碳酸盐岩储集层是全球重要的产油气层，其油气储量占已发现总资源量的50%以上，世界上大部分大中型油气田的主力产油气层均为碳酸盐岩储层.当前，深层碳酸盐岩储集层为世界石油新发现储量的增长点，因此倍受石油界重视.深层(一般指大于5000 m)碳酸盐岩储层由于埋藏深度大，其地震资料具有信噪比低、分辨率低、地震响应特征不明显的特征，这使得利用常规处理手段难以得到理想的地震资料，因此，这给深层碳酸盐岩的勘探开发工作提出了更高的要求.

深层碳酸盐岩储层地震记录中的低频成分具有相对稳定、传播距离远、穿透能力强等优点，能够更好地识别深层以及屏蔽层下的地质目标，增强特殊岩性体的识别能力(Woodburn et al., 2011; 张军华等，2016)；丰富的低频信息可以使储层反演结果更清晰可靠，有利于岩性油气藏的识别(Zhi et al., 2016)，并且反演结果中的“低频伴影”可用于预测油气的分布(陈学华等，2009).然而，在目前常规采集技术下，低频地震信号在被记录时，会受检波器畸变的影响而无法在成像过程中被充分使用，这将导致最终成像剖面中低频成分缺失，深层成像不清晰(靳中原等，2017).因此，地震低频信息的研究对深层碳酸盐岩地层成像具有十分重要的意义.

虽然地震资料中低频信号的重要作用已被证实，但低频信号的缺失对地震子波、地震记录、波阻抗反演及深层弱信号的影响依然缺少系统的定量分析；此外，通过频带能量补偿提高深层弱信号识别效果的方法大多为高频补偿方法，低频能量补偿的研究和应用则较少，且目前现有的低频处理方法存在着一定的局限性：例如，自回归外推补偿低频方法需假定区域内的岩性横向变化小、波阻抗或速度结构相近，这会影响实际的处理效果(管路平和唐权钧，1990)；反褶积方法可以恢复低频成分，但同时会增强有效频段外的低频噪声，导致反褶积后数据的信噪比降低，这增加了其实际应用的难度(魏继东，2016).压缩感知(Donoho, 2006)是2007年以来兴起的新的采样和恢复理论，国内、外学者对该理论进行了大量的研究，并尝试将其应用于地震勘探领域(Gholami, 2015；韩立国等，2012；宋维琪等，2017).韩立国等(2012)基于压缩感知理论，利用拓频后数据的低频能量和原数据的高频能量组合构成最终的低频补偿地震数据，但频谱叠加衔接处的能量不匹配问题会使反变换后时间域数据失真；宋维琪等(2017)考虑到压缩感知算法的稀疏度问题，分别研究了纵横稀疏度的选取方法与指导准则，通过经验试算方法确定横向稀疏度.

本文首先系统分析了低频对地震子波、合成地震记录和波阻抗反演的重要性，在此基础上，针对常规压缩感知拓低频方法提出了两方面的改进：一方面提出了自适应L₁范数权重因子求取方法，解决了反射系数稀疏度选取的问题；另一方面通过对地震子波进行压缩，达到恢复宽频反射系数的目的，同时构建了改进的宽带俞式低通滤波器，对地震信号进行低频补偿，解决了频谱叠加信号的失真问题.深层复杂碳酸盐岩模型及实例数据测试显示，该方法应用效果较好，补偿后低频成分得到有效增强，波组反射特征清晰，深层弱信号的识别能力得到明显提高.

在高分辨率的地震资料处理中，构建子波是必不可少的工作.在目前的地震资料处理中，最常用的两种子波是带通子波和雷克子波，但前者持续时间长，旁瓣过于复杂，后者则有旁瓣幅度较大的缺点，这也在一定程度上限制了两类子波的应用.俞寿朋(1996)提出了一种更适合高分辨率处理的宽带雷克子波，即李庆忠命名的“俞氏子波”.“俞氏子波”具有主瓣宽度窄、旁瓣幅度小等优点.以“俞氏子波”作为期望输出，首先分析低频信号对“俞式子波”的影响，如图 1所示.图中依次构建了低截频为2 Hz、10 Hz、15 Hz，高截频均为70 Hz的“俞式子波”.从时间域子波可以看出，当低截频越低时，子波的旁瓣幅度越小，振荡周期越小；反之，当缺少低频时，子波的旁瓣幅度越大，震荡周期越大.从子波频谱可以看出，低截频越低，“俞氏子波”频谱的低频成分所占比重越大，而高频成分则相对减少.

图 1

Fig. 1

图 1 不同低截频下俞氏子波及其频谱对比图 (a)时间域子波; (b)子波频谱. Fig. 1 Comparison of different low-cut frequency of Yu-type wavelet and spectrum (a) Time domain wavelet; (b) Wavelet spectrum.

通过1.1节的分析可以发现，低频对子波的波形(旁瓣、振荡周期)具有重要的影响，而根据地震褶积模型理论，低频成分的影响同样会传递到地震记录中.为分析低频缺失对地震记录的影响，根据图 2a所示波阻抗曲线，设计如图 2b所示的楔形模型，并用图 1中不同低截频的子波褶积楔形模型，合成如图 3所示楔形地震记录.可以看出，随着低频信号的缺失，合成记录中会出现子波旁瓣形成的假同相轴；为清晰对比子波波形对地震信号的影响，抽取合成记录中第32道进行波形对比，通过对比可以明显发现，低频成分的缺失会使得地震子波旁瓣增多、振幅失真，而旁瓣则在一定程度上影响地质体边界的成像精度，造成地层划分不清的现象.

图 2

Fig. 2

图 2 单道波阻抗曲线及其构建的波阻抗楔形模型 (a)全频带、低频波阻抗曲线; (b)楔形模型. Fig. 2 Single wave impedance curve and the constructed wave impedance wedge model (a) The curve of full band and low frequency impedance; (b) Wedge model.

图 3

Fig. 3

图 3 不同低截频下楔形模型合成记录及单道波形对比图 (a) [2 70]Hz合成记录; (b) [10 70]Hz合成记录; (c) [15 70]Hz合成记录; (d)抽取第32道波形对比. Fig. 3 Synthetic record of wedge model and single trace waveform comparison with different low-cut frequency (a) Synthetic record with [2 70] Hz; (b) Synthetic record with [10 70] Hz; (c) Synthetic record with [15 70] Hz; (d) Waveform comparison of 32 trace.

地震波阻抗反演是获取地下介质波阻抗的主要途径.常规地震资料的低截频范围一般在8~10 Hz，因此缺少低频分量；利用地震反演获取地下介质波阻抗时一般需要借助测井资料进行弹性参数初始低频模型的建立，而初始低频模型直接影响地震反演结果的合理性.为研究低频信息在地震反演中的作用，对1.2节中的楔形合成地震记录进行道积分相对波阻抗反演，结果如图 4所示.通过对比可以发现，当地震记录缺失低频成分时，波阻抗反演厚层阻抗将产生畸变，而抽取得到的波阻抗反演第32道对比结果则显示，低频成分的缺失将导致波阻抗反演精度降低，影响反演结果在地层和岩性的变化上的体现.

图 4

Fig. 4

图 4 不同低截频下楔形模型波阻抗反演剖面及单道阻抗曲线对比图 (a) [2 70]Hz; (b) [10 70]Hz; (c) [15 70]Hz; (d)抽取第32道阻抗对比. Fig. 4 Impedance inversion of wedge model and single impedance curve comparison with different low-cut frequency (a) Impedance inversion with [2 70] Hz; (b) Impedance inversion with [10 70] Hz; (c) Impedance inversion with [15 70] Hz; (d) Impedance comparison of 32 trace.

压缩感知(Donoho, 2006)理论可以简洁地总结为：稀疏信号可通过一组线性测量值重建得到原信号，在获得测量值时，采样率可低于奈奎斯特采样频率.若一个信号是“稀疏”的，那么它通常可以在某个域中表示成一个标准正交基的线性组合，表达形式如式(1)所示：

(1)

其中X=[x₁, x₂, …, x_N]是f的系数序列，而Ψ是一个以ψ₁, ψ₂, …, ψ_N作为列向量的N×N矩阵.若X中最多有K(K≪N)个非零元素，则f在Ψ中是稀疏的.设(Φ, Ψ)是一对维度为Rⁿ的正交基，并且矩阵Φ用来感知目标f，矩阵Ψ用来重现f，则有

(2)

L₁范数表示向量或矩阵中非零元素的绝对值之和，对信号进行以L₁范数为约束的优化问题求解可体现其“稀疏”特征，因此本文利用最小L₁范数恢复式(2)的信号，即

(3)

其中‖·‖₁为L₁范数.式(3)的求解可以采用迭代重加权最小平算法(Scales and Gersztenkorn, 1988)、同伦算法(Malioutov et al., 2005)、快速迭代阈值法(Beck and Teboulle, 2009)等求解L₁约束反演问题.

根据地震褶积模型原理，地震数据s可以描述为地震子波w和地下反射系数r的褶积与随机噪声n的总和：

(4)

式(4)在频率域可以表示为

(5)

其中S、W、R及N分别是地震记录、地震子波w、地下反射系数r及随机噪声n的Fourier变换.F是Fourier变换矩阵.若假设地下反射系数为随机序列，则其频谱R应是全带宽的，但地震子波的滤波作用使其频率成分受到损失，成为有限带宽的频谱S.因此，为了恢复地震信号的低频信息，需要通过有限带宽的地震数据频谱S来恢复整个带宽数据R.

为求解式(5)，并降低反射系数求解的多解性和不稳定性，本文基于实际地震反射系数r具有稀疏特征的假设条件，并根据式(2)、式(3)所述，利用压缩感知理论建立如下目标函数：

(6)

其中分别为L₂范数和L₁范数.本文采用快速迭代软阈值算法FISTA(Beck and Teboulle, 2009)对式(6)进行求解.

式(6)中，λ是L₁范数权重的调节因子，它主要平衡误差项与反射系数稀疏项对结果的影响程度，λ越大，L₁范数的约束作用就越大，即在保证误差项最小的同时尽可能满足反射系数“稀疏”的条件.但是，由于实际地震记录与反射系数的能量级别差异较大，参数λ的选择往往较为困难.根据实际地震记录与反射系数能量级别差异较大的特点，本文采用自适应求取方法，假设地震信号强反射界面位置均为反射系数界面，根据强反射位置构建理论地震信号，并通过匹配理论与实际地震信号强度的比例系数来确定λ的数值大小，其计算公式如式(7)所示:

(7)

其中，r为理论的强反射界面反射系数，S_i为地震记录中的一道信号.

为得到保留低频信息的高分辨率资料，需对求取的反射系数与保持低频信息的宽带子波进行重构.由1.1节中低频对子波影响的分析可知，“俞氏子波”的频谱具有低频高、高频低的特点，当低截频越低时，“俞氏子波”频谱的低频成分越能突出，但高频成分则相对缺失.根据此特点，在不影响地震高频信号的情况下，本文设计了一种能够保持低频成分的改进的宽带俞式低通整形滤波器对反射系数r进行低通滤波，从而得到低频补偿的地震记录.滤波器的表达式如式(8)所示.

(8)

(9)

其中，s为原始地震数据的频谱，f₀为地震数据的主频，F^-1为Fourier反变换.s由式(9)得到，式中p和q为上下限，下限p通常取低于原始地震数据低截频的数值，而上限q则为原始地震数据的高截频.为不影响地震的高频信号，本文在此过程中加入由原始地震信号高频成分决定的整形滤波器比例系数，同时保证低频成分由俞式低通频谱决定，并设置低通整形滤波器比例系数为1.

取主频为30 Hz的Ricker子波得到的合成记录如图 5a黑实线所示，在自适应参数λ的约束下，先对记录进行反射系数反演，反演结果如图 5a黑长虚线所示，再采用频宽[2, 60]Hz的改进宽带俞式低通整形滤波器对恢复的反射系数进行低通滤波，得到低频补偿后的结果，如图 5a黑短虚线所示，低频补偿后的地震子波旁瓣得到压缩，时间分辨率明显提高.对图 5a中的原始地震记录做傅里叶变换，结果如图 5b黑实线所示，原始合成记录主频为30 Hz，频宽为10~60 Hz；经反射系数反演后，得到如图 5b黑长虚线的结果，图中反射系数的低截频、高截频都得到有效展宽，其频谱带宽显著增加；对反演的反射系数采用宽带俞式低通整形滤波器进行滤波，结果如图 5b黑短虚线所示，从结果中可以看出，宽带俞式子波低通滤波器可以有效地对恢复的反射系数进行低通谱整形滤波，同时保证高频信号不受影响.因此，本方法可以在有效频带范围内对低频能量进行补偿.

图 5

Fig. 5

图 5 简单模型反演的反射系数、低频补偿前后合成记录及其频谱对比图 (a)合成记录及反演结果对比; (b)频谱对比. Fig. 5 Inversed reflection coefficient from a simple model compared with synthetic record before and after the low-frequency compensation and their spectrum comparison (a) Comparison of synthetic record and inversion results; (b) Comparison of spectrum.

在实际地下介质中，尤其是在中深层裂缝埋藏较深的部位，地下构造复杂，存在空间速度突变的高陡构造、潜山、断裂与地层岩性剧烈变化，这些复杂构造会对地震波场产生影响.本文以某研究区复杂裂缝性碳酸盐岩实际模型为例展开研究.根据实际地质情况，建立了如图 6所示由不同岩性(灰岩和白云岩)、不同构造(轴部、翼部和倾末端)组成，且裂缝发育的地层模型.

图 6

Fig. 6

图 6 复杂地层模型 Fig. 6 Complex stratigraphic model

对图 7a所示复杂裂缝性碳酸盐岩实际模型的偏移成像结果进行分析.模型数据的主频为30 Hz，频带范围10~50 Hz.图 7a的偏移结果显示，地震信号子波旁瓣较多，地震波阻特征不清晰，并且受上覆层灰岩屏蔽的影响，裂缝响应微弱，深层裂缝弱信号难以识别，对图 7a做傅里叶变换得到图 7c黑线所示的原始频谱，从频谱分析可知，信号低截频为10 Hz，因此低频信号缺失.通过频宽为[5 50]Hz改进的宽带俞式低通整形滤波器对偏移成像结果图 7a进行低频补偿，得到如图 7b所示低频补偿记录.由结果可以看出，低频补偿后的地震信号子波旁瓣减小，地震记录波阻特征清晰，裂缝弱反射信号得到增强.对补偿后的剖面做傅里叶变换得到图 7c黑虚线所示频谱，从图 7c的频谱对比分析可以得知，图 7b结果中10 Hz以下低频信号得到明显补偿，低频段0~30 Hz面积提高了28%，且高频信号未受到影响.因此，本方法能够在不影响其它频段的前提下，有效恢复低频信号，实现弱信号能量的增强.

图 7

Fig. 7

图 7 复杂模型低频补偿前后地震响应及其频谱对比图 (a)偏移成像结果；(b)低频补偿记录；(c)低频补偿前后频谱对比. Fig. 7 Seismic response and its spectrum before and after the low-frequency compensation of complex model (a) Migration imaging results; (b) Low-frequency compensation record; (c) Spectrum comparison of before and after the low-frequency compensation.

深层碳酸盐岩储层埋藏深度大，地震资料信噪比差、分辨率低.为验证本方法的抗噪性，对图 7a碳酸盐岩复杂模型偏移成像结果加入20 dB随机噪声，得到图 8a所示的地震记录，从地震记录响应可以看出，当信噪比较差时，反射界面受噪声影响变得模糊不清，并且弱裂缝响应信号淹没在噪声中，更加难以识别.

图 8

Fig. 8

图 8 加入20 dB随机噪声复杂模型低频补偿前后地震响应及其频谱对比图 (a)偏移成像结果；(b)含20 dB随机噪声偏移成像结果；(c)无噪及20 dB随机噪声低频补偿前后频谱对比. Fig. 8 Seismic response with 20 dB random noise and its spectrum before and after the low-frequency compensation of complex model (a) Migration imaging results with 20 dB random noise; (b) Low-frequency compensation record with 20 dB random noise; (c) Spectrum comparison of before and after the low-frequency compensation with no noise and 20 dB random noise.

对含20 dB随机噪声的地震记录图 8a仍采用频宽为[5 50] Hz的改进宽带俞式低通整形滤波器进行低频补偿，得到低频补偿记录，如图 8b所示，对补偿前后的地震记录做傅里叶变换，得到频谱对比分析图，如图 8c所示.从图中可以看出，即使在含有20 dB随机噪声的情况下，该方法仍可以在不影响高频信号的前提下，稳定地实现10 Hz以下低频信号的补偿.因此，本方法能够稳健地恢复低频信号，使低频补偿后的反射界面变得更加聚焦，波组反射特征清晰，深层弱反射信号得到有效增强.

研究区位于四川盆地川东高陡褶皱带，主要由浅海碳酸盐岩、膏盐岩及碎屑岩组成.在构造凹陷、断裂带处，地震资料品质较差，反射特征不明显，因此难以识别储层波组特征.研究区局部偏移成像结果如图 9a所示，本区地震资料主频为35 Hz，有效频带为10~60 Hz，低频信息缺失.采用频宽为[5 60] Hz的改进宽带俞式低通整形滤波器对偏移结果进行低频补偿，得到低频补偿记录，如图 9b所示.从图 9(a, b)的对比可以看出，低频补偿后地震剖面能量增强，反射清晰，波组关系层次分明，陡倾断面成像清楚.为进一步分析地震响应的频谱特征，对两剖面进行频谱分析，结果如图 9c所示.由频谱分析结果可以看出，在低频补偿后，10 Hz以下低频信号得到明显补偿，低频段0~35 Hz的面积提高了12%，且高频信号未受到明显影响，频宽得到有效拓宽，这也进一步表明了该方法的可行性和实用性.

图 9

Fig. 9

图 9 研究区低频补偿前后地震响应及其频谱对比图 (a)偏移成像结果；(b)低频补偿记录；(c)低频补偿前后频谱对比. Fig. 9 Seismic response and its spectrum before and after the low-frequency compensation of research area (a) Migration imaging results; (b) Low-frequency compensation record; (c) Spectrum comparison of before and after the low-frequency compensation.

低频成分具有相对稳定、传播距离远、穿透力能力强等优点，能够在特殊岩性体的识别、储层反演、油气预测和深层及屏蔽层下的地质目标识别中起到至关重要的作用.本文首先系统地分析了地震子波、地震记录、波阻抗反演及深层弱信号低频缺失的特征，为低频信号补偿奠定了理论基础.其次引入压缩感知理论，形成了自适应计算L₁范数权重因子的特色方法，通过构建改进的宽带俞式低通整形滤波器，有效地补偿了地震低频信号.这种通过拓展地震信号低频端来提升碳酸盐岩储层深层弱信号识别能力的方法是目前宽频地震数据处理的一种新思路.