0 引　言

板和板架是船体结构的基本单元，开展船体结构极限强度研究首先需要对板与板架结构进行强度分析。对于完整的加筋板架结构，文献[1]给出了较为完整的理论计算方法，Smith^[2]同样开展了系列试验来研究加筋板架结构的极限强度。然而船舶结构在建造和运营中不可避免会出现各种初始缺陷和损伤，大量文献针对各种初始缺陷^[3-7]也开展了深入的研究，例如破损裂纹，凹痕，局部腐蚀至破口。Marguerre^[8]首先开展了初始挠度对结构承载特性的影响，随后Dubas P^[9]和Guedes Soares C^[10]进行了深入研究，Z. Sadovsky^[11-12]深入探讨了初始缺陷对矩形板和方形板失效强度的影响。国内针对初始挠度结构的研究相对较少，只有郭日修^[13]采用薄板大挠度理论，推导出具有初挠度的长矩形板在纵向压力作用下极限强度和有效宽度的理论公式，并提出了实用的折减系数公式。之后曾晓辉^[14]同样采用大挠度薄板方程，得出了初挠度矩形板的后屈曲刚度以及平均应力与平均应变之间的非线性关系。

由于板与加强筋之间的相互作用较为复杂，对于挠曲板架及其作为舱段的甲板部分时，从理论上推导分析其承载特性并得到较为简单的有效面积折算公式存在较大困难，因此本章利用有限元软件MSC.Nastran对均匀受压作用下挠曲板架的承载特性进行研究。探讨了具有初始挠度的板架结构其纵向应力分布与横向应力分布特性，同时通过改变无因次参数 ${w_0}/L$ 的大小，分析了初挠度大小对板架结构承载能力的影响，并拟合了挠曲板架的有效面积折减公式。

1 有限元分析模型 1.1 模型材料与板架尺寸

本章以Recking[19]所做的模型实验中试验模型的甲板板架为分析对象，如图1所示，材料模型采用理想弹塑性材料，板与加强筋的材料特性相同，其弹性模量 $E$ 为210GPa，泊松比 $\nu $ 为0.3，屈服强度 ${\sigma _y}$ 为246 MPa，模型的跨长L为500 mm。

1.2 板架几何边界条件及初始挠曲函数

本节假设船体板架模型满足以下边界条件：

1）当 x =0，x=L时， $w = 0$ ， $EI\left(\dfrac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {x^2}}}\right) = 0$ ；

2）当y=0，y=B时， $w = 0$ ， $EI\left(\dfrac{{{\partial ^2}w}}{{\partial {y^2}}}\right) = 0$ 。

根据以上边界约束条件，假设以双重无穷级数的第一项作为初始挠曲函数：

$ w(x,y) = {w_0}\sin \left(\frac{{ {\text{π}} x}}{L}\right)\sin \left(\frac{{ {\text{π}} y}}{B}\right)\text{。} $

(1)

由于在舱内爆炸作用下，中部发生局部凸起变形。因此模型初挠度为向上凸起。初始挠度的施加首先需要建立场函数，然后通过场函数对节点位移进行修正，完成初始挠度的施加。

1.3 网格划分与节点位移和载荷

纵向加强筋之间划分18个单元网格，加强筋腹板在高度方向划分6个网格，面板在宽度方向划分4个网格，长度方向网格划分与横向合理匹配。模型在舷侧两边采用简支边界条件，只约束其位移变量，节点可以横向或纵向转动，两端分别建立刚性节点单元。在左端刚性单元的独立节点上施加固支边界条件，约束其位移和转角，在右端刚性单元的独立节点上施加Y，Z方向的位移约束，仅释放结构的水平约束，同时施加轴向压缩载荷。

具有初始挠度的板架模型如图2所示。

2 计算结果及分析

为探讨初挠度大小对板架承载特性的影响，分别建立 ${w_0}/L$ 为0，0.02，0.05，0.08，0.10，0.12和0.15的模型进行非线性有限元计算。

2.1 板架纵向应力分布特性与变形分析

图3为初挠度 ${w_0}/L$ 分别为0.05和0.15时模型的纵向（加强筋所在方向）应力分布图。

图3可知，在轴向压缩载荷作用下，挠曲板架中部存在较大的低应力区，随着初挠度的增加，低应力区的应力值不断降低，特殊位置甚至出现负值（即拉应力）；而纵向骨架端部和中部则存在较高的压应力。分析可知，对于具有初始挠度的板架在轴向载荷作用下，一方面，由于轴向力的存在，板架整体受压；另一方面，由于初挠度的存在，骨架会受到弯矩作用从而产生弯曲变形。在弯矩的作用下，以中性层为界，骨架在凸的一侧受拉，凹的一侧受压。由于板所在一侧为凸起变形，压缩应力与弯曲拉应力进行中和，从而出现低应力区；在骨架面板处，由于压缩压应力与弯曲压应力叠加，从而出现较大的压应力。当弯曲拉应力数值大于因压缩产生的压应力值时，结构应力便为负值。

图4给出了初始载荷和极限载荷条件下各模型中横剖面上的纵向应力分布图。纵坐标为无因次变量 $\sigma $ / ${\sigma _m}$ ，其中 $\sigma $ 为中横剖面上各点应力值，参考值 ${\sigma _m}$ 为无初始挠度板架结构中对应节点的应力值。其中正值表示压应力，负值表示拉应力。

由图4可知，结构应力图中出现许多应力峰值，其应力尖峰所在处即为加强筋所在位置，是压缩压应力与弯曲拉应力的叠加结果。随着初始挠度的增加，低应力区的应力值不断降低。其中当 ${w_0}/L$ >0.08时，中部开始出现0应力区，且范围不断增大，即骨架的弯曲应力不断增加；当 ${w_0}/L$ >0.10时，由于骨架弯曲的影响，甲板板上开始出现负值，即结构中开始出现拉应力，这是由于弯矩引起的中和轴上的拉应力大于由于外力压缩引起的压应力。可见当初挠度达到一定值时，骨架弯曲拉应力能抵消由于轴向载荷的压缩应力，表示板架结构以弯曲变形为主。

为进一步分析板架结构的承载特性，提取挠曲板架结构纵向名义应力与轴向压缩位移并绘制图5，其中纵向名义应力为结构的轴向压力与结构横截面积之比。

$ {\sigma _n} = F/{A_0}\text{。} $

(2)

式中： ${\sigma _n}$ 为纵向名义应力， $F$ 为结构的轴向压力， ${A_0}$ 为板架结构横截面积。

板架承载能力与抗压模量随初挠度的变化曲线如图6所示。图6（a）中纵坐标为挠曲板架的名义屈服应力，即图5中趋于稳定的名义应力值。图6（b）中纵坐标为无因次变量 ${E_e}$ / ${E_0}$ ，其中 ${E_e}$ 为具有初挠度的板在线弹性阶段的抗压模量（即图5中线性段的斜率）； ${E_0}$ 为初挠度为“0”的板架结构在线弹性阶段的抗压模量。

结合图5和图6可知，初挠度的存在大大降低了板架的承载能力。图5和图6（a）显示，具有初始挠度的板架结构的名义屈服应力随着初挠度的增大而减小；当 ${w_0}/L = 0.15$ 时，名义屈服应力约为126.6 MPa，相比与无初挠度的板，屈服应力仅为其47.54%，减少了52.46%。因此当初始挠度达到一定程度时，必须结构中参与抵抗总纵弯矩的有效面积进行折减分析。

图6（b）表明，具有初挠度的板架在线弹性阶段的名义抗压模量随着初挠度的增加而不断降低，当时在初始挠度不同时，其降低速率却大不相同，原因在于不用初始挠度下结构的主要失效模式并不相同。当初挠度较小时，无因次变量 ${E_e}$ / ${E_0}$ 降低速度较小，这是当初挠度较小时，即 ${w_0}/L$ <0.05，板架的初始挠度较小，断面处的弯矩值很小，结构主要承受来自轴向的压力，板架变形以压缩变形为主。在结构受压的条件下，结构的抗压模量仍然较大，相应的其承载能力仍然较强。其抗压模型随初挠度的变化影响并不明显。

随着初挠度的增加，当 ${w_0}/L$ ≥0.05时，无因次变量 ${E_e}$ / ${E_0}$ 迅速下降，这是因为当初始挠度较大时，结构断面受到的弯矩作用较大，板架的主要变形模式由压缩变形转化为弯曲变形，弯曲变形引起的附加挠度增大，从而使得板架轴向压缩位移也因此迅速增大，在名义应力相同时，结构的名义抗压模量迅速降低。因此无因次变量 ${E_e}$ / ${E_0}$ 迅速下降。

然而随着初始挠度的进一步增大，当 ${w_0}/L$ ≥0.10时，无因次变量 ${E_e}$ / ${E_0}$ 的下降速度变缓，这是因为当板架的初挠度更大时，板架结构主要变形模式为弯曲变形，但是由于弯曲使得板受拉，板中薄膜应力随之增强，由于板中应力沿着板中面方向，同时板具有一定挠度，故板中应力沿纵向加强筋腹板高度具有一定的应力分量，因此挠曲板架在产生挠曲变形的同时，纵向加强筋将受到板沿弯曲方向应力分量的作用，其阻碍了纵向加强筋的进一步变形，会影响板架结构的进一步弯曲，因此其下降速度逐渐变缓。

根据以上分析可知，具有初始挠度的板架结构在抵抗轴向力作用的能力大大降低，其轴向的压缩刚度也大为减弱，从而使得在相同位移下，结构的承载能力减小。这等效于结构参与抵抗轴向受压的有效断面面积随之降低。针对具有初始挠度的板架结构，其抗压相当刚度（割线模量）为 ${E_e}$ ，在受力力等效条件下，具有初始挠度的板架结构参与抵抗轴向压力的等效断面面积为：

$ \overline {{A_n}} = {A_0} \times {E_n}/{E_0}\text{。} $

(3)

式中： ${A_0}$ 为板架结构横截面积， ${E_e}$ 为具有初挠度的板在线弹性阶段的抗压模量， ${E_0}$ 为初挠度为“0”的板架的抗压模量。

令 $\xi = {w_0}/L$ ， ${\varphi _n} = \overline {{A_n}} /A = {E_n}/{E_0}$ ，即折减系数。通过对以上曲线进行有效拟合，得到 ${\varphi _n} = {E_n}/{E_0}$ 随初挠度 $\xi $ 的变化规律如下式：

$ \varphi = \left\{ \begin{array}{l} - 65.54{\xi ^2} - 0.2622\xi + 1,\xi \in (0,0.05) \text{，} \\ 23.56{\xi ^2} - 7.767\xi + 1.05,\xi \in (0.05,0.15) \text{。} \end{array} \right. $

(4)

故有效断面面积：

$ \overline {{A_n}} = {A_0} \times \varphi\text{。} $

(5)

2.2 挠曲板架横向应力分布特性

板架结构在轴向力作用下会产生轴向变形，对于具有初始挠度的结构，其在外力作用下会产生附加变形，附加变形的大小与初始挠度的大小相关。但是对于双曲正弦表达的挠曲板架结构，不同纵向位置处的初始挠度大小并不相同，其在外载荷的作用下产生的附加变形也并不相同，对于变形小的结构会阻碍变形大的结构，变形大的结构会拉伸变形小的结构，因而在结构的横向构件之间会存在相互作用，同时纵向加强筋的变形会受到两边甲板的限制，因此挠曲结构在轴向受压时必定会存在横向应力的作用与传递。为进一步分析结构间的相互作用，开展板架结构横向应力分布特性研究。

图7为初挠度 ${w_0}/L$ 分别为0.05和0.15模型的横向应力分布图。由图可知，板架结构中存在明显的横向应力分布，且不同位置处的横向应力大小并不相同，在加强筋所在处横向应力明显大于无加强筋处，且结构中间初始挠度最大处的横向应力大于两边结构的横向应力。说明初始挠度大的地方横向应力也大，加强筋所在处横向应力也较大。从整体板架结构横向应力分布可知，结构横向应力随着初始挠度的增大显著增强。由于板中应力沿着板中面方向，同时板具有一定挠度，故板中应力沿纵向加强筋腹板高度具有一定的应力分量，如图8所示。因此挠曲板架在产生挠曲变形的同时，纵向加强筋将受到板沿弯曲方向应力分量的作用，其阻碍了纵向加强筋的进一步变形，其作用类似于弹性基础；且初挠度越大，板中应力沿弯曲方向的应力分量越大，其阻碍骨架弯曲的作用越明显。

结合图6进行分析，当初挠度较大时，即 ${w_0}/L$ ≥0.08时，板架的承载能力和抗压模量的下降速度趋于缓和。这正是由于板的应力沿弯曲方向的分量影响了骨架的进一步弯曲，客观上增强了骨架的名义抗压模量。如果没有板中薄膜应力沿弯曲方向分量的作用，即仅具有初挠度的纵向加强筋结构，其在轴向压力作用下下，抗压模量在初挠度 ${w_0}/L$ ≥0.05之后便迅速下降直至失稳，不会出现图6中曲线末端的平滑阶段。

3 结　语

本文利用有限元软件对具有初始挠曲变形的板架结构轴向受压下的承载特性开展了研究，并对其应力分布进行了分析，得出以下结论：

1）对于具有初始挠度的板架在轴向载荷作用下，一方面由于轴向力的存在，板架整体受压；另一方面由于初挠度的存在，骨架会受到弯矩作用从而产生弯曲变形。在轴向压缩载荷下，挠曲板架中部存在较大的低应力区，随着初挠度的增加，低应力区的应力值不断降低，特殊位置甚至出现负值（即拉应力）。

2）当初挠度 ${w_0}/L$ >0.05时，骨架弯曲拉应力能抵消由于轴向载荷的压缩应力，板架结构以弯曲变形为主。根据应力等效原理，拟合了具有初始挠度板架轴向受压时结构有效断面面积折算公式。

3）板架结构在轴向力作用下会产生轴向变形，但由于不同纵向位置处的初始挠度并不相同，其在外载荷的作用下产生的附加变形也并不相同，因而在结构的横向间会存在相互作用，板架横向应力随着初始挠度的增大显著增强。

4）挠曲板架在产生挠曲变形的同时，纵向加强筋将受到板沿弯曲方向应力分量的作用，其阻碍了纵向加强筋的进一步变形，其作用类似于弹性基础，且初挠度越大，板中应力沿弯曲方向的应力分量越大，其阻碍骨架弯曲的作用越明显。