目前的常规地震勘探中，地下介质通常被认为是一系列的均匀层状介质，但是实际勘探中遇到的是大量复杂非均匀介质，用现有的常规方法很难完整地描述这些细小而又无法忽略的异常(钟伟等，2005).因此，需要发展复杂非均匀介质地震波场理论.使用统计学方法能较为灵活、方便且完整地描述这些异常.用统计学方法建立复杂非均匀介质模型的方法——随机介质理论(姚姚和奚先，2004).通过随机介质的波场传播理论，可充分利用以前认为是干扰的信息.对此，国内外许多学者对随机介质理论已经进行了大量理论研究，并取得了一些成果.他们通常是采用各种自相关函数来建立随机介质模型，因此可以根据随机介质理论研究中的自相关函数，将随机介质模型分为指数型(Ikelle et al., 1993)、高斯型(Engintav and Canitez， 1997; 奚先和姚姚， 2004a，b; 奚先和姚姚，2005a)、Von Karman型(Korn，1993; Chemingui，2001)、混合型(姚姚和奚先，2004；奚先和姚姚，2005b; 殷学鑫和刘洋，2011)、及一些改进型(奚先和姚姚，2005c; 陈可洋等，2008; 王金山等，2010).这些模型被广泛用于对散射现象的研究，但是仅凭这几类函数模拟的非均匀介质无法描述所有的非均匀介质，而且大多局限于小尺度非均匀性的二维随机介质(陈可洋，2009).

美国数学家M and elbrot提出的分形几何可以用来描述自然界中所形成的无规则形体的内在规律(M and elbort， 1967; M and elbort， 1982).分形几何认为在各种层次上都存在相似的几何结构(自相似性).Tubman等和Stefani的研究表明不同地区的不同测井曲线和地震振幅数据具有分形特征(何又雄和姚姚，2005).根据分形理论，储层参数的非均匀分布呈分形特征，其非均质性具有自相似性(颜其彬和冉启全，1994).研究表明，岩石的断裂表面具有很好的统计自相似特征(Hardy，1992; 孙洪泉和谢和平，2008).图 1a为实际岩石断裂表面的照片，图 1b为在图 1a上截取的一小块，然后放大到与图 1a相同大小的图片，同理得到图 1c.由图 1可以看出岩石断裂表面的粗糙形态是自相似的，即具有分形特征.本文首次提出利用分形模拟的方法描述三维随机介质，并引入了三维锥形函数来压制离散计算产生的误差，同时加入背景速度建立了几种三维随机介质模型和区域多尺度随机介质模型，讨论了各种参数对模拟结果的影响.

图 1

Fig. 1

图 1 岩石断裂表面的自相似特征 (a)实际岩石断裂表面照片;(b)在(a)上截取的放大图;(c)在(b)上截取的放大图. Fig. 1 Similarity of rock fracture surfaces (a)Photo of actual rock fracture surface;(b)Enlargement of the interception of figure(a); (c)Enlargement of the interception of figure(b).

该方法是将复杂非均匀介质中的非均匀体看成一个空间随机过程，这些具有大量的、随机分布的、小尺度异常的复杂非均匀介质可以看成随机介质.用统计学方法描述介质非均匀性所形成的非均匀介质模型，即随机介质模型(李灿苹等，2009).

随机介质模型由大尺度和小尺度的非均匀两部分所组成，大尺度部分描述介质的平均特性，即传统意义上的地质模型；小尺度部分是加在地质模型上的随机扰动，通常使用一个均值为零的、平稳的空间随机过程来表示，就可以用很少的几个统计量来描述在小尺度上的空间扰动，它们是空间自相关函数、自相关长度、均值、标准差等.

以三维弹性随机介质为例，各向同性的弹性介质由其密度ρ和拉梅系数λ、μ所确定.介质中相应的纵、横波速度v_p、v_s分别为

本文采用统计意义上的三维分形布朗运动谱密度函数来模拟实际介质的非均质性，各向异性谱密度函数为

由于δ(x，y，z)是实函数，在建模时应该满足以下的条件：

在理想的情况下，上面的随机介质计算是连续的，但在实际的计算时是离散的，因此会产生一定的误差，下面引入一种压制误差的方法，可提高建模的可信度.

2 随机建模过程中的误差压制

由于随机建模过程中的计算都是离散的，必然会产生一定的误差，为了提高模型的可信度，可引入锥形函数来压制离散计算误差.本文采用的三维情况下的锥形函数W₃(k_x，k_y，k_z)(Zeng X W et al，2004; 郭乃川等， 2012a，b)为

图 2是建立的大小为250×250×250个网格(步长为1m)的随机模型，锥形函数的半径为0.5 m^-1，从图 2中可以看出，锥形函数的作用是压制随机模型中的低波数域的分量.

图 2

Fig. 2

图 2 三维锥形函数示意图 Fig. 2 3-D tapering function diagram

图 3是建立的一维随机介质模型，选取121个网格(步长为1 m)，H=0.1，a_x=1，v₀=2000 cm/s.红色表示没有加入锥形函数的一维随机介质模型，蓝色表示压制了离散误差后的结果，从图中可以明显看出，锥形函数的压制效果，即速度的扰动程度明显减低，从而有效地对离散计算时的误差进行了压制.

图 3

Fig. 3

图 3 一维随机介质模型 Fig. 3 1-D r and om medium model

为了更好地建立我们所需要的三维随机介质模型，需要讨论上述公式中的参数对模型的影响.假设建立的模型大小为250×250×250(步长为1 m)，v₀=3000 m/s，引入三维锥形函数，为了更易于对比，计算时采用相同的三维随机场.当改变H和a_x、a_y、a_z的大小可以产生不同的三维随机介质模型，在此基础上建立了几种区域多尺度随机介质模型.

首先，研究不同大小的H对建模的影响.图 4中随机介质模型的a_x=a_y=a_z=10，H值的大小不同.从图 4中可以看出，H值越大，模拟的结果越光滑，说明H值的大小对应着随机介质的非均匀性的光滑程度.在实际模拟时，H值可以通过测井曲线或地震沿层振幅数据，采用R/S法求得(何又雄和姚姚，2005)，图 5为某地区一口井的两条测井曲线的R/S分析结果，求其平均得H=0.94055.

图 4

Fig. 4

图 4 改变H值建立的三维随机介质速度模型 (a)H=0.6；(b)H=0.9. Fig. 4 3-D r and om medium models by changing the Hurst exponent (a)H=0.6;(b)H=0.9.

图 5

Fig. 5

图 5 某地区KG-1X的两条测井曲线R/S分析结果 (a)微测向测井R/S分析结果；(b)浅测向测井R/S分析结果. Fig. 5 The analysis results of KG-1X well’s two log curves in some area by R/S (a)The analysis result of RMLL by R/S;(b)The analysis result of RS by R/S.

其次，研究同时改变三个方向上的尺度系数对建模的影响.图 6中H=0.5，同时改变a_x、a_y、a_z的值，增大的倍数一样.可以看出，尺度系数越大，模拟的结果的扰动值越小，说明尺度系数的大小反映了非均匀性扰动的大小.

图 6

Fig. 6

图 6 改变三个方向上的尺度系数建立的三维随机介质模型 (a)ax=ay=az=10；(b)ax=ay=az=100. Fig. 6 3-D r and om medium models by changing the scale coefficients in three directions (a)ax=ay=az=10;(b)ax=ay=az=100.

最后，研究改变1个或2个方向上的尺度系数对建模的影响.图 7中H=0.8，图 7a增大了x方向上的尺度系数，图 7b是同时增大了x、y方向上的尺度系数，且增大的倍数一样，从模拟的结果可以看出增大某一方向上的尺度系数，该方向上出现成层现象，因此，可以得出a_x、a_y、a_z反映了随机介质在x、y、z上的非均匀性的大小，可以用来模拟实际复杂情况下的非均质性.

图 7

Fig. 7

图 7 改变1个或2个方向上的尺度系数建立的三维随机介质模型 (a)ax=30，ay=az=10;(b)ax=ay=30，az=10. Fig. 7 3-D r and om medium models by changing the scale coefficients in one or two directions (a)ax=30，ay=az=10;(b)ax=ay=30，az=10.

通常所建立的随机介质模型是单一尺度的随机介质模型，它是加在背景参数上的随机扰动所组成，即传统意义上的非均匀介质模型.虽然该模型可以描述介质的非均质性，但是实际介质不会在整个研究区域的非均质性都是一样的.可以根据二维区域多尺度随机建模的原理(Engintav and Canitez， 1997; 姚姚和奚先，2004)，将其推广到三维情况下，其数学表达式为

在构建了不同层状的三维模型的基础上，加上不同尺度的随机扰动，最终形成层状多尺度随机介质模型.图 8a模型的平均速度从上到下分别为1000 m/s，2000 m/s，3000 m/s，在此基础上，叠加三种不同尺度的随机扰动，从上到下a_x=a_y=a_z=10，H值分别为0.9，0.1，0.5.从图 8b中可以看到多尺度随机介质模型丰富了随机介质模型的类型，使得我们在模拟实际介质时有更多的选择.

图 8

Fig. 8

图 8 层状三维介质模型 (a)层状均匀介质模型;(b)层状区域多尺度随机介质模型. Fig. 8 Layered 3-D r and om medium model (a)Layered homogeneous medium model;(b)Layered regionalized multi-scale r and om medium model.

南海海域油气勘探尚处于勘探初期阶段，海底的地貌、构造样式和地层发育均十分复杂，现今对生物礁储层分布规律的识别研究较弱.采用常规的均匀介质模型来正演，难以得到复杂非均匀储层的地震波场的响应特征，因此在地层框架模型的基础上，应用分形方法对目标储层内部进行描述，即建立随机介质模型(Yao Yao et al，2005; 曲寿利等，2012; 宋桂桥等，2013).根据南海某地区生物礁的地震解释剖面，建立了相应的地质模式剖面图，从原始地震剖面上判断该模型为生物礁的可能性较大，在建模的过程中，利用分形随机介质理论，建立了与之对应的生物礁速度模型，并在目标区充填不同尺度的随机介质(差别很小)，如图 9所示.从图 9上可以看出，生物礁上覆地层有一定的起伏，考虑到淋滤、溶蚀后的生物礁的速度有可能降低，在建模过程中，淋滤、溶蚀的部分用相对较低的速度来代替.

图 9

Fig. 9

图 9 充填随机介质的生物礁速度模型 Fig. 9 Reef velocity model filled with r and om medium

通过波动方程正演模拟的结果发现，如图 10所示，此处生物礁体生长在开阔台地，生物礁的上边界反射比较连续，主要是由于生物礁与上覆地层的波阻抗差异较大，礁体内部有杂乱反射，此反射特征与生物礁的多期次发育有关.通过正演模拟，初步推断目标体为生物礁.其模拟资料的成像与实际资料的反射特征类似，这里的礁体的平均速度为3000 m/s，礁体的速度差异为不超过250 m/s.这就更加印证了生物礁的可能性.

图 10

Fig. 10

图 10 生物礁正演模拟剖面 Fig. 10 Reef seismic forward modeling profile

本文在前人的研究基础上，首次提出了分形方法建立三维随机介质，并给出了详细流程.在建模的过程中，通过引入三维锥形函数来压制离散计算时产生的误差.模拟结果显示，分形方法同样可以模拟随机介质，相对于利用各种自相关函数的方法，分形模拟更方便和灵活，因为它只需两个参数(不同方向的尺度系数和豪斯特指数)，另外可以构造更为复杂的区域多尺度随机介质模型.通过选择合适的参数，可模拟出更符合实际的非均匀介质模型.在实际应用时，随机介质模型可以用来描述生物礁等非均质性较强的储层，通过建立符合实际地质规律的数学模型，运用波动方程正演，进而研究储层的地震响应特征.