0 引 言

在石油工业中，需要比较准确地评价油气藏，需要了解油气藏的埋藏深度、分布状况以及地层孔隙度、渗透率和含水(油)饱和度等参数(Hungerford and Fay，1957; Kunz and Moran，1958；党瑞荣等，2006; 王昌学等，2013)，感应测井在这方面起了重要作用，为油气藏评价提供了主要依据.传统的测井仪只测量地层的一个方向的特性，展示一个方向的电导率.自上世纪发现沉积地层的电性各向异性现象后的半个多世纪中，人们一直致力于利用不同仪器在各向异性地层中响应的差异性进行各向异性地层的识别(Kunz and Moran，1958;Moran and Kunz，1962; Moran and Gianzero，1979)，但进展缓慢.直到1994年，Amoco公司Nekut(1994)设计了直接测量各向异性地层的感应测井仪，其线圈结构即是现在的多分量感应测井仪线圈结构雏形(Klein et al.，1997;Zhdanov et al.，2001).Atlas与Shell 公司在2001年联合推出多分量感应测井仪3DEX，3DEX，可测量五个磁场分量(Wang and Fang，2001;Gao et al.，2002； Wang et al.，2003).在国内，对各向异性地层的识别和评价包括仪器的制造正处于起步阶段(汪宏年等，2008，2012；肖加奇等，2013；张烨等，2012)，中国石油长城钻探工程有限公司测井技术研究院已开展了三维阵列感应测井仪器的研发工作(俞燕明等，2013; 洪德成等，2013; 张国艳等，2012).三维感应测井仪器是由3个彼此垂直的发射线圈和与之平行的3个接收线圈组成，可以从三维角度识别地层特性，对薄储层、复杂储层的探测具有先天优势.目前国外已有大量文献阐述了三维感应测井的基础理论及数值计算(Davydycheva et al.，2003; Gao et al.，2002；Nam et al.，2010; Wang and Fang，2001;Wang et al.，2003，2006)，但是国内这方面研究的文章则相对滞后.确定TI地层的各向异性指数因子对测井资料解释是极为重要的，例如含泥浆井眼的泥浆影响、井经影响等的校正，图版的选择，包括地层参数的反演等，都需要进行地层各向异性指数因子的预测与计算，但目前地层各向异性指数因子的预测与计算方法研究的很少，本文试图尽量利用少的三维感应测井视电导率资料实现地层各向异性指数因子的预测与计算，分别给出了图版法和牛顿迭代法实现地层各向异性指数因子的确定与计算，数值算例表明，计算结果与地层模型取得了很好的一致性，验证了方法的可行性与有效性.

1 三分量感应测井地层视电导率计算方法

三分量维感应测井仪是由三个中心共点、彼此垂直的三个发射线圈和与其平行的三个接收线圈组成.当发射线圈系有交流信号流过时，在空间介质中产生交变电磁场，在该磁场中的接收线圈将产生感应电动势.可同时测量接收线圈系的感应电动势 V，并由此计算地层的视电导率

其中，K为仪器系数，V为接收线圈中的感应电动势，I 为发射线圈系中的电流.

当三分量维感应测井仪的z-方向发射线圈发射，在z-方向线圈接收时，则接收线圈的电动势可写为(Moran and Kunz，1962; Moran and Gianzero，1979; Wang et al.，2006)

其中I_Z 为 z-方向发射线圈中的电流，i为 虚数单位，μ为介质的磁导率，A_TZ、A_RZ为发射线圈、接收线圈的面积，N_TZ、N_RZ为发射线圈、接收线圈的匝数，为水平电导率，称为趋肤深度，L为电极距(发射、接收线圈间的距离).

当三分量维感应测井仪的x-方向发射线圈发射，在x-方向线圈接收时，则x-方向接收线圈的电动势可写为(Moran and Kunz，1962; Moran and Gianzero，1979; Wang et al.，2006)

其中I_x 为 x-方向发射线圈中的电流，A_Tx、A_Rx为发射线圈、接收线圈的面积，N_Tx、N_Rx为发射线圈、接收线圈的匝数，为垂直电导率，称为趋肤深度.

对三分量维感应测井仪的仪器系数可写为(Moran and Kunz，1962; Moran and Gianzero，1979; Wang et al.，2006)

地层的视电导率为

2 利用图版确定地层各项异性指数因子

2.1 地层各向异性指数因子图版的制作

设x-方向发射线圈发射，x-方向线圈接收，则地层视电导率为

其中σ_axxr，σ_axxi地层视电导率的实部和虚部，(6)式还可还可表示为

利用该式可制作各向异性地层指数因子图版.下面取两组参数分别介绍图版的制作方法及分析图版的特点.设电极电流为I₀=6 A，电源频率f=2.5×10⁴ Hz，电极距 L=0.55 m，真空中磁导率μ₀=4π×10^－7 N·A^-2(或H·m^－1)，第一组地层参数： σ_h=0.1，0.2，0.4，0.6，0.8，1 S/m=1，1.5，2.0，2.5，3.0；第二组参数：σ_h=1，2，4，6，8，10 S/m，=1，2，3，4，5利用这两组数据计算的地层各向异性指数因子图板见图 1、图 2，由图可见地层水平电导率对图版的影响是非常大的，当地层水平电导率变小时曲线变的密集，这对利用图版法确定地层指数因子会造成一定的误差，因此在处理低导地层时应适当选择小间隔(水平电导率间隔变小)的图板.

2.2 利用图版确定地层各向异性指数因子

若有地层视电导率σ_axx的实部和虚部测井资料，则可以确定地层各项异性指数因子，图版使用方法如下：

(1)根据测井仪器、测井条件、测量的范围选择针对性的三份量感应测井地层各向异性指数因子图版(如图 1，图 2等，还可以多制作一些图版，供选择使用)；

(2)根据视电导率曲线得到地层视电导率实部和虚部数据σ_axxr和σ_axxi；

(3)利用地层视电导率实部和虚部测井数据σ_axxr和σ_axxi，找到图版(图 1，或图 2等)中的对应曲线上的点，根据该点所在的位置，找到离该点最近的曲线，根据曲线所标数值可大体确定地层的水平电导率与地层各项异性指数因子，再根据该点与周边曲线的距离关系利用插值法估算出地层的水平电导率与地层各项异性指数因子.

2.3 图版使用示例

下面通过模型算例说明确定地层各向异性指数因子的方法，模型计算参数与图 1的作图参数相同，再取λ²=2，σ_h=3，9 S/m，则x-方向发射线圈发射，x-方向线圈接收计算的数据视电导率实部为σ_axxr=-0.3632，-1.7719，虚部为σ_axxi= 0.5692，1.0454.由这些数据利用上面的作图方法，在图 1中绘制的点如图 3中的A、B点，由曲线知A、B点均实落在了λ²=2的曲线上(即地层各向异性指数因子为λ²=2)，从而确定了地层各向异性指数因子，并且与地层模型的地层各向异性指数因子数值也取得了很好的一致.

3 迭代法计算地层各项异性指数因子

3.1 各向异性地层指数因子的迭代计算方法

为简化表示设ξ=L/δ_h，则(5)式可写为

因 i+1 ²=2i，所以

将实部与虚部分开则有

类似地，(8)式可写为

所以有

若有地层视电导率σ_axx或地层视电导率σ_azz的实部和虚部资料则可以利用(9)~(12)中的任意两个方程就可确定地层各向异性指数因子.因(9)~(12)任意组合都为一非线性很强的方程组，只能用非线性方程组的方法求解，本文用牛顿迭代方法计算地层各向异性指数因子，将方程(11)和(12)写为σ_h和σ_v的形式得

其中设方程(13)的第n次牛顿迭代近似解为η_n(σ_h，n，σ_v，n)(牛顿迭代解法)，则方程(13)式的雅可比行列式为

若J_n≠0，方程有唯一解

则方程(13)的近似解为

若有地层视电导率σ_axx、σ_azz的实部σ_axxr、σ_azzr(也可利用其虚部)，则可构造如下函数方程

因f₃(σ_h)只与σ_h有关，则上述方程f₃(σ_h)简化为一元方程，可用下牛顿迭代公式计算:

其中f′ 3(σ_h，n)为第n次迭代时f₃(σ_h，n)对σ_h，n的导数，n为方程迭代次数.利用(18)可计算σ_h，n，再利用σ_h，n由(17)式第一式和一元牛顿迭代公式计算σ_v，n，再利用计算λ，实现地层各向异性指数因子的计算.

3.2 地层各向异性地层指数因子算例

为检验方法的可行性及可靠性，下面利用上面的仪器参数(与地层各向异性指数因子图版制作参数相同)、视电导率公式和地层各向异性指数因子迭代计算方法，分别计算地层电导率的实部、地层的水平电导率及地层各向异性指数因子.

现选λ²= σ_h σ_v =1，2，3，4，5，则地层的视电导率随地层电导率的变化曲线见图 4，随地层水平电导率的增大，地层视电导率呈非线性变化.

利用地层视电导率σ_axx的实部和虚部数据，由(13)~(16)式计算了地层各项异性指数因子(见表 1)，在表 1中，λ²为地层模型的地层各项异性指数因子，λ²_c为利用本迭代计算方法计算的地层各项异性指数因子，地层模型与迭代计算结果的四位有效数字是相同的，从而验证了方法的可靠性.

利用地层视电导率σ_axx的实部和虚部数据，由迭代法计算的水平水平电导率见表 2，其中，σ_h为地层模型的水平电导率，σ_hc为利用本迭代计算方法计算的水平电导率，计算结算与地层模型取得了很好的一致，进一步验证了方法的可靠性.

4 两种确定地层各向异性指数因子方法的比较与分析

图版法简单，使用方便，在有地层视电导率σ_axx的实部和虚部资料的情况下则可以简捷地确定地层各向异性指数因子.但其缺点是 需要根据实际测井仪器、测井条件、测量范围制作多个三份量感应测井地层各向异性指数因子图版，并且当地层视电导率实部和虚部测井数据σ_axxr和σ_axxi不能落在图版的曲线上时，则需要根据所数据点的位置与周边曲线的距离关系利用插值法估算出地层的水平电导率与地层各向异性指数因子，这会给估算结果带来较大的误差，特别是当电导率数值较小的时候，图版曲线变化较大，会引起更大的误差.

迭代计算方法准确，算例利用地层视电导率σ_axx的实部和虚部数据计算的水平电导率及地层各向异性指数因子取得了四位有效数字相同的结果，展示了计算方法的可靠性； 同时使用范围广，不受限制，不象图版法需要根据测井仪器、测井条件、测量范围事先制作多个地层各向异性指数因子图版；所需要的地层视电导率数据量少. 其缺点是计算方法具有一定的复杂度，需要求解非线性方程组，需要开发相应的迭代计算程序.

两种方法各有自己的优势与不足，这需要根据实际需要加以取舍，选择合适的方法，但就总体而言迭代计算方法以其准确与使用范围广等特点则具有更大的优势.

5 结 论

5.1    利用三维感应测井分量视电导率确定地层各向异性指数因子的计算与确定方法是一种新的确定地层各向异性指数因子的方法，该方法计算速度快，精度高.

5.2    论文介绍了地层各向异性指数因子的图板制作及确定方法;导出了地层视电导率偏导方程，实现了地层各向异性指数因子的数值计算，比较了两种算法各自的优势与不足.针对迭代计算方法给出了数值算例，算例结果表明利用地层视电导率的实部和虚部数据，计算的水平电导率及地层各向异性指数因子与地层模型取得了四位有效数字相同的结果，两者取得了很好的一致，验证了方法的可靠性，为地层各向异性指数因子的确定与测井资料解释提供了理论依据和计算方法.

致 谢 感谢审稿专家对论文提出的宝贵修改意见.

附录A 雅可比矩阵元的偏导数

其中