地球是由地表流体层(大气和海洋等)、地壳、地幔、液态外核和固态内核等分层组成的旋转椭球体，各圈层之间的相互作用过程及机制一直是地球科学领域研究的前沿热点问题.地球在自转过程中会产生不同的自由运动简正模，其中自由核章动(Free Core Nutation，简称FCN)简正模(在地固坐标系中又称为近周日自由摆动)是受到某种激发作用导致地幔或液核瞬时自转轴不一致，从而引起椭球形地幔与液核之间相互作用而产生的动力学过程(Sasao and Wahr, 1981).由于涉及核幔圈层相互作用，该简正模与核幔边界附近区域的地球物理信息密切相关，可以为探索地球深内部领域提供非常有价值的参考.

近几十年的VLBI观测显示自由核章动呈现显著的时变特征，但其激发源目前还无确定性的结论.根据其产生机制，一方面，地表流体层的角动量变化与地幔之间的角动量交换会对地幔自转轴产生激发作用，是重要的激发源.基于Brzeziński(1994)根据角动量守恒理论给出的地表流体角动量变化激发地球自转轴在空间惯性系下运动的理论基础(即扩展刘维尔方程)，许多研究(Bizouard et al., 1998；Lambert，2006；Vondrák and Ron, 2014；Brzeziński et al., 2014)利用大气或海洋角动量函数对地表流体层的激发作用进行了细致的分析.主要的研究方式分为两种(Chao，1985; Brzeziński et al., 2014)：根据角动量函数计算激发的自转轴运动与实际观测对比(积分方式)和根据实测的自转轴运动计算激发函数与角动量函数对比(直接方式).两种方式的分析显示大气或海洋的质量项都足以单独激发FCN达到目前观测的量级，这使得二者总激发结果与实际观测不对等，并且时间域分析发现，大气的激发结果比海洋与实际观测更加符合一些(Vondrák and Ron, 2014；Brzeziński et al., 2014).在方法上，积分方式的初值无法准确确定，目前的处理方式为根据实际观测结果反推，而直接方式无法在时间域有效对比FCN频段能量的时变特征，在同时存在多个激发源的情况下，这些问题给相关研究带来很大不确定性.

另一方面，核幔边界的耦合机制亦可能改变地幔自转轴或液核自转轴对FCN产生影响.Shirai等(2005)和Malkin(2013)对比了地磁急变与FCN振幅或相位变化，指出地磁急变可能与FCN的变化存在某种相关性.Vondrák和Ron(2015)在地磁急变发生时刻对FCN的激发过程重新设置初始值，改进了大气、海洋角动量变化对FCN激发结果与实际观测的符合程度，但并未探究地磁急变引发FCN变化的机理，结合FCN的产生机制，地磁急变对FCN的影响最有可能通过核幔电磁耦合的途径.此外，核幔边界的耦合作用包含压力耦合、黏滞耦合、电磁耦合、地形耦合等多种，这些耦合对FCN会有什么样的影响，与地表流体层的激发相比核幔边界的耦合机制在FCN的激发中发挥怎样的作用，该方面的研究对于更加深入全面认识FCN的激发问题具有重要的意义.

针对上述问题，本文基于角动量守恒方程，一方面从理论上分析核幔耦合对FCN的影响；另一方面，联合大气及海洋角动量变化数据，分析核幔耦合在FCN信号激发过程中的贡献.

FCN是核幔圈层之间的相互作用，作用在不同圈层上的耦合机制一种属于外力矩：日月等天体作用在地球、地幔、液核上的引潮力矩.另一种是内力矩，其中，惯性(压力)耦合力矩是由于核幔边界椭率的存在而产生的.核幔边界的相对运动还会受到黏滞、电磁力矩的阻尼，基于边界层理论，核幔边界的黏滞力矩取决于界面附近亚千米尺度的物质黏性，由于固态或近固态的地幔底部黏滞系数相比液核较大，因而黏滞力矩的大小依赖于液核顶部几百米范围物质的黏滞系数.电磁耦合力矩源自于液核中磁场与地幔底部导电层的感应电流的相互作用，核幔之间的相对旋转导致地幔中磁感应强度的变化产生感应电流，从而产生阻碍这种相对运动的力形成电磁耦合，耦合的大小取决于核幔边界附近电导率和磁感应强度，由于液核的电导率非常高，因此地幔最底部几百米范围内的电导率是影响电磁耦合强度的主要因素(Mathew and Guo, 2005).此外，其他可能的力矩如地形耦合力矩也是影响核幔相对运动的重要机制，但由于目前研究在完整的核幔地形起伏方面还没有可靠的资料，地形耦合目前还很难考虑.

核幔耦合对FCN产生的影响包括本征周期和振幅两个方面，这两部分都会对FCN的激发过程产生影响，一种为间接影响，外部激发源如大气、海洋等激发FCN的过程中会受到FCN本征周期的约束，因此核幔耦合对FCN周期的影响会间接作用于FCN激发过程.对于自由摆动来说，设日月引潮力矩为零，在不同耦合机制作用下，FCN的本征频率为(Hinderer et al., 1982；崔小明，2012)

无力矩:

(1)

惯性力矩:

(2)

惯性、黏滞和电磁力矩:

(3)

其中，Ω为地球自转的平均角速度；液核、地幔和整个地球的主转动惯量分别表示为(A^c，B^c，C^c)、(A^m，B^m，C^m)和(A，B，C)；K^CMB=K_vis^CMB+K_em^CMB(“vis”和“em”分别表示黏滞和电磁)为复数耦合常数(Mathew and Guo, 2005)；，为考虑负荷效应的核幔边界的内部压力勒夫数，b和g₀分别为液核半径和赤道平均重力.

由公式(1~3)可知，在核幔边界无任何力矩作用下，地幔的旋转与地核的旋转完全不相干，在仅有惯性耦合的情形下，由于不考虑日月引潮力矩，惯性力矩与核幔边界的动力学扁率(C^c－A^c)/A^c密切相关，此时FCN的本征频率很大程度上取决于核幔边界的动力学扁率，在加入其他耗散耦合的情形下，本征频率会进一步受到K^CMB的影响，由于K^CMB为复数，此时的FCN频率为复频率.

图 1

Fig. 1

图 1 核幔耦合机制与FCN周期 Fig. 1 Core-Mantle coupling and FCN period

基于实际地球参数、转动惯量和勒夫数等(高布锡，1997；Chen and Shen, 2010；周华，1988)，结合部分核幔边界物性参数参考值，图 1给出了核幔边界不同耦合机制下的FCN本征周期，在惯性力矩作用下，FCN在空间坐标系下的理论周期从周年增加了近一百个恒星日(简称SD：Sidereal Days)，采用不同的地球模型参数理论周期的值会有所不同，但都在460恒星日左右，这与实际检测的FCN周期(约430恒星日)存在约30恒星日的差异，因此一些研究将其解释为真实液核动力学扁率比理论模型中使用的流体静力平衡状态下液核动力学扁率(图 1中e1)大约5%(Sun et al., 2003)，采用修正过的转动惯量参数(Mathews et al., 2002；Chen and Shen, 2010)，FCN理论周期可以与观测周期相符合(图 1中e2对应的点划线)，但是这一参数调整的过程仍有一定的不确定性.

与核幔黏滞电磁耦合密切相关的物性参数依赖于温度、压力和化学组成等多方面因素具有较大不确定性.液核黏滞系数的研究手段主要有高温高压实验，分子动力学模拟和大地测量与地球物理反演，不同方法的结果差别达数个量级(Secco，1995；孙和平等，2009)，实验模拟的液核黏滞系数普遍在10^-2 Pa·s量级(Rutter et al., 2002)，但实验条件和物质组成与实际情况的偏离都可能导致未知的差异，根据章动和超导重力观测约束的液核顶部黏滞系数的上限不超过10²~10³ Pa·s量级(Smylie and Palmer, 2007；崔小明等，2012).地幔底部电导率大致在100 S·m^-1量级，但由于核幔电磁耦合涉及的边界层仅有几百米的范围，靠近液核几百米范围内的地幔物质可能处于熔融或部分熔融状态，因此电导率极有可能升高几个量级，甚至与液核5×10⁵ S·m^-1的电导率接近(Golovkov and Yakovleva, 2006).此外，根据相关研究和地磁模型，核幔边界的磁感应强度在小于1 mT的量级(Mathews and Guo, 2005；Finlay et al., 2016).本文以上述物性参数研究现状作为参考区间估算了黏滞和电磁耦合对FCN周期的影响(图 1中e1对应的四组结果)，如图所示，两种耦合的加入都会引起FCN周期的减小，尽管量级相对于惯性耦合力矩小得多，但也能达到几个恒星日，其中电磁耦合影响占主要部分，黏滞耦合的影响较小，不超过1恒星日.

除此之外，地形耦合的力矩影响目前还不能确定，如果核幔边界存在一定的地形起伏，地形耦合必然会对FCN周期产生难以忽略的效应.可以预见以上几种耦合机制对FCN周期会产生数个恒星日量级的减小效应，它们与惯性耦合一起造成了FCN目前观测到的430恒星日左右的周期，这部分效应对于地球液核动力学扁率或转动惯量参数的确定有重要影响，因为之前的研究或根据实际观测结果人为调整(Mathews et al., 2002)，或采用经验方式推导(Chen and Shen, 2010)，并未全面顾及所有核幔耦合的影响.

以上是几种耦合机制对FCN周期产生的固定影响，如果某种耦合发生改变，必然会引起FCN周期产生相应变化.根据实际观测资料(VLBI或超导重力仪)检测的FCN周期在不同时段存在几个恒星日量级的浮动，可能具有一定的时变性质(Cui et al., 2014).从几种耦合的特性来看，决定它们耦合大小的核幔结构或物性参数在漫长的地质年代中随地球演化产生变化是理所当然的事，但在近代短时间尺度内发生时变的可能性较小，唯有电磁耦合相关的地球磁场是随时间变化的量，尤其时而出现的地磁急变现象可能会引起电磁耦合的较大变化，从图 1中，电磁耦合的影响能达到几个恒星日的量级，有可能引起FCN周期产生时变，这种时变特征必然会通过激发机制反馈到FCN观测信号当中.

相对于间接影响，另一种为直接影响，FCN信号是地幔和液核自转轴的相对运动，在VLBI中观测到的是地幔自转轴运动的部分，液核自转轴的FCN运动通过核幔间的耦合力矩进行传导，因此核幔不同耦合机制决定了FCN引起地幔和液核自转轴运动的振幅.根据液核刘维尔方程，考虑惯性、黏滞、电磁耦合和前文所述的核幔边界相关物性参数参考值，图 2中估算了核幔不同耦合机制对FCN振幅贡献的比重.在核幔之间无任何力矩时，地幔和液核自转轴即便被激发了某种运动也不会相互传导，在惯性、黏滞、电磁耦合等三种耦合存在时，惯性耦合决定了地幔和液核自转轴作FCN运动的主要振幅；而黏滞、电磁耦合的存在会使该振幅减弱，它们贡献的量级取决于核幔边界黏滞系数、电导率、磁感应强度的大小.如图 2所示，在地幔底部靠近液核几百米尺度存在高导电层的假设下(青色和黑色线条)，电磁耦合对FCN振幅减小效应非常明显，最大可超过20%；黏滞耦合在液核黏滞系数为目前液态铁实验模拟的量级(10^-2 Pa·s)时对FCN振幅的影响甚微(实线)，如果液核顶部黏滞系数采用参考上限(虚线)，黏滞耦合对FCN振幅减弱效应可以接近20%.

图 2

Fig. 2

图 2 核幔耦合对FCN振幅影响 Fig. 2 Effect of Core-Mantle coupling on FCN amplitude

地表流体层和核幔耦合是激发FCN最主要的两个激发源，依据上节理论分析，核幔耦合对FCN周期和振幅两方面的贡献都会对实际FCN激发造成影响.为了进一步定量分析核幔耦合对FCN激发的贡献，必须要结合地表流体层综合分析.Sasao和Wahr(1981)通过对地球自转刘维尔方程进行傅里叶变换给出了不同激发源激发的章动在频率域的表达式(参见Sasao and Wahr, 1981：公式3.21)，Brzeziński(1994)利用该公式发展了地表流体层对极移及章动的激发理论，频率域中的激发方程为

(4)

其中转换方程T_p和T_w分别为

(5)

由于在极移或章动激发研究中，观测时间序列通常有很强的时变特征，为便于研究时间域内信号的激发情况，将公式(4)运用到时间域中即扩展刘维尔方程，对于章动还需将方程转换到空间惯性系:

(6)

其中, P=dX+i*dY是空间惯性系中的自转轴运动；σ′_c和σ′_f是钱德勒摆动和FCN在空间惯性系中的频率；σ_c是钱德勒摆动在地固坐标系中的频率.χ′^p和χ′^w是转换到空间惯性系的角动量函数；a_p和a_w分别是质量项和运动项的无量纲响应系数.

表 1中列出了本文所用地表流体角动量和天极偏差观测数据的基本信息.地表流体角动量的数据采用了国际自转服务组织(IERS)提供的地表流体中最主要的大气和海洋两类有效角动量函数.其中，NCEP大气角动量数据基于美国环境预报中心(NCEP)和国家大气研究中心(NCAR)联合推出的6 h采样间隔的再分析资料解算(Zhou et al., 2006)；opECMWF和ERA-interim两组大气角动量函数是由德国亥姆霍兹波茨坦中心(GFZ)根据欧洲中期天气预报中心的分析和再分析资料解算(Dobslaw et al., 2010).海洋角动量函数(opECMWF和ERA-interim)是基于ERA-interim大气分析和再分析资料根据OMCT海洋模型解算(Dobslaw et al., 2010)；而ECCO海洋角动量函数是基于NCEP大气再分析资料根据海洋环流与气候评估协会(ECCO)的海洋模型解算(Gross, 2009).每个大气和海洋角动量函数序列都包含质量项和运动项.IVS天极偏差是由国际VLBI服务组织根据不同机构解算的地球自转参数序列给出的综合结果，由章动观测中扣除IAU2006岁差章动模型后得到包含了FCN信号的残余信号(Wallace and Capitaine, 2006)，由于早期数据质量相对较低，本文选取1992年之后数据.

表 1 Table 1

表 1 角动量函数和天极偏差数据信息 Table 1 Data information of angular momentum function and celestial pole offsets 数据序列 观测时段年-月 采样间隔/h 大气角动量函数 (NCEP) 1984-01—2016-04 6 大气角动量函数 (ERA-interim) 1989-01—2010-12 6 大气角动量函数 (opECMWF) 2001-01—2016-05 6 海洋角动量函数 (ERA-interim) 1989-01—2010-12 6 海洋角动量函数 (opECMWF) 2001-01—2016-05 6 海洋角动量函数 (ECCO) 1993-01—2008-03 6 天极偏差 (IVS) 1992-01—2015-06 非均匀采样 (1—7天)

表 1 角动量函数和天极偏差数据信息 Table 1 Data information of angular momentum function and celestial pole offsets

对于摆动，只考虑大气、海洋角动量函数的赤道面分量，在应用到激发理论公式中以复数计(χ=χ₁+iχ₂).由于原始角动量函数是在地固坐标系下的，在计算章动激发时需要转换到空间惯性系中，因此首先采用Bizouard等(1998)给出的转换公式(χ′=，其中为格林尼治恒星时)将所有角动量函数转换到空间惯性系.鉴于本文重点关注的是FCN频段的激发，进一步对转换后的复数序列(χ=χ₁+iχ₂)应用复解调(Complex Demodulation)，借助低通滤波器去掉其他频段的干扰提取逆向周年频段的信号.此外对于天极偏差观测序列剔除大于1毫角秒(mas)的粗差，并用Vondrak滤波将时间序列插值为1天均匀采样.

如前所述，核幔耦合对FCN周期影响包括固定和时变部分，其中固定影响的部分以惯性耦合为主加上其他耦合对FCN周期的贡献可达百恒星日以上；而时变的部分根据理论分析和实际检测的结果量级在几个恒星日左右.由扩展刘维尔方程可知，自转轴在FCN频段的激发与FCN的频率(周期)密切相关，那么由核幔耦合引起的周期变化必然会导致FCN在激发时的相应改变.

选择NCEP的大气角动量数据作为激发源计算激发的地球自转轴运动，利用扩展刘维尔方程(6)进行时间积分，积分方式采用四阶龙格库塔方法，假定一个初始值，选取不同的FCN周期值(分别为454，431，432和434恒星日)测试周期变化对激发过程的影响(图 3).从图 3左中可以看出，当FCN周期变化较大时(以20 SD为例，蓝色线条)引起的激发结果改变非常显著，显然核幔耦合对FCN周期固定部分的影响在FCN的激发中作用巨大，但这部分的影响属于固定影响，在短时间尺度内不会改变.对目前研究来说更为重要的是时变部分的影响.图 3左中代表时变部分的几个恒星日变化(绿、黑和紫三条线)的结果看上去大致相差不多，在时间积分后期的结果有一定的相位偏移.为方便更为准确的描述，图 3右给出了左图中周期变化1和3恒星日引起的激发结果的改变，可以发现周期变化对激发过程的影响由小到大递增，递增的过程持续十几年，振幅上表现出的差异主要来自相位偏移.在影响的量级上，FCN变化1恒星日引起的激发振幅变化缓慢递增最大可致二十多微角秒，FCN周期变化3恒星日引起的激发振幅变化最大超过了50微角秒，而FCN总体的振幅量级仅有几百微角秒，因此核幔耦合引起的周期时变部分对FCN实际激发改变是不可忽视的，尤其对于解释振幅相位具有显著变化特征的FCN观测信号.

图 3

Fig. 3

图 3 FCN周期变化对激发振幅影响 Fig. 3 Effect of FCN period change on excited amplitude

在FCN激发的计算过程中，积分初值无法准确确定，只能将计算的激发结果与实际观测进行匹配反推初值.对于初值选择的影响，同样利用NCEP的大气角动量数据作为激发源，假定不同的初始值后，利用四阶龙格库塔方法计算地球自转轴的激发运动(图 4)，如图所示，初值的选择会对激发结果带来巨大影响.在这种情况下，利用实测结果反推初值只有在找到所有激发源的前提下，反推的初值才可能准确，如果只考虑部分激发源，那么其他激发源引起的振幅相位差异将使得匹配结果不准确.这也是之前研究中利用大气或海洋角动量函数计算的激发结果与VLBI实际观测符合不好的原因.而对于FCN的激发源，除了地表流体层之外最为主要的激发源便是核幔耦合，不同于地表流体高分辨率的长期连续观测，目前核幔耦合无法提供类似大气、海洋那种时间域内的激发函数，但在频率域内可以结合地表流体层对核幔耦合的激发贡献进行定量的分析.

图 4

Fig. 4

图 4 初值选择对FCN激发影响 Fig. 4 Effect of initial value on FCN excitation

首先对于地表流体激发源虽然从时间域无法在初值未知的情况下计算准确的激发，但利用扩展刘维尔方程在频率域内的表达式(4~5)，可以估算出地表流体层不同分量对FCN的激发能力.利用表 1中大气和海洋各三个角动量函数时间序列的运动项和质量项，选取经过预处理后的相同时段内(2001-01-01—2010-01-01)角动量数据进行频谱分析，根据公式(4~5)计算了大气和海洋在频率域内对FCN的激发结果(图 5)，其中红色点划线则是同时段VLBI观测的天极偏差中的FCN信号频谱.从图中可知，大气和海洋的运动项对FCN激发微小，而大气运动项的激发影响比海洋运动项稍大；相比之下，质量项对FCN激发的效果显著，从量级上，仅大气激发的能量就足以匹配VLBI观测的FCN结果，而海洋质量项的激发能量比大气大得多，可以达到观测FCN信号的2倍，因此仅用地表流体层激发去匹配观测FCN的时候，必然要通过初始值选择压制激发结果，这个过程相当于变相加入了额外的激发.并且几个海洋角动量函数序列的频谱特征有明显差异，表明在海洋数据方面应该存在不确定因素.根据频域激发分析的结果，地表流体层能够激发的FCN信号远远超过目前观测的量级，大气与海洋质量项激发的频谱特征也在一定程度上解释了之前一些研究中显示的大气激发结果比海洋与实际观测更加符合的现象.由此可见，地表流体层的激发效应被其他激发源抵消了一部分，而产生这种效应的最为可能的因素恰恰是作用在核幔边界与地表流体层作用力矩相反的核幔耦合机制(如图 2所示).

图 5

Fig. 5

图 5 地表流体对FCN的激发贡献 Fig. 5 Contribution of geophysical fluids on FCN excitation

对于核幔边界的不同耦合机制，在扩展刘维尔方程(4~5)中已经考虑了惯性耦合(Sasao and Wahr, 1981；Brzeziński，1994)，其他如黏滞、电磁、地形等耦合则没有考虑，根据第1节中核幔耦合对FCN振幅影响的分析可以得知，黏滞和电磁耦合对于FCN的削减效应上限可以达到40%，而大气加海洋角动量变化能够激发的FCN信号是实际观测信号的3倍左右，要使得地表流体层和核幔耦合的综合激发达到观测FCN信号的水平，其他因素如地形耦合还要提供27%贡献，如果考虑到黏滞、电磁耦合的贡献受到核幔边界相应物性参数的限制可能贡献达不到40%，地形耦合的影响还有可能更高.

地球自由核章动的激发问题涉及地表流体及核幔的综合影响，对该问题的研究有助于深入了解地球各圈层之间的相互作用，本文针对目前FCN激发研究中存在的许多不确定性，基于角动量守恒原理从理论上分析了核幔耦合对FCN的影响，并结合大气及海洋角动量变化数据，估算了核幔耦合对FCN的影响在其激发过程中的贡献.研究表明：

(1) 核幔耦合对FCN周期产生的影响包括固定部分和时变部分，不同耦合机制对FCN固定影响的总和可以达到百个恒星日量级，其中与液核动力学扁率紧密相关的惯性耦合占主导地位，电磁和黏滞耦合会使FCN周期减小几个恒星日，这对于液核动力学扁率的准确估计有不容忽视的影响，而且目前未能考虑的地形耦合也可能有较大影响.相较于固定部分，时变部分仅有几个恒星日的量级，但对于FCN激发的影响更为重要.在地表流体激发FCN的过程中，固定部分的影响作用巨大，但这部分在短时间尺度内不会改变，然而时变部分可以引起FCN激发结果变化达到几十个微角秒.因此核幔耦合引起的周期时变部分对FCN实际激发改变是不可忽视的.

(2) 核幔耦合对FCN振幅的直接影响是大气和海洋等地表流体层的激发与实测FCN不相符的主要原因，黏滞、电磁和地形等耗散耦合的存在对地表流体的激发振幅有减弱效果，量级取决于核幔边界的相关结构及物性参数，其中黏滞和电磁耦合对于FCN的削减效应上限可以达到40%，而地形耦合或其他(如果存在)还要提供至少27%的贡献，因此在研究FCN激发问题时必须考虑核幔耦合的影响.

(3) 本文研究FCN激发问题考虑了大气、海洋和核幔4种主要耦合作用等最为主要的影响因素，此外还有一些因素如陆地水、地震等对FCN的影响微小，虽然并不能完全否定有其他影响较大的未知因素存在，但这种因素如果存在其尺度规模应当非常显著.