0 引　言

非线性波浪是海洋工程研究的重要领域之一，有许多描述波浪行为的数学模型。浅水波Korteweg-de Vries (KdV)方程是学者们较早关注讨论的方程，由荷兰科学家Kortweg和de Vries于1895年提出^[1]。KdV方程也是许多其他物理系统的一个重要非线性数学模型，在晶体非线性振动，等离子体声波传播，非线性光学，无碰撞磁流体波传播等领域中都有非常广泛的应用^[2]。KdV方程具有非常典型的可积性，例如无穷多个对称守恒量^[3]， $ N $ 个孤立子解^[4]等。王建勇等^[5]利用推广的tanh函数展开法，得到了KdV方程的具有准孤立子行为的双孤子解以及椭圆周期波解。Kudryashov^[6]应用扩展双曲函数法求解了修正的mKdV方程，获得一类具有双峰结构的单孤子解。Zhang等^[7]对于无穷远处具有非零边界条件的修正mKdV方程进行了系统的逆散射变换，详细分析了该问题下4种不同无反射势情况下的孤子动力学行为及其相互作用。Peregrine^[8]和Benjamin等^[9]分析了KdV方程作为流体中长波单向传播的模型方程存在的一些问题和不足，进而提出了一个更适合的长波模型—BBM方程。

由非线性偏微分方程描述的孤立波方程精确解研究是非线性科学中的一个热点问题^[10-11]，例如Hirota双线性变换法，Painleve分析法，逆散射法，tanh-coth方法，G'/G展开法等。但是，上述解析方法在应用上有着不同的限制。一般来说，没有一个通用的方法可以求解所有非线性偏微分方程。Zabusky等^[12]数值研究中发现KdV方程两孤立波互相作用后，除有相位移动外，不改变波形和速度。然后，Gardner等^[13]用反散射方法解析证明。关于KdV方程和BBM方程的研究文献有很多，在理论和数值上都得到了很好的研究^[14-16]。作为KdV方程的改进，BBM方程允许出现一族孤立波解，但目前还没有类似KdV方程的反向散射方法对其孤立波相互作用进行解析研究。Bona等^[17]使用数值方法研究BBM方程孤立波的相互作用，指出BBM方程的两孤立波相互作用后出现小的频散尾巴。研究表明BBM方程不存在两孤立子相互作用的精确解。蔡加祥等^[18]给出了BBM方程的拟线性隐式差分格式和非线性隐式差分格式。本文基于质量、动量和能量守恒量对KdV方程和BBM方程两孤立波相互作用特性进行近似解析和数值研究，并进行综合比较分析。

1 数学模型

本文研究如下形式的KdV方程和BBM方程^[19]：

$ {u_t} + {u_x} + u{u_x} + {u_{xxx}} = 0 ,$

(1)

$ {u_t} + {u_x} + u{u_x}{\text{ - }}{u_{xxt}} = 0。$

(2)

式中： $ u $ 为浅水波浪表面高程； $ t $ 为时间； $ x $ 为水平位移； $ {u_t} $ 为 $\partial u/\partial t$ ； $ {u_x} $ 为 $\partial u/\partial x$ 。

KdV方程和BBM的孤立波解可以通过应用一般的孤立波形状来求得：

$ {u_{{\text{KdV}}}} = a{\text{sec}}{{\text{h}}^{\text{2}}}\left[ {\sqrt {\frac{a}{{12}}} \left( {x - ct} \right)} \right], $

(3)

$ {u_{{\text{BBM}}}} = a{\text{sec}}{{\text{h}}^{\text{2}}}\left[ {\sqrt {\frac{a}{{12}}} \frac{{\left( {x - ct} \right)}}{{\sqrt c }}} \right]。$

(4)

式中： $ a $ 为孤立波振幅； $ c $ 为波速， $ c = 1 + a/3 $ 。

KdV方程和BBM方程的质量，动量和能量守恒量^[18]可分别用下式计算：

$ {I_1} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {u{\rm{d}}x}, $

(5)

$ {I_2} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{u^2}dx} ,{I_2} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{u^2} + u_x^2{\rm{d}}x}, $

(6)

$ {I_3} = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{u^3}{\text{ - 3}}u_x^2{\rm{d}}x}。$

(7)

如果2个波合并，则可以将守恒量增加到另一个波的不变量中，从而得到合并波形的合并质量、动量和能量。这3个量是理解应用守恒量计算波浪合并方法的关键。因为提供了3个已知参数，从中可以找到合并波的良好近似值。对于具有不同振幅 $ {a_1} $ 和 $ {a_2} $ 的2个孤立波完全相互作用时，这些不变量将守恒。例如，2个波所涉及的总质量将始终保持不变。这意味着在波合并的一个阶段，会出现一个对称的合并形状。因此，2个输入孤立波振幅 $ {a_1} $ 和 $ {a_2} $ 的2个 $ {I_1} $ 值之和等于合并形状的 $ {I_1} $ 值， $ {I_2} $ 和 $ {I_3} $ 的值也是类似计算。通过利用这些守恒量特性，可以用最小的计算量获得KdV方程和BBM方程相互作用近似合并波形的各种有用计算结果。

2 计算结果与讨论

2个输入孤立波的振幅为 $ {a_1} $ ， $ {a_2} $ ，如表1所示。KdV方程2个输入孤立波 ${a_1} = 6.75$ ， ${a_2} = 1.687\;50$ ，BBM方程2个输入孤立波 $ {a_1} = 6.75 $ ， ${a_2} = 0.944\;50$ 相互作用三维图形如图1所示。可以看出，双孤立波完全相互作用最大合并瞬间，KdV方程最大合并波高要低于BBM方程最大合并波高。而KdV方程和BBM方程空间剖面分布如图2所示。如图2(a)所示，当 $ t = 0{\text{s}} $ 时，左侧的2条黑色实线代表KdV方程输入的2个孤立波，点线是当 $ t = 13{\text{s}} $ 时的合并形状，当 $ t = 25{\text{s}} $ 时点划线表示KdV方程输入孤立波完全相互作用后输出的孤立波。当然，振幅较高的输入波比振幅较小的输入波传播得快得多，输出波也是如此。如图2(b)所示，当 $ t = 0\;{\text{s}} $ 时，左侧的2条黑色实线代表BBM方程输入的2个孤立波，点线是当 $ t = 11\;{\text{s}} $ 时的合并形状，当 $ t = 25\;{\text{s}} $ 时点划线表示BBM方程输入孤立波近似完全相互作用后输出的孤立波。从图2可以看出，BBM相互作用比KdV相互作用发生的快，例如当 $ t = 9\;{\text{s}} $ 时虚线波形。合并的波形 $ U\left( x \right) $ 可定义为：

$ U\left( x \right) = A{\text{sec}}{{\text{h}}^{\text{2}}}\left( {Bx} \right) 。$

(8)

式中： $ A $ 为孤立波振幅； $ B $ 为反向宽度。在这种假定的空间形状中，不需要时间依赖性，因为它仅在最大合并时有效。使用Mathematica或者Maple可以很容易计算得到守恒量的积分，对于KdV方程和BBM方程近似完全合并守恒量等式为：

$ {I_{1{\text{KdV}}}} = 4\sqrt 3 \left( {{a_1}^{1/2} + {a_2}^{1/2}} \right) = \frac{{2A}}{B},$

(9)

$ {I_{2{\text{KdV}}}} = \frac{8}{{\sqrt 3 }}\left( {{a_1}^{3/2} + {a_2}^{3/2}} \right) = \frac{{4{A^2}}}{{3B}} ,$

(10)

$ \begin{split}{I_{3{\text{KdV}}}} = & \frac{{8\sqrt 3 }}{5}\left( {{a_1}^{5/2} + {a_2}^{5/2}} \right) =\\& \frac{{16{A^2}\left( {A - 3{B^2}} \right)}}{{15B}}, \end{split}$

(11)

$ {I_{1{\text{BBM}}}} = 4\left( {{a_1}\sqrt {1 + \frac{3}{{{a_1}}}} + {a_2}\sqrt {1 + \frac{3}{{{a_2}}}} } \right) = \frac{{2A}}{B}, $

(12)

$\begin{split} {I_{2{\text{BBM}}}} = &\frac{{16}}{5}\left[ {\frac{{a_1^2\left( {5 + 2{a_1}} \right)}}{{6 + 2{a_1}}}\sqrt {1 + \frac{3}{{{a_1}}}} + \frac{{a_2^2\left( {5 + 2{a_2}} \right)}}{{6 + 2{a_2}}}\sqrt {1 + \frac{3}{{{a_2}}}} } \right] =\\& \frac{{4{A^2}\left( {5 + 4{B^2}} \right)}}{{15B}}, \\[-15pt]\end{split} $

(13)

$\begin{split}{I_{3{\text{BBM}}}} = & \frac{{16}}{{15}}\left[ {\frac{{a_1^3\left( {9 + 4{a_1}} \right)}}{{6 + 2{a_1}}}\sqrt {1 + \frac{3}{{{a_1}}}} + \frac{{a_2^3\left( {9 + 4{a_2}} \right)}}{{6 + 2{a_2}}}\sqrt {1 + \frac{3}{{{a_2}}}} } \right] =\\& \frac{{16{A^2}\left( {A - 3{B^2}} \right)}}{{15B}}。\\[-15pt]\end{split} $

(14)

2个输入孤立波的振幅 $ {a_2} $ ， $ A $ ， $ B $ 3个参数是未知的，用Mathematica或者Maple软件就可以求解2个方程，然后得到相对应的解。合并波的不变量与两个输入波的总和进行比较，在所有情况下，都使用类似的方法来求解合并波参数的联立方程，但是当组合形状由更多参数定义或者输入孤立波未知时，求解将变得更加复杂困难。已知一个输入孤立波振幅 $ {a_1} $ ，根据质量（ $ {I_1} $ ），动量（ $ {I_2} $ ）和能量（ $ {I_3} $ ）守恒量等式进行计算得到，KdV方程和BBM方程的完全合并波形数据，如表1所示，可以找到未知的输入波 $ {a_2} $ ，从而在不损失质量、动量或能量的情况下，得到近似完全相互作用的合并孤立波形。当 $ {a_1} = 6.75 $ 时，KdV方程的完全合并波形为 $ {U_{{\text{KdV}}}} = {\text{5}}{\text{.10972}}sec{h^2}\left( {0.35850x} \right) $ 。BBM方程的完全合并波形为 $ {U_{{\text{BBM}}}} = {\text{5}}{\text{.97487}}sec{h^2}\left( {0.37010x} \right) $ 。KdV方程和BBM方程数值计算结果和合并波形计算结果，如表2所示，绝对误差非常小，说明合并形状近似非常好。同时KdV方程拟合精度要高于BBM方程拟合精度。KdV完全合并波形 $ {U_{{\text{KdV}}}} $ 与BBM完全合并波形 $ {U_{{\text{BBM}}}} $ ，如图3所示，在靠近波高部分差值较大，最大波高处差值为0.865151。

3 结　语

本文研究了KdV方程和BBM方程2个孤立波的完全相互作用，输入不同组合孤立波在两者最大化合并。应用的守恒量方法不考虑BBM方程分散波小尾部的产生。在KdV方程和BBM方程2个孤立波的完全相互作用过程中，应用守恒量等式计算合并波形，无需求解非线性偏微分方程。综合比较了KdV方程和BBM方程的数值计算结果以及近似合并波形解析结果，认为使用守恒量近似分析方法研究孤立波相互作用，具有良好的近似解析模型，并且具有较小的计算量。