低能离子注入植物种子具有重要的生物学意义，在诱变育种、细胞加工、转基因等方面已经有了显著的进展[1]。中国科学院1986年开展了将低能离子注入植物种子的研究，发现低能离子注入作为一种新的生物诱变源具有突变率高、损伤轻等特点，从而展开了离子束生物工程[2-3]。对于离子注入植物种子，人们已有大量的研究，孙毅等[4]通过建立与生物靶较为接近的靶模型，采用Monte-Carlo方法研究了能量在20-200 keV N+注入彩棉种子的深度在0-22μm之间；许忠宇[5]同样采用Monte-Carlo方法计算了能量在200 keV的V+注入花生种子的平均射程为6.16mm；吴丽芳等[6]研究了低能氮离子束对小麦染色体畸变的诱导等，这些理论的计算是基于均匀物质靶建立的射程理论模型[7-8]。国外对这方面的研究较少，本文在注入离子与靶原子相互作用的机理上，鉴于空洞的存在是能够加快离子穿行深度的重要因素之一，考虑低能离子穿行过程中碰撞的随机性及植物种子内部空洞的影响[9-11]，建立一种非平衡统计理论模型。目前，人们建立的理论研究还没有明确给出植物种子内部空洞对穿行深度大小变化的影响，仅是提到了空洞会影响离子的穿行深度。此模型的建立能够直接计算出植物种子内空洞所占体积比不同时，注入离子的穿行深度变化大小，较为全面地考虑到了植物种子的内部结构，可能会为辐照育种提供一定的帮助。
1 材料与方法 1.1 材料由于植物的种类不同，其种子在大小、形状及颜色等方面有着较大的区别。但其基本结构都是一样的，主要由胚、胚乳和种皮三部分组成，如图 1所示。种子一般是由种皮包裹，种皮内部是糊粉层，再往里为胚芽部位。有的种子有胚乳，有的种子无胚乳。有胚乳的种子是指在种子内胚只占一小部分，而其余为胚乳，如糙米、玉米、洋葱等许多单子叶植物。无胚乳种子，是指在种子发育开始后，胚乳被发育的胚吸收进而转移到子叶中，因此，胚乳消失。绝大部分的双子叶植物为无胚乳种子。
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图 1 糙米种子结构 Figure 1 Structure of unpolished rice's seed |
本文选取单子叶植物种子糙米[7]，以30keV的N+注入，在非平衡统计理论的基础上研究其注入的动态相互作用过程。将糙米种子胚芽部位严格对准N+注入方向，注入离子的穿行深度x为其沿入射方向所走的路程。
糙米种子主要物质由20种氨基酸和水组成[7]，氨基酸中各种原子数的比例为H:C:O:N= 2:1:0.5:0.2，则其质量比为2:12:8:2.8，水含H、O两种原子。选取的糙米种子体积为2.02×10-2cm3，重为2.5×10-2g，一般糙米种子中水的质量占12%，则可计算出糙米中各原子数密度分别为
注入离子在植物种子中穿行将会与种子内的靶原子作用发生能量损失，其能量损失主要分为两部分：一部分用于靶原子核的反冲作用，即核碰撞[12]；一部分为电离或激发靶原子核外的电子，通常称为电离过程。低能离子注入靶中，一般可忽略靶原子的电离过程，只考虑核碰撞过程。当低能离子注入到植物种子内部时，主要与靶原子核发生弹性碰撞，将一部分能量传递给靶原子，同时注入离子损失一定能量并且运动方向也可能发生改变，每一次碰撞离子将不断损失能量，直至其动能为零，注入离子停留在种子内部，其微观作用过程如图 2所示[13]。
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图 2 注入离子与靶原子碰撞示意图 Figure 2 A schematic diagram of collisions between implanted ions and target atoms |
通常将注入离子与种子中单个原子碰撞的相互作用看作是二体碰撞过程，忽略其他原子对其作用。此外，当注入离子传递给靶原子的能量大于其离位阈能时，靶原子将做反冲运动，发生级联运动。设E=E(x)为注入离子在穿行深度x处的能量，通常用阻止本领
| $ {\left( {-\frac{{{\rm{d}}E}}{{{\rm{d}}x}}} \right)_n} = N{\int\limits_0^{{T_{\max }}} {\frac{{{\rm{ \mathsf{ π} }}P\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}}{{{m_1}{m_2}{E_0}\sin {\theta _{\rm{c}}}}}} ^2}T\left| {\frac{{{\rm{d}}P}}{{{\rm{d}}{\theta _{\rm{c}}}}}} \right|{\rm{d}}T $ | (1) |
式中：m1、m2分别为入射离子与靶原子的质量；P为碰撞参数，是散射角的函数，即P=P(θc)；N为靶原子密度；θc为质心系下的散射角；T为每发生一次碰撞所损失的能量；Tmzx为T的最大值。
| $ T = \frac{{4{m_1}{m_2}{E_0}}}{{{{\left( {{m_{\rm{1}}} + {m_2}} \right)}^2}}}{\sin ^2}\frac{{{\theta _{\rm{c}}}}}{2} $ | (2) |
低能离子在植物种子内穿行会与种子内的靶原子发生碰撞，每一次碰撞后离子的速率大小和方向的变化均具有不确定性，因此，离子的穿行过程是一个随机过程。即注入离子穿行深度的变化是随时间演化的动力学系统，通常用两种等价的方程来描述：
一是动力学量随时间演化的方程，即Langevin方程[14]：
| $ \dot x = k\left( x \right) + \beta \left( x \right)f\left( t \right) $ | (3) |
式中：x为注入离子在植物种子内的穿行深度；t为其穿行时间；
式(3)的物理意义为注入离子在植物种子内的穿行速率是由两部分组成的，其中穿行长大速率k(x)来自植物种子的平均结构背景，涨落长大速率β(x)f(x)则是由于种子内部各种靶原子数密度大小不同等引起的。
低能离子注入到植物种子内部，下一次的碰撞位置、碰撞后剩余的能量和方向的确定仅与此次碰撞情况有关，与之前离子的运动状态无关，是一种随机过程即马尔科夫过程，因此，f(x)满足[14]：
| $\left\langle {f\left( t \right)} \right\rangle = 0;\left\langle {f\left( t \right)f\left( {t'} \right)} \right\rangle = D\delta \left( {t - t'} \right)$ | (4) |
式中：D为穿行涨落长大系数；δ为Dirac函数。
二是概率密度函数随时间的演化方程，即Fokker-Planck方程，故有[14]：
| $ \begin{array}{c} \frac{{\partial p\left( {{x_0}, x, t} \right)}}{{\partial t}} =- \frac{{\partial \left[{\left( {k\left( {x, t} \right) + \frac{{D\beta \left( x \right)}}{2}\frac{{\partial \beta \left( x \right)}}{{\partial x}}} \right)p\left( {{x_0}, x, t} \right)} \right]}}{{\partial x}} + \\ \;\frac{D}{2}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}\left[{{\beta ^2}\left( x \right)p\left( {{x_0}, x, t} \right)} \right] \end{array} $ | (5) |
式中：
| $ \begin{array}{l} p\left( {{x_0}, x, t} \right){\rm{d}}x = \\ \quad \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{ \mathsf{ π} }}Dt} \left| {\beta \left( x \right)} \right|}}\exp \left\{ {- \frac{{{{\left[{\int_{{x_0}}^x {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\beta \left( x \right)}}-At} } \right]}^2}}}{{2Dt}}} \right\}{\rm{d}}x \end{array} $ | (6) |
且
根据散射截面的定义[16]且对式(1)进行积分，可得：
| $ -\frac{{{\rm{d}}E}}{{{\rm{d}}x}} = \frac{{{\rm{4}}{\rm{.58 \mathsf{ π} }}NC{m_1}{m_2}}}{{{{\left( {{m_1} + {m_2}} \right)}^2}}} = Q $ | (7) |
式中：C为常量（碰撞过程采用平方反比势[16]，即
| $\frac{C}{{{r^2}}} \approx \frac{1}{{4{\rm{ \mathsf{ π} }}{\varepsilon _0}}}\frac{{{Z_1}{Z_2}{e^2}}}{r}$ | (8) |
所以，
| $\dot x = {v_0}\sqrt {1 - \frac{{2Qx}}{{{m_1}v_0^2}}} $ | (9) |
式中：v0为注入离子的初始速率，令
| $ A = {v_0}, \;\;\;\beta \left( x \right) = \sqrt {1-Jx} $ | (10) |
根据概率密度分布函数，则注入离子的平均穿行深度[14-15]可表示为：
| $\langle \int\limits_{x{}_0}^x {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\beta \left( x \right)}}} \rangle \approx At$ | (11) |
注：离子注入植物种子内的穿行过程类似于裂纹的长大过程，均是随机过程[14]。
将式(10)代入式(11)，可得其平均穿行深度，即：
| $\bar x = At - \frac{{J{A^2}{t^2}}}{4}$ | (12) |
由此可知，穿行时间与平均穿行深度满足一定的比例关系。
图 3为由式(12)画出的注入N+穿行时间与平均穿行深度的关系。图 3是分别考虑了N+仅与(C、H、O、N)中一种靶原子碰撞的穿行深度变化。由于糙米种子内部各种原子分布的不均匀性，靶原子质量的不同，N+与不同靶原子碰撞的穿行深度具有一定的差异性。从图 3中可以看出N+与靶原子N碰撞所走的平均穿行深度较长，当穿行时间为t=4×10-12s时，其平均穿行深度为x=2.48×10-6m，相同穿行时间，与仅含靶原子O碰撞所走的深度为x=2.25×10-6m，与靶原子H碰撞所走的平均深度与O的相差不大，但与靶原子C碰撞所走的平均深度较小。值得注意的是，N+的穿行时间不可能无限地延长，低能入射离子在植物种子内部发生级联碰撞的时长约为皮秒量级[17-18]，这是因为N+的能量在穿行过程中会逐渐地损失，当N+的能量减小到某一临界值（低于靶原子的最低离位阈值）时，N+的能量会在极短的时间内迅速减为零，停留在糙米种子内部。
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图 3 能量为30 keV的N+与不同靶原子碰撞的穿行时间与平均穿行深度的关系 Figure 3 Relationship between the passing time and the average penetrating depth of 30 keV nitrogen ions collision with different target atoms |
若当靶由两种或两种以上的原子组成时，则注入离子在靶中运动的平均穿行深度X可表示为[19]：
| $\frac{1}{{\bar X}} = \sum\limits_i^l {\frac{{{X_i}}}{{{{\bar x}_i}}}} $ | (13) |
式中：l表示靶中含有的若干种（l种）原子种类的数目；Xi为第i种原子在靶总质量中所占的比例；xi为注入离子在第i种原子所组成的靶中碰撞的平均穿行深度。
当选取穿行时间为t=4×10-12s时，根据以上数据，代入式(13)，容易计算出30 keV的N+在糙米种子内的平均穿行深度为2.20×10-6m。
根据已有理论的推导[14]，
| $\dot x = A\beta \left( x \right) \pm \eta A\beta \left( x \right)$ | (14) |
图 4中，取
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图 4 能量为30 keV的N+仅与靶原子H碰撞时的平均穿行深度及涨落 Figure 4 Average penetrating depth and fluctuation of 30 keV nitrogen ions only collision with the target hydrogen |
将式(10)代入式(6)，则穿行到x处时，可得到离子穿行深度概率密度分布为：
| $\begin{array}{l} p\left( {{x_0}, x, t} \right){\rm{d}}x = \\ \frac{1}{{\sqrt {2{\rm{ \mathsf{ π} }}{\eta ^2}v_0^2\tau t} \sqrt {1 - Jx} }}\exp \left\{ { - {{\frac{{\left[{\int_{{x_0}}^x {\frac{{{\rm{d}}x}}{{\sqrt {1-Jx} }}-{v_0}t} } \right]}}{{2{\eta ^2}v_0^2t\tau }}}^2}} \right\}{\rm{d}}x \end{array}$ | (15) |
其初始条件为：
| $\begin{array}{l} \;\;\;\;\;\;\;\;p\left( {{x_0}, x, t = 0} \right) = 0\\ p\left( {{x_0}, x, t} \right) = \delta \left( {x - {x_0}} \right)p\left( {{x_0}, x, t} \right) \end{array}$ | (16) |
图 5为由式(15)画出的选取穿行时刻为t=4×10-12 s，具有相同能量的N+分别与不同靶原子碰撞的穿行深度概率密度分布。峰高处代表着N+的最概然穿行深度，其中
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图 5 N+分别与不同靶原子碰撞的穿行概率密度曲线(E=30 keV, t=4×10-12s) Figure 5 Fig. 5 Probability density curves of 30 keV nitrogen ion collision with different target atoms at the moment of t=4×10-12s |
图 6为糙米内空洞体积所占不同比时，N+与靶原子H碰撞的穿行深度概率密度曲线。由文献[20]，植物种子内空洞的体积占10%-30%。图 6中，虚线为空洞体积占11.25%，实线为空洞体积占30%。概率密度分布曲线最高峰处代表着最概然穿行深度，由图 6可知，当糙米内部空洞所占的比例较大时，N+的最概然穿行深度较大，并且空洞体积所占的比例越大，则峰高越矮半峰宽越大，N+的概率密度分布越均匀。这说明在注入离子的穿行过程中所遇到的阻碍越小，空洞的存在加大了注入离子的穿行深度。
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图 6 空洞体积比不同时，30keV的N+与靶原子H碰撞的概率密度分布曲线 Figure 6 Probability density distribution curve of 30 keV nitrogen ion collision with hydrogen atom at different void volume ratio |
建立低能离子注入植物种子穿行过程的非平衡统计理论模型，计算出了N+在糙米中与不同靶原子碰撞的穿行时间与平均穿行深度的关系及穿行深度概率密度分布；比较了空洞所占体积比不同时，N+平均穿行深度的大小。从微观结构角度证明了空洞的存在是使注入离子穿行深度加大的重要原因之一；空洞所占的体积越大，穿行路径上遇到的阻碍越小；注入离子与不同靶原子碰撞，其平均穿行深度不同，因为不同靶原子密度、质量大小均不同。计算出30 keV的N+在糙米种子内的平均穿行深度为2.20×10-6m，计算结果比已有的理论结果大一些，正是因为考虑了空洞的存在。此模型适用于探讨不同种类的低能离子注入各种植物种子内部平均穿行深度的研究，为育种工作提供一个更加简便的计算模型。另外，由于植物种皮特殊的纤维网状结构，故在考虑离子注入时，可以忽略这层纤维网的阻碍作用，即穿过种皮不损失能量。但由于对种子内部做了近似处理，仅考虑了氨基酸和水的成分，研究注入离子在植物种子内部的穿行深度还需要对离子穿行过程中所发生的化学生物反应作进一步深入的研究。
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