电阻率法在环境、工程和水文等领域发挥了重要作用(Ramirez et al.，1996；Oldenburg et al.，1997；Kemna et al.，2002；汤洪志等，2003)，取得了不错的成就，这与快速可靠的数据处理方法是分不开的.目前直流电一、二维反演计算已经很成熟，反演方法百花齐放(阮百尧等，1999；徐海浪和吴小平，2006；汤井田等，2008；韩波等，2012；程勃和底青云，2014)，在实际应用中也取得了一定的应用效果，但是实际地质体通常是三维的，因此研究直流电三维正反演技术具有重要意义.近年来国内外学者对直流电阻率正反演作了深入的研究，提出了一系列反演方法，主要有基于Born近似的三维反演(Li and Oldenburg，1992，1994)、层析成像反演(Shima，1992)、Tarantola反演(Zhang et al.，1995)以及传统的最小二乘反演等方法(Sasaki，1994；Loke and Barker，1996；吴小平和徐果明，2000；黄俊革等，2007；刘斌等，2012).各种反演方法都有各自不同的模型约束，不同的模型约束反演的侧重点也不同.其中应用比较广泛的是基于最小构造或最平缓模型约束的反演(韩雪，2013；刘鑫明等，2013)，这类反演方法能稳定收敛，但反演的地电图像是平滑的，有时不能分辨出地质界面，给后期的地质解释带来了一定的困难.基于全变差正则化反演(叶益信等，2009；韩波等，2012；叶益信等，2013)具有识别边界的能力，但反演结果对初始模型的依赖较大.

聚焦反演是一种对不同地质体界面进行反演成像方法，它的基本思想是将最小支撑泛函的稳定器与惩罚泛函相结合，引入一个新的稳定泛函来描述模型参数变化较大和不连续的区域，这样在反演中模型目标泛函会集中到最小的面积，从而显示出物性差别较大的界面.这一新方法已成功地应用到三维重力反演(Zhdanov，2002；Zhdanov et al.，2004；陈闫等，2014)，三维磁力反演(Portniaguine and Zhdanov，2002)及大地电磁测深反演(Mehanee，2003；De Groot-Hedlin and Constable，2004；刘小军等，2007；Zhang et al.，2010)中，都取得了良好的应用效果.

本文将聚焦反演应用到直流电阻率三维反演中，通过对几个典型模型的试算，表明了该方法的有效性和可行性.

由于观测数据个数远小于模型参数的个数，地球物理反演问题通常是一个病态和不稳定问题，为了克服这个困难，通常采用Tikhonov正则化思想，即目标函数包括两部分，表示为

由于介质的电阻率变化范围很大，通常为了提高解的稳定性，反演中对模型参数取对数(ln(σ))，经这样变化后，变化范围很小，有利于反演的稳定.

在本文算法中，W_d采用如下形式的对角矩阵：

为了反映出物性差异较大的界面，提高反演结果的分辨率，本文引入最小支撑泛函作为模型的权函数，公式为

然后将最小化问题转化为加权模型空间形式，令 m ^w= W _β m，m _ref^w= W _β m _ref，在新的模型参数下，正演关系可表示为：

迭代后，未加权的模型参数为

该模型为一个大小为17 m×17 m×17 m、电阻率为200 Ω·m的均匀半空间含有一个大小为2.5 m×2.5 m×4 m、电阻率为10 Ω·m的低阻长方体模型，长方体顶部埋深为2 m，其z=4 m处的水平切片(XOY平面)如图 1a所示，y=0 m处的垂直切片(XOZ平面)如图 1b所示.模型剖分成40×40×20共32000个单元.

图 1

Fig. 1

图 1 低阻模型4 m深度水平切片图(a)及y=0 m时垂直切片图(b) Fig. 1 A depth slice of the true model taken at 4-m depth(a) and a cross section of the true model taken at y=0(b)for low-resistivity model

反演参考模型为200 Ω·m的均匀半空间，反演结果如图 2所示，图 2a和图 2b分别为光滑模型约束反演结果的水平切片和垂直切片，图 2c和图 2d分别为本文算法反演结果的水平切片和垂直切片，黑线框表示模型的边界位置.对比两种模式的反演结果可看出，光滑模型约束的反演结果在异常体位置出现了低阻异常值，低阻异常最小幅值在80 Ω·m左右，基本能够表征异常体的存在，但是异常范围偏大，成像聚焦效果较差，而本文算法反演结果低阻异常更明显，异常最小幅值在10 Ω·m左右，与真实异常体电阻率更接近，改善了低阻异常体的聚焦效果，对低阻异常体的定位更准确.

图 2

Fig. 2

图 2 低阻模型光滑反演与聚焦反演结果比较 (a)光滑反演水平切片(z=4 m)；(b)光滑反演垂直切片(y=0 m)；(c)聚焦反演水平切片(z=4 m)；(d)聚焦反演垂直切片(y=0 m). Fig. 2 Comparisons of focusing inversion with smoothing inversion for low-resistivity model (a)A depth slice of the smoothing inversion result taken at 4-m depth;(b)A cross section of the smoothing inversion result taken at y=0;(c)A depth slice of the focusing inversion result taken at 4-m depth;(b)A cross section of the focusing inversion result taken at y=0.

图 3为两种反演方法的归一化迭代拟合差随迭代次数的变化情况，从中可看出，两种反演算法都能稳定收敛，但是聚焦反演的最终拟合差更小，迭代10次后聚焦反演归一化拟合差下降到10%左右，而光滑反演为20%左右，表明聚焦反演收敛速度更快.

图 3

Fig. 3

图 3 低阻模型反演归一化拟合差曲线 Fig. 3 The normalized misfit curves with iteration inversions for low-resistivity model

该模型为一个大小为17 m×17 m×17 m、电阻率为100 Ω·m的均匀半空间含有一个大小为2.5 m×2.5 m×4 m、电阻率为1000 Ω·m的高阻长方体模型，长方体顶部埋深为2 m，其z=4 m处的水平切片(XOY平面)如图 4a所示，y=0 m处的垂直切片(XOZ平面)如图 4b所示.模型剖分成40×40×20共32000个单元.

图 4

Fig. 4

图 4 高阻体模型4 m深度水平切片图(a)及y=0 m时垂直切片图(b) Fig. 4 A depth slice of the true model taken at 4-m depth(a) and a cross section of the true model taken at y=0(b)for high-resistivity model

反演参考模型为100 Ω·m的均匀半空间，反演结果如图 5所示，图 5a和图 5b分别为光滑模型约束反演结果的水平切片和垂直切片，图 5c和图 5d分别为本文算法反演结果的水平切片和垂直切片，黑线框表示模型的边界位置.对比两种模式的反演结果可看出，光滑模型约束的反演结果在异常体位置出现了高阻异常值，高阻异常最大值在150 Ω·m左右，基 本能够表征异常体的存在，但是整体聚焦效果较差，而本文算法反演结果高阻异常更明显，异常最大值在190 Ω·m 左右，与真实异常体电阻率更接近，高阻异常体的聚焦效果进一步提高，对高阻异常体的定位也更准确.相比低阻体模型，高阻体模型的反演电阻率与实际电阻率相差较大，而且对下底边界的拟合也相对较差，推测这是由于高阻对直流电法的屏蔽作用引起的.

图 5

Fig. 5

图 5 高阻体模型光滑反演与聚焦反演结果比较 (a)光滑反演水平切片(z=4 m)；(b)光滑反演垂直切片(y=0 m)； (c)聚焦反演水平切片(z=4 m)；(d)聚焦反演垂直切片(y=0 m). Fig. 5 Comparisons of focusing inversion with smoothing inversion for high-resistivity model (a)A depth slice of the smoothing inversion result taken at 4-m depth;(b)A cross section of the smoothing inversion result taken at y=0;(c)A depth slice of the focusing inversion result taken at 4-m depth;(b)A cross section of the focusing inversion result taken at y=0.

图 6为两种反演方法的归一化迭代拟合差随迭代次数的变化情况，从中也可看出，两种反演算法都能稳定收敛，但是聚焦反演收敛速度更快，最终拟合差更小，进一步表明聚焦反演结果更接近真实模型.

图 6

Fig. 6

图 6 高阻模型反演归一化拟合差曲线 Fig. 6 The normalized misfit curves with iteration inversions for the high-resistivity model

本文将最小支撑泛函引入到电阻率法三维反演的目标函数中，然后采用高斯牛顿法求解反演目标函数最优化问题，同时结合预条件共轭梯度法得到电阻率法三维聚焦反演结果.

通过两个模型的试算，本文算法反演结果增强了异常体成像的聚焦效果，也更好地框定了异常体的范围，该算法保留了光滑模型约束反演算法稳定、简单的特点，同时数据拟合程度得到进一步提高，表明本文反演算法具有稳定收敛、分辨率高、模型更聚焦等优点.但是该算法对模型的下底边界深度的反演拟合仍显不足，需要对模型的权矩阵或灵敏度矩阵作进一步改进研究.

致 谢 感谢审稿专家提出的宝贵修改意见和编辑部的大力支持！