混凝土内部缺陷的方法有对测法、斜测法、钻孔或预埋管法进行(张仁瑜等，2008).在特殊条件下，比如只能把传感器放置在一侧的情况，可以采用反射波偏移成像法.

按照是否应用高频近似，偏移成像算法有射线类算法和波动方程类算法之分(秦孟兆和陈景波，2000; 陈景波和秦孟兆，2001)，其中前者只能保持波的运动学信息；后者不仅包含波的运动学信息，而且可以保留波的动力学特征.对于波长与缺陷尺度相近的情况，前一种方法使用的高频近似会降低检测结果的精确性.

应用波动方程类算法求解超声波传播的典型步骤是：首先，用有限元、有限差分法、无网格法、边界元法等方法将连续体方程在空间域离散，得到拉格朗日域有限自由度二阶偏微分方程组.然后，将该方程组降为一阶方程组，降阶的方法有多种，按照能否保证能量守恒，这些方法分为保辛算法和不保辛算法两种.哈密顿变换属于保辛变换.保辛算法称为辛几何算法.辛几何波动方程求解方法是一种半解析算法，将其应用于反射波偏移成像，可以提高其计算精度，减少判断误差.最后，用精细积分方法或者辛普生等方法求解该一阶微分方程组.

辛几何算法在波动方程求解中有很强大的精度优势，获得了大量的应用.罗明秋等(2001)和马坚伟和杨慧珠(2004)将辛几何用于波传播的数值模拟的研究.文献刘礼农等(2002)和张尔华等(2002)给出了频率域和并行计算的辛几何偏移成像流程.但目前尚未见有关时域辛几何逆时偏移成像方法的报道.

混凝土在宏观上可以近似看作均质体，本文以内部含空洞的均质结构为例，用辛几何算法模拟计算含空洞的结构表面检测到的超声波，用时域辛几何算法实现检测面的偏移成像，确定缺陷的位置.

1 辛几何偏移成像计算框图

辛几何逆时偏移成像技术由两部分组成，其一是辛几何数值模拟技术，其二是逆时偏移成像条件.逆时偏移成像条件是逆时偏移成像算法的核心骨架，有初 至时成像条件、最大振幅到达时成像条件和互相关成像条件(薛东川，2013).本文采用互相关成像条件.

辛几何逆时偏移成像技术继承了传统逆时偏移成像技术的大量优点，比如，采用全波方程、易于与空间域的常用离散算法接轨、无倾角限制、简便易行，原理明确等.但与传统的逆时偏移成像算法相比，也存在一定的差异和创新之处.集中表现在采用了辛几何数值模拟方法，而没有采用传统的有限差分和有限元算法，摆脱了数值算法误差的困扰，可获得精确度和可靠性更高的叠前偏移剖面.

辛几何叠前偏移成像数值实验由含缺陷结构的模拟检测、检测结果的反向波场、数学物理模型的正向波场、逆时偏移成像四部分组成，计算框架如图 1所示.框图中需要注意的是含缺陷结构的模拟检测是指用辛几何数值模拟算法计算含缺陷结构在超声波激励下表面检测线上的响应，因此计算时用的刚度矩阵和质量矩阵是根据含缺陷结构确定的.而数学物理模型的正向波场是在未知缺陷的情况下，给结构施加超声波激励获得的响应，数学物理模型的逆向波场是指以含缺陷结构的模拟结果延时间倒置后作为激励，施加在未知缺陷的结构上，获得的波场.因此数学物理模型中是没有缺陷的，具体见框图.

图 1

Fig. 1

图 1 辛几何叠前偏移成像数值实验框架Fig. 1 Simulation test frame of the Symplectic prestack migration imaging algorithm

在地球物理、土木工程和电磁学等领域内，只要涉及到对局部区域内某种波动现象的解释，并在此解释中需要考虑环境介质的影响，就会涉及到近场波动问题.为了实现波动问题的数值模拟，需要引入一个包围所考虑区域的局部区域的有限计算区.在计算区域内用有限元或有限差分技术将对应的方程和物理边界条件转化为离散的运动方程，从而实现区内波动现象的数值模拟.而计算区的边界是人为引入的，其上的边界条件可称为吸收边界条件.

有限尺度结构完整原形的数值模拟不存在吸收边界条件.有限元方法的边界条件有三种，第一类边界条件是狄利克雷边界条件，指定微分方程的解在边界处的值；第二类边界条件是诺依曼边界条件，给出了在边界处解的梯度；第三类边界条件是混合边界条件.有限元软件系统会自动将这些边界条件对方程组的影响考虑在内.

2.2 波动方程辛几何算法

波动方程辛几何算法有多种实现方法，本文采用先用有限元在空间离散，然后在时间域转换到哈密顿系统，利用精细积分计算的方法.其详细的计算原理另文给出，计算步骤如下：波动方程用有限元法在空间域离散后，得到二阶偏微分方程组，同时，无限自由度问题变为有限自由度问题.该二阶偏微分方程组可以用勒让德变换(Li and Xu， 2006)变换为双倍自由度的一阶偏微分方程组.该勒让德变换的过程是正则变换，是保辛的.所得到的一阶偏微分方程组可以用多种方法求解，其中精细积分法(Zhong and Williams， 1994)能得到近似于解析解的精度，且是随时间稳定的. 3 含缺陷结构的模拟检测

3.1 含狭窄空洞的二维结构的几何建模

在Matlab-PDE工具箱中绘制200 mm×60 mm的二维结构，其内部预设20 mm×2 mm狭窄空洞.二维结构的上边缘设置为诺依曼(Neumann)边界条件，其他边缘以及空洞的边缘均设置为狄里克雷(Dirichlet)边界条件.

3.2 划分网格

自由网格划分方式得到有限元模型，在空洞附近自动增密，节点总数为2210，见图 2.

图 2

Fig. 2

图 2 含裂缝结构的有限元网格划分结果Fig. 2 The FE mesh of the structure with a crack

(1)确定激励信号：激励信号为矩形脉冲波，频率为200 MHz.

(2)确定观测系统

如图 3所示，在结构的检测面上先确定观测线，然后设置坐标原点O.第一组观测方法是：将驱动器布置在坐标原点O，在与驱动器相距5 mm、10 mm、15 mm、…、200 mm处，即A点、B点、C点、D点等，各读取到一个信号.第二组观测方法是：将驱动器从坐标原点沿着观测线移动5 mm，在与驱动器相距5 mm、10 mm、15 mm、…、200 mm处，各读取到一个信号.第3组、第4组…依次类推.直到观测坐标位于观测线的终端，这个过程也可以参见图 3.

图 3

Fig. 3

Lmax=200 mm，Lmin=5 mm;ΔLd=ΔLs=5 mm图 3 图 2所示结构的观测系统设计Fig. 3 Design of the observing system for the structure in Fig. 2

(3)模拟检测

在O点激发应力波(见图 2)，时间步长为4.0e-7s，时间步数取为300，也就是获得300个时刻的波场矩阵.采用辛数值模拟方法进行计算，获得结构在(4.0e-7)s~300*(4.0e-7)s时间内共300个时刻的声波场.从该声波场中，提取表面检测线上检测点获得的应力波信号，作为检测的结果.

4 时域辛几何逆时偏移成像无损检测技术 4.1 未知成像几何模型的建立

建立成像几何模型，并划分有限元网格，节点数为n=1440，见图 4.

图 4

Fig. 4

图 4 成像模型的有限元网格划分Fig. 4 Mesh of the imaging model

(1)激励源

将1(4)步获得的检测结果沿时间倒置，作用于成像模型的检测线，作为成像模型的激励源.

(2)逆向波场

用辛数值模拟方法计算成像模型的逆向声场，第k₁次激发，第k₂时刻的逆向声场记为u(k₁，k₂).

(3)正向波场

采用1、(2)中的脉冲作为激励源，作用于成像模型的O点，利用辛数值模拟方法计算成像模型的正向声场.第k₁次激发，第k₂时刻的正向声场记为w(k₁，k₂);

(4)波场点乘矩阵

从3、(2)获得的逆向声场中提取Δt时刻的波场，从3、(3)中获得的正向波场中提取Δt时刻的波场，将这两个波场对应相乘，获得一张波场点乘矩阵：

该式可简写为

依次类推，从3、(2)获得的逆向声场中提取2Δt，3Δt…n₂·Δt时刻的波场，从3、(3)中获得的正向波场中提取2Δt，3Δt…n₂·Δt时刻的波场，并分别将这两个波场对应相乘，获得n₂张波场点乘剖面，在此例中，取n₂=300；

(6)将这n₂=300张剖面相叠加，获得第一张偏移剖面(见图 5)及下式：

由图 5可见，在一个点激发，在多个点接收超声波，计算获得的偏移剖面并不能显示出缺陷的位置，所以需要在检测线上各点进行激发，在其他点接收，计算多个偏移剖面，互相叠加和加强，获得缺陷和底面反射面的位置.

图 5

Fig. 5

图 5 第一张偏移剖面Fig. 5 The first migratin imaging

(1)在A点，B点，C点，D点，…直到最右端激励应力波，获得相应的正向波场、逆向波场和点乘矩阵，获得n₁张偏移剖面，在此取n₁=40;

(2)叠加这n₁张偏移剖面，获得辛叠前偏移成像算法的最终结果，即缺陷的剖面图像，结果见图 6及下式：

图 6

Fig. 6

图 6 窄裂缝的辛偏移成像结果Fig. 6 Imaging of narrow cracks

从图 6中可以观察到：

1)在30 mm深处，有宽度为20 mm的异色影像或凸起，与窄裂缝的预设位置吻合；

2)在60 mm深处，有宽度为200 mm的异色影像或凸起，与底面的位置吻合；

3)除了以上两处异色影像或凸起外，其他位置也不是均匀的，这是因为波叠加的结果只能相互抵消一部分;

4)缺陷位置的成像值不是均等的;

5)底面位置的成像值并不是均等的，在空洞正下方即外围100 mm范围的幅值小于其他位置.

产生以上现象的原因：

1)产生现象3)的原因是干扰影像的产生主要原因为二次反射波的存在，可以通过截取更短时间的应力波记录和数据预处理算法来避免或减少二次反射波的影响;

2)产生现象4)的原因是：缺陷的大小与超声激励主波长同级，部分超声波会发生绕射现象，反射波减弱，因此只能显示缺陷中部一部分的反射面，而缺陷边缘产生绕射的部分，不能够有效显示;

3)产生现象5)的原因是：经过底面但不能通过一次反射到达表面的部分，不能够使底面的这一部分正确成像.因此缺陷正下方、正下方外围一小部分区域以及底面的外边缘不能够显示，或显示较弱.

6 结 论

本文以混凝土内部缺陷的成像为例，利用时域辛几何数值模拟方法模拟了含缺陷结构的超声波激励与采集过程，利用辛几何逆时偏移成像技术确定了结构内部缺陷的位置，同时也清晰的显示出结构的底面位置.可以预测，这种方法不仅能用于均质材料的检测，也能用于宏观均质材料内部缺陷的检测，能同时非常直观地显示多个缺陷，便于识读.