0 引　言

频率不变波束形成器设计为宽带基阵优化波束形成研究的一个重要方向。由于频率不变波束形成器FIB(frequency invariant beamformer)对于宽带入射信号在不同频率点上具有基本一致的幅度和相位响应。文献[1]将波束形成器设计转化为凸优化(convex optimization)问题，并通过采用内点^[2]方法(interior-point method)对凸优化问题进行有效求解。文献[3]从最小方差无偏响应MVDR (minimum variance distortionless response)波束形成器导出对应的SOCP (second order cone programming)描述，实现均匀线列阵基于SOCP的旁瓣约束波束形成器，但上述方法适用于窄带阵处理。文献[4]提出基于最小平方最优变换准则构建宽带波束形成器设计。文献[5]提出适用于任意结构宽带线列阵的自适应波束形成器设计方法。但这2种方法无法实现宽带波束图的频率不变特性。文献[6]提出将空间响应偏差SRV(spatial response variation)约束应用于宽带阵列FIB设计，但此方法应用对象为实数加权阵列。文献[7]的波束形成器设计方法仅适用于宽带线列阵的非自适应FIB设计，无法高效抑制空间宽带干扰信号。文献[8]提出基于二阶锥规划的平面阵近场波束优化方法，但不适合应用于远场波束设计。文献[9]提出基于粒子群算法的宽带平面阵列方向图设计，但该方法适用范围为大阵元间距平面阵。

针对节拍延迟线TDL (tapped delay line)结构和复数加权系数的宽带平面阵，本文提出基于SRV约束的非自适应和自适应FIB设计。

1 背　景

图1给出 $XY$ 平面上具有 $N$ 个各向同性阵元的宽带平面阵结构示意图，其中第 $n$ 个阵元位置 ${{\boldsymbol{r}}_n} = {[{\alpha _n},{\beta _n},0]^{\rm{T}}}$ , $1 \leqslant n \leqslant N$ 。符号“F&S”分别代表滤波(filtering)和采样(sampling)操作。 ${T_s}$ 为采样周期， $z(k)$ 为阵列输出变量。符号 $\theta$ 和 $\gamma$ ( $- \text{π} /2 \leqslant \theta \leqslant \text{π} /2$ , $-\text{π} /2 \leqslant \gamma \leqslant \text{π} /2$ )分别代表信号入射方向的水平向方位角和垂直向俯仰角。每个阵元都采用了具有 $M$ 个复数加权系数的节拍延迟线结构。宽带平面阵相对于采样频率 ${f_s}$ 的归一化工作频带选取为 $[{f_L},{f_U}]$ 。定义宽带平面阵工作带宽 $B = {f_U} - {f_L}$ 和中心频率 ${f_C} = ({f_L} + {f_U})/2$ ，选择参考频率 ${f_0} = {f_C}$ ，则第 $n$ 个阵元接收信号的时间序列 ${x_n}(t)$ 如下式：

${x_n}(t) = \sum\limits_{i = 0}^I {{s_i}(t + {\tau _n}({\theta _i},{\gamma _i}){T_s})} + {v_n}(t),n = 1,\cdots,N 。$

(1)

式中： ${s_0}(t)$ 为从方向 $({\theta _0},{\gamma _0})$ 入射的期望信号， ${s_i}(t), i = 1,2,\cdots,I$ 为从方向 $({\theta _i},{\gamma _i})$ 入射的干扰信号， ${v_n}(t)$ 为第 $n$ 个阵元上的加性高斯白噪声。 ${\tau _n}({\theta _i},{\gamma _i}),{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} i = 0,1,2,\cdots,I$ 为第 $n$ 个阵元在 $({\theta _i},{\gamma _i})$ 方向上相对于原点的归一化时延（相对 ${T_s}$ ），其计算如下：

${\tau _n}({\theta _i},{\gamma _i}) = [({\alpha _n}\cos {\gamma _i}\sin {\theta _i} + {\beta _n}{s} {\kern 1pt} {\kern 1pt} in{\gamma _i})/{c_s}]/{T_s}，$

(2)

其中 ${c_s}$ 为声波或电磁波在介质中的传播速度。

为便于理论分析和仿真验证，入射信号 ${s_i}(t),i = 0,1,2,\cdots,I$ 和噪声 ${v_n}(t),$ $n = 1,\cdots,N$ 均建模为零均值的独立高斯白噪声变量。 ${s_i}(t)$ 和 ${v_n}(t)$ 功率谱的定义如下：

${S_i}(f) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \sigma _i^2/B,& f \in [{f_L},{f_U}]，\\ {\text{0}},& f \notin [{f_L},{f_U}]。\end{array}} \right.$

(3)

${V_n}(f) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \sigma _v^2/B,& f \in [{f_L},{f_U}] ，\\ 0,& f \notin [{f_L},{f_U}]。\end{array}} \right.$

(4)

式中： $f$ 为归一化工作频率， $\sigma _i^2$ 和 $\sigma _v^2$ 分别为 ${s_i}(t)$ 和 ${v_n}(t)$ 在频带内的总功率。第 $n$ 个阵元在其第 $m$ 个节拍上的采样离散时间序列：

$\begin{split} {x_{n,{\kern 1pt} {\kern 1pt} m}}(k) =& {x_n}(t - (m - 1){T_s}){|_{{\kern 1pt} t = k{T_s}}},n = 1,\cdots,N;\\ &m = 1,\cdots,M;k = 1,\cdots,K 。\end{split}$

(5)

其中 $K$ 为阵列处理的快拍次数。定义 $NM \times 1$ 维节拍堆积向量 ${{x}}(k)$ 和对应 $NM \times 1$ 维复数加权向量 ${{w}}$ 分别为：

$\begin{split} {\boldsymbol{x}}(k) =& [{x_{1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1}}(k),{x_{2,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1}}(k),\cdots,{x_{N,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1}}(k),{x_{1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2}}(k),{x_{2,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2}}(k),\cdots,\\ &{x_{N,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2}}(k),\cdots,{x_{1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} M}}(k),{x_{2,{\kern 1pt} {\kern 1pt} M}}(k),\cdots,{x_{N,{\kern 1pt} {\kern 1pt} M}}(k)]^{\rm{T}}，\\[-10pt] \end{split}$

(6)

$\begin{split}{\boldsymbol{w}} = &[{w_{1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {w_{2,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1}},\cdots,{\kern 1pt} {\kern 1pt} {w_{N,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 1}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {w_{1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2}},{\kern 1pt} {w_{2,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2}},{\kern 1pt} \cdots,{\kern 1pt} \\ &{w_{N,{\kern 1pt} {\kern 1pt} 2}},\cdots,{\kern 1pt} {w_{1,{\kern 1pt} {\kern 1pt} M}},{\kern 1pt} {\kern 1pt} {w_{2,{\kern 1pt} {\kern 1pt} M}},\cdots,{\kern 1pt} {w_{N,{\kern 1pt} {\kern 1pt} M}}]^{\rm{T}} 。\end{split}$

(7)

宽带平面阵 $NM \times 1$ 维的阵列流形向量:

${\boldsymbol{a}}(f,\theta ,\gamma ) = {{\boldsymbol{a}}_M}(f) \otimes {{\boldsymbol{a}}_N}(f,\theta ,\gamma ) ,$

(8)

其中， $\otimes$ 代表向量Kronecker积， $M \times 1$ 维向量 ${{\boldsymbol{a}}_M}(f)$ 和 $N \times 1$ 维向量 ${{\boldsymbol{a}}_N}(f,\theta ,\gamma )$ 为:

${{\boldsymbol{a}}_M}(f) = {\left[1,{\kern 1pt} {e^{ - j2\text{π} f}},\cdots,{e^{ - j2\text{π} f(M - 1)}}\right]^{\rm{T}}} ,$

(9)

${{\boldsymbol{a}}_N}(f,\theta ,\gamma ) = {\left[{e^{j2\text{π} f{\tau _{{\kern 1pt} 1}}(\theta ,\gamma )}},{e^{j2\text{π} f{\tau _{{\kern 1pt} 2}}(\theta ,\gamma )}},\cdots,{e^{j2\text{π} f{\tau _{{\kern 1pt} N}}(\theta ,\gamma )}}\right]^{\rm{T}}} 。$

(10)

宽带平面阵波束图函数为:

$b(f,\theta ,\gamma ) = {{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{a}}(f,\theta ,\gamma ) = {{\mathbf{a}}^{\rm{T}}}(f,\theta ,\gamma ){\boldsymbol{w}}。$

(11)

宽带平面阵输出信号为：

$z(k) = \sum\limits_{n = 1}^N {\sum\limits_{m = 1}^M {{w_{n,{\kern 1pt} {\kern 1pt} m}}{x_{n,{\kern 1pt} {\kern 1pt} m}}(k)} } = {{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{x}}(k)。$

(12)

宽带平面阵输出功率为:

${P_z} = E[z(k){z^{\rm{H}}}(k)] = E[{{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{x}}(k){{\boldsymbol{x}}^{\rm{H}}}(k){{\boldsymbol{w}}^*}] = {{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{R}}_x}{{\boldsymbol{w}}^*}。$

(13)

其中宽带平面阵空间协方差矩阵为:

${{\boldsymbol{R}}_x} = E[{\boldsymbol{x}}(k){{\boldsymbol{x}}^{\rm{H}}}(k)] = \sum\limits_{i = 0}^I {{{\boldsymbol{R}}_{{\kern 1pt} i}}} + {{\boldsymbol{R}}_v}。$

(14)

其中 $NM \times NM$ 维矩阵 ${{\boldsymbol{R}}_i}$ 为信号 ${s_i}(t)$ 的空间协方差矩阵， $NM \times NM$ 维矩阵 ${{\boldsymbol{R}}_v}$ 为噪声 ${v_n}(t)$ 的空间协方差矩阵。宽带平面阵单个阵元输入信号 ${x_n}(t)$ 的信干噪比为：

${{SINR} _{in}} = \frac{{\sigma _0^2}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^I {\sigma _i^2 + \sigma _v^2} }} 。$

(15)

输出信号z(k) 的信干噪比为：

${{SINR} _{out}} = \frac{{{{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{R}}_0}{{\boldsymbol{w}}^*}}}{{{{\mathbf{w}}^{\rm{T}}}\left(\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^I {{{\boldsymbol{R}}_i} + } {{\boldsymbol{R}}_v}\right){{\boldsymbol{w}}^*}}}。$

(16)

在实际处理中，宽带平面阵空间协方差矩阵 ${{\boldsymbol{R}}_x}$ 需要对接收数据进行如下计算获取:

$\widehat {{{\boldsymbol{R}}_x}} = \frac{1}{K}\sum\limits_{k = 1}^K {{\boldsymbol{x}}(k){{\boldsymbol{x}}^{{H}}}(k)} 。$

(17)

2 宽带平面阵的优化波束设计

空间响应偏差函数 $SRV(\theta ,\gamma )$ 定义为波束图 $b(f,\theta ,\gamma )$ 与波束图 $b({f_0},\theta ,\gamma )$ 的偏差在频域上的积分。利用SRV约束我们就可以对不同频率上波束图与参考频率上波束图的偏差进行有效限制。

$\begin{split} SRV(\theta ,\gamma ) =& \frac{1}{B}\int_{{f_L}}^{{f_U}} {|b(f,\theta ,\gamma ) - b({f_0},\theta ,\gamma ){|^2}{\rm{d}}f} =\\ &\frac{1}{B}\int_{{f_L}}^{{f_U}} {|{{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{a}}(f,\theta ,\gamma ) - {{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{a}}({f_0},\theta ,\gamma ){|^2}{\rm{d}}f}=\\ &{{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}\frac{1}{B}\int_{{f_L}}^{{f_U}} {|{\boldsymbol{a}}(f,\theta ,\gamma ) - {\boldsymbol{a}}({f_0},\theta ,\gamma ){|^2}{\rm{d}}f} {{\boldsymbol{w}}^*} =\\ &{{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{J}}(\theta ,\gamma ){{\boldsymbol{w}}^*} 。\end{split}$

(18)

其中： $NM \times NM$ 维矩阵 ${\boldsymbol{J}}(\theta ,\gamma )$ 为Hermitian矩阵，定义参见上式。对于式(18)给出的空间响应偏差函数在 $({\phi _{{\kern 1pt} d}},{\varphi _d}),{\kern 1pt} {\kern 1pt}$ ${\kern 1pt} d = 1,2,{\kern 1pt} {\kern 1pt} \cdots,D$ 。这 $D$ 个空间方向上进行约束限制，定义如下所示的平均空间响应偏差量为：

$\overline {SRV} = (1/D)\sum\nolimits_{{\kern 1pt} d = 1}^D {SRV({\phi _d},{\varphi _d})} = {{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}\overline {\boldsymbol{J}} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {{\boldsymbol{w}}^*} 。$

(19)

其中 $NM \times NM$ 维矩阵 $\overline {\boldsymbol{J}} = (1/D)\displaystyle\sum\nolimits_{d = 1}^D {{\boldsymbol{J}}({\phi _d},{\varphi _d})} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}$ 。

3 优化波束设计到SOCP形式的转化

凸锥优化(convex conic optimization)问题的标准表达式如下：

$\underset{y}{\mathrm{max}}{b}^{\rm T}ysubjecttoc-{A}^{\rm T}y\in \kappa ，$

(20)

式中： ${\boldsymbol{y}}$ 为包含设计变量(即宽带平面阵加权系数)的向量； ${\boldsymbol{A}}$ 为系数矩阵； ${\boldsymbol{b}}$ 和 ${\boldsymbol{c}}$ 为系数向量； $\kappa$ 为由基本锥(elementary cones)乘积构成的对称锥。需要指出 ${\boldsymbol{A}}$ ， ${\boldsymbol{b}}$ 和 ${\boldsymbol{c}}$ 均为实数形式。基本锥由二阶锥SOC(second order cone)和零锥(zero cone)构成。 $(r + 1)$ 维二阶锥SOC (对应不等式限制)的定义如下：

${{SOC} ^{r + 1}} = \left\{ \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \mu \\ {\mathbf{\mu }} \end{array}} \right] \in \Re \times {{\mathbf{G}}^r}|\mu \geqslant ||{\mathbf{\mu }}||\right\}，$

(21)

其中 $\mu$ 为实数集 $\Re$ 中的一个非负标量， ${\boldsymbol{\mu }}$ 为 $r \times 1$ 维复向量集 ${{\boldsymbol{G}}^r}$ 中的一个向量。零锥(对应等式限制)的定义如下：

$\{ 0\} = \{ \mu \in {\boldsymbol{G}}|\mu = 0\}。$

(22)

其中 $\mu$ 为复数集 ${\boldsymbol{G}}$ 中的一个标量。

3.1 宽带平面阵的非自适应FIB设计

本文提出的宽带平面阵非自适应FIB属于固定波束形成器，复数加权系数向量 ${{w}}$ 与接收阵元数据是非相关的，其根据在参考频率点上主瓣方向的无偏响应约束、加权系数向量的范数约束以及平均空间响应偏差的幅度约束等3个条件下最小化在参考频率点上波束图旁瓣级的准则进行设计。加权系数向量的范数约束用于提高波束形成器在阵列位置存在误差情况下的系统稳健性。上述宽带波束形成器设计问题可以描述成如下所示的数学表达式：

$\begin{split} & \mathop {\min }\limits_{\boldsymbol{w}} \delta \; {\rm{subject}}\; {\rm{to}} \\ & {{{w}}^{\rm{T}}}{{a}}({f_0},{\vartheta _0},{\psi _0}) = 1, |{{{w}}^{\rm{T}}}{{a}}({f_0},{\vartheta _p},{\psi _q})| \leqslant \delta , \\ & ||{{w}}|| \leqslant {\varepsilon _1},{{{w}}^{\rm{T}}}\overline {{J}} {{{w}}^*} \leqslant {\varepsilon _2} \\ & {\vartheta _p} \in [ - {90^{\circ}},{\vartheta _0} - \Omega /2] \cup [{\vartheta _0} + \Omega /2 ,{90^{\circ}}], \\ & {\psi _q} \in [ - {90^{\circ}},{\psi _0} - \Omega /2] \cup [{\psi _0} + \Omega /2 ,{90^{\circ}}], \\ & p = 1,2 , \cdots,P ; q = 1,2,\cdots,Q 。\end{split}$

(23)

其中：( ${\vartheta _0},{\psi _0}$ )为主瓣方向，修正主瓣宽度 $\Omega$ 定义为波束图主瓣幅度下降到旁瓣级时的角度范围， $||.||$ 代表向量Euclidean范数， ${\varepsilon _1}$ 为加权系数向量范数约束值， ${\varepsilon _2}$ 为平均空间响应偏差幅度约束值，入射方向采样点( ${\vartheta _p},{\psi _q}$ )隶属于旁瓣区域， $\delta$ 为需要最小化的旁瓣级变量。为了应用二阶锥规划方法，首先需要将式(23)中的二次函数 ${{\boldsymbol{w}}^{\rm T}}\overline {\boldsymbol{J}} {{\boldsymbol{w}}^*}$ 转化为线性形式。对于特征值均为实数的 $NM \times NM$ 维Hermitian矩阵 $\overline {\boldsymbol{J}}$ ，其特征分解具有如下形式：

$\overline {\boldsymbol{J}} = {{\boldsymbol{U}}_b}{{\boldsymbol{\Lambda }}_b}{\boldsymbol{U}}_b^H。$

(24)

其中： $NM \times NM$ 维矩阵 ${{\boldsymbol{U}}_b}$ 为矩阵 $\overline {\boldsymbol{J}}$ 的特征向量矩阵， $NM \times NM$ 维矩阵 ${{\boldsymbol{\Lambda }}_b}$ 为矩阵 $\overline {\boldsymbol{J}}$ 的特征值矩阵。由于矩阵 ${{\boldsymbol{\Lambda }}_b}$ 为实数矩阵，可以推导获得如下表达式：

$\begin{split} {{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}\overline {\boldsymbol{J}} {{\boldsymbol{w}}^*} =& {{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{U}}_b}{{\boldsymbol{\Lambda }}_b}{\boldsymbol{U}}_b^{\rm{H}}{{\boldsymbol{w}}^*} = {({\boldsymbol{\Lambda }}_b^{0.5}{\boldsymbol{U}}_b^{\rm{H}}{{\boldsymbol{w}}^*})^{\rm{H}}}\times\\ &({\boldsymbol{\Lambda }}_b^{0.5}{\boldsymbol{U}}_b^{\rm{H}}{{\boldsymbol{w}}^*}) = ||{\boldsymbol{L}}_b^{\rm{H}}{{\boldsymbol{w}}^*}|{|^2}。\end{split}$

(25)

其中： $NM \times NM$ 维矩阵 ${{\boldsymbol{L}}_b} = {{\boldsymbol{U}}_b}{({\boldsymbol{\Lambda }}_b^{0.5})^H} = {{\boldsymbol{U}}_b}{\boldsymbol{\Lambda }}_b^{0.5}$ 。为了应用二阶锥规划方法进行优化问题求解，式(23)还需要被转化为实数形式。为此引入如下所示的3个 $2N{\kern 1pt} {\kern 1pt} M \times 1$ 维实数向量和一个 $2NM \times 2NM$ 维实数矩阵：

${{\mathbf{a}}_{{\kern 1pt} 1}}(f,\theta ,\gamma ){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} = {[{Re} {\{ {\mathbf{a}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (f,\theta ,\gamma )\} ^{\rm{T}}}, - {Im} {\{ {\mathbf{a}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (f,\theta ,\gamma )\} ^{\rm{T}}}]^{\rm{T}}}，$

(26)

${{\mathbf{a}}_{{\kern 1pt} 2}}(f,\theta ,\gamma ){\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} = {[{Im} {\{ {\mathbf{a}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (f,\theta ,\gamma )\} ^{\rm{T}}},{Re} {\{ {\mathbf{a}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} (f,\theta ,\gamma )\} ^{\rm{T}}}]^{\rm{T}}} ，$

(27)

${{\boldsymbol{y}}_2} = {[{Re} {\{ {\boldsymbol{w}}\} ^{\rm{T}}},{Im} {\{ {\boldsymbol{w}}\} ^{\rm{T}}}]^{\rm{T}}}，$

(28)

$\widetilde {{{\boldsymbol{L}}_b}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{Re} \{ {\boldsymbol{L}}_b^{\rm{H}}\} }&{{Im} \{ {\boldsymbol{L}}_b^{\rm{H}}\} } \\ {{Im} \{ {\boldsymbol{L}}_b^{\rm{H}}\} }&{ - {Re} \{ {\boldsymbol{L}}_b^{\rm{H}}\} } \end{array}} \right]。$

(29)

其中：符号 ${Re} \{ .\}$ 和 ${Im} \{ .\}$ 分别代表实部和虚部操作，再定义2个 $(2N{\kern 1pt} M + 1) \times 1$ 维向量如下：

${\boldsymbol{b}} = {[ - 1,0,0,...,0]^{\rm{T}}} ,$

(30)

${\boldsymbol{y}} = {[{y_1},{\boldsymbol{y}}_2^{\rm{T}}]^{\rm{T}}},$

(31)

其中： ${y_1} = \delta$ ，则有 ${{\boldsymbol{b}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{y}} = - {y_1} = - \delta$ ，所以最小化表达式(23)中的非负标量 $\delta$ 等价于最大化 ${{\boldsymbol{b}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{y}}$ 。根据上述表达式可以得到下面2个表达式：

$\begin{split}||{\boldsymbol{L}}_b^H{{\boldsymbol{w}}^*}|| =& ||{Re} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ({\boldsymbol{L}}_{{\kern 1pt} b}^H{{\boldsymbol{w}}^*}) + j{Im} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ({\boldsymbol{L}}_{{\kern 1pt} b}^H{{\boldsymbol{w}}^*})|| = \\ &\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{Re} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ({\boldsymbol{L}}_{{\kern 1pt} b}^H{{\boldsymbol{w}}^*})} \\ {{Im} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ({\boldsymbol{L}}_{{\kern 1pt} b}^H{{\boldsymbol{w}}^*})} \end{array}} \right\| = \left\| {\widetilde {{{\boldsymbol{L}}_{{\kern 1pt} b}}}{\kern 1pt} {{\boldsymbol{y}}_2}} \right\|, \end{split}$

(32)

${{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{a}}(f,\theta ,\gamma ) = {\boldsymbol{a}}_1^{\rm{T}}(f,\theta ,\gamma ){{\boldsymbol{y}}_2} + j{\boldsymbol{a}}_2^{\rm{T}}(f,\theta ,\gamma ){{\boldsymbol{y}}_2}。$

(33)

利用上述表达式，可以将描述波束形成器的表达式(23)转化为如下所示具有4个约束条件的标准二阶锥规划形式，可以通过采用内点方法对上面的标准SOC问题进行求解。

$\begin{split} & \mathop {\max }\limits_{\boldsymbol{y}} {{\boldsymbol{b}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{y}} {\rm{subject}} {\rm{to}} \\ & 1)\;{\boldsymbol{a}}_{ 1}^{\rm{T}}({f_0},{\vartheta _0},{\psi _0}){{\boldsymbol{y}}_2} = 1, {\boldsymbol{a}}_{ 2}^{\rm{T}}({f_0},{\vartheta _0},{\psi _0}){{\boldsymbol{y}}_2} = 0; \\ & 2)\;|{\boldsymbol{a}}_1^{\rm{T}}({f_0},{\vartheta _p},{\psi _q}){{\boldsymbol{y}}_2} + j {\boldsymbol{a}}_2^{\rm{T}}({f_0},{\vartheta _p},{\psi _q}){{\boldsymbol{y}}_2}| \leqslant {y_1}; \\ & 3)\;||{{\boldsymbol{y}}_2}|| \leqslant {\varepsilon _1}; \\ & 4)\;||\widetilde {{{\boldsymbol{L}}_b}}{{\boldsymbol{y}}_2}|| \leqslant \sqrt {{\varepsilon _2}} \\ & {\vartheta _p} \in [ - {90^{\circ}},{\vartheta _0} - \Omega /2] \cup [{\vartheta _0} + \Omega /2 ,{90^{\circ}}],\\ &{\psi _q} \in [ - {90^{\circ}}, {\psi _0} - \Omega /2] \cup [{\psi _0} + \Omega /2 ,{90^{\circ}}], \\ & p = 1,2 , ...,P ; q = 1,2,...,Q。\\ \end{split}$

(34)

3.2 宽带平面阵的自适应模式频率不变波束形成器设计

本文提出的宽带平面阵自适应FIB属于自适应波束形成器，复数加权系数向量 ${\boldsymbol{w}}$ 与接收阵元数据是相关的，其根据在参考频率点上预测信号方向无偏响应约束、参考频率点上旁瓣区域旁瓣级约束以及平均空间响应偏差幅度约束这3个条件下最小化波束形成器输出功率的准则进行设计。上述宽带波束形成器设计问题可以描述成如下所示的数学表达式：

$\begin{split} & \mathop {\min }\limits_{\boldsymbol{w}} \delta {\rm{subject}} {\rm{to }} \\ & {{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{a}}({f_0},{\vartheta _0},{\psi _0}) = 1, |{{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{a}}({f_0},{\vartheta _p},{\psi _q})| \leqslant {\varsigma _1},\\ &{{\boldsymbol{w}}^{{\rm{T}}}} \widehat {{{\boldsymbol{R}}_{x} }} {{\boldsymbol{w}}^*} \leqslant \delta ,{{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}\overline {\boldsymbol{J}} {{\boldsymbol{w}}^*} \leqslant {\varsigma _2} \\ & {\vartheta _p} \in [ - {90^{\circ}},{\vartheta _0} - \Omega /2] \cup [{\vartheta _0} + \Omega /2 ,{90^{\circ}}],\\ &{\psi _q} \in [ - {90^{\circ}},{\psi _0} - \Omega /2] \cup [{\psi _0} + \Omega /2 ,{90^{\circ}}], \\ & p = 1,2 , ...,P ; q = 1,2,...,Q 。\end{split}$

(35)

其中：( ${\vartheta _0},{\psi _0}$ )为主瓣方向，修正主瓣宽度 $\Omega$ 定义为波束图主瓣幅度下降到旁瓣级时的角度范围， ${\varepsilon _1}$ 为加权系数向量范数约束值， ${\varepsilon _2}$ 为平均空间响应偏差幅度约束值，方向采样点( ${\vartheta _p},{\psi _q}$ )隶属于旁瓣区域， $\delta {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt}$ 为需要最小化的波束形成器输出功率变量。首先，式(35)的二次函数需要转化为线性函数以便使用SOCP方法进行求解。由于Hermitian矩阵 ${\kern 1pt} \widehat {{{\boldsymbol{R}}_x}}$ 的特征值为实数，则其特征分解可以表示为:

$\widehat {{{\boldsymbol{R}}_x}} = {{\boldsymbol{U}}_a}{{\boldsymbol{\Lambda }}_a}{\boldsymbol{U}}_a^{{H}}，$

(36)

其中 $N{\kern 1pt} M \times N{\kern 1pt} M$ 矩阵 ${{\boldsymbol{U}}_a}$ 和 ${{\boldsymbol{\Lambda }}_a}$ 分别为矩阵 ${\kern 1pt} \widehat {{{\boldsymbol{R}}_x}}$ 的特征向量矩阵和特征值矩阵。由于矩阵 ${{\boldsymbol{\Lambda }}_a}$ 为实数值矩阵，则可以获得如下表达式:

$\begin{split}{{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}\widehat {{{\boldsymbol{R}}_{x} }}{{\boldsymbol{w}}^*} =& {{\boldsymbol{w}}^{\rm{T}}}{{\boldsymbol{U}}_a}{{\boldsymbol{\Lambda }}_a}{\boldsymbol{U}}_a^{{H}}{{\boldsymbol{w}}^*} = {({\boldsymbol{\Lambda }}_a^{0.5}{\boldsymbol{U}}_a^{{H}}{{\boldsymbol{w}}^*})^{{H}}}\times\\ &({\boldsymbol{\Lambda }}_a^{0.5}{\boldsymbol{U}}_a^{{H}}{{\boldsymbol{w}}^*}) = ||{\boldsymbol{L}}_a^{{H}}{{\boldsymbol{w}}^*}|{|^2}。\end{split}$

(37)

其中 $N{\kern 1pt} M \times N{\kern 1pt} M$ 矩阵 ${{\boldsymbol{L}}_a} = {{\boldsymbol{U}}_a}{({\boldsymbol{\Lambda }}_a^{0.5})^{{H}}} = {{\boldsymbol{U}}_a}{\boldsymbol{\Lambda }}_a^{0.5}$ 。定义如下 $2NM \times 2NM$ 维的实数矩阵:

$\widetilde {{{\boldsymbol{L}}_a}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{Re} \{ {\boldsymbol{L}}_a^{{H}}\} }&{{Im} \{ {\boldsymbol{L}}_a^{{H}}\} } \\ {{Im} \{ {\boldsymbol{L}}_a^{{H}}\} }&{ - {Re} \{ {\boldsymbol{L}}_a^{{H}}\} } \end{array}} \right]。$

(38)

根据上述表达式，可以获得:

$\begin{split} ||{\boldsymbol{L}}_a^{{H}}{{\boldsymbol{w}}^*}|| =& ||{Re} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ({\boldsymbol{L}}_a^{{H}}{{\boldsymbol{w}}^*}) + j{Im} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ({\boldsymbol{L}}_a^{{H}}{{\boldsymbol{w}}^*})|| = \\ &\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{Re} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ({\boldsymbol{L}}_a^{{H}}{{\boldsymbol{w}}^*})} \\ {{Im} {\kern 1pt} {\kern 1pt} ({\boldsymbol{L}}_a^{{H}}{{\boldsymbol{w}}^*})} \end{array}} \right\| = \left\| {\widetilde {{{\boldsymbol{L}}_a}}{\kern 1pt} {{\boldsymbol{y}}_2}} \right\|。\end{split}$

(39)

可以将式(35)转化为如下所示具有4个约束条件的标准二阶锥规划形式，可以通过采用内点方法对上面的标准SOC问题进行求解。

$\begin{split} & \mathop {\max }\limits_{\boldsymbol{y}} {{\boldsymbol{b}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{y}} {\rm{subject}} {\rm{to}} \\ & 1)\;{\boldsymbol{a}}_{ 1}^{\rm{T}}({f_0},{\vartheta _0},{\psi _0}){{\boldsymbol{y}}_2} = 1, {\boldsymbol{a}}_{ 2}^{\rm{T}}({f_0},{\vartheta _0},{\psi _0}){{\boldsymbol{y}}_2} = 0; \\ & 2)\;|{\boldsymbol{a}}_1^{\rm{T}}({f_0},{\vartheta _p},{\psi _q}){{\boldsymbol{y}}_2} + j {\boldsymbol{a}}_2^{\rm{T}}({f_0},{\vartheta _p},{\psi _q}){{\boldsymbol{y}}_2}| \leqslant {\varsigma _1}; \\ & 3)\;||\widetilde {{{\boldsymbol{L}}_a}}{{\boldsymbol{y}}_2}|| \leqslant {y_1}; \\ & 4)\;||\widetilde {{{\boldsymbol{L}}_b}}{{\boldsymbol{y}}_2}|| \leqslant \sqrt {{\varsigma _2}} \\ & {\vartheta _p} \in [ - {90^{\circ}},{\vartheta _0} - \Omega /2] \cup [{\vartheta _0} + \Omega /2 ,{90^{\circ}}],\\ &{\psi _q} \in [ - {90^{\circ}},{\psi _0} - \Omega /2] \cup [{\psi _0} + \Omega /2 ,{90^{\circ}}], \\ & p = 1,2 , ...,P ; q = 1,2,...,Q。\end{split}$

(40)

4 仿真验证

本文提出的宽带平面阵优化波束形成设计方法适用与任意结构的宽带平面阵。在2个仿真中，选取一个 $N = 9 \times 8$ 的72元均匀长方形平面阵进行处理，选取节拍数 $M = 7$ ，采用阵元数据快拍数 $K = 5\;000$ 。归一化工作频带选取为 $[0.2,0.4]$ ，阵元间距选取为最高工作频率对应波长的一半。修正主瓣宽度 $\Omega$ 选取为38°。式(19)中的空间方向 $({\phi _{{\kern 1pt} d}},{\varphi _d})$ 分别在[−90°, 90°]范围内以3°间隔进行选取，总的方位个数 $D = 3721$ 。式(23)和式(35)中的水平向方位角 ${\vartheta _p}$ 和垂直向高低角 ${\psi _q}$ 在 $\Omega \geqslant \sqrt {{{({\vartheta _p} - {\vartheta _0})}^2} + {{({\psi _q} - {\psi _0})}^2}} \geqslant \Omega /2$ 靠近主瓣的旁瓣范围内以2°间隔进行选取，在其余旁瓣范围内以5°间隔进行选取。设置期望信号的实际入射方位为 $({\theta _0},{\gamma _0}) =$ $( - {1^{\circ}},{1^{\circ}})$ ，选取期望信号的预测入射方位为 $({\vartheta _0},{\psi _0}) = ({0^{\circ}},{0^{\circ}})$ 。设置单个阵元接收数据中信噪比SNR为 $0\;{\rm{dB}}$ 。设置2个干扰信号的入射方位分别为 $({\theta _1},{\gamma _1}) = (30{{\kern 1pt} ^{\circ}},60{{\kern 1pt} ^{\circ}})$ 和 $({\theta _2},{\gamma _2}) = ( - 30{{\kern 1pt} ^{\circ}}, - 60{{\kern 1pt} ^{\circ}})$ ，单个阵元接收数据中干噪比INR为80 dB。根据式(15)计算，单个阵元接收数据中的信干噪比 ${{SINR} _{in}} \approx - 83.01\;{\rm{dB}}$ 。

第1个仿真实例用于验证宽带平面阵的非自适应FIB设计。对于式(23)选取复数加权向量 ${\boldsymbol{w}}$ 范数约束值 ${\varepsilon _1} = 20$ ，选取平均SRV幅度约束值为 ${\varepsilon _2} = 6.4 \times {10^{ - 5}}$ ，选取主瓣方向( ${\vartheta _0},{\psi _0}$ )为( ${0^{\circ}},{0^{\circ}}$ )。采用内点方法计算非自适应FIB的复数加权向量 ${\boldsymbol{w}}$ ，并根据式(16)可以计算得到宽带平面阵输出信干噪比 ${{SINR} _{out}} \approx$ $- 65{\text{.29}}\; {\rm{dB}}$ ，可见非自适应FIB对空间干扰的抑制能力较弱。非自适应FIB波束图在工作频率点 ${f_L}$ ， ${f_C}$ 和 ${f_U}$ 上的结果分别如图2～图4所示。

第2个仿真实例用于验证宽带平面阵的自适应FIB设计。对于式(35)选取旁瓣级幅度约束值 ${\varsigma _1} = 0.1$ ，选取平均SRV幅度约束值为 ${\varsigma _2} = 2{\kern 1pt} {\kern 1pt} .25 \times {10^{ - 4}}$ 。选取采用内点方法计算自适应FIB的复数加权向量 ${{{\boldsymbol{w}}}}$ ，根据式(16)计算宽带平面阵输出信干噪比 ${{SINR} _{out}} \approx 6.45\;{\rm{dB}}$ ，可见自适应FIB对空间干扰的抑制能力较强。自适应FIB波束图在工作频率点 ${f_L}$ ， ${f_C}$ 和 ${f_U}$ 上的结果分别如图5～图7所示， $(30{ ^\circ},60{ ^\circ})$ 和 $( - 30{^\circ}, - 60{ ^\circ})$ 干扰信号所在位置被有效抑制。

5 结　语

本文针对具有TDL结构和复数加权系数的宽带平面阵，提出非自适应FIB设计和自适应FIB设计。非自适应FIB根据在参考频率点上主瓣方向的无偏响应约束、加权系数向量的范数约束以及平均空间响应偏差的幅度约束等3个条件下最小化在参考频率点上波束图旁瓣级的准则进行设计。自适应FIB根据在参考频率点上预测信号方向无偏响应约束、参考频率点上旁瓣区域旁瓣级约束以及平均空间响应偏差幅度约束等3个条件下最小化波束形成器输出功率的准则进行设计。通过将这2种 FIB 设计问题转换为标准 SOCP 形式后，可以采用内点方法进行有效求解。