2. 中国科学院大学 北京 100049
2. University of Chinese Academy of Sciences, Beijing 100049, China
上海同步辐射光源(Shanghai Synchrotron Radiation Facility,SSRF)是一台标准能量为3.5 GeV的第三代同步辐射储存环光源。上海光源储存环由20个双二极铁消色差单元(Double Bend Achromatic,DBA)组成，它包含4个超周期结构，每个单元包含两个二极铁、10个四极铁和7个六极铁。储存环总长为432 m，其自然发射度为3.9 nm·rad[1, 2]。全环共有140个束流位置监测器(Beam Position Monitor,BPM)，水平与垂直各80个校正铁。近年来同步辐射装置吸引了越来越多的实验用户，这极大地促进了上海光源二期线站工程的升级改造。上海光源二期工程目前正处于设计阶段，它的主要任务就是建造超过16个线站供用户使用，其中包含4个低温永磁波荡器、一个超导扭摆器和两个超导二极铁单元[3, 4, 5, 6]。升级改造的过程中，大部分二极铁、四极铁、六极铁、校正铁和BPM的位置都保留不变，改造后储存环的主要参数见表1。
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表1 上海光源二期工程主要参数 Table 1 Main parameters in SSRF Phase Ⅱ project. |
光谱亮度是表征同步辐射光源性能的一个重要参数，高亮度的同步辐射光在照射样品时能保持极高的辐射能量密度，以很高的信噪比在很短时间内获得满意的实验结果，因而同步辐射实验用户对同步辐射光的亮度极其地关心。亮度的表达式可以简化为：
${\rm{Brightness}} \propto {{{I_{{\rm{beam}}}}} \over {{\varepsilon _x}{\varepsilon _y}}} = {{{I_{{\rm{beam}}}}} \over {\kappa \varepsilon _x^2}}(\kappa {\rm{ = }}{{{\varepsilon _y}} \over {{\varepsilon _x}}})$
(1)
目前国际上同类光源，如瑞士光源(Swiss Light Source,SLS)[7]、澳大利亚光源(Australian Synchrotron Project,ASP)[8]等，为提高各自光源的性能，都积极地开展了降低束流垂直发射度的理论和实验研究。上海光源已高性能、高稳定地运行了6年多，在调束和运行阶段，光源物理组在降低束流垂直发射度上做了大量详细深入的研究[9]。
本文旨在研究上海光源二期工程的垂直发射度，主要分析了各磁铁准直误差对垂直发射度的影响，并且使用斜四极铁来校正了这些误差所引起的垂直发射度，使上海光源二期在以后正常运行时能保持与目前上海光源运行时相同的耦合度。
1 垂直发射度的来源 垂直发射度来源于三个方面的贡献：1) 量子极限；2) 垂直色散，此为纵向与垂直方向的耦合；3) 横向耦合，此为水平方向与垂直方向的耦合。以上三种来源中，第一种来源是不可消除的，它是由于同步辐射光并不是准确沿切线方向辐射，而是沿着1/γ的张角辐射而产生的。对于某一储存环来讲，量子极限所决定的垂直发射度为一不变的常数，并且一般小于1×10-3 nm rad，其计算公式为[10]：
$${\varepsilon _y} = {{13} \over {55}}{{{C_{\rm{q}}}} \over {{J_y}}}{{\mathop \oint \nolimits^ {\beta _y}\left( s \right)\left| {{G^3}\left( s \right)} \right|{\rm{d}}s} \over {\mathop \oint \nolimits^ \left| {{G^2}\left( s \right)} \right|{\rm{d}}s}}$$
(2)
垂直发射度主要来源于第二和第三种贡献，即垂直色散和横向耦合，而垂直色散和横向耦合又是由磁铁的准直误差所产生的。垂直色散来源于：二极铁的转角误差、四极铁的转角误差、四极铁中的垂直准直误差及六极铁的垂直准直误差。横向耦合来源于四极铁转角误差和六极铁的垂直准直误差。
二极铁有转角时，此时磁场不再是单一的垂直场，而是产生了水平方向的磁场分量，进而产生了闭轨畸变(Closed Orbit Distortion,COD)，形成垂直色散。四极铁垂直方向上的非准直，在参考轨道上（理想的闭轨）上将产生水平磁场，进而也产生闭轨畸变。垂直方向具有色散之后，当辐射发出光子时，粒子纵向的能量发生变化，引起了闭轨的变化，进而引起betatron振荡的振幅与相位发生变化，粒子在一个新的闭轨上振荡，辐射引起了betatron振荡振幅均方根值的增大，从而增加垂直发射度。横向耦合有两种效应：一种是把水平色散耦合到垂直平面上去，增加垂直色散；另一种是耦合水平平面上的betatron振荡到垂直平面上去，两种效应都增加了垂直发射度。
2 磁铁准直误差对垂直发射度的影响分别模拟二极铁转角误差ΔΘD、四极铁转角误差ΔΘQ、四极铁中的垂直准直误差ΔYQ以及六极铁的垂直准直误差ΔYS对垂直方向闭轨畸变的影响，在模拟某一类准直误差对垂直方向闭轨畸变的影响时，确保其他磁铁没有准直误差，这样做的目的在于单独分析每种误差的影响。使用的模拟软件是加速器工具箱(Accelerator Toolbox,AT)[11]，AT是基于MATLAB运行环境下的模拟软件，其本质为MATLAB的一个工具箱，是由斯坦福直线加速器中心(Stanford Linear Accelerator Center,SLAC)为斯坦福大学正负电子非对称环(Stanford Positron Electron Asymmetric Ring,SPEAR3)的设计和使用研发的。
首先模拟二极铁转角对垂直方向闭轨畸变的影响，分别设置二极铁转角误差为0.04 mrad、0.08mrad、0.12 mrad、0.16 mrad、0.2 mrad，每一个误差值处都选择了200个随机种子，该误差均为高斯分布的均方根(Root Mean Square,RMS)误差，并且在2.5σ处截断。模拟结果见图1(a)所示，图1(a)中线性拟合的直线的斜率表示准直误差对闭轨畸变的放大倍数。误差棒为平均值上下的一个标准偏差，采用同样的方法来模拟四极铁的转角误差、四极铁的垂直准直误差以及六极铁的垂直准直误差对垂直闭轨畸变的影响，得到图1(b)、(c)、(d)。
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图1 由二极铁转角(a)、四极铁转角(b)、四极铁垂直非准直(c)、六极铁垂直非准直(d)所引起的垂直方向闭轨畸变的均方根值 Fig.1 RMS of the vertical COD resulting from tilts of dipole (a) and quadrupoles (b), vertical misalignments on the quadrupole magnets (c) and the sextupole magnets (d). |
图1中4幅图的斜率分别为5.09×10-4、3.39×10-3、40.28和1.63×10-2，由此可见，四极铁的垂直准直误差对垂直方向闭轨畸变的影响很大，其他三类误差对垂直方向的闭轨畸变影响很小。
定义所有BPM处的闭轨畸变均方根值与四极磁铁垂直准直误差的均方根值的比值为四极磁铁垂直非准直对闭轨畸变影响的轨道放大因子，其计算公式可以表示为[12]：
$$\left\langle {{{y_{{\rm{COD}}}^{}} \over {\Delta Y_Q^{}}}} \right\rangle = \sqrt {{{{\beta _y}(s)} \over {8{{\sin }^2}{\rm{\pi }}{\nu _y}}}\mathop \sum \limits_{{\rm{quads}}} {\beta _y}{{\left( {{k_1}l} \right)}^2}} $$
(3)
单独分析每种磁铁准直误差对垂直闭轨畸变的影响表明：四极铁的垂直准直误差对垂直方向闭轨畸变的影响很大，这将引起束流在穿越六极铁时，距六极铁中心有很大的偏移，进而产生垂直色散和横向耦合，从而增加垂直发射度，这与六极铁本身存在垂直准直误差时具有相同的影响，因此不能单独模拟分析四极铁的垂直准直误差对垂直发射度的影响。其他三类准直误差对垂直闭轨畸变几乎没有影响，所以才可以单独模拟这三种准直误差对垂直发射度的影响。各磁铁准直误差引起的垂直色散和横向耦合所带来的垂直发射度的近似计算公式分别如下[10, 12]：
$${\varepsilon _{y{\rm{\_dispersion}}}} = {{{J_z}\sigma _\delta ^2} \over {4{{\sin }^2}{\rm{\pi }}{\nu _y}}}\left[ \matrix{
\left\langle {\Delta \Theta _D^2} \right\rangle \mathop \sum \limits_{{\rm{dipole}}} {\beta _y}{\left( {Gl} \right)^2} + \left\langle {\Delta Y_Q^2} \right\rangle \mathop \sum \limits_{{\rm{quads}}} {\beta _y}{\left( {{k_1}l} \right)^2} \hfill \cr
+ \left\langle {\Delta \Theta _Q^2} \right\rangle \mathop \sum \limits_{{\rm{quads}}} \eta _x^2{\beta _y}{\left( {{k_1}l} \right)^2} + \left\langle {\Delta Y_S^2} \right\rangle \mathop \sum \limits_{{\rm{sexts}}} \eta _x^2{\beta _y}{\left( {{k_2}l} \right)^2} \hfill \cr} \right]$$
(4)
${\varepsilon _{y{\rm{\_coupling}}}} = {{{\varepsilon _x}{J_x}} \over {4{J_y}}}{{1 - \cos 2\pi {\nu _x}\cos 2\pi {\nu _y}} \over {{{\left( {\cos 2\pi {\nu _x} - \cos 2\pi {\nu _y}} \right)}^2}}}\left[ {\left\langle {\Delta \Theta _Q^2} \right\rangle \mathop \sum \limits_{{\rm{quads}}} {\beta _x}{\beta _y}{{\left( {{k_1}l} \right)}^2} + \left\langle {\Delta Y_S^2} \right\rangle \mathop \sum \limits_{{\rm{sexts}}} {\beta _x}{\beta _y}{{\left( {{k_2}l} \right)}^2}} \right]$
(5)
将上海光源二期工程磁聚焦结构的Twiss参数和磁铁强度代入式(4)、(5)，得到：
$\displaylines{
{\varepsilon _{y{\rm{\_dispersion}}}} = {1.092_{}}1 \times {10^{ - 2}}\Delta \Theta _D^2 + 4.9\Delta Y_Q^2 + \cr
_{}^{}0.121\Delta \Theta _Q^2 + 4.2\Delta Y_S^2 \cr} $
(6)
${\varepsilon _{y{\rm{\_coupling}}}} = {0.115_{}}42\Delta \Theta _Q^2 + 3\Delta Y_S^2$
(7)
${\varepsilon _{y{\rm{\_dipole}}}} = 1.092_{}^{}1 \times {10^{ - 2}}\Delta \Theta _D^2$
(8)
${\varepsilon _{y{\rm{\_quads}}}} = 0.24\Delta \Theta _Q^2$
(9)
${\varepsilon _{y{\rm{\_sexts}}}} = 7.2\Delta Y_S^2$
(10)
其中，二极铁的转角误差只对垂直色散有影响，故式(8)只有一项；四极铁转角误差对垂直色散和横向耦合都有影响，故式(9)实际上是对垂直发射度的两项贡献的和；六极铁的垂直准直误差对垂直色散和横向耦合也都有影响，故式(10)也是对垂直发射度的两项贡献的和。
在设计改造上海光源二期工程时，只是修改了磁聚焦结构中很少的一部分，大部分磁铁的位置没有改变，因而现在运行的上海光源磁铁的准直公差将会沿用到二期工程中。因此，在模拟上海光源二期工程中每类磁铁准直误差对垂直发射度的影响时，在理想的磁聚焦结构模型中引入的磁铁准直误差分别为：二极铁和四极铁的转角误差为0.2 mrad，四极铁和六极铁的垂直准直误差为0.15 mm，上述误差均为高斯分布的均方根误差，并且在2.5σ处截断。决定了各磁铁的准直误差后，选择1000个随机种子来分别模拟二极铁转角误差、四极铁转角误差和六极铁的垂直准直误差对垂直发射度的影响。模拟过程中，垂直发射度采用Ohmi介绍的方法来计算[13]，其原理为利用粒子追踪计算六维束流包络矩阵。模拟结果见图2，误差棒为平均值上下的一个标准偏差。
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图2 二极铁转角(a)、四极铁转角(b)、六极铁垂直准直误差(c)分别在1 000 个随机种子中引起的垂直发射度的分布 Fig.2 Distribution of the vertical emittance from tilts of dipole (a) and quadrupoles (b), vertical misalignments of the sextupole magnets (c) for 1 000 random seeds. |
在图2中，每类磁铁误差引起的垂直发射度的分布中，有几个随机种子的垂直发射度远大于其他种子的垂直发射度，这是由于随机产生的较大误差值的磁铁处在具有较大色散函数或较大beta函数的位置上。模拟结果：二极铁转角、四极铁转角和六极铁垂直非准直所引起的垂直发射度分别在1000个随机种子中的平均值为4.0×10-4 nm·rad、1.1×10-2nm·rad、0.18 nm·rad。由式(8)-(10)可得到：
$\displaylines{
{\varepsilon _{y{\rm{\_dipole}}}} = 1.092_{}^{}1 \times {10^{ - 2}}\Delta \Theta _D^2 = 1.092_{}^{}1 \times {10^{ - 2}} \times {0.2^2} \cr
= 4.4 \times {10^{ - 4}}{\rm{ nm}} \cdot {\rm{rad}} \approx 4.0 \times {10^{ - 4}}{\rm{ nm}} \cdot {\rm{rad}} \cr} $
(11)
$\displaylines{
{\varepsilon _{y{\rm{\_quads}}}} = 0.24\Delta \Theta _Q^2 = 0.24 \times {0.2^2} = 9.6 \times {10^{ - 3}}nm \cdot {\rm{rad}} \cr
\approx 1.1 \times {10^{ - 2}}nm \cdot {\rm{rad}} \cr} $
(12)
$\displaylines{
{\varepsilon _{y{\rm{\_sexts}}}} = 7.2\Delta Y_S^2 = 7.2 \times {0.15^2} = 0.16nm \cdot {\rm{rad}} \cr
\approx 0.18nm \cdot {\rm{rad}} \cr} $
(13)
可以看出，近似公式计算结果与模拟结果近似相等，两者基本符合。
从模拟和近似公式的计算中得出结论，在上海光源二期工程中，保持各类磁铁的准直误差与目前正在运行的上海光源相同的情况下，由二极铁转角误差所带来的垂直发射度很小，垂直发射度主要来源于四极铁的转角和六极铁的垂直准直误差，其中六极铁的垂直准直误差对垂直发射度的贡献非常大。
3 上海光源二期工程的垂直发射度校正虽然不能单独模拟分析四极铁的垂直准直误差对垂直发射度的影响，但是为使模拟更接近于真实的机器，在下面校正随机种子引起的垂直发射度时，将包含所有磁铁的准直误差，无论该误差对垂直发射度贡献的大小。首先设置各磁铁的准直误差，即二极铁和四极铁的转角误差为0.2 mrad，四极铁和六极铁的垂直准直误差为0.15 mm，上述误差均为高斯分布的均方根误差，并且在2.5σ处截断。为使模拟更具有合理性，共使用了200个随机种子。
由于随机种子误差中引入了四极铁的垂直准直误差，这很大程度地增加了垂直方向的闭轨畸变，导致束流在通过六极铁时与六极铁的中心具有很大的偏移，进而产生垂直色散和横向耦合，所以在采用斜四极铁来校正垂直发射度之前，先要使用校正铁来校正垂直方向的闭轨畸变。
3.1 垂直闭轨畸变校正 闭轨校正的目的是使束流轨道尽可能地接近理想轨道，所采用的方法为奇值分解法(Singular Values Decomposition,SVD)[14]。首先由BPM获取束流轨道信息，然后采用SVD方法计算校正铁的强度并改变校正铁的电流值使束流轨道尽可能接近理想轨道。响应矩阵R(n×m)可以定义为：X=Rθ，其中n表示BPM的个数；m表示校正铁的个数，X表示轨道畸变向量；θ表示校正铁强度变化向量。响应矩阵为一个不可求逆的矩阵，但可以通过SVD来求响应矩阵的伪逆矩阵。根据SVD法，对于任意一个矩阵R，都有可以写成R=USVT，其中：S为m×n的对角阵，其对角线的值称为R的奇值，它们都是大于或等于0的数；U为m×m的正交矩阵；V为n×n的正交矩阵。响应矩阵R的伪逆矩阵为：R-1=VS-1UT，因此有：
$$\theta = - {R^{ - 1}}X = - V{S^{ - 1}}{U^T}X$$
(14)
在闭轨校正时，使用了140个BPM和80个校正子，其位置与目前运行的上海光源中BPM与校正铁的位置相同。由于只关心垂直方法的闭轨，所以只校正了垂直方向的闭轨畸变，校正前后的闭轨畸变均方根值如图3所示，
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图3 200 个随机种子在校正前(a)和校正后(b)的垂直闭轨畸变的均方根值 Fig.3 RMS of the vertical COD of 200 uncorrected (a) and corrected (b) random machine seeds. |
校正之后，很大程度地降低了垂直方向的闭轨畸变，大部分随机种子的闭轨畸变均方根值都在0.06 mm以下，如图3(b)所示。
3.2 垂直发射度校正 在校正垂直方向的闭轨畸变之后，使用斜四极铁采用梯度下降法来校正垂直发射度。梯度下降法的基本原理为：一个有界可微的多变量函数F在某一点a处，函数值下降最快的方向为该点的负梯度的方向，即-ÑF(a)的方向。这种方法需要先猜想一个初始点x0为函数F的局部最小值点，随后的点变化方式为：
${x_{n + 1}} = {x_n} - {\gamma _n}\nabla F\left( {{x_n}} \right),n \ge 0$
(15)
则可以得到：F(x0)≥F(x1)≥F(x2)…，其中γ为一个非常小的数值，并且它可以在每次迭代中变化，γ的选取条件满足：F(xk-γkÑF(xk))=min F(xk-γÑF(xk))。由于耦合度随斜四极铁强度变化的函数解析式未知，所以采用了非确定性线搜索并且满足Wolfe条件而定γ，即迭代寻找γ使耦合度在某一组斜四极铁强度处的值比上一组的值要小。
在模拟校正时，使用了60个斜四极铁来校正上海光源二期的垂直发射度，这些斜四极铁分别为S3（14个）、S8（4个）、S10（4个）、SFS（两个）、SD（36个）这60个六极铁的辅助线圈。
目前上海光源在正常运行时的耦合度为0.5%，所以在校正上海光源二期耦合度时，选定的目标值也为0.5%，其基本过程为扫描斜四极铁的强度值对耦合度的响应，得到其梯度值，然后采用梯度下降法来一步步循环迭代，当某一步计算的耦合度小于0.5%，则立即退出迭代循环。图4为校正前后的耦合度变化。
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图4 200 个随机种子在校正前(a)和校正后(b)的耦合度 Fig.4 Emittance coupling of 200 uncorrected (a) and corrected (b) random machine seeds. |
从图4(b)中可以看出，200个随机种子的耦合度都被降到了0.5%以下。校正前与校正后的垂直色散的变化如图5所示。从图5(b)中可以看出，200个随机种子的垂直色散都得到了很大程度地减小。校正时所使用的60个斜四极磁铁的强度都处在目前上海光源的斜四极铁供电电源的供给范围内。
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图5 200 个随机种子在校正前(a)和校正后(b)的垂直色散的均方根值 Fig.5 RMS of the vertical dispersion of 200 uncorrected (a) and corrected (b) random machine seeds. |
在上海光源二期工程的磁铁准直误差与目前正在运行的上海光源相同的条件下，垂直发射度主要来源于四极铁的转角和六极铁的垂直准直误差，其中六极铁准直误差对垂直发射度的贡献最大；对于由所有磁铁准直误差所引起的垂直发射度，研究结果表明使用60个斜四极铁来进行校正，能使耦合度保持在0.5%以下。
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