借助于数字化技术和差分电容闭环反馈设计，MEMS数字地震检波器具有动态范围高，道间串扰小，抗干扰强等特点，这使其能够胜任高精度勘探任务，成为地震数字检波器的发展趋势(Barbour and Schmidt，2001; Aizawa et al.，2008; 王喜珍和滕云田，2011).作为MEMS数字检波器核心技术部件之一，抽取滤波器是将调制所产生的高速率低位数据流转换为低速率高位数字信号，使系统完成高精度的模/数(A/D)转换(Hogenauer，1981;C and y，1986;Salgado and Dolecek，2012).

抽取滤波器前端通常由SINC滤波器组成，因为其只有加法运算，并且零点在混叠频带的中心，是最经济高效的用来进行大倍数抽取的数字滤波器(Hogenauer，1981;Candy，1986;Abbas et al.，2010；Mondal and Mitra，2012).但是SINC滤波器存在通带衰减较大的问题，其输出速率越接近最终输出速率则通带内衰减越大(Dolecek and Harris，2008;Dolecek and Mitra，2008;Li et al.，2011)，所以对于性能要求较高的情况，需要在SINC滤波器之后级联高精度的抽取滤波器以进一步降低输出速率.

按照冲击响应的长度，数字滤波器有两种方式：FIR滤波器与IIR滤波器.为了便于流水线方式作业，及多相分解实现以降低抽取滤波器功耗，一般采用FIR方式实现抽取滤波功能.FIR滤波器设计方法有两大类，一种是从频率域出发，经过逆傅里叶变换得到时间域冲击响应系数，(如频率取样法、窗函数设计法)；一种是从时间域系数出发，建立方程求解，逼近所需要的频率域响应(如等波纹法).前者对滤波器频率响应曲线控制相对较弱，后者则能够较好的控制曲线.

一般方法设计出的滤波器系数一般为双精度浮点数，为降低功耗，FIR滤波在硬件实现时需截断系数为定长..如果对系数直接进行四舍五入截断，得到的结果不是全局最优，这需要较高的位数才能获得较好的阻带衰减.截断时可以利用模拟退火算法进行全局寻优，只需较低位数就能获得较好的阻带衰减(Radecki et al.，1995;王园园等，2008;Jung et al.，2008).

为满足高精度勘探的需求，本文针对对自主研发的MEMS数字检波器进行24位抽取滤波器设计.按照国际标准，滤波器性能指标如下：①通带内波纹为±0.003 dB；②阻带衰减(抗混叠)达到132 dB，同时实现2倍降采样. 1 优化问题的目标函数

最优FIR滤波器设计本质是用一组系数待定的三角函数多项式逼近已知函数的问题.其中多项式函数的系数为滤波器的冲击响应，已知函数即为理想滤波器频率响应.

SINC补偿抽取滤波器级联于SINC滤波器之后，所以其通带理想频率响应为SINC函数的倒数，这样两者相乘后通带幅频响应平坦；因为滤波器同时需要具有降采样功能，所以其理想阻带(混叠频带，抽取后混叠进入基带的频率范围)衰减为无穷大，即阻带频率响应为0.综上分析，所设计滤波器理想频率响应 D(f)表示式为

其中ω为归一化角频率，ω=2πfT=2πf/Fs，f∈[0，Fs/2]，ω∈[0，π]；ωp为通带截止频率，ω_b为基带频率；M，J依次为前端SINC滤波器的抽取数和级数，a，b为校正系数；D为抽取倍数，i=[1，2，…，D－1].

假设滤波器长度为N，系数分别为{h(0)，h(1)，…，h(N－1)}，也就是三角函数多项式的待定系数个数为N，系数序列 h(k)对应的幅频响应为

① 正对称、奇数长度

② 正对称、奇数长度

③ 正对称、奇数长度

④ 正对称、奇数长度

滤波器设计的目标是用可实现的函数G(f)逼近理想函数D(f).在本文选取最大最小准则为逼近准则，最大最小准则能够使最大误差最小化，从而保证每一个频率点的混叠噪声在可接受范围内.基于此，建立目标函数：

利用Remez迭代算法可以求解上述目标方程，但是计算得到的滤波器系数为双精度浮点数.在特定硬件中实现(ASIC、FPGA、Fixed-point DSP、等等)滤波器时，一般需要四舍五入截断系数为有限字长，截断误差使结果并非最优.

有限字长系数问题本质是全局寻优问题，可以考虑利用模拟退火算法对滤波器系数进行全局寻优，从而减小截断误差.模拟退火方法基于蒙特卡罗思想，它是用随机数驱动的搜索算法.模拟退火算法在特定约束自变量空间内，通过随机数驱动自变量改变，再按照特定准则接受新的自变量，如此往复使目标函数收敛至极值.算法简单描述如下：

① 随机数驱动自变量，产生新的目标函数值E₁.

② 比较新值E₁与原值E₀.若E₁0，则总是接受该移动；若E₁≥E₀，则以一定的概率接受移动，能量差值越小、时间越长，接受概率越低.

③ 循环执行直至收敛至最优解.

可以证明，时间足够长的情况下，算法能够得到最优解.

对于滤波器优化设计问题，滤波器系数为随机自变量： h(k)，k=0，1，…，N－1，因为系数为定长，假设位宽为b，则其搜索空间约束为 ，离散间隔为，这样硬件实现时可以整数化.本设计以系数位宽b=24为例，将模拟退火方法与一般四舍五入截断方法进行比较.

模拟退火算法有一定概率接收不好的情况，以期跳出局部极值达到全局最优，对于新自变量按照Metropolis准则接收，假设新旧自变量对应的目标函数差值为ΔE=E₀－E₁，

定义：

当随机数ρ∈[0，1]满足条件ρ≤P，接收新变量.

本文设计的模拟退火算法程序对终止条件进行了约束，如果程序总是找不更优值，则跳出.具体流程如下图所示：

图 1

Fig. 1

图 1 模拟退火算法程序流程图 Fig. 1 The procedure flow charts of simulated annealing algorithm

本文针对MEMS地震检波器进行设计，输入SINC滤波器的数据速率为fSINC=128 kHz，经过前端滤波器后输入高精度FIR滤波器的数据速率fFIR=2 kHz，再经过高精度抽取滤波器最后输出速率为fout=1 kHz，抽取倍数D=2；

低通滤波器在阻带截止频率一定情况下，滤波器长度随通带截止频率上升而增加，增长速度起始较为缓和、后续极为剧烈的趋势.假设fFIR为归一化频率(f_FIR→2π)，以基带截止频率等于500 Hz，即ω_b=(500/2000)×2π=0.5π为例，由公式1可知滤波器阻带为ω_s∈[0.5π，π]，当通带截止频率等于400 Hz，即ωp=(400/2000)×2π=0.4π时，可以发现滤波器长度开始呈指数式上升，从而带来不必要的浪费，如图 2所示.

图 2

Fig. 2

图 2 通带截止频率与滤波器长度的关系 Fig. 2 The cut-off frequency passb and relationship with the length of the filter

根据上述参数建立目标方程，利用模拟退火算法得到滤波器系数，其与一般方法的幅频响应对比如图 3所示，可以发现一般方法的滤波器阻带衰减为123 dB，而优化设计的滤波器阻带衰减达到了132 dB，比一般方法提高了9 dB.

图 3

Fig. 3

图 3 直接四舍五入截断设计与模拟退火优化设计的高精度抽取滤波器幅频响应对比 Fig. 3 Direct rounded truncation design and simulated annealing optimization design High-precision extraction filter amplitude-frequency response contrast

针对自主研发的MEMS数字检波器，本文利用模拟退火算法优化设计了高精度抽取滤波器，设计采用125阶24位定点FIR结构，其通带纹波可达到±0.003 dB，阻带衰减达到132 dB，比一般方法得到的同阶数、位数的滤波器阻带衰减提高了9 dB，达到了其高性能指标要求.通过对比优化算法与一般方法，可以得到以下两点认识：

(1)利用模拟退火算法设计滤波器自由度高，只要有理想滤波函数表达式，就可以对其进行逼近.无论是IIR方式还是FIR方式，都可以利用此算法设计所需滤波器；

(2)模拟退火算法的自变量(解)空间约束灵活，可以方便的加入截断位宽等限制条件，从而得到解空间内的最优值.