0 引　言

随着科学技术的发展，全电力推进船舶越来越受到各个国家的重视。传统的推进异步电机需要额外加装速度传感器，以获取电机转速。但是速度传感器的安装不仅增加了成本，而且还降低了系统的可靠性。因此，无速度传感器技术自提出以来便得到了广泛的研究和应用。到目前为止，国内外学者提出了很多方法，大致上分为 2 种：一种是基于电机理想模型的方法；另外一种是基于电机非理想模型的方法^[1]。由于后一种方法电机损耗较大，对电机结构有特殊要求，且通用性不强，所以在实际应用中前一种方法占主流地位。

传统的 MRAS 方法通常以转子磁链的电压模型作为参考模型，转子磁链的电流模型为可调模型。但是电压模型中存在的积分环节会使系统容易受到采样电压、电流直流偏置的影响，转速辨识不准确。如果选取电机本身为参考模型，全阶状态观测器为可调模型。这样不仅可以保证参考模型的准确性，还可以回避纯积分带来的问题^{[2 –8]}。

基于全阶状态观测器的模型参考自适应方法中，转速估算系统的稳定性能及转速估算的性能很大程度上取决于全阶状态观测器反馈矩阵的设计^[4]。论文针对转速估算系统的低速区域不稳定问题，采用非线性 Popov 超稳定性定理推导出转速估算系统的稳定条件，从而得到一种可以保证系统稳定的反馈增益矩阵设计准则。

1 推进电机全阶观测器的设计 1.1 电机空间状态方程建立

以推进异步电机定子电流i_s 和转子磁通ψ_r 为状态变量，定子电流i_s 为输出变量。则异步电机在两相静止αβ 坐标系下的状态空间方程为^[3]：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop x\limits^ \bullet = Ax + Bu = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{A_{11}}} & {{A_{12}}}\\{{A_{21}}} & {{A_{22}}}\end{array}} \right]x + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{B_1}}\\0\end{array}} \right]u} \text{，}\\[10pt]{y = {i_s} = Cx = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}I & 0 \end{array}} \right]x} \text{。}\end{array}}\right.$

(1)

状态变量和控制变量分别表示为：

状态变量

$x = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{i_s}} & {{\psi _r}}\end{array}} \right]^{\rm T}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{i_{sa}}} & {{i_{sb}}} & {{\psi _{ra}}} & {{\psi _{rb}}}\end{array}} \right]^{\rm T}} \text{；}$

(2)

输入变量

$u = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_s}} & 0\end{array}} \right]^{\rm T}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{sa}}} & {{u_{sb}}} & 0 & 0\end{array}} \right]^{\rm T}} \text{，}$

(3)

$\begin{array}{l}\!\!\!\!\!\!\displaystyle{A_{11}} = - \left( {\frac{{{R_s}}}{{\sigma {L_s}}} + \frac{{1 - \sigma }}{{\sigma {\tau _r}}}} \right)I\text{，} \displaystyle {A_{12}} = \frac{{{L_m}}}{{\sigma {L_s}{L_r}}}\left( {\frac{1}{{{\tau _r}}}I - \omega J} \right)\text{，}\!\!\!\!\!\!\\\!\!\!\!\!\!\displaystyle {A_{21}} = \frac{{{L_m}}}{{{\tau _r}}}I\text{，} \displaystyle {A_{22}} = - \frac{1}{{{\tau _r}}}I + \omega J\text{，}\\\!\!\!\!\!\!\displaystyle {B_{\rm{1}}} = \frac{{\rm{1}}}{{\sigma {L_s}}}I\text{，}\\\!\!\!\!\!\!I = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1 & 0\\0 & 1\end{array}} \right]\text{，} J = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0 & { - 1}\\1 & 0 \end{array}} \right] \text{。}\end{array}$

式中：R_s 为定子电阻；R_r 为转子电阻；L_s 为定子电感；L_r 为转子电感；L_m 为定子转子之间的互感；ω 为转子角速度； $\sigma = 1 - L_m^2/\left( {{L_s}{L_r}} \right)$ 为漏感； ${\tau _r} = {L_r}/{R_r}$ 为转子时间常数。

1.2 电机空间状态方程的能控能观性判定

可以认为异步推进电机空间状态方程所描述的系统是线性时变系统。由现代控制理论可知，状态空间方程（1）存在状态观测器且极点可以任意配置的充要条件是该系统完全能观。

根据可控性判据，令

${P_0}\left( t \right) = B\left( t \right) = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}\displaystyle {\frac{1}{{\sigma {L_s}}}} & 0 & 0 & 0\\0 & \displaystyle {\frac{1}{{\sigma {L_s}}}} & 0 & 0\end{array}} \right]^{\rm T}} \text{，}$

(4)

$\begin{aligned}\displaystyle {P_1}\left( t \right) & = - A\left( t \right)B\left( t \right) + \frac{\rm d}{{{\rm d}t}}B\left( t \right)\\& = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ \displaystyle - \frac{1}{{\sigma {L_s}}}\left( {\frac{{{R_s}}}{{\sigma {L_s}}} + \frac{{L_m^2}}{{\sigma {L_s}{L_r}{\tau _r}}}} \right) + \frac{\rm d}{{{\rm d}t}}\left( {\frac{1}{{\sigma {L_s}}}} \right)} & 0\\0 \quad \quad \displaystyle { - \frac{1}{{\sigma {L_s}}}\left( {\frac{{{R_s}}}{{\sigma {L_s}}} + \frac{{L_m^2}}{{\sigma {L_s}{L_r}{\tau _r}}}} \right) + \frac{\rm d}{{{\rm d}t}}\left( {\frac{1}{{\sigma {L_s}}}} \right)}\\\displaystyle {\frac{{{L_m}}}{{{\tau _r}}} \times \frac{1}{{\sigma {L_s}}}} \quad \quad 0\\0 \quad \quad \displaystyle {\frac{{{L_m}}}{{{\tau _r}}} \times \frac{1}{{\sigma {L_s}}}}\end{array}} \right] \text{。}\end{aligned}$

(5)

则 $\det \left[ {{P_o}\left( t \right),{P_1}\left( t \right)} \right] = L_m^2{\left( {\sigma {L_s}} \right)^4} > 0$ ，rank[p_o (t),P₁(t)]^T=4。

由此可以判断出系统完全能控。

根据可观性判据，令

${Q_0}\left( t \right) = C\left( t \right) = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\end{array}} \right] \text{，}$

(6)

$\begin{array}{l}{Q_1}\left( t \right) = - C\left( t \right){Q_0}\left( t \right) + \displaystyle \frac{\rm d}{{{\rm d}t}}{Q_0}\left( t \right) = \\\left[\!\!\!\! {\begin{array}{*{20}{l}}{\displaystyle - \left( {\frac{{{R_s}}}{{{L_s}}} + \frac{{L_m^2}}{{\sigma {L_s}{L_r}{\tau _r}}}} \right)}\!\! &\!\! 0\!\! &\!\! 0\!\!\!\! &\!\!\!\!0\\0 & { -\displaystyle \left( {\frac{{{R_s}}}{{{L_s}}} + \frac{{L_m^2}}{{\sigma {L_s}{L_r}{\tau _r}}}} \right)} & 0\!\!\! &\!\!\! 0\end{array}} \!\!\!\!\right] \text{。}\end{array}$

(7)

则 $\displaystyle \det \left[ {{Q_0}\left( t \right), {Q_1}\left( t \right)} \right] = \left( {\frac{{{R_s}}}{{{L_s}}} + \frac{{L_m^2}}{{\sigma {L_s}{L_r}{\tau _r}}}} \right) > 0$ ，rank [Q₀(t),Q₁(t) ]^T = 4。

由此可以判断出系统完全能观。

1.3 全阶状态观测器的建立以及反馈矩阵的设计

由以上分析可知，感应电机空间状态方程具有能观性，因此可以利用被控对象的输入量和输出量，通过观测器来重构被控对象的状态。

现构造一全阶状态观测器如下：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\mathop {\widehat x}\limits^ = \widehat A\widehat x + Bu + G(\widehat y - y)}\text{，}\\[6pt]{\widehat y = C\widehat x}\text{。}\end{array}} \right.$

(8)

式中： G 为全阶观测器反馈增益矩阵； $\widehat { A}$ 为将电机空间状态方程 A 中的参数ω 替换为转子速度估算值 $\widehat \omega $ 所得到的矩阵。反馈增益矩阵 G 一般形式为：

${ G} = - {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{g_1}} & { - {g_2}} & {{g_3}} & { - {g_4}}\\{{g_2}} & {{g_1}} & {{g_4}} & {{g_3}}\end{array}} \right]^{\rm T}}\text{。}$

(9)

增益矩阵 G 中参数的确定应该满足系统稳定性的要求。通常采用极点配置的方式来确定。但是极点配置的方法并不唯一。

将式 (8) 减去式 (1)，可得电机本体模型和状态观测器模型之间的误差方程：

$\begin{split}\frac{\rm d}{{{\rm d}t}}& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e_i}}\\{{e_\psi }}\end{array}} \right] \!=\!\\& ({ A} + { GC})\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e_i}}\\{{e_\psi }}\end{array}} \right] \!\!+\! \Delta { A}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\widehat i}_s}}\\{{{\widehat \psi }_r}}\end{array}} \right] \!\!=\!\\& ({ A} + { GC})\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e_i}}\\{{e_\psi }}\end{array}} \right] \!\!-\! { W} \text{。}\end{split} $

(10)

式中： ${e_i} = {i_s} - {\widehat i_s}$ ； ${e_\psi } = {\psi _r} - {\widehat \psi _r}$ ； ${ W} = - \Delta { A}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\widehat i}_s}} & {{{\widehat \psi }_r}} \end{array}} \right]^{\rm T}}$ 。

定义误差矩阵为：

$\Delta { A} = { A} - \widehat { A} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0 & {\frac{{\sigma {L_s}{L_r}}}{{{L_m}}}J}\\0 & { - J}\end{array}} \right](\widehat \omega - \omega ) = \Delta {{ A}_1}\Delta \omega \text{。}$

(11)

定义状态误差为：

$e = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{e_i}} & {{e_\psi }} \end{array}]^{\rm T}}$ 。

(12)

则状态误差方程 (10) 可以等效为图 1 所示的非线性反馈系统。该系统由一个线性定常前向通道和一个线性时变反馈通道组成。

图中的Φ₁（e）表示转子转速的自适应辨识函数。当非线性反馈部分选择 PI 自适应律时可以证明其满足波波夫不等式^[5]。由 POPOV 超稳定性定理：一个由线性前向通道和一个非线性时变的反馈通道组成的系统，如果其非线性反馈部分满足波波夫不等式，那么此系统处于渐进稳定的充分必要条件是线性前向部分的传递函数严格正实，因此该转速估算系统的稳定性只由线性前向通道的传递函数的严格正实性决定。

首先写出前向通道传递函数矩阵G（s）的表达式，将式 (10) 在S 域展开为：

$sI \cdot {e_i} = ({A_{11}} + {G_1}){e_i} + {A_{12}}{e_\psi } - \Delta {\omega _r}\frac{{{L_m}}}{{\sigma {L_s}{L_r}}}J{\widehat \psi _r}\text{，}$

(13)

$sI \cdot {e_\psi } = ({A_{21}} + {G_1}){e_i} + {A_{22}}{e_\psi } - \Delta {\omega _r}J{\widehat \psi _r}\text{。}$

(14)

将以上 2 式做相应处理，消去e_ψ 和A₁₂ 可得：

$\begin{aligned}{e_i} = & \displaystyle s\frac{{{L_m}}}{{\sigma {L_s}{L_r}}}\left[ {sI - {A_{11}} - {G_1} - {A_{12}}{{\left( {sI - {A_{22}}} \right)}^{ - 1}}{{\left( {{G_2} + {A_{21}}} \right)}^{ - 1}}} \right]\times\\ & \displaystyle \left[ {\frac{{\sigma {L_s}{L_r}}}{{{L_m}}} \cdot \frac{{{A_{12}}}}{{{L_m}s}}{{\left( {sI - {A_{22}}} \right)}^{ - 1}} - \frac{I}{s}} \right]\Delta {\omega _r}J{\widehat \psi _r}=\\\begin{array}{*{20}{c}}\end{array} \displaystyle& s\frac{{{L_m}}}{{\sigma {L_s}{L_r}}}\left [ {{s^2}I - ({A_{11}} + {G_1} + {A_{12}})s - {A_{22}}} \right. \times\\& \displaystyle {\left. {\left( { - {G_1} \!-\! {A_{11}} \!+\! \frac{{{L_m}}}{{\sigma {L_s}{L_r}}}\frac{{ - {G_2} \!-\! {L_m}{A_{21}}}}{{\sigma {L_r}{L_s}/{L_m}}}} \right)} \right]^{ - 1}}\Delta {\omega _r}J{{\hat \psi }_r}\text{。}\end{aligned}$

(15)

由图 1 可看出，前向通道的传递函数的输入为叉乘量 $\Delta {\omega _r}J{\widehat \psi _r}$ ，输出量为定子电流误差e_i ，所以前向通道表达式为^[9]：

$\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{c}}{G\left( s \right) =\displaystyle \frac{{{e_i}}}{{\Delta {\omega _r}J{{\widehat \psi }_r}}}}\end{array}=\\[8pt]\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} \begin{array}{l} \quad \quad \displaystyle s\frac{{{L_m}}}{{\sigma {L_s}{L_r}}}\left[ {{s^2}I \!-\! ({A_{11}} \!+\! {G_1} \!+\! {A_{12}})s \!- \!{A_{22}}} \right. \!\times\\[8pt] \quad \quad \displaystyle \left. {\left( { - {G_1} - {A_{11}} + \frac{{{L_m}}}{{\sigma {L_s}{L_r}}}\frac{{ - {G_2} - {L_m}{A_{21}}}}{{\sigma {L_r}{L_s}/{L_m}}}} \right)} \right]=\end{array}\\[8pt]\begin{array}{*{20}{c}}{}\end{array} \quad \quad \displaystyle s\frac{{{L_m}}}{{\sigma {L_s}{L_r}}}{\left[ {{s^2}I + (xI + yJ)s + mI + nJ} \right]^{ - 1}}\text{。}\end{array}$

(16)

由于反馈矩阵设计成：

${ G} = - {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{G_1}} & {{G_2}}\end{array}} \right]^{\rm T}}{\rm{ = }} - {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{g_1}} & { - {g_2}} & {{g_3}} & { - {g_4}}\\{{g_2}} & {{g_1}} & {{g_4}} & {{g_3}}\end{array}} \right]^{\rm T}}\text{，}$

(17)

因此，上式中：

$\begin{array}{l}{G_1} = {g_1}I + {g_2}J, {G_2} = {g_3}I + {g_4}J \text{，}\\[8pt]\displaystyle m = \frac{{{R_r}}}{{{L_r}}}\left( { - {g_1} + \frac{{{R_s}}}{{\sigma {L_s}}} - \frac{{{g_3}}}{{\sigma {L_S}{L_r}/{L_m}}}} \right) + {\omega _r}( - {g_2} - \frac{{{g_4}}}{{\sigma {L_S}{L_r}/{L_m}}})\text{，}\\[10pt]\displaystyle n = \frac{{{R_r}}}{{{L_r}}}\left( { - {g_2} - \frac{{{g_4}}}{{\sigma {L_S}{L_r}/{L_m}}}} \right) - {\omega _r}( - {g_1} + \frac{{{R_s}}}{{\sigma {L_s}}} - \frac{{{g_3}}}{{\sigma {L_S}{L_r}/{L_m}}})\text{，}\\[10pt]\displaystyle x = - {g_1} + \frac{{{R_s}}}{{\sigma {L_s}}} + \frac{{{R_r}}}{{\sigma {L_r}}}\text{，}\\[8pt]y = - {g_2} - {\omega _r}\text{。}\end{array}$

(18)

前向通道传递函数矩阵 G （s）想要严格正实，则必须满足以下条件：

${ G} (j\omega ) + {{ G}^*}(j\omega ) > 0 \text{，} \forall \omega > 0\text{，}$

(19)

其中 G ^*（jω）为 G （jω）的共轭转置矩阵。将式 (13) 代入上式可得：

$\begin{aligned}{ G}(j\omega ) + {{ G}^*}(j\omega ) =& \displaystyle\frac{{{L_m}}}{{\sigma {L_s}{L_r}}}{\left[ {{s^2}I + (xI + yJ)s + mI + nJ} \right]^{ - 1}} \times \\& {\left[ {{s^2}I + (xI + yJ)s + mI + nJ} \right]^*}^{ - 1} \cdot B(s) \>0 \text{。}\end{aligned}$

(20)

其中：

${ B}(s) = s{s^*}(s + {s^*})I + 2s{s^*}xI + (s + {s^*})mI + (s - {s^*})nJ \text{。}$

(21)

当且仅当B（s）＞ 0时，式 (14) 才成立。

将 $s = j{\omega _e}$ 代入式 （15），ω_e 为同步频率。式 （15） 展开并化简可得：

$\begin{array}{l}{\rm B}(s) = 2\omega _e^2xI - 2j{\omega _e}nJ=\\[8pt]\begin{array}{*{20}{c}} \ \ \ \ \ \ & { \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2\omega _e^2x} & {2j{\omega _e}n}\\{ - 2j{\omega _e}n} & {2\omega _e^2x}\end{array}} \right]}\end{array} > 0 \text{。}\end{array}$

(22)

由上式可得，保证前向通道传递函数矩阵严格正实的条件为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2\omega _e^2x > 0}\text{，}\\{\omega _e^4{x^2} - \omega _e^2{n^2} > 0}\text{。}\end{array}} \right.$

(23)

上式化简为：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x > 0}\text{，}\\{\omega _e^2 - \omega _c^2 > 0}\text{。}\end{array}} \right.$

(24)

其中ω_c 称为临界频率，定义如下：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\omega _c} = \displaystyle - \frac{n}{x}}\text{，}\\{n \!=\! \displaystyle \frac{{{R_r}}}{{{L_r}}}\left( { - {g_2} - \frac{{{g_4}}}{{\sigma {L_S}{L_r}/{L_m}}}} \right) - {\omega _r}( - {g_1} \!+\! \frac{{{R_s}}}{{\sigma {L_s}}} \!-\! \frac{{{g_3}}}{{\sigma {L_S}{L_r}/{L_m}}})}\text{，}\\{x = \displaystyle - {g_1} + \frac{{{R_s}}}{{\sigma {L_s}}} + \frac{{{R_r}}}{{\sigma {L_r}}}}\text{。}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ (25)\end{array}} \right.$

(25)

式 （18） 既可以保证前向通道传递函数为严格正实，也可以保证转速估算系统满足波波夫超稳性定理。

如果同步频率ω_e 低于临界频率ω_c ，则转速估算系统会出现不稳定现象，即估算转速或无法收敛到实际转速。临界频率然越小，则不稳定区域也越小，如果将临界频率然设计为 0，则可将不稳定区域收缩到最小。由于临界频率ω_c 与全阶磁链观测器的反馈增益矩阵相关，因此可以通过对反馈矩阵的设置，达到系统稳定的效果。

将式 （19） 代入式 （18），化简得

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{g_1} < \displaystyle \frac{{{R_s}}}{{\sigma {L_s}}} + \frac{{{R_r}}}{{\sigma {L_r}}}}\text{，}\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\ \ (26)\\[8pt]\displaystyle {\frac{{{R_r}}}{{{L_r}}}\left( { - {g_{\rm{_2}}} - \frac{{{g_{\rm{_4}}}}}{{\sigma {L_S}{L_r}/{L_m}}}} \right) = {\omega _r}( - {g_{\rm{_1}}} + \frac{{{R_s}}}{{\sigma {L_s}}} - \frac{{{g_{\rm{_3}}}}}{{\sigma {L_S}{L_r}/{L_m}}})}\text{。}\end{array}} \right.$

(26)

式 （20） 即为低速区域反馈增益的设计准则。同时考虑状态观测器的稳定性要求，反馈矩阵设计如下^[7]：

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}{g_{\rm{_1}}} = \displaystyle \frac{{{R_s}}}{{\sigma {L_s}}} + \left( {1 - \sigma } \right)\frac{{{R_r}}}{{\sigma {L_r}}} - k\frac{{{R_r}}}{{{L_r}}}\text{，}\\[6pt]{g_{\rm{_2}}} = \displaystyle - k{\widehat \omega _r}\text{，}\\[6pt]{g_{\rm{_3}}} = \displaystyle - {L_m}\frac{{{R_r}}}{{{L_r}}}\text{，}\end{array}\\[6pt] \ {{g_{\rm{_4}}} = 0}\text{。}\end{array}} \right.$

(27)

2 基于李雅普诺夫第二稳定性定理的转速自适应律推导

由电机方程 （1） 减去全阶状态观测器方程 （8），可以得到状态误差方程：

$\begin{split}\frac{\rm d}{{{\rm d}t}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e_i}}\\{{e_\psi }}\end{array}} \right] = & ({ A} + { GC})\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e_i}}\\{{e_\psi }}\end{array}} \right] + \Delta { A}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\mathop {{i_s}}\limits^ \wedge }\\{\mathop {{\psi _r}}\limits^ \wedge }\end{array}} \right] = \\& ({ A} + { GC})\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{e_i}}\\{{e_\psi }}\end{array}} \right] - { W} \text{。}\end{split}$

(28)

式中： ${e_i} = {i_s} - \mathop {{i_s}}\limits^ \wedge $ ； ${e_\psi } = {\psi _r} - \mathop {{\psi _r}}\limits^ \wedge $ ； ${ W }= - \Delta { A}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\mathop {{i_s}}\limits^ \wedge } & {\mathop {{\psi _r}}\limits^ \wedge } \end{array}} \right]^{\rm T}}$ 。

定义误差矩阵：

$\Delta { A} = { A} - \mathop { A}\limits^ \wedge = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0 & {\frac{{\sigma {L_s}{L_r}}}{{{L_m}}}J}\\0 & { - J}\end{array}} \right](\mathop \omega \limits^ \wedge - \omega ) = \Delta {{ A}_1}\Delta \omega \text{，} $

(29)

定义状态误差：

$e = {[\begin{array}{*{20}{c}} {{e_i}} & {{e_\psi }} \end{array}]^{\rm T}}$ ，

定义李雅普诺夫函数为^[6]： $V = {e^T}e + {(\mathop \omega \limits^ \wedge - \omega )^2}/\lambda $ 。

其中λ 为正常数。

根据李雅普诺夫第二稳定性定理，如果李雅普诺夫函数V 正定，同时李雅普诺夫函数的一阶导数 dV/dt 负半定，则系统在原点渐进稳定。

函数正定的定义：标量函数V（x）在s 域中对所有非零状态有V（x）＞ 0 且V（0）= 0，则称则称在s 域内正定；

负半定的定义：V（0）= 0，且V（x）在s 域内某些非零状态处有V（x）= 0，而在其他状态处均有V（x）＜ 0，则称V（x）在s 域内负半定。

磁链观测器的平衡工作点为e = 0， $(\mathop \omega \limits^ \wedge - \omega )$ ；

V 函数正定性判断：e = 0， $\mathop \omega \limits^ \wedge = \omega $ 时，V（0）= 0

e ≠ 0， $\mathop \omega \limits^ \wedge \ne \omega $ 时， $V = {e_i}^2 + e_\Psi ^2 + {(\mathop \omega \limits^ \wedge - \omega )^2}/\lambda > 0$ 恒成立；

dV/dt 函数负半定判断：

$\frac{\rm d}{{{\rm d}t}}V = \frac{\rm d}{{{\rm d}t}}({e^{\rm T}})e + {e^{rm T}}\frac{\rm d}{{{\rm d}t}}(e) + \frac{2}{\lambda }(\mathop \omega \limits^ \wedge - \omega )\frac{\rm d}{{{\rm d}t}}(\mathop \omega \limits^ \wedge - \omega )\text{，}$

(30)

假设 $ \displaystyle \frac{\rm d}{{{\rm d}t}}\omega = 0$ ， ${\psi _r} = \mathop {{\psi _r}}\limits^ \wedge $ ，则上式为：

$\begin{split}\\[-12pt]\displaystyle \frac{\rm d}{{{\rm d}t}}V = & {e^{\rm T}}[(A + GC) + {(A + GC)^{\rm T}}])e + \\& 2\displaystyle \Delta {\omega _r}e_{is}^{\rm T}J\mathop {{\psi _r}}\limits^ \wedge /(\frac{{\sigma {L_s}{L_r}}}{{{L_m}}}) + \frac{2}{\lambda }\Delta {\omega _r}\frac{\rm d}{{{\rm d}t}}\mathop {{\omega _r}}\limits^ \wedge \text{。}\end{split}$

(31)

根据李雅普诺夫第二稳定性定理，可以设计适合的观测器反馈增益矩阵 G ，使得上式第一项负半定（假设条件），同时后面两项相互抵消。

由此条件可得 $ \displaystyle \frac{\rm d}{{{\rm d}t}}\mathop {{\omega _r}}\limits^ \wedge = - \lambda e_{is}^{\rm T}J\mathop {{\psi _r}}\limits^ \wedge $ ，即可以得到 $ \displaystyle \mathop {{\omega _r}}\limits^ \wedge = \frac{{{K_i}}}{s}({e_{i\alpha }}{\mathop \psi \limits^ \wedge _{r\beta }} - {e_{i\beta }}{\mathop \psi \limits^ \wedge _{r\alpha }})$ 。

为了满足辨识的快速性要求，采用比例积分自适应律：

$\mathop {{\omega _r}}\limits^ \wedge = {K_p}({e_{i\alpha }}{\mathop \psi \limits^ \wedge _{r\beta }} - {e_{i\beta }}{\mathop \psi \limits^ \wedge _{r\alpha }}) + {K_i}\int {({e_{i\alpha }}{{\mathop \psi \limits^ \wedge }_{r\beta }} - {e_{i\beta }}{{\mathop \psi \limits^ \wedge }_{r\alpha }})} {\rm d}t\text{。}$

(32)

3 系统仿真验证

根据前文所述，在 Matlab/Simulink 仿真平台上搭建完整的仿真模型。仿真电机的参数见表 1。

根据前面介绍的方法设计不同的反馈矩阵，以验证以上结论的正确性。设定电机转速为 120 r/min，选择不同的增益矩阵，仿真结果如下：

增益矩阵设计为：

${{ G}_{\rm{1}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{ - 121}}} & {{\rm{ - 120}}} & {{\rm{0}}{\rm{.6}}} & {\rm{0}}\\ {{\rm{120}}} & {{\rm{ - 121}}} & {\rm{0}} & {{\rm{0}}{\rm{.6}}} \end{array}} \right]^{\rm T}}$ 时，估算转速与实际转速仿真图，以及两者之间的局部误差放大图如图 2 和图 3 所示。

增益矩阵设计为 ${{ G}_{\rm{2}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\rm{ - 121}}} & {{\rm{ - 60}}} & {{\rm{0}}{\rm{.6}}} & {\rm{0}}\\ {{\rm{60}}} & {{\rm{ - 121}}} & {\rm{0}} & {{\rm{0}}{\rm{.6}}} \end{array}} \right]^{\rm T}}$ 时，估算转速与实际转速仿真图，以及两者之间的局部误差放大图如图 4 和图 5 所示。

4 结　语

实验结果表明，设计的反馈增益矩阵能够使系统在保证低速稳定的前提下，对驱动电机转速有很好的辨识效果。