干岩石模量的求取，一直以来都是一个未完全解决的问题(张佳佳等，2010).干岩石模量本质上反映的是在孔隙压力不变的条件下围压变化所引起的岩石体积改变的属性(伍向阳和陈祖安，2001).首先可以通过实验室直接测定干岩石的纵横波速度，也可通过速度公式计算得到干岩石的模量值.其次有很多经验公式(Han et al., 1986)以及等效介质模型法.目前在基于Gassmann方程(Berryman，1999；Smith et al., 2003)进行流体替代的过程中，比较流行的方法有：Biot系数法(Biot，1956)、Pride固结参数法(Pride et al., 2004)、Nur临界孔隙度法(Nur，1992；Nur et al., 1998)；等效介质模型法，包括Kuster -Toksz模型(Kuster and Toksz，1974)、微分等效介质模型(DEM模型)、自适应模型(Mavko et al., 1998)等.

Biot系数法、Pride固结参数法、Nur临界孔隙度法，都是通过一个参数来决定干岩石模量大小的，顾名思义：这三种方法的决定参数分别是：Biot系数β、Pride固结参数α以及Nur临界孔隙度φc.基于这三种方法求取干岩石模量的特点，本文将其归结为一种方法，即：单参数法.这样归纳的原因，将在本文第二部分方法原理中给出.

等效介质模型法求取干岩石模量有三种模型，K-T模型、DEM(Differential Equivalent Medium)模型、SC模型.其思路基本相似，都可以总结为，将一种基质当作背景介质，包含物都是基于理想化的椭球包含物形状，包含物之间彼此隔离，将包含物加入到背景介质从而形成等效介质.计算干岩石模量时将包含物的模量都设为零.这种方法是模拟非常高频条件下的岩石的属性，适用于超声实验条件.而干岩石情况符合这种假设，所以等效介质模型法成为计算干岩石模量的主要方法.它通过孔隙纵横比来体现孔隙结构对岩石弹性参数的影响.

多位作者在用到Gassmann方程时，都涉及对干岩石模量的计算(Wang，2001；Hilterman，2001；刘浩杰，2009).Xu-White在进行横波预测时(Xu and White， 1995，1996)，将孔隙度进行按沙泥比例分类，分别用不同的方法求取其对应的干岩石模量.当用到Pride模型求取干岩石模量时，给出上下限，但应用较为复杂(孙福利等，2008).当涉及用干岩石参与计算时，通过Gassmann方程反算可以获得，但通常情况下，方程中的参数很难全部获得(张金强等，2010).李宏兵等通过对DEM模型进行改进获得其解析表达式，是干岩石模量算法的一个很好的应用实例(Li and Zhang， 2013；李宏兵等，2013).

表 1(Table 1)

表 1 地层矿物的体积模量、剪切模量和密度值 Table 1 The value of formation of mineral’s balk moduli，shear moduli and density 石英 方解石 白云石 粘土 盐水 地层气 体积模量(MPa) 37 76.8 94.9 25.0 2.18 0 剪切模量(MPa) 44 32.0 45.0 9.0 0.01 0 密度(g/cm3) 2.65 2.71 2.87 2.55 1.02 0.01

表 1 地层矿物的体积模量、剪切模量和密度值 Table 1 The value of formation of mineral’s balk moduli，shear moduli and density

流体替换的理论基础是 Gassmann方程.它建立了岩石体积压缩模量、孔隙度、孔隙流体的体积压缩模量、岩石骨架的体积压缩模量、基质矿物(颗粒)的体积压缩模量之间的关系.经典Gassmann方程表达式为

其中：K_m、K_fl、K_dry和K_sat分别是岩石基质、孔隙流体、干岩石骨架和饱和岩石的体积模量，单位为GPa，μ_dry和μ_sat分别是干岩石和饱和岩石的剪切模量，单位为GPa，φ为总孔隙度.

将1.1中的Gassmann方程写成如下形式：

式(5)中：β为Biot系数，由Biot系数β的表达式可以看出β是K_m和K_dry的函数，其中K_m是通过Voigt-Reuss-Hill平均估算出来(Biot，1956)，而K_dry是需要求出的干岩石的体积模量，所以Biot系数法是从Gassmann方程中演化而来的.β的取值范围在0到1之间，β=0代表固结良好的沉积岩，β=1代表未固结的沉积和悬浮物.目前最流行的试验方法是将β看成是孔隙度的函数近似求得，比较流行的算法是Krief等人(Kriefet al.，1990；Kumar and Han， 2005)提出的:

Nur等提出当<_c时，β=/_c当>_c时，β=1.式中_c是储层岩石的临界孔隙度.

Nur等建议用下面的公式建立干岩石模量和剪切模量与基质和孔隙度之间的关系:

式(7)中：_c为临界孔隙度，μ_m为岩石基质的剪切模量，对于砂岩，一般情况下，_c=0.4(伍向阳和陈祖安，2001).

Pride等(2004)提出的一种干岩石模量的计算方法为

式中α为Pride固结参数.

为扩展该方法的应用，Lee(2005)将干岩石剪切模量的表达式中常系数1.5，表达成固结参数α的函数

对于γ的取值，当α=0时，γ=1，当α=100时，γ=1.99

尽管以上三种方法应用不同的参数确定岩石的干模量，但是，它们可以用一个通用关系表达.

首先，临界孔隙度法是Biot系数法的一种特例相当于令β=/_c，此时，建立Biot系数法和Pride固结参数法的关系，根据Biot系数的定义得到

所以由式(12)可改写为

地层的孔隙度一般由测井曲线可以求出.所以该关系式可以成为干岩石计算中的约束条件.因为Biot系数β的取值范围是0-1，当孔隙度是一定的情况下，这样可以对比固结参数随Biot系数的变化关系(如图 1).

图 1

Fig. 1

图 1 Biot系数和Pride固结参数之间的关系 Fig. 1 The relation between Biot coefficients and Pride’ consolidation parameters

等效介质模型法是以纵横比为变化参数的计算方法， 这种方法是将孔隙结构参数α考虑到算法中，优点是可以通过假设孔隙结构得到不同孔隙条件下的干岩石模量.这样，如果获得孔隙纵横比值，就可以以这种等效的孔隙结构来替代原始孔隙结构，获得干岩石模量后，依旧用Gassmann方程获得饱和状态下的体积模量和速度，通过上述过程，可以剥离孔隙结构对岩石模量的影响，进而突出孔隙流体对速度的影响.这中方法主要有三种实现模型，K-T模型、DEM模型、SC模型.

(1)K-T模型

其中的求和是对多种包含物种类，它们分别有体积分量，而且

系数P^mi和Q^mi描述了在背景介质m中加入包含物材料i后的效果.

(2)DEM模型

等效体积和剪切模量K^*和μ*的耦合的微分方程组分别是(Berryman，1992)

初始条件是K(0)=K₁和μ(0)=μ₁，其中 K₁和μ₁分别为初始材料的体积模量和剪切模量， K₂和μ₂分别为逐渐加入的包含物材料的体积模量和剪切模量， y为包含物的含量，对于流体包含物和空包含物，y等于孔隙度.P和Q的上标*2指此几何因数是针对具有等效模型K^*和μ^*的背景介质中材料2.

(3)SC模型

式中字母的含义同上.

三种等效介质模型对比，主要变化参数为孔隙纵横比，所以，对比不同孔隙度下的孔隙纵横比对不同模型的变化情况.从而体现孔隙结构对模量造成的影响.

由第二部分可知，单参数确定干岩石模量的方法，相当于只有两种，Biot系数法和Pride固结参数法，将这两种模型建立关系，可以对比这两个参数随孔隙度的变化关系，因为Biot系数定义为β=1－K_dry/K_ma，所以，取β在0~0.7之间变化，孔隙度也取对应的变化区间，根据我们前面得到的关系β= +α 1+α，建立这三个参数之间关系式.

由图 2(左)可以看出对于同一孔隙度，Biot系数随固结参数的增大而增大，这意味这速度将降低.这幅图也可说明：Biot系数的变化能够通过Pride固结参数的变化得出，不论地层固结程度好与坏，都能够通过不同的Pride固结参数来模拟.而且，随着孔隙度的增大，这种变化趋势逐渐变缓.当孔隙度也连续变化时，就是图 2(右)，在三维空间中，对比三个参数的变化关系，这个变化关系可以作为在求取干岩石模量时，参数选取的标准和约束.

图 2

Fig. 2

图 2 Pride固结参数、Biot系数、孔隙度三参数变化关系 Fig. 2 The relation among Biot coefficients，Pride’ consolidation parameters and porosity

选取同样的基质，同样的椭球形孔隙，孔隙度变化区间都为0~0.2，以表 1中的参数为输入参数，对比三种模型对孔隙纵横比变化的响应.

从干岩石模量随孔隙形状的变化趋势来看，孔隙纵横比越大，越接近于球形，岩石骨架越硬，干岩石模量值越大.孔隙形状对干岩石模量影响很大，随着孔隙度增加，裂缝形孔隙的干岩石模量剧烈降低.随着油气田勘探开发的深入，当前研究的储层都是低孔低渗储层，当孔隙度比较低时，孔隙纵横比的选择显得至关重要，可以对比三种模型在同一孔隙纵横比条件下，对孔隙度变化的反映(如图 3).

图 3

Fig. 3

图 3 不同孔隙纵横比条件下干岩石模量随孔隙度的变化(a)K-T模型;(b)DEM模型;(c)SC模型. Fig. 3 dry moduli versus porosity with various pore aspect radios(a)Kuster-Toksz model;(b)DEM model;(c)Self-consistent model.

由图 4可以看出，K-T模型和DEM模型随孔隙度变化的规律比较相近，只有SC模型随孔隙度变化，干岩石模量向X轴(孔隙度)收敛比较缓慢.孔隙纵横比对干岩石模量的影响很明显，孔隙纵横比越大，说明孔隙结构越硬，干岩石模量随孔隙度增加而减小的速率越慢.

图 4

Fig. 4

图 4 三种模型的干岩石模量随孔隙度变化(a)α=0.02；(b) α=0.1；(c) α=0.5. Fig. 4 dry moduli versus porosity with various models(a)Aspect radio equal 0.02；(b)Aspect radio equal 0.1；(c)Aspect radio equal 0.5.

在实际应用中，一般通过迭代的方法，确定出一个合理的孔隙纵横比值，使测量模量值和理论模量值达到最小(Li and Zhang， 2013).

选取**9井2600~2700 m井段，该井段有纵横波时差测井数据，所以能够求出地层饱和状态下的纵横波速度，从而可以得到岩层饱和状态下的模量值，基质模量等参数按表中的值给定，根据Gassmann方程的变形，导出干岩石模量的表达式为

由测井数据，可以得到表达式中所需的变量值，所以，本次数值试验就以该表达式求出的值作为标准值，分析各个模型求取干岩石模量的适用性及限制条件.

为了提高模型间可比性，将参数选取跟前面模型假设的参数间关系放到同一标准下.对于沙泥岩地层，临界孔隙度一般选取0.4，根据临界孔隙度值，推出Biot系数，从而确定Pride固结参数.

对于等效介质模型，选取同样的孔隙纵横比，通过K-T模型迭代得出当孔隙纵横为0.2时，实测曲线和预测曲线的相对误差达到最小.

图 5

Fig. 5

图 5 沙泥岩井段的不同模型计算干岩石模量对 Fig. 5 The value of dry moduli for s and shale wells calculated by different models

图 6

Fig. 6

图 6 碳酸盐岩井段的干岩石模量对比 Fig. 6 The value of dry moduli for carbonate wells calculated by different models

如上图，可以看出，拟合曲线区别主要在孔隙度比较大的地方，第一道是孔隙度曲线，第二道为等效介质模型的三种方法求取的干岩石模量与初始模量之间的对比，可以看出，孔隙度比较小的地方三种方法拟合的都比较好，而在高孔隙度区，有了明显的不一致，第三部分模型模拟的结果是在高孔隙度时SC模型收敛的最慢，这里在高孔隙度区域，SC与实测曲线拟合最好. 第三道是对比Pride固结参数法和等效介质模型的区别，固结参数通过临界孔隙度确定.不论是高孔隙度区还是低孔隙度区，可以看出pride固结参数法和实测数据拟合较好，但要比SC模型的效果稍差些.第四道是给出Biot系数法和Pride固结参数法和K-T模型的对比，因为Biot系数和Pride固结参数都是通过临界孔隙度给定，所以二者完全重合，而K-T模型的计算效果没有它们的好.

选取**102井的含气层段进行干岩石模量的计算，该井段深度为6700~6820，地层比较深，孔隙度比较低，岩石压实性比较好，通过实测模量和预测模量进行对比，通过K-T模型，以孔隙纵横比为变化参数迭代得到孔隙纵横比为0.1，此时得到的曲线与实测曲线拟合比较好.

由上图，第一道为孔隙度道，第二道为等效介质模型干岩石模量计算值和实测值的对比图，从图中可以看出，SC模型和K-T模型和实测曲线拟合的都比较好，而DEM模型偏差比较大，第三道是对比Pride固结参数法和SC模型、K-T模型和实测曲线的对比，可以看出，Pride固结参数法与实测数据偏离很大，而且曲线形状也不一样，确切的说，Pride固结参数法不适合干岩石模量的计算，同理，第四道展示的是Biot系数法的计算结果，因为这里Biot系数法和Pride固结参数法都是通过给定临界孔隙度值来给出的，所以，这两种方法得到的值是完全一样的.

本文给出了针对不同的岩性，干岩石模量计算方法的使用效果和应用条件，结论可归结为以下几点：

(1)在沙泥岩地层，单参数确定法和有效介质模型法都能够对干岩石模量计算给出很好的结果，单参数法确定的干岩石模量都和实际测量的比较吻合，而且计算结果稳定.而等效介质模型中，低孔隙度区域的结果都一致，而在高孔隙度区只有SC模型得到的结果比较好.

(2)在碳酸盐岩地层，单参数法显现出它的明显的不足，曲线形状和数值大小都与实际测量值偏离很大，而等效介质模型得到的结果比较合理，其中K-T模型和SC模型得到的结果要好于DEM模型得到的结果.

(3)单参数模型中的pride固结参数法和Biot系数法可以通过他们直接的关系而相互推出，也可以通过参数的取值范围通过优化得到.关键在于单参数的给定，实际应用中，应充分结合实际地质资料，给出合理的临界孔隙度值或固结参数值，从而得到准确的干岩石模量.

本文主要通过实际数据，针对不同模型对干岩石的计算方法进行了总结和分析，并对各个模型的应用效果和限制条件给出了明确的结果，这些结论对进一步分析流体替代和横波速度预测有很重要的意义.

致 谢 本次项目研究受到国家863计划(2006AA06Z214)，海洋地质国家重点实验室自主课题(MG20120205)和油气藏地质与工程国家重点实验室开放基金(PLN1101)的联合资助，在此一并致谢！