0 引　言

系统建模与模型辨识（模型参数估计）是一切控制问题的基础^[1]。建立水下航行器的高精度数学模型对其总体设计和性能预报起着至关重要的作用，常用的建模方法包括黑箱建模、白箱建模（也称为机理建模）和灰箱建模^[2]。黑箱建模是在不清楚系统内部结构和运行机理情况下，通过系统输入和输出寻求其模型各状态之间映射关系的一种建模方法，具有代表性的方法包括人工神经网络^[3-4]、支持向量机^[5-6]，近来也有学者采用局部加权学习^[7]以及支持向量机与粒子群优化相结合^[2]的方法。黑箱建模关注输入和输出之间的映射关系，而不需要深入理解模型机制，它通常通过实验或数据采集来确定模型参数，可以有效地处理复杂的系统，目前主要用于各种新研发的具有不同线性、不同操控和推进方式的新型水下航行器。这类航行器的原型通常都不是潜艇或鱼雷式，水动力构成及变化机理复杂难测，甚至具有随机性，难以用一般数学模型进行描述，只能采用黑箱建模方法得到输入输出之间的关系，指导其特定工况下的设计和性能计算，因而采用该方法要实现其全工况精确建模以及性能的准确预报还非常困难。

出于减小阻力以及操纵性方面的要求，水下航行器多采用成熟的鱼雷式外型，现代潜艇还通常设计为水滴型或长水滴型。对于具备此种外型的水下航行器，学者们进行了更为广泛深入的研究，通过分析机动过程的水动力产生机理来构建各个变量之间的数学关系，相应提出了一些标准数学模型^[8-9]。1967年美国海军舰船研究与发展中心（DTNSRDC）发表了的《用于潜艇模拟研究的标准运动方程》^[8]，被认为最具权威性，并被国际拖曳水池会议（ITTC）所采纳，目前我国水下航行器操纵性研究主要是以其为基础展开。通过机理建模方法建立此类水下航行器数学模型时，确定模型方程中的各项水动力系数是影响建模精度的关键因素。水动力系数可采用试验测定、理论计算、计算流体力学（CFD）等方法来确定。试验测定方法通过定制水下航行器的缩比模型^[10]，并开展一系列约束船模试验来获取水动力系数，测得的水动力系数被工程应用广泛接受，可信度最高。但是试验方法需要耗费大量的人力物力，且费用昂贵，试验中存在尺度效应使其应用受限；理论计算方法，如基于小展弦比机翼理论、细长体理论等直接推导水动力系数，为了能够满足公式求解，计算中必须进行一些必要假设，因而，难以实现航行器的精确性能预报；计算流体力学（CFD）方法采用三维操纵性数字水池模拟测试潜艇的水动力系数^[11]，算法的选取、网格的划分、边界条件的设置对其求解精度的影响较大，且计算结果仍然需要得到水动力试验的验证，对于附体较多、外形复杂的水下航行器，仍然显得无能为力。

大量文献研究表明系统辨识（System Identification，SI）技术是建立系统数学模型的有效途径之一，可以在已知输入和输出的情况下，确定模型的结构或估计模型中的参数。对于潜艇以及大部分水下航行器，由Gertler等^[8]给出的标准数学模型结构已成为业界标准，并积累了较为丰富实践成果，因而研究的重点在于其参数的辨识。相应的研究成果也表明了系统辨识用于水下航行器运动建模的可行性^[12-13]，其优势在于能够以相对较小的代价在线或离线辨识出高精度的水动力系数，因而逐渐成为获取水下航行器水动力系数的一种强大且实用的方法^[14-15]。基于试验数据，将模型试验和系统辨识相结合是建立系统精确数学模型的有力手段^[16]，也是美国海军对潜艇运动建模与仿真发展的主流。本文综述了水下航行器模型辨识采用的三类典型方法，包括最小二乘法、人工智能与卡尔曼滤波算法，重点分析了相关算法的应用进展，优势与特点，并对水下航行器模型参数辨识技术未来的发展方向进行了展望。

1 基于最小二乘法的参数识别技术

在系统辨识领域，最小二乘法（Least Squares Algorithm，LS算法）是一种最基本且行之有效的方法^[17]，具有执行效率高、计算与存储量小、易于实现在线辨识等特点。如果辨识系统的输入、输出信息可以连续获取，通常希望随着时间的推移，参数估计值可以在原有的基础上，根据不断更新的信息进行递推估计，由此提出了递推最小二乘法（Recursive Least Squares Algorithm，RLS算法）。

考虑如下回归模型：

$ y\left( t \right) = {{\boldsymbol{\varphi }}^{\rm{T}}}\left( t \right){\boldsymbol{p}} + v\left( t \right) 。$

(1)

其中： $ y \in R $ 为系统输出向量； $ {\boldsymbol{\varphi }} \in {R^n} $ 为系统输入输出数据构成的信息向量； $ {\boldsymbol{p}} \in {R^n} $ 为待辨识参数向量； $ v \in {\boldsymbol{R}} $ 为随机干扰噪声。当 $ t \leqslant 0 $ 时， $ y\left( t \right) = 0 $ ， $ {\boldsymbol{\varphi }}\left( t \right) = 0 $ ， $ v\left( t \right) = 0 $ 。

构造目标函数 $J\left( {\boldsymbol{p}} \right) = {\left\| {y\left( t \right) - {\varphi ^{\rm{T}}}\left( t \right){\boldsymbol{p}}} \right\|^2}$ ，通过目标函数 $ J $ 对参数向量求偏导，得到RLS算法：

$ {\boldsymbol{\hat p}}\left( t \right) = {\boldsymbol{\hat p}}\left( {t - 1} \right) + {\boldsymbol{P}}\left( t \right){\boldsymbol{\varphi }}\left( t \right)e\left( t \right) ，$

(2)

$ e\left( t \right) = y\left( t \right) - {{\boldsymbol{\varphi }}^{\rm{T}}}\left( t \right){\boldsymbol{\hat p}}\left( {t - 1} \right)，$

(3)

$ {{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}\left( t \right) = {{\boldsymbol{P}}^{ - 1}}\left( {t - 1} \right) + {\boldsymbol{\varphi }}\left( t \right){{\boldsymbol{\varphi }}^{\rm{T}}}\left( t \right)。$

(4)

其中： $ {\boldsymbol{\hat p}}\left( t \right) $ 为t时刻 $ {\boldsymbol{p}} $ 的估计； $ e\left( t \right) $ 为新息； $ {\boldsymbol{P}}\left( t \right) \in {{\boldsymbol{R}}^{n \times n}} $ 为协方差矩阵。

上述RLS算法，以及为了解决其在某一领域应用时存在问题而改进优化后的算法，被大量应用于舰船和水下航行器的参数辨识领域。龚涛等^[18]针对经典最小二乘法辨识精度对基础数据量依赖性较高、辨识误差较大的问题，提出了改进的递推式最小二乘法来解决无人航行器的参数辨识问题，在数据量较小的情况下，算法能够取得更快的收敛速度和更高的辨识精度。姜晓政等^[19]针对递推最小二乘算法进行参数辨识时，由于辨识参数过多存在的“参数相消效应”，通过分步辨识策略对无人艇的模型参数进行辨识，获取了更高的辨识精度。朱红坤等^[20]针对传感器测量值存在观测误差时，导致动力学模型参数辨识精度降低的问题，将测量传感器数据予以融合，在总体最小二乘的框架下提出了新的水下机器人动力学模型辨识算法，有效改善模型参数辨识精度。林子淇^[21]采用加权最小二乘算法对不同时刻数据的可信任程度加以区别，以“海灵”号 AUV海试试验数据为基础，分水平面、垂直面对其进行水动力系数进行了辨识和分析。秦余钢等^[22]立足于提高RLS算法的辨识精度和速度，采用迭代思想并引入P型学习，但是迭代学习使算法变得复杂，效率降低。

式（2）～式（4）所给出的RLS算法，数据更新时仅利用了当前系统信息，导致辨识精度较低和收敛速度慢^[23]。丁锋^[24]提出多新息最小乘算法（Multi-innovation Least Squares Algorithm，MILS算法），每次递推时，采用一定长度的多新息向量替代单新息标量，从而提高数据的使用效率，在保证足够精度的前提下，提高在线辨识的收敛速度。朱胜庭等^[25]比较了MILS、RLS 和LS 用于水下机器人动力学模型辨识的仿真实验结果，证明了MILS算法的可行性与优越性。谢朔等^[26]将MILS引入到船舶二阶非线性响应模型的参数辨识中，并与RLS进行对比，验证了MILS算法的收敛速度更快且精度更能满足要求。

2 基于人工智能优化算法的参数识别技术

采用人工智能优化算法进行参数识别的总体思路，是引入一定的辨识准则（例如最小二乘误差准则），将待辨识的参数视为多维自变量，将水下航行器模型参数辨识问题转化为多元函数的优化问题，然后采用现代智能优化算法寻找到该目标函数的全局最优解，来达到参数辨识的目的^[27]。

考虑如下由系统动力学和运动学方程组成的状态方程：

$ {\boldsymbol{\dot x}} = f\left( {{\boldsymbol{x}},{\boldsymbol{p}},t} \right) ，$

(5)

其中： $ {\boldsymbol{x}} $ 为状态向量，根据需要辨识的模型确定为水下航行器或潜艇的垂直面、水平面或空间运动参数； $ {\boldsymbol{p}} $ 为待识别的水动力参数向量。

若采用最小二乘法作为辨识准则，即最终使得试验观测数据列向量与模型输出数据列向量之差的平方和达到最小。

$ J\left( {{{\boldsymbol{p}}_i}} \right) = \min {\sum\limits_{i = 1}^N {\left( {{{{\boldsymbol{\hat y}}}_i} - {{\boldsymbol{y}}_i}} \right)} ^{\rm{T}}}\left( {{{{\boldsymbol{\hat y}}}_i} - {{\boldsymbol{y}}_i}} \right)。$

(6)

其中： $ {{\boldsymbol{\hat y}}_i} $ 为第 $ i $ 个试验观测数据列向量； $ {{\boldsymbol{y}}_i} $ 直接来自状态向量 $ {{\boldsymbol{x}}_i} $ 或经由 $ {{\boldsymbol{x}}_i} $ 转换得到； $ N $ 为试验观测数据长度。

这样，水动力参数识别问题转换为一个标准的优化问题：在满足式（5）的约束条件下，求取水动力参数向量 $ {{\boldsymbol{p}}_i} $ ，使得式（6）中的 $ J\left( {{{\boldsymbol{p}}_i}} \right) $ 达到最小。从而可采用智能优化算法，如人工神经网络（Artificial Neural Network，ANN）、遗传算法(Genetic Algorithm，GA )、模拟退火（Simulated Annealing，SA）等对问题进行求解，智能优化算法简单且容易实现，对优化问题无连续、可微性要求，且易于实现并行处理。当相关参数调整到位时，能以较快的速度收敛到较高的辨识精度，因此，能够很好适用于非线性特征突出的水下航行器模型参数辨识，具有良好的工程应用价值^[28]。何斌等^[29]采用Elman神经网络对潜水器的NARMA模型进行辨识以提高预测模型适应时变环境的能力。张剑^[30]比较了3种神经网络应用于水下机器人模型辨识时存在的差异，并验证了复合输入动态回归ANN在非线性系统辨识中的有效性。GA算法相较于ANN而言，不需要大量的训练样本进行学习与权值整定，即使辨识对象的动力学特性或机动形式发生变化，算法仍能具有良好的鲁棒性和全局寻优能力。蒋帆等^[31]采用遗传算子的自适应重组替代策略，对传统基于GA的辨识方法进行改进，并用于辨识MMG 模型的水动力参数，辨识精度相较于传统GA有较大提高。袁伟杰^[32]提出一种基于GA的AUV水动力参数辨识方法，对CRanger-01水平面和垂直面运动的38个水动力参数进行了辨识，验证了该方法具有较好的鲁棒性和全局寻优特性。李庆梅等^[33]采用多目标 NSGA-II法对水下机器人水平面水动力系数进行辨识，解决普通GA算法进行多目标优化时，线性加权系数难以确定，且无法满足所有目标同时达到最优的问题。陈玮琪等^[27-28]将群体智能优化算法PSO、微分群体算法应用在水下航行体的水动力参数辨识中。朱大奇等^[34]将量子行为粒子群优化（QPSO）算法应用于Falcon水下机器人的动力学模型参数辨识，通过与标准PSO算法以及GA算法对比，验证了QPSO算法在辨识速度和精度方面的优越性。

传统智能优化算法存在的一些固有缺陷难以克服，如ANN存在维数灾难导致过拟合、计算量增大、泛化能力下降以及易于陷入局部极值的问题。很多学者尝试新型的智能优化算法^[35-36]，或者将多种算法结合起来“取长补短”^[37-39]，利用各自的优势构造出混合学习算法，实现了水下机器人的运动建模，从而更好的发挥各自优势并拓展算法在参数识别领域的应用。此外，新兴的基于统计学习理论的机器学习方法−支持向量机（Support Vector Machines，SVM）应用于水下航行器的操纵运动建模，有效解决了最小二乘法以及GA、ANN等智能优化算法的固有缺陷^[40]。该算法建立在结构风险最小化准则上，能够在统计样本数据有限的情况下，保证解的全局最优性，且具有较好的泛化能力。徐锋^[40]首次将SVM应用于水下航行器动力学模型和参数识别，应用增量式最小二乘SVM实现了水动力导数的在线辨识。谢朔等^[41]对多新息在线最小二乘SVM辨识建模方法进行改进，并用于船舶二阶非线性运动模型参数辨识，在保证参数收敛速度的前提下，提高了算法的在线辨识精度。张心光等^[42]基于船舶Z形试验仿真数据，应用SVM对船舶操纵运动数学模型参数进行了辨识，同时将粒子群算法用于惩罚因子C值的寻优，有效提高模型参数的辨识精度。

3 基于卡尔曼滤波的参数识别技术

1960年，Kalman^[43]基于两步贝叶斯过程，提出了卡尔曼滤波器（Kalman Filter，KF），成为线性系统最优化自回归数据处理算法。

为了解决传统KF算法无法应用于非线性系统滤波的问题，扩展卡尔曼滤波（Extended Kalman Filter，EKF）采用泰勒展开将非线性系统线性化，从而使得原有理论得以适用于非线性系统，并成为水下航行器模型参数识别方面应用最广泛的算法之一^[44-45]。采用EKF进行参数估计时分为2个步骤：第1步为状态预测，计算状态量以及状态误差协方差；第2步为测量更新，计算扩展卡尔曼滤波器的增益，进行状态误差协方差矩阵的更新，以及对所预报的状态值进行更新。

1）状态预测

$ {\boldsymbol{\hat x}}_{k + 1}^*\left( - \right) = F\left( {{\boldsymbol{\hat x}}_k^*\left( + \right),{{\boldsymbol{u}}_k}} \right)，$

(7)

$ {\boldsymbol{P}}_{k + 1}^{}\left( - \right) = {\boldsymbol{M}}_k^*{\boldsymbol{P}}_k^{}\left( + \right){\boldsymbol{M}}_k^{*{\rm{T}}} + {{\boldsymbol{Q}}_k}。$

(8)

2）测量更新

$ {\boldsymbol{K}}_k^{} = {\boldsymbol{P}}_k^{}\left( - \right){\boldsymbol{H}}_k^{*{\rm{T}}}{\left[ {{\boldsymbol{H}}_k^*{{\boldsymbol{P}}_k}\left( - \right){\boldsymbol{H}}_k^{*{\rm{T}}} + {{\boldsymbol{R}}_k}} \right]^{ - 1}}，$

(9)

$ {\boldsymbol{\hat x}}_k^*\left( + \right) = {\boldsymbol{\hat x}}_k^*\left( - \right) + {\boldsymbol{K}}_k^{}\left[ {{\boldsymbol{y}}_k^{} - h\left( {{\boldsymbol{\hat x}}_k^*\left( - \right)} \right)} \right] ，$

(10)

$ {\boldsymbol{P}}_k^{}\left( + \right) = \left[ {{\boldsymbol{I}} - {{\boldsymbol{K}}_k}{\boldsymbol{H}}_k^*} \right]{\boldsymbol{P}}_k^{}\left( - \right) 。$

(11)

其中： $ {\boldsymbol{P}} $ 为误差协方差矩阵； $ {\boldsymbol{Q}} $ 为过程噪声协方差矩阵； $ {\boldsymbol{R}} $ 为测量噪声协方差矩阵； $ {\boldsymbol{M}}_k^* = {\left. {\dfrac{{\partial F\left( {{{\boldsymbol{x}}^*},{{\boldsymbol{u}}_k}} \right)}}{{\partial {{\boldsymbol{x}}^*}}}} \right|_{{{\boldsymbol{x}}^*} = {\boldsymbol{\hat x}}_k^*\left( + \right)}} $ ， $ {\boldsymbol{H}}_k^* = {\left. {\dfrac{{\partial h\left( {{{\boldsymbol{x}}^*}} \right)}}{{\partial {{\boldsymbol{x}}^*}}}} \right|_{{{\boldsymbol{x}}^*} = {\boldsymbol{\hat x}}_k^*\left( - \right)}} $ 分别为状态方程和测量方程对扩展状态向量的偏导数。

Abkowitz^[46]最早将其应用于船舶试验试航中，提供了一种“测量”船舶水动力系数的方法，并验证模型方程的准确性。由于EKF的辨识精度对过程误差和量测误差的初始估计比较敏感，如果线性化处理不当或是系统具有强非线性将会引起算法发散^[47]。为此，有学者选择数据源滤波^[48]或者算法并行处理^[49]以达到准确、高效辨识的目的，也有采用基于试验数据的“螺旋迭代”辨识形式^[50]，但这些算法没有从根本上改进EKF算法的结构，或是引入新的状态预测更新方法，对辨识效果的提升比较有限。

针对上述问题，Julier等^[51-52]结合无迹变换与卡尔曼滤波提出了无迹卡尔曼滤波（Unscented Kalman Filter，UKF）方法，避免了采用EKF算法进行非线性系统识别时，需要通过求取雅克比矩阵进行线性化的问题。Sabet等^[53]采用UKF来估计AUV空间运动模型中的未知增广状态量，并与EKF进行比较，表明UKF无论是在估算精度还是收敛速度方面均优于EKF。为了解决UKF算法误差和噪声等因素引起误差协方差矩阵负定甚至计算发散的问题，Merwe等^[54]对UKF算法进行优化提出了SRUKF，采用高效QR和Cholesky分解矩阵运算，在避免协方差矩阵负定的同时，降低了参数估计时的计算复杂度。Belanger等^[55]采用SRUKF算法对潜艇标准运动方程中的全部水动力系数进行了辨识，并取得相当高的辨识精度。

4 结　语

如何更为准确地获取水下航行器水动力模型参数，并实时准确表达各种机动工况下的水动力，仍是制约水下航行器性能预报精度的重要因素，并将显著影响控制器设计、艇型优化和操纵使用等。本文以最小二乘法、智能优化以及卡尔曼滤波等3种算法为例，回顾了水下航行器模型参数辨识的研究进展，不限于此，在模型参数辨识领域还有很多行之有效的方法，均极大促进了水下航行器精确数学模型的建立和操纵性能的研究，但仍存有诸多待解决的关键问题。对水下航行器模型参数辨识技术未来的发展趋势概述如下：

1）CFD 技术近年来取得的进展日新月异，已成为计算水下航行器水动力不可或缺的重要工具，伴随高性能计算、动态网格、计算精度评估等关键技术的突破，有望在不远的将来取得革命性的进展，直接通过CFD技术，实现更加精确、高效的水下航行器模型参数辨识或动力学辨识建模。

2）通过试验、理论计算或CFD方法获取初步的水动力模型参数，在水下航行器机动过程中实时测量采集数据，并开展模型参数在线识别与误差修正，实现数学模型的在线自适应调整，对于解决尺度效应、控制器优化问题以及实现数学模型的全机动工况覆盖具有重要作用。

3）现代潜艇逐步往高航速、大潜深方向发展，针对此类“特殊的水下航行器”，开展空间大攻角、强机动工况的水动力建模与辨识具有非常重要的意义，也将成为水下航行器参数辨识的一个值得挑战的研究方向。