0 引言

瑞雷波是一种由纵波和横波的干涉波形成的、沿着自由表面传播的波(张煜等，2015)，1887年英国学者瑞雷首先发现并证明均匀半空间中瑞雷面波的存在(李庆春等，2006；张立和刘争平，2013).瑞雷波在分层介质中具有频散特性(马见青等，2010)，对于地层的厚度和横波速度十分敏感(凡友华等，2007)，自此特性被发现以来，面波的理论应用研究及应用得到了极大的重视与发展(邵广周等，2007；杨天春等，2013)，瑞雷波勘探即近期发展起来的一种浅层工程地震勘探方法(张碧星等，2000)，具有经济、快捷、有效等特点(周竹生等，2007)，已开始在区域与全球地震学、近地表地球物理工程和超声无损检测中获得应用(鲁来玉等，2006；刘雪峰和凡友华，2011)，如获取浅地表、岩石圈或地幔的横波速度结构信息(Xia et al., 1999；胡家富等，1999；黄忠贤等，2014；潘佳铁等，2014)、隧道超前地质预报(刘江平等，2012)、路基路面检测(刘江平等，2009)、刻画基岩面(Miller et al., 1999)等.与常规的勘探方法相比，瑞雷波勘探具有分辨率高、应用范围广、检测设备简单、检测速度快等优点(祁生文等，2002)，基于此，众多学者均对瑞雷波进行相关研究，如瑞雷波反演(陈祥和孙进忠，2006；Lu et al., 2007)，瑞雷波数值模拟研究(周竹生等，2007；熊章强等，2008; 张大洲等，2009)，利用群速度估计前地表横波速度(鲁来玉等，2014)等.

反演高频面波获取浅地表横波速度的研究始于20世纪80年代，迄今为止，瑞雷波仍是此项技术的研究重点(Tian et al., 2003；夏江海等，2015)，利用瑞雷波频散特性可以求得近地表横波速度，而横波速度正是许多工程应用的关键参数之一(Zhang et al., 2003；高静怀等，2012).然而，同其他地球物理优化问题一样，瑞雷波频散曲线的反演通常具有高度非线性、多参数化和多模式化等特点，因此在反演过程中通常使用一些算法来计算得到相应的地层参数，全局最优化算法由于不依赖初始模型以及不需要求取方向导数等优点，已经被广泛应用于瑞雷波的频散曲线反演中来，如Yamanaka等采用遗传算法来反演频散曲线获得地下结构(Yamanaka et al., 2008)；Beaty等利用模拟退火算法反演多模式的瑞雷波频散曲线(Beaty et al., 2002)；Shirazi等通过人工神经网络算法反演频散曲线以获得路面结构(Shirazi et al., 2009)；Song等先后将模式识别算法(Song et al., 2008)、粒子群算法(Song et al., 2012)应用到频散曲线的反演中.传统算法如遗传算法因对初始模型要求较宽松、无需计算导数、易于实现等优点，较适合于解决非线性、多参数的瑞雷波频散曲线反演问题，因而目前受到普遍采用，但其计算量大、效率低及易早熟收敛等缺陷使得其在反演中的应用受到了阻碍.

近些年来，随着演化算法的不断发展，新的算法也不断被应用到瑞雷波反演中来.本文针对上述传统算法中出现的一些问题，引入Karaboga于2005年提出的人工蜂群算法(Karaboga，2005)，同时结合粒子群中的全局最优解引导思路以及遗传算法中的变异特征进行优化，即采用改进蜂群算法对瑞雷波频散曲线进行反演，获取横波速度剖面.为验证本算法的可行性，对三种典型地质模型的理论频散曲线进行反演，而后加入白噪声以分析算法的抗噪能力，最后采用实测数据进行实用性检测.理论和实际结果表明，改进蜂群算法所得解能够达到实际要求，误差控制在可接受范围内，可有效地对瑞雷波频散曲线进行反演工作.

1 蜂群算法基本原理及其改进

受蜂群采蜜行为的影响，同时为解决函数极值优化问题，Karaboga于2005年系统地提出了人工蜂群算法(Artificial Bee Colony Algorithm，ABC)，并指出人工蜂群算法适合处理工程中高维优化问题，同时也提出算法疏于开发、易陷入局部最优解的问题.鉴于此，本文在传统蜂群算法的基础上，参照粒子群算法(Particle Swarm Optimization Algorithm，PSO)中全局最优解引导思想，并结合遗传算法(Genetic Algorithm，GA)中的交叉操作，对人工蜂群算法易陷入局部极值的弊端进行优化，提出改进蜂群算法(PG-ABC).

1.1 蜂群算法基本原理

人工蜂群算法描绘如下，引入蜜源和三种蜜蜂，蜜源代表全局范围内各种可能解，在多峰值函数求极值过程中与函数值有关.三种蜜蜂分别表示采蜜蜂、观察蜂以及侦察蜂，采蜜蜂与蜜源联系在一起，并通过摇摆舞同其他蜜蜂分享蜜源信息；观察蜂是等候在舞蹈区通过分享采蜜蜂的信息而对食物源做出选择；侦查蜂的作用是随机搜索一个新位置.在算法的初始阶段，所有蜜蜂全部视为侦察蜂，寻找函数极值点(江铭炎和袁东风，2014).

在算法中，蜜源位置对应优化问题的一个可行解，蜜源的花蜜量对应着可行解的质量，主要步骤如下：

(1) 初始化：算法随机产生N个蜜源，每个蜜源对应一个可行解，N代表蜂群数量.每个解都是一个M维向量，其中M代表优化问题参数的个数.

(2) 蜜蜂的搜索：三种蜜蜂分别进行不同的搜索过程，采蜜蜂在蜜源附近限制的邻域内进行局部搜索产生新位置，如果新位置的花蜜量(适应度函数值)比之前高，则根据贪婪准则对蜜蜂的位置进行更新.在所有采蜜蜂都完成一轮搜索之后，它们会在跳舞区域内与观察蜂分享蜜源信息，每个观察蜂以一定的概率通过其获得的花蜜量信息选择蜜源位置，并在其附近进行采蜜，若其寻找到的蜜源质量更高，则观察蜂转换为采蜜蜂，取代原来位置；侦察蜂在蜂巢附近随机搜索新的蜜源.局部搜索公式可表示为

(1)

式中，new_X_i^j表示第i个蜜蜂算子在算法中产生的新蜜源位置，j表示M维解向量中某个分量；X_i^j、X_k^j分别代表蜂群中第i个与第k个蜜蜂算子位置处解向量中的某一分量，其中j和k均为随机生成.由于采蜜蜂执行蜜源附近邻域的局部搜索，因此上式只针对随机解向量中某分量(式中为j分量)进行变换与更新：rand函数随机生成位于区间(0, 1)数值并与不同位置处解向量的差值做乘法，所得结果即为本次局部搜索的更新量，通过原位置X_i^j中相应分量与其相加从而达到更新位置向量的目的.观察蜂选择概率可表示为

(2)

函数f表示需要经算法处理的目标函数；f_i表示第i个蜜蜂算子位置处的花蜜量，即目标函数值；fitness_i表示目标函数值对应算法中适应度值的大小，通过调节适应度值表达式可控制算法寻找目标函数极值的方向；P_i表示观察蜂的跟随概率，即第i个蜜蜂算子位置处的蜜源吸引观察蜂能力，与适应度函数值成正比，每只观察蜂通过概率P_i寻找新蜜源并转化为采蜜蜂进行邻域搜索.

(3) 局部搜索的限制：局部搜索不是无限制的，当局部搜索次数超过限制次数但仍然没有找到更优蜜源时，则认定该区域解的质量不高，放弃该蜜源，同时蜜蜂的角色由采蜜蜂或观察蜂变为侦察蜂，随机产生一个新蜜源，侦察蜂寻找到的新蜜源位置可表示为

(3)

式中X_max和X_min代表搜索区域的边界.另外，与式(1)不同，由于采蜜蜂位置需要重新定义，即解向量中M个分量均都要在相应范围内被重新赋值，式中函数rand(1, M)表示随机生成1×M维向量，向量中每个元素均位于区间(0, 1)，所得X_i表示该采蜜蜂随机初始化之后的新位置.

1.2 蜂群算法的改进

在蜂群算法中，每次循环采蜜蜂按照式(1)进行邻域搜索，按贪婪准则替换蜜源，而后观察蜂按照式(2)计算得到的跟随概率选择采蜜蜂进行跟随.但算法未有全局最优值记忆和参与算法过程，导致该算法可能因全局探索能力不足而陷入局部最优解，具体体现在两个方面，基于拟合值的贪婪选择机制：在观察蜂的分配、邻域探索和种群更新过程中都是以迭代函数的拟合值作为唯一标准的贪婪选择；全局探测策略的单一：在更新种群中被淘汰的采蜜蜂会转化为侦察蜂，随机初始化来执行全局探测任务，但在下一次的循环中要和已经进化多次的采蜜蜂进行函数值的比较，该侦察蜂个体胜出的几率很小，故而很难在下一代中存活.二者都会导致个体的多样性迅速流失，算法会很快地收敛于局部极值.人工蜂群算法在执行全局探测时仅应用了随机化个体这一种策略，方法单一且效果不明显，因此需要更加有效的全局搜索策略，以使算法能跳出局部极值，避免早熟(张超群等，2011).

针对人工蜂群算法精于探索、疏于开发的特性，参照粒子群算法进行优化：

(4)

与式(1)相比增加了第三项，式中X_Global^j表示算法目前得到的全局最优解向量中第j个分量.由于引入最优解机制，若当前解与最优解相隔较远时，通过全局引导可加快了算法的收敛速度，使新解new_X_i^j更快地向最优解靠近.另外，若当前解与最优解十分接近时，还可加强算法对全局最优解附近区域的搜索能力.

通过调节β值可平衡算法的探索与开发能力，但同时也会在一定程度上减低算法的全局寻优能力，针对这一问题，借鉴遗传算法中交叉运算操作对上式进一步优化.遗传算法是一种借鉴生物界自然选择和进化机制发展起来的具有自适应和自组织能力的搜索算法，包括选择、交叉和变异三种操作，被广泛应用于解决复杂的优化问题.改进蜂群算法将遗传算法中的交叉操作与人工蜂群算法相结合，通过采蜜蜂进行邻域搜索后与全局最优值进行交叉操作来提高人工蜂群算法开发能力，同时兼顾算法的搜索能力，引入式(5)：

(5)

式中cr为算法设定的阀值，当随机生成数小于该阀值时保留原分量，否则保留交叉操作之后相应分量，可通过调节阀值大小控制算法的探索能力和开发能力，当cr较大时有利于算法的开发，但同时会相应降低探索能力，反之则利于探索，但会降低算法开发能力.

1.3 算法的测试

为检验结合粒子群算法和遗传算法之后改进蜂群算法(PG-ABC)的效果，选取Griewank函数进行试验，主要测试算法的优化精度，并与人工蜂群算法(ABC)、蒙特卡洛算法(Monte Carlo，MC)进行比较.Griewank在(x₁, x₂, …, x_n)=(0, 0, …, 0)处取得全局最小值0，此函数是典型的非线性多模态函数，具有广泛的搜索空间，通常被认为是优化算法很难处理的复杂多模态问题.函数表示式为

文中分别应用MC、ABC和PG-ABC三种优化算法对上述函数进行求取极小值试验，迭代次数取1000次，表 1列出了三种算法的优化结果，每次结果均为6次试验平均所得.实验结果显示与蒙特卡洛算法和传统人工蜂群算法相比，改进蜂群算法在收敛精度上得到了较大的提高，分析其中原因，主要是通过交叉操作将采蜜蜂邻域搜索所得解与全局最优解进行了概率性质的交叉，这种方式克服了传统蜂群算法疏于开发的缺陷，增强了算法搜索的方向性，大大提高了蜂群算法在最优解附近的开发能力.另外，针对特定的问题可以通过调节cr值的大小取得满意值，增强了算法对于各种优化问题的适应能力.

2 理论模型试算

在现阶段的研究中，依据面波频散资料估计工程场地的剪切波速度剖面时通常认定地下为层状介质结构.在瑞雷波勘探实际应用中，基阶波是能量最高、最易观测、同时也是应用最为广泛的，本文采用基阶模式的瑞雷波频散曲线反演来得到地下表层结构.把各层的横波速度(V_S)和层厚度(h)作为需要确定的参数，因为它们显著影响瑞雷波频散曲线(Xia et al., 1999)，将纵波速度和密度固定为理论模型真实值.在实际工作中，由于反演过程中往往缺乏先验信息对二者进行估算，为了使反演效果更加真实、不受给定模型的影响，通常使用一个较大范围的上下边界，在本次设计蜜蜂模型的搜索范围时，上下限分别取真实模型的50%或者更多.如前文所言，常规的蜂群算法主要受到三个参数控制：蜂群数量、最大循环次数以及局部搜索次数.在程序中设定蜂群数量为10×dim，dim表示模型中的参数个数；最大循环次数取150~200次；局部搜索次数经过测试一般取最大循环次数的二十分之一左右，这样既能保证搜索的充分又能避免冗长无用的搜索，加快搜索效率.另外，由于本算法是一种概率性算法，观察蜂以概率P_i寻找新蜜源(在反演应用中即寻找新的模型参数)，并在新位置处进行局部搜索，计算适应度函数值并通过贪婪准则保留较优值.为有效提高反演所得模型解的精度，进行20次反演，每次反演在0~1的范围内会生成不同的初始随机数，后通过搜索不同的蜜源得到本次反演解，最终得到的模型参数就是这20次反演所得解的均值.

本文对拟合函数的定义是通过反演模型是否能精确解释观测资料所确定的，频散曲线的反演即是求解该拟合函数最小值的优化问题.对于一个j层介质而言，定义拟合函数φ_j，即为通过观测数据得到的相速度V_R^obs与经由本算法反演得到介质模型再通过正演模拟得到的相速度V_R^cal之间的均方差.拟合函数可表示为式(6)，

(6)

其中M表示正演模拟所得到基阶波相速度向量的长度(频散曲线上频点个数).

为检验以上陈述蜂群算法反演程序的表现，本文使用三个理论模型进行实验，三个模型均为实际浅层工程勘察中经常遇到的理论地质模型.如表 2所示，模型A表示横波速度递增的四层地质模型；表 3模型B表示在两个较硬地层之间夹杂一层低速软弱地层，该地层剪切波速度低于上覆地层速度；表 4模型C表示在两个较软地层之间夹杂着高速硬夹层，该地层剪切波速度高于下伏地层速度.

2.1 无噪声理论模型试算

首先，应用改进蜂群算法对无噪声的理论数据进行反演实验，三个模型的反演所得结果分别见图 1-3所示.图 1a、2a、3a表示不同模型的理论频散曲线(实点)与经反演所得模型的频散曲线(实线)拟合情况，值得注意的是，在现阶段近地表反演频散曲线研究中，频率范围通常取5~100 Hz，图 1b、2b、3b表示三种模型经反演得到的横波速度剖面图.由反演结果可以得出，在没有足够的横波速度和厚度等先验信息的情况下，频散曲线与理论观测值十分吻合.对于所得解的参数而言，模型A、模型B、模型C中所有参数的最大误差仅分别为0.60%、1.50%和0.80%，即采用改进蜂群算法获得的地下横波速度剖面与真实情况相差不大，反演所得参数值与实际参数十分吻合，每个模型所包含的各个参数均能被精确地反演和重建，说明本算法可以很好地对理论瑞雷波频散曲线进行反演.

2.2 含噪声理论模型试算

在实际应用中，由于野外采集到的地震记录中不可避免地含有噪声，含噪数据可能会造成反演算法精确度以及稳定性的降低，同时也会影响到评价函数的设定，进而对反演计算的结果造成影响.因此，有必要对一种新反演算法的抗噪能力进行检验.同时，由于瑞雷波能量较强，本文在理论模型经过正演模拟所得到的频散曲线中加入了10%的白噪声，以此来检验本算法的抗噪能力.如图 4a、5a、6a所示，杂乱不规则的实线表示加入噪声后的频散曲线，虚线表示反演所得模型经过正演模拟得到的频散曲线.

改进蜂群算法对含噪之后模型的反演结果如图 4、5、6所示，与不含噪声相比，本次反演所得横波速度剖面与真实模型剖面之间出现了一定的偏离，三个模型中参数最大误差分别增加到2.60%、5.50%和5.80%，由此可见噪声对反演的准确性的确会造成一定程度的影响，但反演得到频散曲线均能较好地拟合理论频散曲线，所得横波速度剖面均未实质性地偏离真实模型，反演效果依旧令人满意，由该算法得到的反演结果仍然具有较高的可信度，说明改进蜂群算法对随机噪声具有一定的容忍度，具备良好的抗噪能力.

2.3 算法反演结果分析

反演结果的稳定性、收敛性和有效性是评价反演算法的重要指标.为避免单次反演的偶然性，对每个模型进行反演时均进行20次独立运算，同时本算法也属于概率性算法中的一种，多次运行中会出现失败的情况，在反演应用中要根据所得解与均值解的偏离情况剔除异常解.针对所有非异常解，取其平均值并作为最终的结果进行讨论，现分别列出三个模型反演结果统计表，见表 5—7.从模型统计表中可以得出：对于无噪声数据，模型的反演结果与真实值相符，相对误差和均方根误差均趋近于零，说明反演所得结果是准确可靠的；对于含噪声数据，模型中参数的相对误差最大不超过5.80%，均方差最大不超过12.47，说明噪声在一定程度上会对反演结果造成影响，但所得解仍保持相对稳定且与真实解相差不大，误差符合实际要求.究其原因在于改进蜂群算法由于加入了PSO算法中全局最优解引导算子和GA的交叉运算操作，从而全局寻优能力更强，不易出现早熟收敛，能够有效地避免常规蜂群算法在抗噪性检验中由于随机化个体策略单一、不存在全局最优值参与算法过程所导致的全局搜索能力不足等问题.

为进一步验证改进蜂群算法能有效提高反演质量，以模型B为例对传统蜂群算法(ABC)与改进蜂群算法(PG-ABC)的收敛性进行分析，图 7是无噪声情况下模型B的目标函数最优值随迭代过程的变化曲线.由图可以看出：(1)两种算法中函数最优值均在最初迭代阶段迅速下降，在之后的迭代过程中趋势逐渐变缓，并最终收敛到零值附近，说明人工蜂群这一优化算法在处理地球物理反演问题时具有较优的全局搜索与局部搜索能力，且收敛性良好；(2)对整个迭代过程而言，PG-ABC算法的收敛情况优于ABC算法，且最终拟合值更趋向于零，这说明改进蜂群算法具备更优的收敛能力，所得解也更接近于地下真实介质模型.值得注意的是，任何一种群智能算法都会出现多次迭代中解的质量没有得到提高的情况(在图中表示为一段与x轴平行的线段)，这是因为在某几次或多次迭代过程中，种群中没有找到更优个体，根据贪婪准则保留上次迭代中的最优解，在本次迭代中解的质量没有得到提高，故而最优拟合值不变.

同时，对于频散曲线的反演是一个病态的、非线性的、多极值的问题，不同的模型参数组合也可能获得相似的拟合值，因此还需要分析每次反演所得解中模型参数的概率分布情况以验证反演结果的有效性.受篇幅限制，在此仅选取模型A进行说明，表 5表示该模型的统计结果，图 8表示模型A中七个参数在各自真实值附近的概率分布.图 8a对应20次反演所得第一层横波速度V_S1的概率分布，实际参数为250 m·s^-1，反演所得参数在真实值±5 m·s^-1范围内的概率接近95%；其余参数在其各自真实值附近的概率分别为90%，80%，78%，60%，59%，60%.可见反演所得模型参数均大致分布在真实值附近，进一步说明改进蜂群算法是一种可靠、准确、收敛、有效的反演算法，能够有效地应用于瑞雷波频散曲线的反演研究中.

3 实测数据反演

上一节验证了改进蜂群算法在理论瑞雷波频散曲线反演中是可行且有效的，所得解具有高精度性，为了更好地验证算法的实际应用效果，本文通过实例来测试改进蜂群算法的适应性及抗干扰能力.本实例来自于美国怀俄明某地获得的地震数据，如图 9所示，图 9a为采集得到的地震记录，采用了48个8 Hz垂直分量检波器，道间距为0.9 m，最小偏移距为0.9 m，震源采用锤击震源；图 9b为由炮集记录提取的频散能量图，通过采集能量最大点提取出基阶波频散曲线.同反演含噪声模型时的策略类似，在通过改进蜂群算法对其反演研究时认为剪切波速度(V_S)和各层厚度(h)均为未知量，同时密度(ρ)和泊松比(Poisson)则使用相关地层单位中所通常采用的估计数值(对于各种粉质岩，泊松比取0.40~0.45，砾石取0.25，石灰岩基岩取0.20；密度一般取2.0 g·cm^-3左右).根据测井数据将地层大致划分为5个层位，并粗略估计出搜索范围，通过改进蜂群算法反演模型的搜索空间、泊松比以及密度等参数的设置如表 8所示.

图 10a表示分别应用传统蜂群算法(ABC)和改进蜂群算法(PG-ABC)与实测数据基阶波频散曲线拟合情况：实点表示通过拾取频散能量图中能量最大值得到的频散曲线，实线和虚线分别表示经PG-ABC算法反演和ABC算法反演结果经正演模拟之后得到的频散曲线.由图可见：(1)整体而言，无论通过ABC算法或者PG-ABC算法所得到的频散曲线均与实测数据拟合良好，这说明将蜂群算法这一优化算法应用于瑞雷波频散曲线反演中是可行的；(2)局部来看，传统ABC算法在部分频率(20~25 Hz)范围内拟合效果与PG-ABC相比稍逊色，由PG-ABC得到的频散曲线在整个频率范围内均与实测数据拟合的很好，说明改进蜂群算法能够有效提高频散曲线的反演精度.

图 10b表示通过PG-ABC算法与ABC算法反演获得的该地区横波速度剖面模型(图中分别表示为实线和点线)，并与测井资料(图中带实点的折线)、Xia利用局部线性化优化方法反演的结果(图中带方块的折线)进行对比.通过对比可知：改进蜂群算法所得剖面模型与测井资料更为接近，而且与Xia反演的结果相比，其在2~10 m的深度范围内与测井资料更为吻合.综上所述，改进蜂群算法反演瑞雷波频散曲线具有良好的适用性，与传统蜂群算法相比反演精度得到了一定程度的提高.

4 结论

在本文的研究中，采用基于交叉运算的全局人工蜂群算法对瑞雷波频散曲线进行反演，反演中每个参数都设置了较宽广的搜索范围以模拟更真实的情况，在这种缺少先验信息的情况下分别采用无噪声、含随机噪声以及实测野外真实数据对改进人工蜂群算法进行反演实验，并分析了算法的反演效果和模型参数的概率分布.理论和实测频散曲线反演实验的结果表明：

(1) 基于交叉运算的全局人工蜂群算法是一种简单、高效、稳健的反演算法，可以有效的对瑞雷波频散曲线进行反演，所得结果具有很高的精确度、可靠性.

(2) 基于交叉运算的全局人工蜂群算法是人工蜂群算法与粒子群算法以及遗传算法的结合，它针对蜂群算法“精于探索、疏于开发”的特征，引入粒子群算法中的全局最优解进行引导，增强了算法的开发能力，同时引入遗传算法中的交叉操作，使采蜜蜂进行邻域搜索后与全局最优解进行交叉运算，以此提高人工蜂群算法的全局寻优能力.

(3) 由于本算法属于概率性算法的一种，在多次运行之后必然会出现异常解，需要根据解与均值解之间的偏离情况进行筛选，在剔除这些异常解之后，研究表明算法每次反演结果都能够准确搜索到真值解，误差很小，从而保证了算法的可靠度和有效性.

(4) 改进蜂群算法较传统算法具有更快的收敛速度和更高的求解精度，从而在一定程度上加快了对瑞雷波频散曲线的反演速度，若应用于实际工作中，在保证精确度的前提下能够有效提高工作效率.

致谢

感谢中国地质大学地球内部多尺度成像重点实验室提供的实测数据，感谢各位匿名外审专家的支持与帮助.