上海同步辐射光源二期工程中的超硬多功能线站将采用超导扭摆器作为光源，水平发散角大，约为6 mrad，能量高，要求能量在60-120 keV可调，且光斑可以聚焦。能够满足这些要求的最有效途径是采用高能劳厄弧矢聚焦双晶单色器。该单色器在距离光源点约100 m处可有效收集水平发散角为0.3mrad的光。单色器采用非对称切割晶体，特点是对高能X光单色化的同时可在水平方向进行聚焦，提高样品处的光通量密度。单色器的压弯机构采用叶簧压弯方式，该机构的特点是通过一个电机驱动簧片实现压弯，另一个电机控制扭曲。

本文主要研究压弯硅晶体的各向异性，以及硅晶体长宽比的选择对单色器压弯性能的影响，为单色器在上海同步辐射光源二期工程中的实际应用提供参考。

高能劳厄单色器由前后两套压弯机构组成，两者都需要动态压弯，以满足在整个能量范围内水平方向光斑可以聚焦到500 μm。根据超硬多功能线站的设计要求，完成了单色器压弯机构的设计，图 1为单色器叶簧压弯机构的简图。

图 1

图 1 叶簧压弯机构简图 Figure 1 Simplified leaf spring bender.

单色器上的晶体通过两端的无氧铜块夹持固定，使用两片高强度弹簧钢片连接到两个固定块上。其中一端的固定块固定，另一端的固定块通过直线电机推动，弹簧钢的使用减少了压弯机构本身的应变，同时也使晶体两端获得一对对称弯矩。由于晶体尺寸较大，而且厚度很薄（通常在1 mm之内），导致在压弯过程中容易产生扭曲变形，为此专门设计了调整晶体扭曲的机构。此外，还设计了晶体滚角调节机构，用来调整晶体的姿态。

单晶硅是一种各向异性的晶体材料，因此其机械性能，如弹性模量E、泊松比ν和剪切模量G均取决于晶体取向^[1]。

根据广义胡克定律，应力与应变的关系可以表示为：

式中：${{C}_{ijkl}}$是四阶刚度张量；${{\sigma }_{ij}}$和${{\varepsilon }_{kl}}$分别为二阶应力与应变张量。下标ij表示坐标轴，比如${{\sigma }_{11}}$表示X轴方向的应力，${{\sigma }_{12}}$表示X轴与Y轴之间的切应力。为了便于书写，将式(1)用矩阵符号表示为：

式中：$\sigma $和$\varepsilon $分别表示6×1的应力与应变向量；$C$为6×6的对称刚度系数矩阵^[2]。因单晶硅属于立方晶系，为了矩阵符号使用的方便，利用其对称性将4个下标的表示压缩用两个下标来表示11→1、22→2、33→3、32→4、31→5、21→6^[3]。例如${{C}_{1133}}$可以表示为${{C}_{13}}$，${{\varepsilon }_{32}}$可以表示为${{\varepsilon }_{4}}$。

综合考虑不同晶体以及不同晶面的摇摆曲线和反射率，并结合已有实际应用案例，Si(100)晶体的(311)面为该单色器晶体的最佳选择，非对称角为64.76°，布拉格角为1°-4°。

对于Si(100)晶体参数，通常使用e₁e₂e₃来表示其晶轴坐标系，其中：e₁=[100]为(100)面的法向量，另外两个正交向量平行于晶面，分别为e₂=[010]与e₃=[001]，图 2为Si(100)面晶轴坐标系。

图 2

图 2 Si(100)面的晶轴坐标系 Figure 2 Crystal-axis coordinate system for silicon crystal plane (100).

如图 2所示，晶轴坐标系中，刚度矩阵可以减少到只用三个独立的弹性系数来表示，其表达式为：

对于Si(100)晶体，c₁₁=165.7 GPa、c₁₂=63.9 GPa、 c₄₄=79.6 GPa^[4]。

参考Zhang^[5]和Kaajakari^[6]提出的计算单晶硅力学性能参数的方法，只需将原坐标系(e₁,e₂,e₃)绕e₁轴逆时针旋转a角，通过MATLAB编写的程序计算可以得到Si(100)面上任意方向的刚度矩阵。旋转后的Si(100)晶轴坐标系为(e₁′,e₂′,e₃′)，其中：e₁′=[100]、e₂′=[0 cosa sina]、e₃′=[0 -sina cosa]。

现将原坐标系(e₁,e₂,e₃)逆时针绕e₁轴旋转，从0°到90°每隔15°计算一次Si(100)晶体刚度矩阵，将计算得到的刚度矩阵输入到ANSYS Workbench中的硅材料属性中，模拟单晶硅的各向异性，即硅晶体不同切割方向对晶体压弯性能的影响。

对某尺寸Si(100)晶体进行不同切割边界条件下的压弯模拟，当晶体弧矢半径为1.5 m时，得到距晶体中心7.5 mm处的子午半径，如图 3所示。因对称压弯的关系，晶体中心左右压弯半径基本一致，这里取距晶体中心右侧7.5 mm处数据分析，若无特殊说明，下文皆取该处数据进行分析。

图 3

图 3 不同切割边界下的子午半径 Figure 3 Meridional radius of different cutting boundaries.

在弧矢半径相同的前提下，从图 3可以看出，坐标系逆时针绕e₁旋转a=45°时，晶体子午半径最大，约为39.57 m。并且，当旋转角为30°和60°时，晶体子午半径关于45°对称，约为19.88 m。同理，旋转角为15°和75°、0°和90°时也有相同的现象，此时晶体子午半径分别为11.46 m和9.87 m。

光源到单色器第一晶体的距离为97 m，按照罗兰圆条件，晶体子午半径应该等于罗兰圆直径。鉴于实际情况子午半径与罗兰圆直径有偏差，通过理论计算，在弧矢半径为1.78 m时，距晶体表面中心7.5mm处的子午半径为50 m左右，单色器工作在能量为100 keV处，此为单色器常用工作状态。

为了满足单色器的实际工作要求，希望在一定的弧矢半径下获得尽可能大的子午半径。当a=45°时符合该要求，对应的晶向为[011]方向，将此方向作为晶体长度切割边方向，与其垂直的[0-11]方向为晶体宽度切割边方向，晶体绕[0-11]方向进行弧矢压弯。至此，压弯晶体的两个切割边界已经确定，硅晶体切割边界如图 4所示。

图 4

图 4 硅晶体切割边界 Figure 4 Cutting boundaries of silicon crystal.

硅晶体的长宽比是高能劳厄单色器设计时的另一个重要参数，决定了在给定晶向以及晶体厚度的情况下弧矢半径和子午半径的关系^[7]。这里的晶体长宽比是指晶体的有效长度，即去除被夹持晶体后的长度(l)与晶体宽度(w)的比值，晶体长度方向单边夹持为10 mm。

图 5显示了长度沿[011]方向、宽度沿[0-11]方向、厚度为1 mm的Si(100)晶体在不同长宽比下的弧矢方向与子午方向的曲率，三组晶体的有效尺寸l×w分别为70 mm×35 mm、70 mm×40 mm、70mm×48 mm。

图 5

图 5 不同长宽比弧矢弯曲曲率(1/|Rs|)与子午弯曲曲率(1/Rm) Figure 5 The sagittal bending curvature and the meridional bending curvature of different aspect ratios.

使用ANSYS Workbench进行模拟仿真时需要选择是否打开大变形模式，依据Krisch的研究成 果^[8]，当晶体的最大变形量大于晶体厚度时，采用大变形模式，反之则采用小变形模式。这里的晶体厚度为1 mm，有效长度l=70 mm，半径为1000 mm，此半径为设计所能达到的最小压弯半径，通过几何关系计算得出晶体最大变形量为0.6123 mm，小于晶体厚度，故采用小变形模式进行有限元分析^[9]。

从图 5中可以明显看出，不同的晶体长宽比对应着不同的曲率。根据单色器的设计要求，晶体的弧矢半径在2.96-1.48m (1/|R_s|=0.3378-0.6757m^-1)之间动态调节，且保证在整个能量范围内单色器的能量分辨率均可以达到约10^-3量级。在光子能量为100keV时，晶体弧矢半径为1.78 m，子午半径约为50 m (1/R_m=0.02 m^-1)时，满足设计要求。从图 5中可以看出，点线l×w=70 mm×40 mm的晶体比较合适，且在整个工作范围内与双点划线代表的理论计算值可以较好地吻合。

通过研究硅晶体的各向异性以及硅晶体长宽比这两个影响晶体压弯性能的主要因素，确定了被压弯硅晶体的切割边界以及硅晶体的尺寸。最终选择了Si(100)晶体的[011]和[0-11]方向分别为长度和宽度的切割边界，晶体尺寸为90mm×40mm×1mm，有效尺寸为l×w=70 mm×40 mm。

入射到晶体表面上的光斑大小为30mm×6mm，故在水平方向选取30 mm、垂直方向选取6 mm分别计算晶体压弯后的弧矢半径与子午半径，如图 6所示。当弧矢半径为1.78 m时，距晶体中心7.5 mm处的子午半径约为50 m，符合理论设计要求。

图 6

图 6 弧矢(a)和子午(b)半径 Figure 6 Sagittal (a) and meridional (b) radius.

晶体弧矢方向和子午方向的面型误差也是单色器压弯机构设计时的重要技术指标，通常使用斜率误差的大小来表征面型误差。对弧矢半径和子午半径进行斜率误差的分析，分析结果如图 7所示，其中图 7(a)为弧矢方向的斜率误差，均方根值为3.02μrad，图 7(b)为子午方向的斜率误差，均方根值为1.25 μrad，均小于理论设计时所提弧矢和子午斜率误差分别小于6 μrad和10 μrad的技术指标，且有一定的冗余，所以该单色器晶体面型误差符合设计要求。

图 7

图 7 弧矢(a)和子午(b)斜率误差 Figure 7 Slope error of sagittal (a) and meridional (b).

应用ANSYS Workbench软件对单色器压弯机构进行有限元分析，研究了硅晶体各项异性以及硅晶体长宽比对单色器晶体压弯性能的影响。结果表明，当Si(100)晶体长度方向沿[011]，宽度方向沿[0-11]，且晶体尺寸为90 mm×40 mm×1 mm，其中有效长度、宽度为l×w=70 mm×40 mm时，晶体的弧矢半径与子午半径符合理论设计要求，而且其面型误差也符合设计要求。