舶的轴系负荷太大或者振动太强的时候,船舶的轴承会出现部分磨损甚至损坏,严重的情况下可能会出现船舶轴承断裂。各类船舶朝着大型化的方向发展,这使得船舶轴承的各项尺寸均会变大,并且随着船舶尾部的刚度降低,船舶轴承受到的应力负荷将会变得更加复杂,因此船舶轴系的振动会产生更加严重的后果。本文基于有限元仿真技术,对船舶轴承承载进行了仿真,这有助于促进我国船舶轴承技术的快速进步。
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