0 引　言

吊舱推进是20世纪90年代发展起来的一种船舶电力推进系统，直接将螺旋桨连接到电机上是其革命性的构思^[1]。吊舱推进器将推进系统设计成一个整体悬挂在船体尾部的舱室，可以360°旋转产生任意方向的推力，因此搭载吊舱推进器的船舶具有较高的操纵性^[2]。由于吊舱推进器整体布置于水下，进流更均匀，且没有尾轴，螺旋桨的水动力性能得到提升，空泡效应减少，因此振动与噪声水平均有所下降^[3]。随着国家开始重视邮轮旅游产业的发展和国际主要邮轮公司将投资重点转向我国，国内的邮轮旅游业正处于蓬勃发展阶段^[4]，也开展了一些邮轮的自主建造项目。邮轮因其特殊的用途，需要较频繁的在海上转向、进出狭窄水道和出入港，因此对操纵性和机动性有很高的要求^[5]。除此之外对舒适性的要求也较高，这主要是对振动和噪声的控制，现代邮轮客舱的噪声标准达到了45～49 dB^[6]。搭载吊舱推进器的邮轮通常轴系较短，但同样需要较高的操纵性，如将吊舱推进器推广至军用，轴系的振动会传递到吊舱舱体并引起水下声辐射，从而降低军舰的隐蔽性，这都对吊舱推进器的各项性能提出了更高的要求。目前吊舱推进技术在国外已趋于成熟，数个公司先后推出了不同系列的吊舱推进器, 例如Azipod，Mermaid，Dolphin，SSP等。国内近年来虽然也承建了一些搭载吊舱推进器的电力推进船舶，但其吊舱推进设备大多依赖国外进口^[7], 同时也开展了一些吊舱推进技术的理论研究，为吊舱推进器的国产化奠定了基础。各种型号的吊舱推进器在不同工况下的水动力特性引起了很多学者的重视^[8-10]，吊舱推进电机控制系统也是研究较多的领域^[11-12]。此外，张旭等^[13]给出了吊舱支撑结构的设计和校核方案。郑建等^[14]进行了吊舱推进器温升实验，为冷却系统的设计提供了参考。刘洁等^[15]基于Matlab平台构建了搭载吊舱推进器船舶的模型，验证了吊舱推进船舶良好的操纵性，刘洪梅等^[16]采用实验法得到了相似的结论。张少明等^[17]基于 PLC 技术设计了双吊舱式的电力推进回转系统。赵鹏飞等^[18]分析了吊舱推进器与船体的耦合振动效应。

目前关于吊舱推进器轴系的研究还比较少。虽然对于船舶轴系振动特性的研究由来已久，但大多针对的是传统柴油机-螺旋桨驱动方式的轴系。从Prohl将传统的Holzer法改进成传递矩阵法，并推广应用到船舶轴系横向振动的研究中^[19]，之后很多学者都用这种方法研究了推进轴系的自由振动和强迫振动特性^[20-22]。随着计算器运算能力的提升，有限元等数值方法被广泛运用到船舶轴系振动特性的分析中。秦丽^[23]建立了集装箱船推进轴系的有限元模型，分析了轴系在螺旋桨激励力、惯性载荷等条件下的振动特性。李全超等^[24]借助有限元软件分析了不同支撑参数下的轴系振动特性。Zou等^[25]采用有限元/边界元方法建立了螺旋桨-轴流体动力学模型，分析了桨叶弹性对轴系振动特性的影响。与数值法相比，解析法具有计算时间较短、物理意义明确等优点，也有一些学者将解析法运用到船舶推进轴系的振动分析中，田哲等^[26]给出了轴的振动方程，研究了船体变形激励下轴的振动特性，Zhang等^[27]建立了包括螺旋桨的轴系解析模型，分析了轴的固有振动特性。这些研究通常将轴系简化为均质等截面梁，但吊舱推进器轴系各段之间材料、直径等相差较大。本文将相关方法推广应用到了吊舱推进器的轴系振动特性研究中，并将轴系视为非均质变截面梁。轴系的振动会沿着轴承传递到舱体，并引起水下声辐射，降低舰船的隐蔽性，由于吊舱推进器轴系径向轴承比推力轴承数量多，横向振动的传递作用更显著，因此本文以横向振动为例，对吊舱推进器轴系的振动特性进行分析。在已有文献基础上，将吊舱推进器轴系简化为非均质变截面梁，提出吊舱推进器轴系振动的解析算法，构建动力学模型，给出轴系各段之间的连续条件和边界条件，形成有效的振动特性解析方法，研究吊舱推进器轴系在螺旋桨激励和舱体变形激励下的强迫振动特性。

1 吊舱推进器轴系振动理论推导 1.1 系统模型

如图1所示，吊舱推进器轴系是由螺旋桨、推力轴、电机转轴、励磁机转轴、驱动端径向轴承和非驱动端混合轴承等组成的结构。由于吊舱推进器轴系与传统的柴油机轴系相比，长度较短，各段直径相差较大，电机转轴、励磁机转轴与其他轴段材料也不相同，不能直接简化为均质等截面梁。在对其进行建模和计算方法研究时，将螺旋桨简化为带有转动惯量的集中质量，轴承简化为弹簧结构。

1.2 轴系运动方程

在轴系的弯曲振动计算中，不考虑轴的剪切变形和截面绕中性轴转动对弯曲振动的影响，轴即简化为欧拉-伯努利梁。将未变形时轴的轴线取作 $ x $ 轴，对称平面内与 $ x $ 轴垂直的方向取作 $ y $ 轴，则轴在对称平面内做弯曲振动时，只有横向位移 $ y(x,t) $ 。设轴弹性模量和材料密度为 $ E\left(x\right) $ 和 $ \rho \left(x\right) $ , 截面积和截面二次矩为 $ A\left(x\right) $ 和 $ I\left(x\right) $ 。轴的弯曲自由振动方程为^[26]：

$ \frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}\left[E\left(x\right)I\left(x\right)\frac{{\partial }^{2}y\left(x,t\right)}{\partial {x}^{2}}\right]+\rho \left(x\right)A\left(x\right)\frac{{\partial }^{2}y\left(x,t\right)}{\partial {t}^{2}}=0 ,$

(1)

将方程的解分离变量

$ y\left(x,t\right)=\varphi \left(x\right)q\left(t\right), $

(2)

代入振动方程，得到

$ \frac{\ddot{q}\left(t\right)}{q\left(t\right)}=-\frac{{\left[E\right(x\left)I\right(x\left){\varphi }^{\text{'}\text{'}}\left(x\right)\right]}^{\text{'}\text{'}}}{\rho \left(x\right)A\left(x\right)\varphi \left(x\right)}, $

(3)

其中用“ $ \cdot $ ”表示对时间 $ t $ 的导数，右上标的“ $ \mathrm{\text{'}} $ ”表示对 $ x $ 的导数。式（3）左边与 $ x $ 无关，右边与 $ t $ 无关，只可能等于一个常数，设为 $ -{\omega }^{2} $ ,参数 $ \omega $ 可代表固有振动频率，则可以导出2个线性常微分方程^[28]：

$ \ddot{q}\left(t\right)+{\omega }^{2}q\left(t\right)=0 ,$

(4)

$ {\varphi }^{\left(4\right)}\left(x\right)-{\alpha }^{4}\varphi \left(x\right)=0。$

(5)

其中：

$ \alpha =\sqrt[4]{\frac{\rho \left(x\right)A\left(x\right)}{E\left(x\right)I\left(x\right)}{\omega }^{2}}{\text{。}} $

(6)

方程（5）的解确定轴弯曲振动的模态函数，其通解形式为：

$ \varphi \left(x\right)={C}_{1}\mathrm{cos}\left(\alpha x\right)+{C}_{2}\mathrm{sin}\left(\alpha x\right)+{C}_{3}\mathrm{ch}\left(\alpha x\right)+{C}_{4}\mathrm{sh}\left(\alpha x\right)。$

(7)

其中积分常数 $ {C}_{1} $ ， $ {C}_{2} $ ， $ {C}_{3} $ 和 $ {C}_{4} $ 可由轴的连续条件和边界条件确定。

1.3 连续条件与边界条件

由图1所示，吊舱推进器轴系各段之间因直径、材料不同及轴承的支撑作用共分为数段，各轴段之间在位移、转角、弯矩、剪力等方面存在连续性，可据此建立其连续条件。

$ {y}_{i}\left({l}_{i},t\right)={y}_{i+1}\left(0,t\right), $

(8)

$ \frac{\partial {y}_{i}\left({l}_{i},t\right)}{\partial x}=\frac{\partial {y}_{i+1}\left(0,t\right)}{\partial x}, $

(9)

$ E\left(x\right)I\left(x\right)\frac{{\partial }^{2}{y}_{i}\left({l}_{i},t\right)}{\partial {x}^{2}}=E\left(x\right)I\left(x\right)\frac{{\partial }^{2}{y}_{i+1}\left(0,t\right)}{\partial {x}^{2}}, $

(10)

$ E\left(x\right)I\left(x\right)\frac{{\partial }^{3}{y}_{i}\left({l}_{i},t\right)}{\partial {x}^{3}}=E\left(x\right)I\left(x\right)\frac{{\partial }^{3}{y}_{i+1}\left(0,t\right)}{\partial {x}^{3}}。$

(11)

当轴的两段之间因支撑轴承分段时，式（11）变为^[27]：

$ E\left(x\right)I\left(x\right)\frac{{\partial }^{3}{y}_{i}\left({l}_{i},t\right)}{\partial {x}^{3}}=E\left(x\right)I\left(x\right)\frac{{\partial }^{3}{y}_{i+1}\left(0,t\right)}{\partial {x}^{3}}+{S}_{i}{y}_{i+1}\left(0,t\right) ,$

(12)

其中 $ S $ 为轴承的径向刚度。

对于吊舱推进器轴系的非驱动端，有边界条件

$ E\left(x\right)I\left(x\right)\frac{{\partial }^{2}y\left(l,t\right)}{\partial {x}^{2}}=0 ,$

(13)

$ E\left(x\right)I\left(x\right)\frac{{\partial }^{3}y\left(l,t\right)}{\partial {x}^{3}}=0 ,$

(14)

而在轴的驱动端，螺旋桨可视为集中质量，边界条件变为^[27]：

$ E\left(x\right)I\left(x\right)\frac{{\partial }^{2}y\left(0,t\right)}{\partial {x}^{2}}={-\omega }^{2}\frac{\partial y\left(0,t\right)}{\partial x}j ,$

(15)

$ E\left(x\right)I\left(x\right)\frac{{\partial }^{3}y\left(0,t\right)}{\partial {x}^{3}}={-\omega }^{2}\partial y\left(0,t\right){m}_{1}。$

(16)

其中： $ j $ 为转动惯量； $ {m}_{1} $ 为螺旋桨考虑附连水效应的总质量。螺旋桨的附连水质量可表示为^[29]：

$ {m}^{\text{'}}=\left[\chi \left(1+1.66\frac{H}{D}\right)+0.083\frac{H}{D}\right]\frac{7.85-\tau }{4.85}m 。$

(17)

其中： $ \chi $ 由螺旋桨盘面比 $ \theta $ 确定，当 $ \theta \leqslant 1.0 $ 时， $ \ \chi =0.08\theta + $ $ 0.05 $ ，当 $ \theta > 1.0 $ 时， $ \chi =0.40\theta -0.27 $ 。 $ m $ 为螺旋桨质量， $ H/D $ 为螺距比， $ \tau $ 为桨叶数。

2 方法验证

采用某型号吊舱推进器轴系作为计算模型，如图2所示。轴系从左至右共分为7段，各段参数如表1所示。吊舱推进器轴系在驱动端布置有径向滚子轴承，非驱动端布置有混合轴承，混合轴承包括径向滚子轴承和滑动推力轴承。其中驱动端径向轴承的刚度为 $ 2.509\times 1{0}^{9}\;\mathrm{N}/\mathrm{m} $ ，非驱动端混合轴承的径向刚度为 $ 1.438\times 1{0}^{10}\;\mathrm{N}/\mathrm{m} $ 。螺旋桨考虑附连水效应的总质量为30072.8 kg，转动惯量为121838 kg·m²，桨叶数为4，盘面比为0.588，螺距比为0.65。取未变形时吊舱推进器轴系的轴心为 $ x $ 轴，与 $ x $ 轴垂直的方向为 $ y $ 轴,建立坐标系。同时考虑螺旋桨激励，以及吊舱舱体变形经由轴承传递给轴系的激励，激励方向均为径向，激励大小均为1N, 即图2中 $ {F}_{1} $ ， $ {F}_{2} $ ， $ {F}_{3} $ 。响应点的位置取x=0 m，x=4.9675 m，x=8.505 m，即吊舱推进器轴系最左端( $ {S}_{1} $ )、电机转轴中点( $ {S}_{2} $ )以及轴系最右端( $ {S}_{3} $ )。

为验证本文解析法的正确性，采用Ansys有限元软件建立吊舱推进器轴系模型，如图3所示。其中轴采用beam188单元建模，螺旋桨采用mass21单元模拟, 轴承采用combin14单元模拟, 下端设置为全约束，即将轴承与舱体视为刚性连接。在 $ {F}_{1} $ ， $ {F}_{2} $ ， $ {F}_{3} $ 点同时施加单位激励，取轴系最左端( $ {S}_{1} $ )的振动响应并与解析法进行对比，如图4所示。从图中可以看出解析法与数值法振动响应趋势基本一致，波峰频率和峰值大小有一定偏差，这主要是由于解析法只考虑了弯曲变形以及2种方法的取值精度不同造成的。总体来说，2种方法的对比结果在可接受范围内，说明本文所采用的解析法建立吊舱推进器轴系模型并进行振动分析的方法正确有效。

3 振动特性分析

计算模型与上一节相同，分析轴承刚度、激励点位置、电机转轴尺寸对吊舱推进器轴系振动特性的影响。

3.1 轴承刚度对轴系振动特性影响

讨论轴承刚度对于轴系振动特性的影响。吊舱推进器轴系上布置有径向刚度分别为 $ 2.509\times 1{0}^{9}\;\mathrm{N}/\mathrm{m} $ 和 $ 1.438\times 1{0}^{10}\mathrm{N}/\mathrm{m} $ 的径向轴承和混合轴承。单位大小的激励 $ {F}_{1} $ ， $ {F}_{2} $ ， $ {F}_{3} $ 同时施加在轴系上，研究原轴承刚度和轴承刚度分别增加、减少一个数量级时轴系的振动特性。从图5可以看出，轴承刚度变化对振动特性的影响趋势不随响应点位置的改变而改变。随着刚度的增大共振峰逐渐右移，且频率越高这种现象越明显。刚度最小时整体振幅较大。以上情况说明，轴承刚度的增大对低阶共振峰的频率影响不大，但使得中高阶共振峰的频率增大；轴承刚度的增大，使得轴系与舱体趋向于刚性连接，轴承刚度对振动起到了阻碍作用，使得轴系振动幅值减小。

3.2 激励点位置对轴系振动特性影响

本节讨论激励点的位置对吊舱推进器轴系振动特性的影响，分别在螺旋桨处（ $ {F}_{1} $ ）、驱动端轴承处（ $ {F}_{2} $ ）、非驱动端轴承处（ $ {F}_{3} $ ）施加单位激励，各响应点的振动响应如图6所示。从图6(a)可以看出， $ {F}_{3} $ 激励点的位置与轴系最左端距离最远，因此整体幅值最小， $ {F}_{1} $ 激励点和 $ {F}_{2} $ 激励点都离轴系最左端较近，因此两者振动幅值相近。当响应点的位置在电机转轴中点时，从6(b)可以看出， $ {F}_{1} $ 激励下仅在0～30 Hz下振幅最大，但因为螺旋桨激励点的位置离响应点的距离相对其他激励点较远，在其他频率范围整体振幅较小。当响应点的位置在轴系最右端时，从6(c)可以看出，螺旋桨激励下的振动响应与响应点在电机转轴中点时情况相似，仅在低频范围振幅较大； $ {F}_{2} $ 激励点离响应点的距离与 $ {F}_{3} $ 激励点相比较远，但位移较大，这主要是非驱动端混合轴承的刚度较大，对振动幅值的限制作用更大，这也验证了3.1节的结论。以上情况说明，螺旋桨激励在低频范围占主导作用，由于能量的衰减，响应点位置离激励点越近，振动幅值越大。

3.3 电机转轴尺寸对轴系振动特性影响

轴系第5段为电机转轴，讨论电机转轴尺寸对整体轴系振动特性的影响。以转轴原始长度 $ {L}_{5} $ 和原始直径 $ {D}_{5} $ 为参考值，设 $ \lambda ={L}_{5}^{\text{'}}/{L}_{5} $ 为转轴长度比， $ \mu ={D}_{5}^{\text{'}}/{D}_{5} $ 为转轴直径比。在 $ {F}_{1} $ ， $ {F}_{2} $ ， $ {F}_{3} $ 处同时施加单位激励，图7为电机转轴直径不变、长度变化时各响应点的振动响应，可以看出随着电机转轴长度增加各阶共振峰逐渐左移，说明电机转轴较长的吊舱推进器轴系容易发生低频振动。图8为转轴长度不变、直径变化时的振动响应，可以看出电机转轴直径变化对转轴本身影响最大，不仅波峰位置发生了变化，振幅大小也有明显变化。电机转轴直径大的轴系在低频段有更多响应，这主要是因为随着转轴直径的增大，该段与相邻轴段间截面变化剧烈；而电机转轴直径的增加使得S₂点整体振幅减小。其他条件相同时，通常电机转轴越长功率越大，但长度的增加使得整体轴系在低频段有更多振动响应；电机转轴直径较大时轴系容易发生低频振动，但直径较小时电机转轴弯曲振动振幅较大，可能会导致气隙偏心，造成电机气隙磁场异常，甚至定子与转子擦碰，严重危害电机运行安全。电机转轴尺寸对吊舱推进轴系振动特性的影响较为复杂。

4 结　语

本文提出将吊舱推进器轴系视为非均质变截面梁的解析算法，在轴系各段之间建立了连续条件，并分别给出了螺旋桨端和自由端的边界条件，分析了吊舱推进器轴系的振动特性，结论如下：

1）轴承刚度的增大使得吊舱推进器轴系中高阶共振峰的频率增大，整体幅值减小；

2）螺旋桨激励与其他激励相比在低频段占主导作用；

3）电机转轴长度越长、与相邻轴段直径相差越大时整体轴系越容易发生低频振动。电机转轴直径减小使得该轴段振幅增大。