机构自由度是机构的一个重要参数，是判断机构是否具有确定运动的重要依据^[1-4]。在应用契贝谢夫-克鲁伯(Grübler-Kutzbach)经典公式 $F = 3n - 2{p_l} - {p_h}$ (n为活动构件数， ${p_l}$ 为低副数， ${p_h}$ 为高副数)对平面机构进行自由度计算时^[5-8]，若机构中存在虚约束(redundant constraint)，应将虚约束去除^[9-14]。虚约束指的是在机构中，有些运动副带入的对机构的运动只起重复约束作用的多余的约束。在平面机构中，虚约束通常发生在以下4种情况中^[1-2]：(1) 两构件在多处接触而构成轴线重合的转动副；或导路平行的移动副；或公法线重合的平面高副时，都只能算作一个转动副或一个移动副或一个平面高副。(2) 在机构中，不影响机构运动传递的重复部分所带入的约束为虚约束。(3) 在机构中，如果用双转动副杆连接的是两运动构件上某两点之间的距离始终保持不变的两点，则将引入一个虚约束，本文将该类型虚约束简称为“距离不变虚约束”。(4) 在机构中，如果用运动副连接的是两构件上运动轨迹重合的点，则该连接将带入一个虚约束，在本文中将该类型虚约束简称为“轨迹重合虚约束”。前3种情况在机构中较直观易于分辨，而对于第4种情况，由于概念较抽象人们对其理解还存在一定的疑惑。例如，对于同一个机构中存在的轨迹重合虚约束，是由机构中哪一个运动副引入的，不同的人理解并不一样^{[1, 8]}。因此，本文将对轨迹重合虚约束问题进行比较详细的分析探索，以期提高对轨迹重合虚约束的认识和有助对平面机构的创新设计。

1 轨迹重合虚约束 1.1 常见运动副中的轨迹重合虚约束

在机构中，当两个构件组成运动副时，将引入限制两构件相对运动的约束。如果用运动副连接的是两构件上运动轨迹重合的点，则该连接将带入一个虚约束。在平面机构中常用到的运动副主要包括转动副、移动副、平面高副等。以下分析在这些运动副处存在轨迹重合虚约束情况。

1) 转动副。

如图1所示，构件1和构件2组成转动副P。假设两构件在没有组成转动副前，构件1上P点的速度为 ${{v}}_{P_1}$ ，在构件2上P点的速度为 ${{v}}_{{P_2}}$ ，它们在任意m-m方向的分速度分别为 ${{v}}_{{P_1}}^m$ 和 ${{v}}_{{P_2}}^m$ 。如果 ${{v}}_{{P_1}}^m = {{v}}_{{P_2}}^m$ ，则两构件在P点沿m-m方向没有相对运动，P点为构件1和构件2上的轨迹重合点，当构件1与构件2在P点组成转动副时，在m-m方向将引入一个虚约束。

2) 移动副。

如图2所示，构件1和构件2组成移动副，m-m方向为垂直移动副导路方向，P为两构件上的一个位置重合点。假设两构件在没有组成移动副前，构件1上P点的速度为 ${{v}}_{{P_1}}$ ，在构件2上P点的速度为 ${{v}}_{{P_2}}$ ，它们在m-m方向的分速度分别为 $ {{v}}_{{P_1}}^m$ 和 $ {{v}}_{{P_2}}^m$ 。如果 ${{v}}_{{P_1}}^m = {{v}}_{{P_2}}^m$ ，则两构件在P点沿m-m方向没有相对运动，P点为构件1和构件2上的轨迹重合点，则当构件1与构件2组成移动副时，在m-m方向将引入一个虚约束。

3) 平面高副。

如图3所示，构件1和构件2组成平面高副，接触点为P，n-n方向为过P点的公法线方向。假设两构件在P点没有组成平面高副前，构件1上P点的速度为 ${{v}}_{{P_1}}$ ，在构件2上P点的速度为 ${{v}}_{{P_2}}$ ，它们在n-n方向的分速度分别为 ${{v}}_{{P_1}}^n$ 和 ${{v}}_{{P_2}}^n$ 。如果 $ {{v}}_{{P_1}}^n = {{v}}_{{P_2}}^n$ ，则两构件在P点沿n-n方向没有相对运动，P点为构件1和构件2上的轨迹重合点，则当构件1与构件2在P点组成平面高副时，在n-n方向将引入一个虚约束。

1.2 去除运动副中的轨迹重合虚约束

在机构自由度求解中当存在虚约束时，要将虚约束去除。对于轨迹重合虚约束，其本质是轨迹重合点沿速度垂线方向没有相对运动，当在该方向加入约束即是多余的约束，要去除该约束。

1) 转动副。

对于图1所示的转动副，构件1和构件2在P点组成转动副后，两构件只能围绕P点做相对转动，过P点沿m-m方向和其垂线方向的相对移动将受到限制，即在m-m和其垂线方向各施加一个约束。若两构件在未组成转动副之前，两构件上的P点的速度在m-m方向的分速度 ${{v}}_{{P_1}}^m = {{v}}_{{P_2}}^m$ ，则m-m方向上的相对移动约束就不起作用，即是虚约束。若将该约束去掉，则两个构件只剩下沿垂直m-m方向即n-n(n-n方向垂直于m-m方向)方向的约束，则构件1和构件2组成的运动副本质上是公法线为n-n方向的平面高副，如图4所示。转动副去除一个移动虚约束后将变成平面高副，该平面高副的公法线为垂直移动虚约束方向。

2) 移动副。

对于图2所示的移动副，构件1和构件2在组成移动副后，两构件只能沿导路方向相对移动，过P点沿m-m方向的相对移动以及围绕P点的相对转动将受到限制，即在m-m移动方向和围绕P点转动方向各施加一个约束。若两构件在未组成移动副之前，两构件上的P点的速度在m-m方向的分速度 $ {{v}}_{{P_1}}^m = {{v}}_{{P_2}}^m$ ，则m-m方向上的移动运动约束也是不起作用，即是虚约束。若将垂直导路方向的移动约束去掉，则2个构件只剩下围绕P点转动的约束，该连接没有合适的运动副表达。

对于移动副，若移动副带入的转动约束是虚约束，则去除转动虚约束后移动副将变成公法线为垂直导路方向的平面高副。一个平面低副引入2个约束，若去除2个约束将解除该平面低副。

3) 平面高副。

对于图3所示的平面高副，构件1和构件2在P点组成平面高副后，将在公法线n-n方向施加一个移动运动约束，限制两构件沿该方向的相对移动。若两构件在未组成平面高副之前，两构件上的P点的速度在n-n方向的分速度 ${{v}}_{{P_1}}^n = {{v}}_{{P_2}}^n$ ，即两构件在n-n方向没有相对运动，则n-n方向上的移动运动约束也不起作用，即是虚约束。若将该方向的移动约束去掉，则将解除该平面高副。

下文将以包含轨迹重合虚约束的机构为例，研究虚约束在机构运动副中存在的情况。

2 举例 2.1 椭圆仪机构

如图5所示为一椭圆仪机构，其中L_BC =L_BD。A、B、C、D为转动副，E、F为互相垂直的移动副。

1) 机构自由度计算。

对该机构进行自由度计算可得：F=3×4−2×6=0。而已知该机构的原动件为构件1，且能正常工作，所以该机构自由度应当等于1，说明该机构存在一个虚约束。

2) 约束存在的位置。

(1) 运动副A和B。

以图5椭圆仪机构上构件1和构件2组成的转动副中心B点为研究对象，假设将转动副B拆除，对构件1上的B₁点和构件2上的B₂点进行运动分析。

对于B₁点， $ {{v}}_{{B_1}}$ 的方向⊥AB，如图6(a) 所示。

对于B₂点，根据三心定理^[15]可得G(P₂₅)点的位置，设l_CD=2a，l_BG=b，∠BAD=θ，可得：

${l_{AB}} = a,{l^2}_{DG} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cdot{\rm{cos}}\;2\theta = {\rm{ }}{\left( {a + b} \right)^2}\cdot{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\;\theta $

得a=b，则四边形ACGD为矩形，可知A、B、G三点共线， ${{v}}_{{B_2}}$ 的方向垂直于AB，如图6(b)所示。

B₁和B₂运动轨迹均沿垂直AB杆方向，而沿AB杆方向即运动轨迹垂线方向相对位移始终为0，当构件1和构件2在B点组成转动副后，则将在沿AB杆方向引入一个轨迹重合虚约束。

根据结构可知，A、B两点间的距离在机构运动过程中始终保持不变，可以看作是引入一个距离不变虚约束^[2]。因此距离不变虚约束可以看作是轨迹重合虚约束的特例，即轨迹重合，重合轨迹恰好是圆。

同样的分析方法也适用于转动副A。可以得出，当构件1和构件5在A点组成转动副后，则将在沿AB杆方向引入一个轨迹重合虚约束。

(2) 运动副C和D。

以图5椭圆仪机构上构件2和构件3组成的转动副中心C点为研究对象，假设将转动副C拆除，对构件2上的C₂点和构件3上的C₃点进行运动分析。

对于C₂点，由G(P₂₅)点的位置，可得： $ {{v}}_{{C_2}}$ 的方向沿y轴方向，如图7(a)所示。

对于C₃点，构件3与机架5组成移动副， $ {{v}}_{{C_3}}$ 的方向沿y轴方向，如图7(b)所示。

C₂和C₃两点的运动轨迹均沿y轴方向。两点沿x轴相对位移始终为0。当构件2和构件3在C点组成转动副后，则将在x方向引入一个轨迹重合虚约束。该结论与文献^[2]分析一致。

同样的分析方法也适用于转动副D。可以得出，当构件2和构件4在D点组成转动副后，则将在y方向引入一个轨迹重合虚约束。

(3) 运动副E和F。

以图5椭圆仪机构上构件3和构件5组成的移动副E点为研究对象，假设将移动副E拆除，对构件3进行运动分析。

证明发现^[16]，滑块3只有相对机架5绕C点的转动，不可能产生垂直于导路方向(即x方向)的相对移动。

当构件3和构件5组成转动副E后，将在垂直于导路方向(即x方向)引入一个轨迹重合虚约束。同样的分析方法也适用于移动副F，可以得出当构件4和构件5组成移动副F后，则将在垂直于导路方向(即y方向)引入一个轨迹重合虚约束。

从以上分析我们可以看出，对于椭圆仪机构中存在的一个轨迹重合虚约束，可以看作是存在于A、B、C、D、E或F中的任一个运动副上，并不存在于某个固定的运动副中。

3) 虚约束的低副高代。

为了便于理解机构结构和计算机构自由度，对上述椭圆仪机构中存在的轨迹重合虚约束进行去除处理。机构中包含一个轨迹重合的虚约束时，理论上可以对任何一个运动副进行处理去除虚约束，但原动件和执行构件常采用平面低副与机架相连，一般不做处理。图5的椭圆仪机构，因运动副A连接原动件与机架，E、F运动副连接执行构件与机架，且若去除移动副E或F垂直导路方向的移动约束，没有合适的运动副表达该连接方式，所以不在运动副A、E和F处进行虚约束去除，可以选择在运动副B、C以及D去除虚约束。分别在运动副B，C点去除虚约束后的机构如下图8(a)和图8(b)所示。对图8(a)机构进行自由度计算可得：F=3×4−2×5−1=1，原动机数目为1，机构具有确定运动。对图8(b)机构进行自由度计算可得：F=3×4−2×5−1=1，原动机数目为1，机构具有确定运动。

2.2 齿轮直线机构

图9所示为齿轮直线机构。A为齿轮3的几何中心，C为齿轮3上点，且R₁=2R₃=2L_OA。

1) 机构自由度计算。

对该机构进行自由度计算可得：F=3×3−2×4−1=0。而已知该机构原动件为构件2，且能正常工作，所以该机构自由度应当等于1，说明该机构同样存在一个虚约束。

2) 虚约束存在的位置。

(1) 运动副A和O。

以图9齿轮直线机构上构件2和构件3组成的转动副中心A点为研究对象，假设将转动副A拆除，对构件2上的A₂点和构件3上的A₃点进行运动分析。

对于A₂点， $ {{v}}_{{A_2}}$ 的方向垂直于OA，如图10(a)所示。

对于A₃点，B为齿轮3与机架1的瞬心P₁₃，根据三心定理可得O、A、B三点共线， $ {{v}}_{{A_3}}$ 的方向垂直于OA，如图10(b)所示。

A₂和A₃运动轨迹均沿垂直OA杆方向，而沿AB杆方向即运动轨迹垂线方向相对位移始终为0，当构件2和构件3在A点组成转动副后，则将在沿OA杆方向引入一个轨迹重合虚约束。

O和A两点在机构运动过程中距离始终保持不变，亦可看作是引入一个距离不变虚约束。再一次说明距离不变虚约束是轨迹重合虚约束的特例。

同样的分析方法也适用于转动副O。可以得出，当构件1和构件2在O点组成转动副后，则将在沿OA杆方向引入一个轨迹重合虚约束。

(2) 运动副B。

以图9齿轮直线机构上构件1和构件3组成的转动副中心B点为研究对象，假设将转动副B拆除，对构件1上的B₁点和构件3上的B₃点进行运动分析。

对于B₁点，其速度 $ {{v}}_{{B_1}}$ =0。

对于B₃点，根据三心定理可知P₁₃在OA连线上，亦在过C点OC垂线上，即交点B处，即 $ {{v}}_{{B_3}}$ =0，如图11所示。

B₁和B₃运动轨迹相同，当构件1和构件3在B点组成平面高副，将限制两构件在B点沿公法线OB方向的相对运动，即增加1个约束。而在未组成平面高副B前， $ {{v}}_{{B_1}} = {{v}}_{{B_3}} = 0$ ，没有沿OB方向的相对移动，则OB方向的约束即是一个轨迹重合虚约束。

(3) 运动副C。

以图9齿轮直线机构上构件3和构件4组成的转动副中心C点为研究对象，假设将转动副C拆除，对构件3上的C₃点和构件4上的C₄点进行运动分析。

对于C₃点，根据三心定理可得O、A、B三点共线，其中B为构件1和构件3的瞬心P₁₃。C点为齿轮3节圆上的点，若连接OC、BC，可知OC⊥BC，可得 $ {{v}}_{{C_3}}$ 的方向沿y轴方向，如图12(a)所示。

对于C₄点，构件4与机架1组成移动副， $ {{v}}_{{C_4}}$ 的方向沿y轴方向，如图12(b)所示。

C₃和C₄运动轨迹均沿y轴方向。沿x轴相对位移始终为0。当构件3和构件4在C点组成转动副后，则将在x方向引入一个轨迹重合虚约束。

(4) 运动副D。

以图9齿轮直线机构上构件4和构件1组成的移动副D点为研究对象，假设将移动副D拆除，对构件4进行运动分析。

滑块4只有相对机架1绕C点的转动，不可能产生垂直于导路方向(即x方向)的相对移动。当构件4和构件1组成转动副D后，将在垂直于导路方向(即x方向)引入一个轨迹重合虚约束。

从以上分析同样也可以看出，对于齿轮直线机构中存在的一个轨迹重合虚约束，可以看作是存在于O、A、B、C或D中的任一个运动副上，并不存在于某个固定的运动副中。

3) 虚约束的低副高代。

对上述齿轮直线机构中存在的虚约束进行去除处理。考虑原动件与机架组成低副O，以及移动副D在去除垂直导路方向的移动约束后，没有合适的运动副表达连接方式，对上图9的齿轮直线机构在运动副A、B、C点去除虚约束处理后的机构分别如下图13(a)、图13(b)和图13(c)所示。对图13(a)机构进行自由度计算可得：F=3×3–2×3–1×2=1，原动机数目为1，机构具有确定运动。对图13(b)机构进行自由度计算可得：F=3×3–2×4=1，原动机数目为1，机构具有确定运动。对图13(c)机构进行自由度计算可得：F=3×3–2×3–1×2=1，原动机数目为1，机构具有确定运动。

当机构中存在虚约束时，对于转动副，去除一个移动虚约束将变成平面高副。对于移动副，若去除转动虚约束后将变成平面高副，若去除垂直导路方向的移动虚约束，没有合适的运动副表达该连接方式。对于平面低副去除两个虚约束将解除运动副，对于平面高副去除一个虚约束将解除运动副。若在不减少构件数目的基础上，当机构中存在轨迹重合虚约束时，可以采用在转动副处去除一个移动虚约束，将转动低副变成平面高副，即低副高代的方式去除轨迹重合虚约束。

3 结论

文中针对平面机构中轨迹重合虚约束进行分析，得出若平面机构中存在轨迹重合虚约束，该虚约束并不存在于某个固定的运动副上，两构件距离不变两点间加入构件和运动副类虚约束是轨迹点重合虚约束的特例，在不减少构件数目的情况下可以采用将转动低副变成平面高副，即低副高代法去除虚约束。该研究有助于对轨迹重合虚约束概念的加深理解以及机构创新设计。