2. 中国科学院大学 北京 100049
2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China
上海软X射线自由电子激光(Shanghai Soft X-ray Free Electron Laser, SXFEL)实验装置主要建设内容包括建造由光阴极注入器、主加速器、两级高增益谐波放大振荡器系统以及加速器隧道、调束管长廊、中央控制室和公用工程配套设施等装置。波荡器系统分为调制段波荡器和辐射段波荡器两部分。调制段波荡器包括两台U80和一台U40，每台长度均为1.5 m。辐射段波荡器有两种：总长6 m的U40和总长18 m的U23.5，每台波荡器长3 m，共有8台[1]。
波荡器分段会引起电子束的辐射光在下一段波荡器入口的相位变化。对于SXFEL装置，由于波荡器气隙可调，为了使辐射段波荡器内的辐射光相位相互匹配，必须在波荡器段间放置移相器。SXFEL装置中共有5台相同设计的移相器，均采用了标准的Halbach磁铁结构[2-3]。每台移相器都由上下各7块钕铁硼永磁体排列而成，钕铁硼永磁体的型号为N35SH，剩磁为1.23T。所有磁化块横向尺寸设计一致，每块磁化块的厚度设计是为了在保证移相器所产生磁场沿束流方向的一次积分达到最小，并尽可能减小端部纵向漏磁场。移相器的最小间隙为11mm，磁化块排列及尺寸如图 1所示，移相器在束流中心轴上产生的磁场分布如图 2所示。
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图 1 纯永磁移相器磁化块排列及尺寸示意图 Figure 1 Geometric model of pure permanent magnet phase shifter. |
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图 2 移相器所产生的磁场示意图 Figure 2 Magnetic field generated by the phase shifter. |
图 3为本实验室所组装的纯永磁移相器的实物照片，其中永磁块被固定组件所固定。底座与固定组件之间留有缝隙，用于垫补操作。磁体的布置具有高度的对称性。
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图 3 纯永磁移相器实物图 Figure 3 Photograph of pure permanent magnet phase shifter. |
由于源点在某一轴线上所产生的磁场的无穷积分等于源沿该轴的长度与沿该轴无穷长的源在轴线上任一点处产生的磁场的乘积。由该结论可简化求解均匀磁化长方体磁化块所产生磁场的一次积分。设场点的坐标为(x, y)，将磁化强度三个分量在空间任意一点产生的场沿z轴的一次积分写成矩阵形式[4-5]：
| $ \left[\begin{array}{l} {I_x}\left( {x, y} \right)\\ {I_y}\left( {x, y} \right)\\ {I_z}\left( {x, y} \right) \end{array} \right] = \left[\begin{array}{l} {D_{xx}}\;\;{D_{xy}}\;\;{D_{xz}}\\ {D_{yx}}\;\;{D_{yy}}\;\;{D_{yz}}\\ {D_{zx}}\;\;{D_{zy}}\;\;{D_{zz}} \end{array} \right]\left[\begin{array}{l} {M_x}\\ {M_y}\\ {M_z} \end{array} \right] $ | (1) |
由计算可得各系数分别为：
| $ \begin{array}{l} {D_{xy}} = - \frac{c}{{2\pi }}\sum\limits_{i = 1}^2 {\sum\limits_{j = 1}^2 {{{\left( { - 1} \right)}^{i + j}}\ln \left( {\sqrt {{{\left( {{x_i} - x} \right)}^2} + {{\left( {{y_j} - y} \right)}^2}} } \right)} } \\ {D_{yy}} = - \frac{c}{{2\pi }}\sum\limits_{i = 1}^2 {\sum\limits_{j = 1}^2 {{{\left( { - 1} \right)}^{i + j}}\arctan \frac{{{x_i} - x}}{{{y_j} - y}}} } \\ {D_{xy}} = {D_{yx}}, {D_{xz}} = {D_{zx}}, {D_{yz}} = {D_{zy}}\\ {D_{xz}} = 0, {D_{yz}} = 0, {D_{zz}} = 0\\ {D_{xx}} + {D_{yy}} + {D_{zz}} = 0\left( {{\rm{Point\ field\ outside\ magnet}}} \right) \end{array} $ | (2) |
式中：c为相应磁化块在z方向（束流方向）上的尺寸宽度；[x1, x2]为相应磁化块在x方向上的区间；[y1, y2]为相应磁化块在y方向上的区间。其坐标轴示意图如图 4所示。
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图 4 初始坐标示意图 Figure 4 Initial coordinate diagram. |
则单个永磁块所产生磁场的一次积分可表示为：
| $ \begin{array}{l} {I_x} = {D_{xx}}{M_x} + {D_{xy}}{M_y}\\ {I_y} = {D_{xy}}{M_x} + {D_{yy}}{M_y} \end{array} $ | (3) |
由上述可得整台移相器的一次积分可表示为：
| $ \begin{array}{l} {I_x} = \sum\limits_{k = 1}^{14} {\left( {{D_{xxk}}{M_{xk}} + {D_{xyk}}{M_{yk}}} \right)} \\ {I_y} = \sum\limits_{k = 1}^{14} {\left( {{D_{xyk}}{M_{xk}} + {D_{yyk}}{M_{yk}}} \right)} \end{array} $ | (4) |
将式(2) 中的Dxy、Dyy对y求偏导得：
| $ \begin{array}{l} \frac{{\partial {D_{xy}}}}{{\partial y}} = - \frac{c}{{2\pi }}\sum\limits_{i = 1}^2 {\sum\limits_{j = 1}^2 {{{\left( { - 1} \right)}^{i + j}}\frac{{{y_i} - y}}{{{{\left( {{x_i} - x} \right)}^2} + {{\left( {{y_j} - y} \right)}^2}}}} } \\ \frac{{\partial {D_{yy}}}}{{\partial y}} = - \frac{c}{{2\pi }}\sum\limits_{i = 1}^2 {\sum\limits_{j = 1}^2 {{{\left( { - 1} \right)}^{i + j}}\frac{{{x_i} - x}}{{{{\left( {{x_i} - x} \right)}^2} + {{\left( {{y_j} - y} \right)}^2}}}} } \end{array} $ | (5) |
则根据式(5)，当沿y方向磁化的磁化块（此时Mx=0、Mz=0）高度变化为Δy时，所产生磁场的一次积分分量的变化量ΔIx、ΔIy分别为：
| $ \begin{array}{l} \Delta {I_x} = - \Delta y\frac{{\partial {D_{xy}}}}{{\partial y}}{M_y}\\ \Delta {I_y} = - \Delta y\frac{{\partial {D_{yy}}}}{{\partial y}}{M_y} \end{array} $ | (6) |
当小角度转动单块磁化块时，一次积分场分量Ix、Iy随磁化块倾斜角度而变化，以下排磁化块为例，若磁化块沿上表面中心点的旋转角度为α，令上表面中心点的坐标标记为(x3, y3)，则：
| $ {x_3} = \frac{{{x_1} + {x_2}}}{2}, {y_3} = {y_2} $ | (7) |
为了计算简单，将坐标轴以坐标(x3, y3)为中心同样旋转α，旋转后的坐标系如图 5所示。
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图 5 旋转后的坐标轴 Figure 5 Axis after rotation. |
则旋转后相应的磁化块在新坐标系X′方向上的区间仍为[x1, x2]，磁化块在新坐标系Y′方向上的区间仍为[y1, y2]，此时场点在新坐标系下的坐标(x′, y′)变为：
| $ \begin{array}{l} x' = \left( {x - {x_3}} \right)\cos \alpha + \left( {y - {y_3}} \right)\sin \alpha + {x_3}\\ y' = - \left( {x - {x_3}} \right)\sin \alpha + \left( {y - {y_3}} \right)\cos \alpha + {y_3} \end{array} $ | (8) |
此时根据式(3) 求出旋转后的磁场沿束流方向的一次积分分量Ix′、Iy′，则最终变换后场点在初始坐标系下沿束流方向的一次积分Ix、Iy的值可用式(9) 计算。
| $ \begin{array}{l} {I_x} = {I_x}\prime cos\alpha - {I_y}\prime \sin \alpha \\ {I_y} = {I_y}\prime cos\alpha - {I_x}\prime \sin \alpha \end{array} $ | (9) |
同样，利用上述相同的方法对上排磁化块进行旋转计算，可以得到如式(8)-(9) 相似的结果。
2 移相器的一次积分垫补移相器组装完毕后，利用二维高精度霍尔探头可以对移相器进行磁场测试，测量得到不同磁间隙下移相器中心平面线上的磁场数据，通过计算可以得到移相器不同磁间隙下不同横向位置上的一次积分分布。本实验中移相器的垫补操作在磁间隙11mm下进行，垫补前11mm磁间隙下中心平面上不同横向位置(x=-Δx, 0, Δx)上的一次积分值标注为
从测量得到的磁场数据可知，垫补前移相器所产生磁场沿束流方向的一次积分分量Iy为较大负值。根据图 1磁化块的磁化方向，我们理论上可以通过垫高厚度为4.5mm的磁化块或降低厚度为9mm的磁化块进行积分场垫补，但实际安装时，我们已将磁化块的固定组件与底座之间的间隙设为0，因而无法降低厚度为9mm的磁化块，所以只能垫高厚度为4.5mm的磁化块。利用式(1)—(9)，对移相器下部磁排列中单块4.5mm的磁化块进行模拟计算，当(x=±2, ±1, 0) 时，单块磁化块所产生磁场沿束流方向的一次积分量随磁化块高变化量Δy或旋转角度α变化的趋势如图 6所示。
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图 6 不同x坐标下一次积分量随磁化块高度或旋转角度的变化趋势 ◇: I-2X, Y，□：I-1X, Y，*：I0X, Y，○：I1X, Y，△：I2X, Y Figure 6 First integral field with the magnetization block height or the rotation angle changes on the different x-coordinate. ◇: I-2X, Y, □:I-1X, Y, *:I0X, Y, ○:I1X, Y, △:I2X, Y |
由模拟结果及图 6可得，当小角度旋转磁化块时，中轴线上(x=0) 处的一次积分场分量Iy不变，且不同x坐标下Δy，ΔIx与ΔIy，及α与ΔIx、ΔIy可以近似为线性关系，因而我们可以通过求解方程组(10) 寻找垫补最优解：
| $ \begin{array}{l} I_{x - \Delta x}^X\prime = I_{x - \Delta x}^X + \left( {\alpha + \beta } \right)K_{x - \Delta x}^X + \left( {n - m} \right)G_{x - \Delta x}^X\\ I_x^X\prime = I_x^X + \left( {\alpha + \beta } \right)K_x^X\\ I_{x + \Delta x}^X\prime = I_{x + \Delta x}^X + \left( {\alpha + \beta } \right)K_{x + \Delta x}^X + \left( {n - m} \right)G_{x + \Delta x}^X\\ I_{x - \Delta x}^Y\prime = I_{x - \Delta x}^Y + \left( {m + n} \right)G_{x - \Delta x}^Y + \left( {\beta - \alpha } \right)K_{x - \Delta x}^Y\\ I_x^Y\prime = I_x^Y + \left( {m + n} \right)G_x^X\\ I_{x + \Delta x}^Y\prime = I_{x + \Delta x}^Y + \left( {m - n} \right)G_{x + \Delta x}^X + \left( {\beta - \alpha } \right)K_{x + \Delta x}^Y \end{array} $ | (10) |
式中：α、β为上下梁磁化块所需要的倾斜角度；m、n为上下梁磁化块所需要的高度调节量；
| $ \begin{array}{l} {F_{\min }} = {\left( {I_{x - \Delta x}^X\prime } \right)^2} + {\left( {I_x^X\prime } \right)^2} + {\left( {I_{x + \Delta x}^X\prime } \right)^2} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{\left( {I_{x - \Delta x}^Y\prime } \right)^2} + {\left( {I_x^Y\prime } \right)^2} + {\left( {I_{x + \Delta x}^Y\prime } \right)^2} \end{array} $ | (11) |
优化前移相器在最小间隙下所产生磁场沿束流方向的一次积分随x坐标的变化如表 1所示。
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表 1 垫补前移相器一次积分场随x坐标的变化 Table 1 The first integral field of the phase shifter changes with the x-coordinate changes before shimming. |
通过求解式(11) 得到目标函数最优解近似为α=0.008 rad，β=0.016 rad，m=1.24 mm，n=0.36 mm。根据所得数据取移相器上、下排列中各一块厚度为4.5mm的磁化块分别进行角度调整。单块磁化块角度的调整是通过改变磁化块固定组件底部两端的垫片高度来实现的。在调整磁化块高度时，由于所得m值较大，实验中单块磁化块的移动量无法满足，所以我们分别对移相器上排列中的两块厚度为4.5mm的磁化块各向下移动0.62mm，并取移相器下排列中未进行角度调整的厚度为4.5mm的磁化块向上移动0.36mm，垫补后再次进行测量。将最优解代入式(10) 所计算的垫补后的期望值与实际垫补后一次积分的测量值随x坐标的变化如表 2所示。
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表 2 期望值与实际垫补后一次积分的测量值随x坐标的变化 Table 2 The expected value and the measured value of the first integral field after shimming on different x-coordinate. |
表 2中明显可以看到垫补后最小间隙下，一次积分Ix、Iy得到很大的改善，在-2mm≤x≤2mm内，均小于15Gs·cm。由于调节磁化块高度或旋转角度时均存在误差以及测量所存在的误差，使理论值与实验测量值存在差距。图 7为垫补前后不同磁间隙下中心轴线上一次积分数值对比，在磁间隙11-50mm范围内，垫补前一次积分Ix在15-30Gs·cm之间，一次积分Iy在-120—-20Gs·cm之间，垫补后各间隙下的Ix、Iy均小于17Gs·cm。
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图 7 垫补前后不同磁间隙下中心轴线上一次积分数值对比 Figure 7 Field integral errors in center line for different gaps before and after shimming. |
移相器的磁场测量数据来源于上海光源磁测实验室的霍尔探头测量装置，该装置利用两维霍尔探头的On-fly点测技术，可得到移相器气隙内任意沿束流方向的直线上的水平磁场和垂直磁场分布，通过对所测得的磁场分布进行数值积分获得两个方向的磁场沿束流方向的一次积分，积分范围为-40cm≤z≤40cm，其中z=0为移相器中心点的z坐标。该装置的测量重复性好于2Gs。
3 结语本文利用均匀磁化长方体磁化块所产生的磁场公式推导出移相器中任意一磁化块高度或倾斜角度变化所带来的一次积分变化量，并成功应用于SXFEL实验装置中移相器的垫补，使垫补后的移相器在不同间隙下及不同横向位置上的一次积分均满足技术要求。文中理论公式的推导是在假设磁化块并无非线性影响的前提下进行的，而实际采购的磁化块均具有一定的非线性，磁化块的非线性对本实验的影响本文并没有考虑。目前SXFEL实验装置中5台移相器已经全部研制结束，并顺利通过验收，现已完成隧道内的现场安装，预计不久将调束出光。
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