0 引言

随钻声波测井基于其边钻井边测量的特点，相比于传统电缆声波测井具有节省时间成本、泥浆侵入少、适应于大斜度井和水平井等优点，并可望应用于钻头地质导向，近年来受到了工程和学术界的广泛关注(Minear et al., 1995; Leggett et al., 2001; Wang and Tang, 2003a; Byun and Toksöz, 2003; Sinha and Simsek, 2010).但随钻声波测井在资料解释上存在固有的技术难题，即占据井孔绝大部分空间的钻铤会对地层模式波产生严重干扰(Hsu and Sinha, 1998; 崔志文, 2004; Sinha et al., 2009)，极大增加了测量地层信息的困难.因此如何使用随钻声波信息测量地层特征，成为目前声波测井研究的主要内容之一.在本文中我们着重关注地层横波速度测量以及各向异性的反演.

在应用地球物理中，各向异性评价的对象通常包括地层快、慢横波的速度及偏振方向，其中速度各向异性大小反映了储层压裂和地应力分布情况，而快横波偏振方向往往对应地层沉积或者微裂缝的延伸方向，因而都是储层反演的重要目标(Tang and Cheng, 2004).在随钻横波测量中，人们提出了四极子声波测井方法.由于地层螺旋波在其低频截止频率处波速在理论上趋近于地层横波速度，同时钻铤模式波在适当的低频段不会被激发，可有效避免钻铤产生的信号干扰(Wang and Tang, 2003a; Zhu et al., 2008; Sinha and Simsek, 2010; Wang and Tao, 2011; Su et al., 2013; 王瑞甲和乔文孝, 2015).但是，限于四极子声源的辐射指向性较弱，不利于获得地层快横波偏振方向(张海澜等, 2004).因此应对储层各向异性评价，仍需寻求具有较强指向性的换能器.

在传统电缆声波测井中常用具有偏振性的低频偶极声源来测量地层横波速度及其各向异性(Chen, 1988; Zhu et al., 1993; Sinha et al., 1994; Tang and Cheng, 2004; He and Hu, 2009；He et al., 2010).但是在随钻声波测井中，钻铤的存在会对地层模式波产生严重的干扰，无法直接将正交偶极子测量方法直接照搬到随钻声波测井中(Hsu and Sinha, 1998).大量理论和数值研究结果指出，随钻弯曲波之所以不能直接用于测量地层横波波速，在于低频段地层弯曲波与钻铤弯曲波发生严重的耦合作用，导致一阶弯曲波在低频处波速远小于地层横波波速，所以无法用其直接测量地层横波波速以及各向异性(崔志文, 2004; Zhu et al., 2008; Sinha and Simsek, 2010; 王瑞甲等, 2012).但近年也有学者提出，在快速地层中可以使用高阶弯曲波反演地层横波波速或各向异性(Wang et al., 2017)；而在慢速地层中可以考虑使用一阶弯曲波通过数值拟合的方式来间接反演地层横波波速或者各向异性(李希强等, 2013; Wang et al., 2016).但偶极声源在随钻测井应用中存在若干技术问题，比如相对于单个声压点源，偶极声源激励的声能量较弱，不利于将声源信号与钻井噪声分离，另外还要求组成偶极子的反相振子具有良好的一致性以确保弯曲波的有效激发和接收(Byun and Joo, 2009; 陈愿愿, 2014).

最近，Schlumberger公司提出一种用于随钻声波测井仪器的新型声波换能器Unipole，它是放置在钻铤外某一侧的振子，从模型上属于偏心声压点源.其设计初衷是希望在仪器随钻头转动时，环向扫描地层周向特征(Wang et al., 2011).这种偏心点声源具有强于偶极传感器的辐射能量，且结构简单对声源的一致性没有要求，在工程应用上适用于钻井过程中的极端环境.更重要的是，由于偏心点声源具有方位指向性，利用这种换能器可望实现随钻各向异性测量，因此也引起了学术界的关注.数值模拟结果表明，在快速地层中，可以直接使用偏心点声源激发的快、慢折射横波来测量地层各向异性(Chen et al., 2010; Nwosu et al., 2015; Sakiyama et al., 2016; Syresin et al., 2016)；但与偶极源类似，在慢速地层中根据偏心点声源激发的弯曲波波形无法直接提取地层横波速度，似乎无法准确评价各向异性(Wang et al., 2011).有关偏心点声源在随钻测井模型中激发的声传播规律，及其地层各向异性评价中的应用，仍有待进一步的揭示.针对上述问题，本文在前人的工作基础上，着重数值模拟慢速各向异性地层中随钻偏心点声源激发的声场，研究其在井孔中接收的响应特征，希望进一步探讨测量地层各向异性的方法.具体的，首先使用三维时域有限差分人工合成水平横向各向同性(Horizontal Transverse Isotropy, 简称HTI)慢速地层随钻偏心点声源声波测井资料，在此基础上详细分析了HTI地层偏心点声源激发的弯曲波响应特性，包括弯曲波分裂现象、弯曲波传播与各向异性地层参数的定量关系，以及计算出弯曲波慢度和声源方位角的关系.然后归纳提出在慢速地层中根据快、慢弯曲波频散特征，利用数值拟合法间接反演地层快、慢横波波速，进而定量评价地层横波各向异性大小的方法；最后提出利用正交于声源方位的接收器采集资料，可准确反演地层快横波偏振方向.本工作进一步完善了随钻声波测井资料解释和地层反演方法，并且为新型随钻声波测井仪器的设计和研发提供必要的理论基础.

1 随钻测井声学模型与算法 1.1 偏心点声源随钻声波测井模型

本文中我们讨论横向各向同性地层对称轴与井轴垂直的情况，如图 1所示.图 1a中，s方向为TI介质的对称轴方向，l方向为井孔对称轴方向，s与l两者的夹角为ϕ₀=90°.图 1b为随钻声波测井模型简化的柱状径向分层的声学模型，沿径向方向、由内至外的介质依次为流体层(水)、钻铤层(钢)、流体层(水)和地层.井孔外的地层为无限大固体介质，而井眼内钻铤居中，其内、外部空间均由水填充.介质参数如表 1和表 2所示.

1.2 差分算法

本文研究的是HTI地层随钻声波测井，模型的非轴对称性导致井孔声场方程无法获得解析解，所以本文采用有限差分方法数值模拟井孔声场问题(Wang and Tang, 2003a; Huang, 2003; Sinha et al., 2009; 杨玉峰等, 2016)，在前人使用三维柱坐标时域有限差分法(FDTD)研究地层各向异性算法的基础上(何晓, 2010)，将其引用到随钻声波测井中.柱坐标系示意图如图 2所示，同时为了模拟无限大地层，采用非分裂完美匹配层(NPML)作为吸收边界(Wang and Tang, 2003b).数值计算区域为：径向r方向为0.7 m、轴向z方向为6 m，r，θ，z方向的采样空间间隔分别为0.01 m，π/12，0.01 m.TI对称轴s与井孔对称轴z夹角为ϕ₀=90°，s-z平面的法线指向方向为θ=0°，对应于地层快横波偏振方向.其中，HTI地层中刚度系数矩阵可以通过Bond变换获得(Auld, 1973)；而模型中钻铤内、外半径和井眼半径分别设置为0.03 m、0.09 m和0.12 m.声源加载位于距离底部0.5 m位置处，接收源距为3.0~4.2 m，每组接收器之间间距为0.15 m，采样时间为6 ms.声源采用余弦包络脉冲函数进行激发，中心频率为6 kHz，带宽为4~8 kHz.

1.3 随钻偏心点声源发射与接收声源的设计与分析

如图 3所示，为随钻偏心点声源发射与接收的设计示意图.其中声源是位于钻铤表面的偏心点声源，其方向与快横波偏振方向夹角设置为β；接收时常用相互间隔90°的四个接收阵列进行信号采集，为方便表示分别标记为A, B, C, D，其中A阵列接收方向和声源方向一致(Sakiyama et al., 2016).本文中主要用A方向的接收阵列信号反演地层横波波速及各向异性(Chen et al., 2010; Wang et al., 2011)，而使用B，D方向的采集阵列信号用于测量方位各向异性.

图 4为偏心声源的分解图，单个点声源可以等效为单极子、偶极子、四极子的叠加(Tang and Cheng, 2004；Wang et al., 2011)，更高阶多极子声源在低频处的贡献十分微弱，因此可以忽略不计(崔志文，2004)，其激发波形可表示为

(1)

式(1)中，U代表偏心点声源，M代表单极源，D代表偶极源，Q代表四极源.

同理接收端的接收可以类似表述，例如A点可以表述为(如不做特殊表示，偏心点声源采集均使用A点阵列进行采集)：

(2)

所以当偏心点声源发射，A点接收时，采集到的信号可表示为

(3)

其中大写表示发射端，小写表示接收端.如果是在对称模型中，正交量均为0，上式可简化为

(4)

此时接收到的波形完全为单极子、偶极子和四极子模式波的叠加，其中偶极子成分所占比例最大；同理在各向异性中，如式3所示，偶极子模式波也是占比最大的，也因此偏心点声源激发的信号对方位各向异性敏感；同时也基于此特性，本文主要使用偏心点源激发的主要包含弯曲模式波的全波波形反演地层横波波速.

2 数值模拟结果与分析 2.1 偏心点声源激发波形的分析

首先研究在HTI地层中使用偏心点声源激发的声场.图 5所示为HTI地层中声源方位角β=0°和β=90°时偏心的采集波形以及使用慢度时间相关法(Slowness time correlation method, 简称STC)所得的慢度提取图.其中图 5a为β=0°时全波曲线；图 5b为相应的慢度提取图，所得慢度值为980 μs·m^-1；图 5c为β=90°时全波曲线；图 5d为相应的慢度提取图，所得慢度值为1084 μs·m^-1.所测快、慢波慢度值分别远大于地层快横波(839.7 μs·m^-1)与慢横波(957.4 μs·m^-1)慢度值.以上结果说明类似于随钻偶极子测井(王瑞甲等, 2012)，若使用偏心点声源激发的快、慢波直接反演地层横波或者横波各向异性会产生较大误差；同时，地层各向异性依然会对偏心点声源激发的波形产生影响，导致快横波偏振方向激发的波形相速度大于在慢横波偏振方向激发的波形波速，即发生类似于偶极源激发的弯曲波波形分裂现象(王瑞甲等, 2012).

进一步分析在不同声源方位角下偏心点声源激发的波形慢度值.如图 6所示，点虚线为波形在不同声源方位角下的慢度值，而两条直虚线为实际地层快、慢横波慢度值.根据慢度变化曲线可以看出，由于地层的各向异性，偏心点声源激发的波相速度随着声源方位角β的改变发生变化，在β=0°或者180°时，声源对应快横波偏振方向，此时弯曲波慢度值最小(980 μs·m^-1)；而在β=90°或270°时，对应慢横波偏振方向，慢度值最大(1084 μs·m^-1).此种慢度的变化能够反映地层的各向异性，但由于所测波形慢度值均分别远大于快、慢横波慢度，因此无法直接用于测量地层横波慢度以及各向异性.

2.2 频散分析

进一步研究偏心点声源分别在快、慢横波偏振方向激发的波形的频散效应.如图 7所示为偏心点声源方向角β=0°和90°时激发的波形，然后通过矩阵束法(Ekstrom, 1995)得到的快、慢波的频散曲线，分别如图 7中“Ο”和“Δ”点线所示.同时本文还画出对应的两种各向同性地层随钻弯曲波频散曲线，分别如图中实线和虚线所示；上文所述两种各向同性地层的密度、纵波均等于本文中HTI地层的密度与纵波波速；但其中各向同性地层1的横波波速等于本文HTI地层快横波波速；而各向同性地层2的横波波速等于地层慢横波波速.首先通过快、慢波的频散曲线可以看出，随钻偏心点声源在井内激发的快、慢波在频率小于1 kHz时相速度非常小，然后随着频率的增大迅速增大，在频率大于2 kH后，频散曲线趋近于平稳，但其相速度在任意频段处均分别远小于地层快、慢横波波速，此结果说明在任意频率下，均无法使用偏心点源激发波形直接测量地层横波波速.然后，对比偏心点声源激发的快、慢波和各向同性地层中偶极源激发的弯曲波频散曲线可以看出高频时(f>3 kHz)偏心点声源激发的弯曲波频散曲线略低于偶极子激发的弯曲波频散曲线，原因在于偏心点声源激发的信号中偶极子成分较大，并且在此频段其激发强度相对其他模式波(例如相速度较小的ST)较强(李希强, 2013)，所以偏心点源激发的信号在f>3 kHz时频散曲线接近但略小于弯曲波频散曲线.但是在低频段，特别是1 kHz到3 kHz频段处，两者速度相差较大，产生此差异的原因包含两个方面：一方面是偏心点声源激发的波形中除了偶极子弯曲波外还包含在此频段处激发幅度较强但相速度相对较慢的ST波(李希强, 2013)；另外一方面在于地层各向异性会对井孔内模式波产生影响，使得其频散特性与在各向同性地层中略有不同(李希强等, 2013).以上结果表明在f>3 kHz高频段，HTI地层中偏心点声源激发的快、慢波频散曲线可以使用各向对应的同性地层偶极子激发的弯曲波大致等效.

2.3 灵敏度分析

随钻声波测井模型中，许多参数都会影响到偏心点声源激发的波形的传播特性.本文采用灵敏度分析主要讨论各个介质参数对弯曲波传播的影响程度.弯曲波的相速度对某一参数p的灵敏度可以归一化为相速度对该参数的偏微分(Tang and Cheng, 2004)，如式(5)：

(5)

由于HTI地层井孔声场不存在解析解，所以在分析快、慢波灵敏度特性时，本文参照前人的方法采用差分方式如式(6)进行计算(Liu et al., 2015)，此计算会产生误差，但不影响本文的灵敏度分析.

(6)

如图 8所示，8a和8b分别为偏心点声源激发的快、慢波对各个介质参数的灵敏度.由图 7a可以看到快弯曲波在低频时主要受钻铤参数影响，特别是对钻铤横波波速最为敏感，这和偶极子激发的弯曲波性质一样(李希强等, 2013)，原因在于偏心点声源激发的波形中，偶极子弯曲波模式成分占据大部分(Syresin et al., 2016; Sakiyama et al., 2016)；其次对c₆₆较为敏感，此现象在于偏心点声源激发的波形中包含斯通利波(ST)，而ST波在低频时主要受c₆₆影响(李希强, 2013)，但是ST波只占据偏心点声源激发的波形中小部分，所以c₆₆影响相比于钻铤参数影响较小，但相比于其他参数影响较大；而其他参数对偏心点声源激发的波形影响很小.随着频率的增大，在1 kHz到3kHz中间，快波对钻铤参数的灵敏度迅速降低，而对地层参数(c₁₁, c₁₃, c₃₃, c₄₄, c₆₆)以及流体参数(ρ_f, v_f)的灵敏度不断升高，特别是对c₆₆的灵敏度迅速增大至约0.3，而对其他参数的灵敏度缓慢提高至约0.1；此外还可以发现快波对c₁₃和ρ_f的灵敏度呈负增长状态，说明随着c₁₃和流体密度的增大，快波相速度减小，这和前人在竖向TI(Vertical Transverse Isotropy，简称VTI)地层中的偶极子弯曲波的研究结果一致(李希强, 2013).然后随着频率的进一步提高，快波对钻铤参数的灵敏度趋近于0，而对地层参数和流体参数的灵敏度也趋于平稳，其中对c₆₆的灵敏度明显大于其他参数，说明在中高频时，快弯曲波主要受c₆₆的影响，受其他参数影响小.如图 7b所示，慢波对各个参数的灵敏度和快弯曲波类似，在低频段(f＜2 kHz)主要受钻铤参数影响，其次受c₆₆影响，而不同的是慢波在中高频时主要受c₄₄的影响，受其他参数影响则较小.

2.4 横波的反演和各向异性值的求解

根据前文的灵敏度分析可知HTI地层偏心点声源激发的快、慢波在中高频时主要分别受地层参数c₆₆和c₄₄影响，即分别受地层快、慢横波波速影响.同时根据2.2节的研究，偏心点声源激发的波形在高频段(f>3 kHz)与各向同性地层中弯曲波频散曲线相近.所以本文可以考虑分别使用随钻偏心点源在快、慢横波偏振方向激发的主要包含弯曲模式波的全波波形间接反演地层快、慢横波波速.而弯曲波频散曲线的解析解已有大量研究(崔志文，2004；李希强等，2013；王瑞甲等，2012)，所以本文接下来使用基于解析解的弯曲波频散曲线和数值模拟所得偏心点源激发波形的频散曲线进行对比，然后通过最小二乘拟合法快速反演地层横波波速的大小.具体的：随钻声波测井中弯曲波受三种介质参数(钻铤、流体、地层)以及井孔尺寸等的影响(崔志文, 2004；Sinha et al., 2009)，可以简要表达为

(7)

其中ρ_c, v_pc, v_sc分别为钻铤密度、纵波和横波波速，r₀, r₁, r₂分别为钻铤内外半径和井孔半径，这些都易测得，可以视作已知量；ρ_f, v_f则为井孔内流体的密度与波速；而ρ_s, v_p, v_s则分别为地层的密度以及纵横波波速，其中密度可以根据密度测井资料而定，而纵波波速可以通过单极子声波测井进行测量；所以可以将弯曲波的波速简化为与地层横波波速的关系，即

(8)

此时M(ω, v_s)即为横波波速v_s控制的弯曲波频散曲线.根据前面灵敏度分析可知，弯曲波相速度是随着地层横波波速的增大单调递增，所以弯曲波频散曲线和地层横波波速是一一对应的关系，即：

(9)

其中v_s^text为地层横波波速估算值，V_flex^text(ω)则为使用估算值v_s^text代入到解析解(2)中求出的弯曲波相速度值v_s^real为实际的地层横波波速(待求)；V_flex^text(ω)为通过测井数据得到的随钻一阶弯曲波频散值.反之，当地使用地层横波波速估算值v_s^text得到的弯曲波频散曲线V_flex^text(ω)→V_flex^real(ω)，则此时v_s^text→v_s^real.

本文采用最小二乘迭代作为快速反演方法，反演步骤如下所示：

(1) 首先使用矩阵束方法(Ekstrom, 1995)获得实测地层波形的频散曲线V_flex^real(ω)；

(2) 设置估算横波波速v_s^text初始值v₀为通过实测波形使用STC提取的偏心点源激发波形的相速度.因为此波形在中高频时相速度变化很小，所以任取一个频率点处的相速度作为初始值对最终反演横波波速都没有影响.

M(ω, v_s)为理论模拟的结果，其以参数ω, v_s的函数形式存在，参照式(10)进行反复迭代计算，直至m步之后，v_s收敛到某定值.

(10)

在迭代后速度趋近于某一定值，此时M(ω, v_s^m)与实测信号V_flex^real(ω)之差最小，所得波速即为最终反演所得横波波速.

本文通过上述最小二乘法迭代后，反演得到地层横波波速如图 9所示, 其中点虚线为在不同声源方位角下的波形经过反演所得慢度值，反演所得慢度值随着声源方位角的变化而变化，并且在快、慢横波偏振方向处(β=0°和90°)，反演所得快、慢横波慢度(849.5 μs·m^-1和957.3 μs·m^-1)分别与实际地层快、慢横波慢度(839.7 μs·m^-1和957.4 μs·m^-1)十分相近，相对误差值分别为1.17%和0.01%，前者相比于后者相对误差较大的原因在于，偏心点源激发的波形是弯曲波、ST和螺旋波的叠加，因而此波速更趋近于三种模式波的共同作用，而快弯曲波相比于慢弯曲波的慢度更偏离ST和螺旋波慢度，因而叠加后波形的速度也更偏离于快弯曲波的慢度，进而用其反演的横波波速产生的相对误差值相对而言更大一些.

以上反演方法是基于其他参数值测量较为准确的前提下得到的结果.为了验证该方法的准确性与容错率，分别假设井内流体参数、地层纵波、地层密度在测量时各自产生的误差高达20%时(其他参量为钻铤参数，可以较为准确地测量，所以此处不予考虑)，使用此种方法反演所得地层横波波速相对于理论波速的误差值如表 3所示.

通过表 3所述，即使各个参数的测量误差值达到20%，将其带入到此方法中反演得到横波波速的误差值最大为2.69%，说明使用这种间接拟合方法的容错率很高，反演得到的横波波速准确可靠.产生此现象的原因在于在慢速地层中，偏心点声源激发的波形在高频段(f>3 kHz)主要受地层横波波速影响，而受其他参数的影响较小，所以即使其他参量测量不准确，依然能够用其反演地层快、慢横波波速.

在测得地层快、慢横波波速后，则可以使用各向异性反演公式(11)反演各向异性值大小(Tang and Cheng, 2004).可得测量的各向异性值大小γ_text≈0.120，理论值为γ_real≈0.131，相对误差值8.4%.产生此误差的原因可能在于数值模拟中产生的误差，以及本文中使用偏心点源激发波形的频散曲线等效为偶极子弯曲波的频散曲线进行处理的方法也不可避免地产生误差；最后，虽然测得的快、慢横波波速误差值很小，但由于地层各向异性值本身较小导致相对误差值较大.

(11)

2.5 快横波偏振方向的测量

快横波偏振方向一般是地层的沉积方向或者微裂缝的延伸方向，这些都是储层探测的重要目标，所以快横波偏振方向的测量十分重要.本文通过如图 3中所示，偏心点声源在A方向发射，使用垂直于声源方向的两个接收点B, D接收，并且使用两者相减(B-D)的偶极子采集方式来反演地层快横波的偏振方向.

由于在HTI地层井孔中，声场模型虽然是非轴对称，但是关于某些特殊方向(快、慢横波偏振方向)成对称状态(Blyth et al., 2016)，因此当偏心点声源分别在此对称方向(β=0°或90°)激发时，激发的声场分别关于此方向(β=0°或90°)对称，如图 10a和10g所示，所以使用BD方向偶极子方式(B-D)采集的信号能量为0；而当声源方向偏离此对称方向时，声场的对称性则也越差，例如图 10b到10f所示，B、D两点波形差别越大，则使用BD方向偶极子方式(B-D)采集时其信号能量值也越大.基于上述物理性质，本文所得BD方向偶极子采集信号的能量随声源方向变化的曲线如图 11所示，在β=0°时其能量值为0；而随着声源方位角的增大，声源偏离模型对称方向，其信号能量不断增大，在β=45°时达到最大值；继而随着声源方位角的进一步增大，声源方向再次偏向对称方向，所以信号能量再次变小；到达β=90°时，信号能量值为0.因此使用这种垂直于偏心点声源方位的偶极子采集方式能够反演出快、慢横波偏振方向.至于如何区分快、慢横波偏振方向，则可以根据这两个方向的弯曲波波速来区分(Tang and Cheng, 2004).所得弯曲波波速快，则此方向对应快横波偏振方向；相反，弯曲波波速慢，则此方向对应慢横波偏振方向.

3 结论

本文在HTI地层中使用三维时域有限差分来模拟随钻偏心点声源激发的声场，探讨使用随钻偏心点声源测井方法评价地层各向异性的可能性以及可靠性，主要的结论如下：

(1) 在HTI地层中使用随钻偏心点声源能够激发出快、慢两种波形，但类似于随钻偶极子声波测井，快、慢波波速均分别远小于地层快、慢横波波速，因此无法使用偏心点声源激发的快、慢波波速直接测量地层快、慢横波波速.

(2) 随钻偏心点声源测井中，在低频时(f＜2 kHz)，快、慢波都对钻铤参数最为敏感，其次对c₆₆较为敏感，而基本不受其他参数的影响；高频时(f>3 kHz)，快、慢波对钻铤参数的灵敏度却几乎为0，而快波对地层参数c₆₆(对应快横波波速)灵敏度最大，而慢波对地层参数c₄₄(对应慢横波波速)灵敏度最大.

(3) 随钻测井中，在高频处偏心点声源激发的波形主要受地层横波信息的影响，而受其他参数的影响很小，因此可以利用基于各向同性解析解的一种最小二乘快速拟合法，根据测量得到的快、慢波反演得到地层快、慢横波波速，所测值准确度高，误差值小于3%，并且容错率高.所以使用这种拟合方法可以间接反演地层横波波速，进而求得各向异性值大小.

(4) 使用垂直于偏心点声源方向的B、D两点偶极子采集的信号(B-D)在声源方位角为0°或者90°时，采集信号能量为0；而在其他方向则较大，所以使用此方法能够获取地层快、慢横波波速.