低渗气藏在原始状态下处于应力平衡状态，随着储层流体的不断采出，孔隙压力逐渐下降，有效应力随之增加，储层岩石发生弹塑性变形或压实，原有的应力平衡被打破，引起渗透率发生变化，进而产生压敏效应，造成附加的压力损失，影响流体的渗流能力。由于气体在地层中的流速较高，在井底附近易形成湍流作用，呈现出非线性渗流的特征，对气井产能和地层压力分布产生不同程度的影响。

目前很多学者在达西定律的基础上，通过理论手段和实验方法深入研究了应力敏感对低渗气藏产能和压力分布的影响^[1-6]，本文以气体高速非达西渗流基本理论为基础，建立了考虑渗透率应力敏感的低渗气藏产能和地层压力分布渗流模型，通过模型求解和实例计算，对应力敏感条件下的气井产能、地层压力和渗透率分布特征进行了分析。

1 渗流模型的建立与求解

渗流模型基本假设条件如下：

（1）储层均质等厚、各向同性，气井以定产量或定井底流压生产；

（2）储层中流体为单相气体，且作平面径向等温渗流，流动服从非线性稳态渗流；

（3）考虑渗透率的应力敏感，忽略重力、毛管力和表皮的影响。

气体非线性渗流过程满足Forchheimier 二项式运动方程^[7] ：

${{dp} \over {dr}} = {\mu \over k}v + \beta \rho {v^2}$

(1)

描述孔隙介质的湍流系数^[8] ： .

$\beta = {{1.15 \times {{10}^9}} \over {k\phi }}$

(2)

气体状态方程^[9] ：

$pV = ZnRT$

(3)

储层各点处渗流速度：

$v = {{{Q_{sc}}{B_g}} \over {2\pi rh}} = {{{Q_{sc}}} \over {2\pi rh}}{{{p_{sc}}} \over {{T_{sc}}}}{{ZT} \over p}$

(4)

储层条件下气体密度：

$\rho = {{28.97{\lambda _g}p} \over {2RT}}$

(5)

考虑储层岩石渗透率应力敏感时，渗透率随有效应力发生变化，二者满足指数变化关系，即岩石的状态方程为^[10-11] ：

$k = {k_i}{e^{ - a\left( {pe - p} \right)}}$

(6)

将式（2）、式（4）、式（5）代入式（1）：

${{dp} \over {dr}} = {{{p_{sc}}{Q_{sc}}} \over {2\pi rh}}{1 \over {kp}}{{\mu Z} \over r} + {{3.33 \times {{10}^{10}}{\gamma _g}{p_{sc}}^2{Q_{sc}}^2T} \over {4{\pi ^2}{h^2}R\phi }}{1 \over {kp}}{Z \over {{r^2}}}$

(7)

将式（7）转换成矿场实用单位制：

${{dp} \over {dr}} = 1.843{{{p_{sc}}{Q_{sc}}} \over {h{T_{sc}}}}\int_{{r_w}}^{{r_e}} {{{\mu Z} \over r}} + 11.31 \times {10^{ - 8}}{{{\gamma _g}{p_{sc}}^2{Q_{sc}}^2T} \over {{h^2}{T_{sc}}^2R\phi }}{1 \over {kp}}{Z \over {{r^2}}}$

(8)

将式（6）代入式（8），在区间 ( r_w ~ r_e ) 和 ( p_wf ~ p_e )进行积分 ：

$\int_{{p_{{\rm{wf}}}}}^{{p_{\rm{e}}}} {p{k_i}{e^{ - a\left( {{p_e} - p} \right)}}} dp = 1.843{{{p_{sc}}{Q_{sc}}T} \over {h{T_{sc}}}}\int_{{r_{\rm{w}}}}^{{r_{\rm{e}}}} {{{\mu Z} \over r}} dr + 11.31 \times {10^{ - 8}}{{{\gamma _g}{p_{sc}}^2{Q_{sc}}^2T} \over {{h^2}{T_{sc}}^2R\phi }}\int_{{r_{\rm{w}}}}^{{r_{\rm{e}}}} {{Z \over {{r^2}}}} dr$

(9)

取平均压力p = ( p_e + p_wf ) / 2，用p 去求解气体平均黏度μ 和平均偏差因子Z，认为它们在积分范围内是常数，将标准状况下的参数值代入，对式（9）进行积分，可以得到非线性渗流时的气井产能方程：

$\left\{ {\matrix{ \matrix{ {{\left( {\alpha {p_2} - 1} \right) - \left( {\alpha {p_{{\rm{wf}}}} - 1} \right){{\rm{e}}^{ - \alpha \left( {{p_{\rm{e}}} - {p_{{\rm{wf}}}}} \right)}}} \over {{\alpha ^2}}} = 6.353 \times {10^{ - 4}}{{\bar \mu \bar ZT} \over {h{k_i}}}\left( {1{\rm{n}}{{{r_{\rm{e}}}} \over {{r_{\rm{w}}}}}} \right){Q_{sc}} \hfill \cr 8.089 \times {10^{ - 13}}{{{\gamma _g}\bar ZT} \over {{h^2}\phi {k_i}}}\left( {{1 \over {{r_{\rm{w}}}}} - {1 \over {{r_{\rm{e}}}}}} \right){Q_{sc}}^2 \left( {\alpha \ne 0} \right) \hfill \cr} \cr {{p_{\rm{e}}}^2 - {p_{{\rm{wf}}}}^2 = 12.706 \times {{10}^{ - 4}}{{\bar \mu \bar ZT} \over {h{k_i}}}\left( {1{\rm{n}}{{{r_{\rm{e}}}} \over {{r_{\rm{w}}}}}} \right){Q_{sc}} + 16.178 \times {{10}^{ - 13}}{{{\gamma _g}\bar ZT} \over {{h^2}\phi {k_i}}}\left( {{1 \over {{r_{\rm{w}}}}} - {1 \over {{r_{\rm{e}}}}}} \right){Q_{sc}}^2 \left( {\alpha = 0} \right)} \cr } } \right.$

(10)

通过改变式（9）的积分上下限，在区间( r_w ~ r ) 和( p_wf ~ p ) 进行积分，可以得到地层压力分布表达式：

$\left\{ {\matrix{ \matrix{ {{\left[ {{e^{\alpha p}}\left( {\alpha p - 1} \right) - {e^{\alpha p{\rm{wf}}}}\left( {\alpha {p_{{\rm{wf}}}} - 1} \right){{\rm{e}}^{ - \alpha \alpha p}}} \right]} \over {{\alpha ^2}}} = 6.353 \times {10^{ - 4}}{{\bar \mu \bar ZT} \over {h{k_i}}}\left( {1{\rm{n}}{{{r_{\rm{e}}}} \over {{r_{\rm{w}}}}}} \right){Q_{sc}} + \hfill \cr 8.089 \times {10^{ - 13}}{{{\gamma _g}\bar ZT} \over {{h^2}\phi {k_i}}}\left( {{1 \over {{r_{\rm{w}}}}} - {1 \over {{r_{\rm{e}}}}}} \right){Q_{sc}}^2 \left( {\alpha \ne 0} \right) \hfill \cr} \cr {{p^2} - {p_{{\rm{wf}}}}^2 = 12.706 \times {{10}^{ - 4}}{{\bar \mu \bar ZT} \over {h{k_i}}}\left( {1{\rm{n}}{{{r_{\rm{e}}}} \over {{r_{\rm{w}}}}}} \right){Q_{sc}} + 16.178 \times {{10}^{ - 13}}{{{\gamma _g}\bar ZT} \over {{h^2}\phi {k_i}}}\left( {{1 \over {{r_{\rm{w}}}}} - {1 \over {{r_{\rm{e}}}}}} \right){Q_{sc}}^2 \left( {\alpha = 0} \right) } \cr } } \right.$

(11)

式中：p 为地层压力，MPa ；r 为径向距离，m ；μ为气体黏度，mPa · s ；k 为储层渗透率，10^-3 μm² ；v 为渗流速度，m/d ；ρ 为气体密度，kg/m³ ；β 为湍流系数，m^-1 ；z 为储层有效孔隙度，小数；V为气体体积，m³ ；Z 为气体偏差因子，小数；n为气体摩尔量，kmol ；R 为气体常数，0.008314MPa · m³/（kmol · K）；T 为储层温度，K ；B_g 为气体体积系数，小数；Q^sc 为标准状况下的气井产量，m³/d ；γ^g 为气体相对密度，小数；ki 为初始渗透率，10^-3 μm² ； α 为应力敏感系数，MPa^-1 ；pe 为原始地层压力，MPa ；p_wf 为井底压力，MPa ；h 为储层有效厚度，m；r_e 为供给边界半径，m；r_w 为井筒半径，m ；T_sc 为标准状态下的温度，20 ℃ ；p_sc 为标准状态下的压力，0.101325 MPa ； μ 为平均压力及温度下的气体黏度，0.027 mPa · s ；Z 为平均压力及温度下的气体偏差因子，小数。

2 产能特征

以某低渗透气藏为例，基本参数为：原始地层压力31.8 MPa，供给边界半径600 m，井筒半径0.1 m，平均地层温度395.6 K，气体平均偏差因子0.89，气体相对密度0.76，储层有效厚度9.2m，气体平均黏度0.027 mPa · s，储层初始渗透率1.5×10^-3 μm²，储层有效孔隙度0.05。

图 1 为不考虑应力敏感时线性渗流与非线性渗流条件下的气井IPR 曲线。经计算线性流动时气井无阻流量为13.32×10⁴ m³/d，非线性流动时气井无阻流量为13.16×10⁴ m³/d，非线性流动使无阻流量降低了1.2%。

由于非线性渗流条件下惯性阻力的影响，在相同的生产压差下气井产能小于达西渗流时，生产压差较小时，非达西流动对气井产能的影响不是很明显，随着井底压力的不断减小，非达西渗流对气井产能的影响不断增强，对气井无阻流量的影响最为显著。

图 2 为考虑应力敏感时不同应力敏感系数下的气井IPR曲线。经计算应力敏感系数分别为0.01、0.02、0.03、0.04、0.05 MPa^-1 时， 气井无阻流量为不考虑应力敏感时无阻流量的90.3%、81.9%、74.8%、68.5%、63.0%，说明应力敏感对气井无阻流量影响比较明显。

应力敏感系数越大，同一井底压力下气井产量越小，气井无阻流量越小。当生产压差较小时，应力敏感对气井产能影响不明显，随着井底流压的不断降低，气井产量降低幅度逐渐增强，压敏效应越强，气井产量损失越严重。

3 地层压力及渗透率分布特征 3.1 定产量生产地层压力分布特征

图 3 为气井以定产量8×10⁴ m³/d 生产时，不同应力敏感系数下的地层压力分布半对数曲线。可知，应力敏感系数越大，同一距井底距离处的地层压力越低，压降漏斗越陡。在距井底距离大于10 m 的范围内，不同应力敏感系数下的压降曲线基本重合，越靠近井底压降曲线的间距越大。应力敏感系数分别为0.01、0.03、0.05MPa^-1 时，井底处地层压力分别为不考虑应力敏感时的95.0%、80.6%、42.3%，压力损失主要用于克服流体的沿程黏滞阻力以及消耗于储集层的变形。

3.2 定井底流压生产地层压力及渗透率分布特征

图 4 为气井以定井底流压15 MPa 生产时，不同应力敏感系数下的地层压力分布半对数曲线。可知，应力敏感系数越大，同一距井底距离处的地层压力越高。在井底附近1 m 的范围内，应力敏感系数分别为0.01、0.03、0.05 MPa^-1 时，地层压力分别损失了35.4%、37.2%、45.0%，压力损失主要集中在井底附近较小的范围内。

图 5 为不同应力敏感系数下的渗透率分布半对数曲线。可知，应力敏感系数越大，渗透率分布曲线越陡，渗透率降低幅度越显著。应力敏感系数分别为0.01、0.03、0.05 MPa^-1 时，井底处的渗透率仅为初始渗透率的84.5%、60.3%、43.0%。

4 结论与认识

（1）在非线性渗流Forchheimier 二项式运动方程的基础上，建立了考虑渗透率应力敏感的低渗气藏产能和地层压力分布渗流模型。

（2）通过渗流模型的求解和实例计算，分析了非线性渗流产能特征、气井定产量生产地层压力分布特征以及定井底流压生产地层压力和渗透率分布特征。

（3）实例研究表明：应力敏感系数越高，气井产量降低幅度越大，地层压力损失主要集中在井底附近较小的范围内；压敏效应使渗透率在井底附近损失严重，应力敏感系数越大，渗透率降低幅度越大。