2016, Vol. 31
2. 中国科学院地质与地球物理研究所, 中国科学院油气资源研究重点实验室, 北京 100029
3. 山东科技大学地球科学与工程学院, 青岛 266590
2. Key Laboratory of Petroleum Resources Research, Institute of Geology and Geophysics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100029, China
3. College of Earth Science and Engineering, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266590, China
倾斜横向各向同性(TTI)介质是地球介质中最普遍存在的一种各向异性介质(Thomsen，1986；Tsvankin，2001；Tsvankin et al．，2010).
为了易于实现TTI介质的地震波模拟，目前常规的做法是采用TTI介质耦合波动方程来进行TTI介质地震波场模拟，主要原因是其容易采用有限差分方法实现，效率较高(Zhou et al．，2006；Fletcher et al．，2009；Fowler et al．，2010；Duveneck and Bakker，2011；Zhang Y et al．，2011；李博等，2012；王璐琛等，2016；刘文卿等，2016；李振春等，2016).从Tsvankin(1996)TI介质相速度频散方程出发，Zhou等(2006)直接采用令横波速度为零的TTI声波近似(Alkhalifah，1998)推导得到TTI介质波动方程，存在伪横波(SV波)噪声且在角度剧变时不稳定.Duveneck和Bakker(2011)和Zhang等(2011)从Hooke定律和运动学方程出发分别推导得到新的纵波TTI介质波动方程，但是仍然存在伪SV波噪声且在角度剧变时不稳定.Zhou等(2006)TTI方程、Duveneck等(2011)TTI波动方程和Zhang等(2011)TTI波动方程类似的TTI声波近似方程虽然在推导过程中直接采用了横波速度为零的TTI声波近似，但是伪SV波仍然存在，我们称之为TTI介质耦合波动方程.直接采用TTI声波近似在实际计算中往往会产生数值不稳定问题，尤其是在角度剧变的情况下，而引入横波分量能有效消除TTI声波近似产生的不稳定问题，Fletcher等(2009)通过引入横波分量的方式推导得到的TTI介质波动方程是纵横波耦合的，我们也称之为TTI介质耦合波动方程.但是实际应用表明TTI介质耦合波动方程波场模拟存在三个主要问题：一是存在较强的伪SV波噪声，用耦合的TTI介质波动方程做数值模拟都会产生伪SV波噪声；二是Thomsen 各向异性参数ε和δ受物理稳定性条件的限制，其中TTI声波近似方程必须满足ε≥δ，否则波场传播不稳定，而实际TTI介质常有ε<δ的情况；三是角度剧变时的严重不稳定性，即使满足了ε≥δ的物理稳定性条件，TTI角度剧变的区域由于SV波的影响，耦合波动方程往往会产生不稳定的波场传播特性.
针对TTI介质耦合波动方程存在的上述问题，很多学者推导得到了TTI介质解耦波动方程(Zhang et al．，2005；Du et al．，2007；Du et al．，2011；Zhan et al．，2012).Zhang等(2005)首先得到了TTI介质解耦波动方程，Du等(2007)、Chu等(2011)和Zhan等(2012)都推导得到了相同的TTI介质解耦波动方程.数值模拟结果表明若采用解耦的纯P波TTI方程进行数值模拟能达到无频散稳定传播而且完全没有任何伪SV波噪声，能精确模拟纯P波的传播.TTI介质解耦波动方程能很好的解决TTI介质耦合波动方程的三个主要问题，具体而言，TTI介质解耦波动方程波场传播完全不受伪SV波的影响，不受ε和δ关系的限制，当ε<δ时波场也能稳定传播，对TTI角度剧变的情况也有很好的适应性，即TTI介质解耦波动方程能在不受任何伪波干扰的同时保持良好的稳定传播特性.TTI介质解耦波动方程的特点在于其空间导数项在波数域表达，采用伪谱法求解比较方便，而伪谱法因为要做大量的正反FFT变换，其计算效率要低于有限差分，而常规TTI介质耦合波动方程则易于用有限差分实现，计算效率相对较高.通过采用伪谱法对TTI介质解耦波动方程进行模拟，在空间方向能达到一个波长两个采样点的Nyquist谱精度，但是在采样定理极限精度情况下TTI介质解耦波动方程仍会出现较强的时间频散，这是由于时间方向二阶差分近似的误差所导致的.而伪解析法则能补偿因时间二阶差分的误差而造成的解析误差从而在波数域压制时间方向二阶差分格式造成的误差.
伪解析方法由Etgen和Brandsberg-Dahl(2009)首先提出，其类似于Lax-Wendroff方法利用空间导数项来近似补偿时间二阶导数离散误差的补偿思想(Chen，2011).Lax-Wendroff方法核心是高阶时间的二次导数项仍然采用二阶差分离散，但是同时用空间的高阶导数项来近似代替高阶时间差分从而补偿时间二阶差分近似所造成的误差，得到需要的高阶时间精度(Lax and Wendroff，1960；Carcione et al．，2002；Chen，2007，2009，2011).Chen(2011)关于四阶时间差分Lax-Wendroff方法的推导还证明了该方法也是一种稳定的算法.相比Lax-Wendroff方法在空间域补偿时间二阶差分近似误差，PAM方法则是在波数域直接修正拉普拉斯算子，补偿因时间二阶差分的误差而造成的解析误差，从而在波数域压制时间方向二阶差分格式造成的误差.Crawley等(2010a，b)将伪解析方法用于三维TTI介质逆时偏移，三维宽方位数据的例子表明伪解析法TTI介质逆时偏移能得到更好的成像结果，尤其是盐下成像更清晰.Chu和Stoffa(2010)基于Etgen和Brandsberg-Dahl(2009)提出的伪拉普拉斯算子得到归一化的伪拉普拉斯算子(Normalized Pseudo-Laplacian，简称NPL)，并将NPL方法用于TTI介质耦合波动方程的模拟中，但是存在很强的伪SV波噪声而且在角度剧变情况下严重不稳定.沈铭成等(2014)介绍了伪解析法在VTI介质声波近似解耦方程数值模拟中的应用，在准确描述了VTI介质qP波波场特征的同时，消除了伪SV波干扰，使得波场传播更稳定，数值频散也更小.
本文基于Tsvankin(1996)提出的TI介质相速度精确频散方程，在TTI介质解耦波动方程中引入伪解析法推导得到一种新的基于伪解析法的TTI介质解耦波动方程，能在时间方向和空间方向都达到高精度纯P波模拟.数值模拟结果显示，本文构造的基于伪解析法的TTI介质解耦方程具有高精度且没有任何伪SV波误差.
1 TTI介质耦合波动方程和解耦波动方程TTI介质波动方程分为TTI介质耦合波动方程和TTI介质解耦波动方程两种，都是基于Tsvankin(1996)的TI介质相速度频散方程推导得到.区别在于耦合方程实现时不能分离伪横波，而解耦方程能实现纯P波模拟.
因为常规的TTI声波近似方程和TTI纵横波耦合方程都不能分离SV波，我们都称之为TTI介质耦合波动方程.用TTI介质耦合波动方程做数值模拟都会产生伪SV波噪声，做P波逆时偏移的时候需要将SV波消除，此种情况下可以采取在震源处添加各向同性薄层消除伪SV波噪声的策略(Grechka et al．，2004；张衡等，2015)，但是这种人为假设也会影响波场传播的运动学特征，使之不够准确.而若采用TTI介质纯P波解耦波动方程做TTI介质数值模拟则能使得波场完全不受伪SV的影响，能保证稳定且无频散的传播(Du et al．，2007；Zhan et al．，2012).
TTI介质耦合波动方程的推导从如下的TI介质相速度精确频散方程(Tsvankin，1996)出发，公式为
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(1) |
其中：
Fletcher等(2009)通过引入横波分量的方式推导得到的2DTTI介质纵横波耦合波动方程为
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(2) |
其中：
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(3) |
其中θ是对称轴倾角，φ是三维方位角.当θ=0°时式(3)退化为3DVTI方程(垂直对称轴的TI方程)，当θ=90°时式(3)退化为3DHTI方程(水平对称轴的TI方程)，当三维方位角φ=0时式(3)简化为2DTTI方程.VTI介质和HTI介质都可以看做是TTI介质的某种特殊情形.一般α=1，本文σ取经验常数0.75(Fletcher et al．，2009).
针对常规TTI介质耦合波动方程容易受伪横波噪声影响以及角度剧变时波场传播不稳定的不足很多学者推导得到了TTI介质解耦波动方程.
TTI介质解耦波动方程的推导仍从式(1)表示的TI介质相速度精确频散方程(Tsvankin，1996)出发，将式(1)变换为
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(4) |
对平方根做一阶Taylor展开近似即
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图 1 平方根函数的一阶Taylor展开近似示意图 Figure 1 The first-order Taylor expansion approximation for square root function |
对式(4)做平方根一阶近似后即可推导得到一个近似的纯P波VTI介质相速度频散关系为
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(5) |
根据波数和角度的关系
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(6) |
其中：
令Vsz=0，则f=1(式(1))，F=1+2ε.由于TTI介质是弱各向异性介质，Zhan等(2012)认为做ε=0的近似是合理的，因为TTI介质中ε是一个小值，仅仅影响TTI介质中波场传播的振幅.则F=1，式(6)简化为
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(7) |
利用旋转波数的概念(Zhan et al．，2012)，引入二维旋转因子
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(8) |
本文采用均匀2DTTI介质模型对TTI介质耦合波动方程和TTI介质解耦波动方程进行算法测试.模型参数中横向网格数和纵向网格数都为400，模型横向网格间距和纵向网格间距都为10 m，速度为常速3000 m/s.TTI介质的Thomsen各向异性参数ε=0.24，δ=0.1，TTI对称轴倾角θ=45°.数值模拟时，雷克震源子波主频取15 Hz，采用优化海绵吸收边界条件(Bording，2004)，传播时间为0.6 s，时间采样间隔为0.001 s，分别采用TTI介质耦合波动方程(式(2))和TTI介质解耦波动方程(式(8)).TTI介质耦合波动方程的空间导数项采用高阶有限差分法计算比较方便，TTI介质解耦波动方程的空间导数项因为采用了波数域的表示，采用伪谱法计算比较方便.
图 2a 为Fletcher等(2009)2DTTI介质耦合波动方程t=0.6 s时刻的正演波场快照，中间区域的波前面是伪SV波的波前面，图 2b为TTI介质纯P波解耦方程t=0.6 s时刻的正演波场快照，波场传播过程中没有产生任何伪SV波，用此方程做TTI介质数值模拟能保证波场传播完全不受伪横波噪声影响且能保持稳定无频散传播.
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图 2 均匀2DTTI模型t=0.6 s时刻的正演波场快照 (a)2DTTI介质耦合波动方程P波模拟；(b)2DTTI介质纯P波解耦波动方程模拟. Figure 2 Wavefield snapshot for uniform 2DTTI media at t=0.6 s (a)Coupled wave equation for 2DTTI media；(b)Decoupled Pure-P wave equation for 2DTTI media. |
图 3为TTI介质纯P波解耦波动方程在不同倾角下t=0.4 s时刻的正演波场快照，波场传播完全分离了伪SV波的影响，达到了纯P波模拟的效果.
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图 3 均匀2DTTI模型t=0.4 s时刻的2DTTI介质纯P波解耦波动方程模拟正演波场快照 (a)TTI倾角 0°，此时为VTI情形；(b)TTI倾角 30°； (c)TTI倾角 60°；(d)TTI倾角 90°，此时为HTI情形. Figure 3 Wavefield snapshot of decoupled Pure-P wave equation for uniform 2DTTI media at t=0.4 s (a)TTI angle is 0° for VTI media；(b)TTI angle is 30°；(c)TTI angle is 60°；(d)TTI angle is 90° for HTI media. |
类似于Lax-Wendroff方法利用空间导数项来近似补偿时间二阶导数离散误差的补偿思想，伪解析法则是在波数域直接修正拉普拉斯算子，补偿因时间二阶差分的误差而造成的解析误差，从而在波数域压制时间方向二阶差分格式造成的误差.伪解析法(Etgen and Brandsberg-Dahl，2009)给谱方法带来了新的发展机会，因为其在波数域能比较方便的实现对时间差分算子误差的补偿.
从各向同性声波方程出发，有
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(9) |
式(9)表示成时间二阶离散形式为
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(10) |
式(10)进行傅里叶变换并代入ω=Vp|k|得到
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(11) |
从而得到伪拉普拉斯算子为(Etgen and Brandsberg-Dahl，2009):
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(12) |
伪解析(PAM)法求解声波各向同性方程：
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(13) |
对比传统的伪谱法求解声波各向同性方程，得到
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(14) |
伪解析法和伪谱法的区别仅在于伪拉普拉斯算子在波数域的不同表达方式，伪解析法为F(k)，而伪谱法则为－|k|2，因此可定义归一化的伪拉普拉斯算子(NPL)为(Chu and Stoffa，2010)
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(15) |
采用NPL的伪解析(PAM)声波各向同性方程变化为
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(16) |
此时F(k)不再是拉普拉斯算子，而是一个补偿项，仅为二阶时间差分在波数域的误差补偿项，用于空间导数波数域离散计算中以补偿时间步进误差，因此NPL项能用来计算任何空间导数，包括二阶空间导数项和混合空间导数项.
利用NPL算子计算空间导数项，有
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(17) |
当
选择波数范围为k∈[0，0.2]，时间采样间隔为0.001 s，画出速度Vp=1500 m/s和Vp=3000 m/s两种情况下归一化伪拉普拉斯算子(NPL)在波数域的示意图(图 4)及使用归一化伪拉普拉斯算子(NPL)的二阶空间导数在波数域的示意图(图 5)，包括x方向的二阶空间导数
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图 4 归一化伪拉普拉斯算子(NPL)在波数域的示意图 (a)Vp=1500 m/s；(b)Vp=3000 m/s. Figure 4 Normalized Pseudo-Laplacian operator in wavenumber domain (a)Velocity equals 1500 m/s；(b)Velocity equals 3000 m/s. |
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图 5 使用归一化伪拉普拉斯算子(NPL)的二阶空间导数在波数域的示意图 (a)x方向的二阶空间导数，Vp=1500 m/s；(b)x方向的二阶空间导数，Vp=3000 m/s；(c)z方向的二阶空间导数，Vp=1500 m/s； (d)z方向的二阶空间导数，Vp=3000 m/s；(e)混合二阶空间导数，Vp=1500 m/s；(f)混合二阶空间导数，Vp=3000 m/s. Figure 5 Second-order spatial derivative by using Normalized Pseudo-Laplacian operator in wavenumber domain (a)Second-order spatial derivative of x direction and velocity equals 1500 m/s；(b)Second-order spatial derivative of x direction and velocity equals 3000 m/s；(c)Second-order spatial derivative of z direction and velocity equals 1500 m/s；(d)Second-order spatial derivative of z direction and velocity equals 3000 m/s；(e)Second-order spatial derivative of hybrid direction and velocity equals 1500 m/s；(f)Second-order spatial derivative of hybrid direction and velocity equals 3000 m/s. |
式(16)在均匀常速介质中没有采用任何近似，是完全无频散的，可以直接得到解析解，因为PAM算子准确的补偿了时间方向二阶差分所造成的误差.在非均匀变速介质情况下，由于采用归一化伪拉普拉斯算子的空间导数项随速度的变化很缓慢的特点，也能产生近解析的精确解，因此称之为伪解析方法.但是实际处理中，由于PAM方法是在常速情况下推导出来的，不能直接用于变速情况，Etgen和Brandsberg-Dahl(2009)提出可以通过先求取参考最小速度和最大速度下的PAM算子，然后采用线性插值方法计算得到各个位置不同速度下的波场值，使之能用于速度变化较缓慢的变速介质情况.该方法利用了PAM算子随速度变化较小的特性，但是该方法对速度变化剧烈的复杂TTI介质应用效果仍然较差.
3 TTI介质伪解析解耦波动方程当伪解析法用于TTI介质耦合波动方程时，存在很强的伪SV波噪声而且在角度剧变情况下严重不稳定(Chu and Stoffa，2010).从第1节的分析可知TTI介质解耦波动方程能达到无频散稳定传播而且完全没有任何伪SV波噪声.TTI介质解耦波动方程采用伪谱法实现，在空间方向能达到一个波长两个采样点的Nyquist谱精度，但是在采样定理极限精度情况下由于时间方向二阶差分近似的误差仍然会出现较强的时间频散.第2节的分析表明伪解析法在波数域直接修正拉普拉斯算子，补偿因时间方向二阶差分的误差而造成的解析误差，从而能在波数域压制时间方向二阶差分格式造成的误差.如果推导得到TTI介质伪解析解耦波动方程，时间方向的频散也将基本消除，从而TTI介质伪解析解耦波动方程不仅在空间方向达到Nyquist谱精度，而且时间方向也将能达到Nyquist谱精度.因此本文将伪解析法引入到TTI介质解耦波动方程推导得到一种新的基于伪解析法(PAM)的TTI介质解耦波动方程，能在时间方向和空间方向都达到高精度纯P波模拟.
将式(15)表示的NPL补偿项代入式(8)右端的各波数域表达式，进而推导得到一种新的2DTTI介质伪解析解耦波动方程为
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(18) |
其中引入了归一化的伪解析算子(NPL)(Chu and Stoffa，2010)：
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2DTTI介质伪解析解耦波动方程离散形式为
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(19) |
本文只讨论二维TTI介质情形，但是这种方法也可以扩展到三维TTI介质情形(详细推导见附录A)，在此不再展开讨论.
4 数值模拟与分析对均匀常速2DTTI介质模型进行算法测试，分别采用TTI介质解耦波动方程(式(8))和TTI介质伪解析解耦波动方程(式(18))进行数值模拟，都采用伪谱法进行计算.模型参数中横向网格数和纵向网格数都为400，模型横向网格间距和纵向网格间距都为15 m，速度为常速1500 m/s.TTI介质的Thomsen各向异性参数ε=0.25，δ=0.1，TTI对称轴倾角θ=45°.数值模拟时，吸收边界采用优化海绵吸收边界条件(Bording，2004)，传播时间为1.5 s，时间采样间隔为0.003 s，雷克子波震源置于模型正中，雷克震源子波主频取20 Hz.由于最大频率约为50 Hz、速度为1500 m/s且横纵向网格间距都为15 m，此时精确模拟每个波长所需要的网格点数约为1500/50/15=2个，已经达到了Nyquist采样定理极限精度的要求.图 6表示tmax=1.5 s时刻的正演波场快照，图 7表示模型坐标(nz=3000 m，nx=3900 m)处的正演单道记录，图 8表示nz=3000 m处的正演记录.
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图 6 均匀2DTTI模型t=1.5 s时刻的正演波场快照 (a)TTI介质解耦波动方程；(b)TTI介质伪解析解耦波动方程. Figure 6 Wavefield snapshot for uniform 2DTTI media at t=1.5 s (a)Decoupled wave equation for 2DTTI media；(b)Pseudo-analytical decoupled wave equation for 2DTTI media. |
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图 7 均匀2DTTI模型正演单道记录 (a)TTI介质解耦波动方程；(b)TTI介质伪解析解耦波动方程. Figure 7 Single seismic traces for uniform 2DTTI media (a)Decoupled wave equation for 2DTTI media；(b)Pseudo-analytical decoupled wave equation for 2DTTI media. |
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图 8 均匀2DTTI模型正演记录 (a)TTI介质解耦波动方程；(b)TTI介质伪解析解耦波动方程. Figure 8 Seismograms for uniform 2DTTI media (a)Decoupled wave equation for 2DTTI media；(b)Pseudo-analytical decoupled wave equation for 2DTTI media. |
TTI介质解耦波动方程采用伪谱法实现，在空间方向能达到一个波长两个采样点的Nyquist谱精度，但是在采样定理极限精度情况下TTI介质解耦波动方程模拟也开始出现较强的时间频散(图 6a、7a、8a)，这是由于时间方向二阶差分近似的误差所导致的.采用TTI介质伪解析解耦波动方程后，时间方向的频散也基本消除，从而TTI介质伪解析解耦波动方程不仅在空间方向达到Nyquist谱精度，而且在时间方向也达到了Nyquist谱精度(图 6b、7b、8b).
从计算效率上来分析，TTI介质解耦波动方程数值模拟耗时41.53 s，而TTI介质伪解析解耦波动方程耗时41.81 s，TTI介质伪解析解耦波动方程仅仅比TTI介质解耦波动方程数值模拟耗时多0.67%，计算耗时基本一样，TTI介质伪解析解耦波动方程增加的计算耗时是PAM补偿项的计算导致的.因此在相同的网格下，在基本不增加计算量的前提下，TTI介质伪解析解耦波动方程精度更高. 本文推导的TTI介质伪解析解耦波动方程是在常速情况下推导出来的，其在均匀常速介质中没有采用任何近似，是完全无频散的，可以直接得到解析解，因为PAM算子准确的补偿了时间方向二阶差分所造成的误差.但是实际处理中，由于PAM方法是在速度均匀情况下推导出来的，不能直接用于复杂变速介质情况，现有的线性插值方法利用了PAM算子随速度变化较小的特性，但是对速度变化剧烈的复杂TTI介质应用效果仍然较差，下一步还需要研究较好的适于非均匀变速TTI介质的伪解析解耦波动方程算法.
5 结 论TTI介质解耦波动方程在空间方向能达到一个波长两个采样点的Nyquist谱精度，但是在采样定理极限精度情况下会产生较强的时间频散，不能在空间方向和时间方向都达到Nyquist谱精度，这是由于时间方向二阶差分近似的误差所导致的.而伪解析法则能补偿因时间二阶差分的误差而造成的解析误差从而在波数域压制时间方向二阶差分格式造成的误差.本文针对TTI介质解耦波动方程时间方向精度的不足在TTI介质解耦波动方程中引入伪解析法推导得到一种新的二维TTI介质伪解析解耦波动方程，能在时间方向和空间方向都达到高精度纯P波模拟.数值模拟结果显示，本文构造的基于伪解析法的TTI介质解耦波动方程具有高精度且没有任何伪横波误差.本文还在附录中给出了三维TTI介质伪解析解耦波动方程的推导结果，本文方法从而可以进一步推广到三维TTI介质的高精度纯P波模拟过程中.
附录A：3DTTI介质伪解析解耦波动方程推导从纯P波VTI介质相速度频散关系(式(5))出发，引入3D波数和角度的关系为
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推导得到频率波数域3DVTI介质纯P波解耦波动方程为
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引入三维旋转因子
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其中推导的3DTTI介质纯P波解耦波动方程辅助变量形式为
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考虑到3D情况，将式(15)表示的NPL补偿项代入(A-2)式右端的各波数域表达式，推导得到3DTTI介质伪解析解耦波动方程为
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其中：
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