0 引　言

侧扫声呐探测技术是获取水下目标图像的重要方法之一，在军事、测绘等领域发挥出越来越大的作用。由于受到海洋环境以及水下散射等机理的影响，侧扫声呐图像不可避免地受到大量噪声的污染，其中最主要的是斑点噪声^[1]。斑点噪声的存在严重降低了侧扫声呐图像的对比度，使图像细节和目标轮廓等产生不同程度的模糊，大大影响了侧扫声呐图像的进一步应用，因此，抑制斑点噪声是侧扫声呐图像处理的关键。

侧扫声呐图像降噪的目的在于有效抑制噪声的同时能够很好地保持图像的边缘和细节，获取更好的视觉效果。传统的侧扫声呐图像降噪方法主要集中在空间域，如均值滤波、中值滤波、维纳滤波等，尽管这些方法实现简单，但大多在降噪与保持图像细节之间矛盾突出。小波变换是频率域降噪的典型方法之一，由于其具有良好的时频特性、多分辨率分析特性和稀疏表示特性，因此广泛应用于侧扫声呐图像降噪。熊传梁和郑雄波等^[2-5]利用多种形式小波变换对侧扫声呐图像进行滤波和降噪，实验结果均表明，小波变换具有较好的降噪能力。但小波变换仅对一维空间信号点奇异特征敏感，在二维和更高维空间中仅能表示有限的方向信息，对线型和面型等特征表示达不到最优，因此在图像降噪方面具有一定的局限性。

多尺度几何分析（multiscale geometric analysis, MGA）方法^[6]是近年来提出的解决小波变换表示高维信号缺点的方法之一，在高维空间的信号处理领域得到重要应用。基于多尺度几何分析的图像降噪核心思想是将图像进行多尺度分解，再对各尺度下的系数进行处理，最后根据处理后的系数进行逆变换，达到降噪目的。多尺度几何分析方法主要有脊波变换（ridgelet transform）、曲波变换（curvelet transform）、轮廓波变换（contourlet transform）和剪切波变换（shearlet transform）等^[7-10]。其中，剪切波变换是一种接近最优的多维函数表示方法^[11]，具有更好的多尺度和多方向分析能力，且理论基础完备，数学结构简单，可以对图像灵活进行多尺度多方向分解，能够更好地表示图像的边缘和细节信息。基于以上众多优点，剪切波变换被成功应用于SAR图像去噪、医学磁共振图像和超声图像去噪、探地雷达数据噪声压制、油气井中微地震信号噪声压制等多领域^[12-16]，并取得了良好的效果。但该方法在侧扫声呐图像处理中的应用还比较少，本文针对部分传统空域降噪方法和小波变换在侧扫声呐图像降噪中存在的不足，提出基于硬阈值的剪切波变换方法处理侧扫声呐图像，通过实测数据实验，验证该方法在侧扫声呐图像平滑、边缘和细节保持等方面的效果。

1 剪切波的一般原理

剪切波是在合成小波的基础上，通过具有合成膨胀的仿射系统把几何分析与多分辨分析结合起来构造而成的。当空间为二维时，可定义合成膨胀仿射系统为^[17]：

$ \begin{array}{l}\{{\varPsi }_{AB}(\psi )={\psi }_{a,s,t}(x)={\left|\mathrm{det}\;{\boldsymbol{A}}\right|}^{a/2}\psi ({{\boldsymbol{B}}}^{s}{{\boldsymbol{A}}}^{a}(x-t)):\\ a,s\in \mathbb{Z},t\in {\mathbb{Z}}^{2}\}。\end{array} $

(1)

式中： $a$ ， $s$ ， $t$ 分别为尺度参数、剪切参数和平移参数； ${\boldsymbol{A}}$ ， ${\boldsymbol{B}}$ 均为 $2 \times 2$ 可逆矩阵， $\left| {\det {\boldsymbol{B}}} \right| = 1$ 。

对任意 $（{\xi }_{1}，{\xi }_{2}）\in {\hat{\mathbb{R}}}^{2}$ ， ${\xi _1} \ne 0$ ，如满足条件：

1） $ \hat{\psi }（{\xi }_{1}，{\xi }_{2}）\text{=}{\hat{\psi }}_{1}（{\xi }_{1}）{\hat{\psi }}_{2}（{\xi }_{2}/{\xi }_{1}） $ ，其中 $ \hat{\psi }（{\xi }_{1}，$ $ {\xi }_{2}） $ 为 $ \psi （{\xi }_{1}，{\xi }_{2}） $ 的傅里叶变换，2） ${\psi _1}$ 为连续小波函数，且 $ \sup {\text{p}}{\hat \psi _1} \subset [ - 2, - 1/2] \cup $ $ [1/2,2] $ ，3） ${\psi _2}$ 在 $( - 1,1)$ 上大于0， $\left\| {{\psi _2}} \right\|{\text{ = }}1$ ，且 $\sup {\text{p}}{\hat \psi _2} \subset $ $ [ - 1,1]$ ，此时由 $\psi $ 、矩阵 $ {\boldsymbol{A}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a&0 \\ 0&{\sqrt a } \end{array}} \right) $ 、 ${\boldsymbol{{ B}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1&s \\ 0&1 \end{array}} \right)$ 生成的合成膨胀仿射系统为剪切波系统，函数 $\psi (x)$ 为剪切波， ${\boldsymbol{A}}$ 为各向异性扩张矩阵，通过其进行多尺度分析， ${\boldsymbol{B}}$ 为剪切矩阵，通过其进行几何变换，实现方向分析。对给定图像 $f(x)$ 进行剪切波变换和重构^[18]， $f(x)$ 由下式表示：

$ f(x) = \int\limits_{{R^2}} {\int_{ - \infty }^\infty {\int_{ - \infty }^\infty {\left\langle {f,{\psi _{a,s,t}}} \right\rangle } } } {\psi _{a,s,t}}(x)\frac{{{\rm{d}}a}}{{{a^3}}}{\rm{d}}s{\rm{d}}t ，$

(2)

频域上支撑区间如下式：

$ \left\{\left({\xi }_{1}\text{，}{\xi }_{2}\right):{\xi }_{1}\in \left[-\frac{2}{a},-\frac{1}{2a}\right]\cup \left[\frac{1}{2a},\frac{2}{a}\right],\left|\frac{{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}-s\right| \leqslant \sqrt{a}\right\} 。$

(3)

对连续剪切波选取有限的方向进行离散化，对各向异性扩张矩阵 ${\boldsymbol{A}}$ 中 $a$ 进行2进制采样，对剪切矩阵 ${\boldsymbol{B}}$ 中 $s$ 进行整数采样，用离散网格上的点 $k$ 代替平移变量 $t$ ，可得到离散剪切波系统如下式：

$ {\psi _{j,l,k}}(x) = {a^{ - \frac{{3j}}{2}}}\psi ({{\boldsymbol{A}}_j}{{\boldsymbol{B}}_l}(x - k)) j,k \in \mathbb{Z}k \in {\mathbb{Z}^2} ，$

(4)

此时频域支撑区间如式（5）所示。剪切波频域分解如图1所示。

$ \begin{split} \Big\{ &\left({\xi }_{1}，{\xi }_{2}\right):{\xi }_{1}\in \left[-{2}^{2j-1},-{2}^{2j-4}\right]\cup \left[{2}^{2j-4},{2}^{2j-1}\right],\\ &\left|\frac{{\xi }_{1}}{{\xi }_{2}}-l{2}^{-j}\right|\leqslant {2}^{-j} \Big\}。\end{split} $

(5)

由图1可知，剪切波在频域上是紧支撑的，表明在空间域内能够快速衰减。不同尺度下的支撑区间为一对面积约为 ${2^j} \times {2^{2j}}$ 的对称梯形区域，每个 $ {\hat \psi _{j,l,k}} $ 的方向为斜率 $l{2^{ - j}}$ 的直线，并随尺度细化而加倍，表明了剪切波具有非常高的方向敏感性。对于给定的 $N \times N$ 图像可表示为 $\left\{ f[{n_1},{n_2}]_{{n_1} = 0{{n_2} = 0}}^{N - 1{N - 1}} \right\}$ ，对其进行离散剪切波变换包括多尺度剖分和方向局部化两部分。首先利用拉普拉斯金字塔算法对图像 $f$ 进行分解，得到一个大小为 ${1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 4}} \right. } 4}$ $f$ 的低频子带图像 $f_a^j$ 和一个高频子带图像 $f_d^j$ 。再定义一个梯形对上的窗函数，通过对其平移和剪切等变换，获取一组具有尺度和方向的带通滤波器，高频子带图像经过带通滤波器后即可得到剪切波分解系数。图2给出了2层剪切波变换的流程。

剪切波逆变换为上述过程的逆过程。

2 基于剪切波变换的侧扫声呐图像降噪 2.1 阈值函数及阈值选取

分解后的剪切系数中，含有信号信息和噪声信息，信号信息系数幅值大，多分布于低频子带，噪声信息系数幅值小，多分布于高频子带。利用阈值算法处理高频子带系数，是常用的降噪算法。该算法易实现，效率高，可以高效实现对剪切波变换后高频部分的噪声抑制。

2.1.1 阈值函数的选取

常用的阈值函数包括硬阈值函数和软阈值函数。硬阈值是保留大于阈值的小波系数，而将小于阈值的系数置零。软阈值是将大于阈值系数的绝对值减去阈值，而将小于阈值的系数置零。设 ${w_i}$ 为第 $i$ 个剪切波变换后高频部分的剪切系数， $t$ 为阈值，则2种阈值函数的表达式如下：

1) 硬阈值函数

$ {\hat w_i} = \left\{ \begin{aligned} {{w_i}}&{\left| {{w_i}}, \right| \geqslant t}，\\ 0,&{\left| {{w_i}} \right| < t} 。\end{aligned} \right.$

(6)

2) 软阈值函数

$ {\hat w_i} = \left\{ \begin{aligned} \left| {{w_i}} \right| - t\quad, \left| {{w_i}} \right| \geqslant t \hfill，\\ 0\quad \quad, \;\left| {{w_i}} \right| < t \hfill 。\\ \end{aligned} \right. $

(7)

硬阈值函数构造简单，运算量小，但由于在阈值处不连续，对数据的变化敏感，易产生震荡。软阈值函数连续性好，但处理后的系数与原系数有偏差，容易丢失细节信息。因此，需根据具体需求选取合适的阈值函数。

2.1.2 阈值估计方法

阈值估计将直接影响降噪效果，如果阈值较小，降噪后图像信号中残留噪声较多。如果阈值较大，则得到较多为零的系数，重建图像将变得模糊。较为常用的阈值估计方法有通用阈值、K-Sigma阈值、BayesShrink阈值等。

1) 通用阈值

即Visushrink阈值，是针对多维独立正态变量联合分布，在维数趋于无穷时得出的结论。该方法认为与噪声相关的系数大于该阈值的概率趋于零，但阈值大小与信号长度相关，可能估计阈值远大于实际，造成过多消除有用信息。

$ t = \sigma \sqrt {2l{\text{n}}\left( {M \times N} \right)} ，$

(8)

式中： $\sigma $ 为噪声标准差； $M \times N$ 为图像尺寸。

2) K-Sigma阈值

为避免信号长度过大时有用系数被过度消除，K-Sigma阈值用一常数 $Y = S \times U$ 代替通用阈值中的 $\sqrt {2{\rm{ln}}\left( {M \times N} \right)} $ ，得到

$ t = k\sigma ，$

(9)

式中： $\alpha $ 为噪声标准差，实际中 $G$ 取3～4之间。该方法下阈值大小与信号长度无关，但未考虑各尺度下噪声影响的不同，采用 $ \alpha = 0.35 $ 值无法有效去除不同尺度下的噪声。

考虑到侧扫声呐图像中细节信息的重要性以及各尺度下系数大小的不同，本文采取硬阈值函数，并在K-Sigma阈值基础上求取阈值：

$ {\hat w_i} = \left\{ \begin{aligned} {{w_i}},&{\left| {{w_i}} \right| \geqslant E\lambda \sigma } ，\\ 0,&{\left| {{w_i}} \right| < E\lambda \sigma }。\end{aligned} \right. $

(10)

式中： $E$ 为阈值因子，根据不同环境噪声选取不同值，对同一区域数据可选相同值； $\lambda $ 为某一尺度下剪切系数均方差； $\sigma $ 为噪声标准差。

由于在侧扫声呐图像中，无法获取真实准确的噪声强度值，因此需要进行噪声估计。采用文献[19]方法确定噪声标准差。该方法用一个Laplacian模板与图像进行卷积得到噪声估计值。如图3所示，Laplacian模板 $L$ 由2个基本的Laplacian模板 ${L_1}$ 和 ${L_2}$ 组合而成：

$ L = {L_2} - 2{L_1} 。$

(11)

用 $L$ 对图像进行卷积得到噪声方差估计值：

$ \hat{\sigma }=\sqrt{\frac{{\text{π}}}{2}}\frac{{\displaystyle \sum _{I}\left|I(x,y)\ast L\right|}}{6（M-2)(N-2)} 。$

(12)

式中： $I$ 为图像； $M$ 为图像宽； $N$ 为图像高。

2.2 质量评价指标

可以从定性和定量两方面对侧扫声呐图像降噪效果进行评价，定性主要针对视觉效果，具有主观因素。定量评价通过量化指标对降噪后图像质量进行评价，本文选取峰值信噪比（PSNR）、散斑抑制指数（SSI）、边缘保持指数（EPI）作为定量评价标准。

PSNR值越高，表明降噪效果越好。

$ {{PSNR}} = 10\log \left( {\frac{{\displaystyle\sum\limits_{m = 1}^M {\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^N {{{255}^2}} } }}{{\dfrac{1}{{MN}}\displaystyle\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{[f(m,n) - \hat f(m,n)]}^2}} } }}} \right) 。$

(13)

式中： $f(m,n)$ 为原含噪图像灰度值； $\hat f(m,n)$ 为降噪后灰度值； $M$ 和 $N$ 表示图像的行列数。

SSI通常用来评价降低斑点噪声的有效程度，SSI值越低，表明对斑点噪声的滤波性能越好。

$ SSI = {{\frac{{\sqrt {\hat \sigma } }}{{\hat u}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{\frac{{\sqrt {\hat \sigma } }}{{\hat u}}} {\frac{{\sqrt \sigma }}{u}}}} \right. } {\frac{{\sqrt \sigma }}{u}}} 。$

(14)

式中： ${\hat \sigma _s}$ 为降噪后图像灰度值的标准差； $\hat u$ 为降噪后图像灰度均值； ${\sigma _s}$ 为降噪前图像灰度值的标准差； $u$ 为降噪前图像灰度均值。

EPI通常用来评价降噪后图像水平与垂直方向边缘的保持能力，其值在 $0 \sim 1$ 之间，值越大，保持能力越强。

$\begin{split} {{EPI}} =& \\ &\frac{{\displaystyle\sum {\left| {\hat f(m,n) - \hat f(m + 1,n)} \right| + \left| {\hat f(m,n) - \hat f(m,n + 1)} \right|} }}{{\displaystyle\sum {\left| {f(m,n) - f(m + 1,n)} \right| + \left| {\hat f(m,n) - \hat f(m,n + 1)} \right|} }} 。\end{split}$

(15)

式中： $f(m,n)$ 为原含噪图像灰度值； $\hat f(m,n)$ 为降噪后灰度值。

3 实验结果及分析

为了验证本文算法对侧扫声呐图像降噪的有效性，选取海底沙坡礁石、沉船目标两类侧扫声呐图像进行降噪实验，并与维纳滤波、小波滤波、非局部均值滤波算法进行对比。其中维纳滤波窗口为 $5 \times 5$ ；小波滤波采用硬阈值函数db4小波4层分解处理；非局部均值滤波搜索窗口大小为 $21 \times 21$ ，相似框大小为 $7 \times 7$ ，滤波参数分别设为 $2\sigma $ 和 $4\sigma $ ；剪切波滤波采用4层4尺度分解，剪切滤波器采用dmaxflat4，阈值因子分别设为8和10。以上噪声估计均采用本文方法。实验结果如图4所示。

图4沙坡礁石图像噪声水平较高，纹理较多且规则。维纳滤波平滑能力较强，但部分区域平滑过度，礁石边缘和沙坡纹理明显不清晰；小波滤波和非局部均值滤波的礁石边缘和沙坡纹理较为明显，但平滑能力弱，噪点明显；剪切波滤波噪点去除和边缘细节保持上更加均衡。沉船目标图像噪声水平较高，目标区域明显，边缘纹理不规则，其他区域较平坦。维纳滤波处理后整体图像较模糊；小波滤波边缘保持较好，但降噪效果不理想；非局部均值滤波平坦区域平滑过度，图像右侧竖直纹理区域已经不连续；剪切波滤波的平滑能力和边缘保持均较好。从沙坡礁石和沉船目标图像方框标注区域放大图中均可以看出，本文方法在降噪和纹理保持上均优于其他方法。

为进一步验证各方法效果，利用峰值信噪比、散斑抑制指数和边缘保持指数进行量化评价，结果如表1所示。数据结果表明，除PSNR外，剪切波滤波的SSI和EPI值均处于各方法的前列，沙坡礁石图像的EPI值和沉船目标的SSI值要明显优于其他方法。对侧扫声呐图像进行处理的目的之一是为了实现对感兴趣目标和区域的检测、识别等，在此目的下，对处理结果的评定需要综合考虑噪声的抑制和边缘等细节信息的保留。因此综合SSI和EPI值，剪切波滤波要优于其他方法，也说明了剪切波滤波在图像平滑和边缘保持上具有更好的综合能力，这与主观视觉效果显示结果一致。

4 结　语

本文结合剪切波变换的优良性质和侧扫声呐图像特点，将剪切波变换应用于侧扫声呐图像降噪处理。实验结果表明，该方法在侧扫声呐图像降噪和边缘保持上具有更好的综合能力。由于剪切波分解尺度和阈值选取中含有一些可变参数，对不同类型和不同噪声强度的图像影响均不同，如何进行取值以获取最佳降噪效果，是进一步的研究和改进方向之一。