2018, Vol. 61
不同的地球物理场能够提供不同的地下物性分布信息，而不同的地球物理勘探方法对地下目标体具有不同的探测能力.然而，数据反演解释的不确定性和多解性是地球物理中普遍存在的问题(Tarantola，2005).为了抑制多解性，获得更为准确的地下介质信息，综合多种地球物理方法，从不同角度对同一地质对象进行研究，成为了十分有效的研究思路和发展趋势(杨文采，1997；敬荣中等，2003).
联合反演是联合多种地球物理观测数据，通过地质体的岩石物理和几何参数的关联性反演同一地下目标体.联合反演可以改善地球物理反演的多解性.经过最近十几年的发展，地球物理工作者提出了很多不同的联合反演方法.总的来说可分为两大类：一类是基于参数的岩石物理特性，建立地下介质不同物性之间的经验函数关系(Berge et al., 2000；于鹏等，2006).该函数关系的有效建立决定了联合反演的可靠性.但是对于某些地球物理属性，如地震速度和电阻率，很难建立起二者之间普遍适用的经验关系；第二类方法是基于地下参数的结构分布相似性，建立的联合反演方法(Haber and Oldenburg, 1997；Zhang and Morgan, 1997；Gallardo and Meju, 2003)，通过最小化结构差异实现联合反演.其中，由Gallardo和Meju(2003)提出的交叉梯度反演算法是受到广泛关注的联合反演方法.该方法假定了异常体在不同地球物理场中，目标体边界明显且一致，目前已被广泛运用到地球物理综合解释中(Gallardo and Meju, 2004，2011；Abubakar et al., 2012；李兆祥等，2015；李桐林等，2016).另外，Sun和Li(2011, 2012, 2015)提出的聚类分析法，根据已知物性统计信息，对地质构造的物性特征进行聚类(Paasche and Tronicke, 2007)，借助模糊C均值聚类思想，在正则化反演中引入岩性先验信息，设定聚类中心作为引导式聚类约束，以此实现联合反演.
本文依据不同地球物理参数在地下的分布具有不同程度的相关性，不同地球物理场异常响应通常为相同位置的异常体引起，提出了一种基于局部相关性约束的联合反演方法.该方法依据统计学中的Pearson相关系数(陈祖安和伍向阳，2001；崔子健等，2012)，对不同地球物理参数分布的相关程度进行约束.Pearson相关系数是统计学中用于衡量两个变量线性相关性的度量.对于含有单一均匀异常体的地下模型来说，不同地球物理属性间往往表现出较强的线性相关特性，其属性值具有线性对应关系；而对于含有多个异常体的复杂地下介质模型来说，不同地球物理属性间表现出非简单的线性相关，极有可能存在多值对应的情况.为了将Pearson相关系数应用到复杂的地球物理反演中，我们引入窗函数的概念，通过设定窗函数大小，使得该区域内属性分布近似满足线性相关特性，对在窗函数内的研究区域进行相关性约束.同时，因Pearson系数在标准差很小或趋于0时，不具有统计意义，我们采用标准差加权矩阵对该种情况进行抑制，从而达到利用不同数据进行联合反演的目的.
为了验证该方法的有效性，我们对大地电磁和重力仿真数据进行了局部相关性约束联合反演.重力勘探和大地电磁勘探具有覆盖面广、效率高和费用低等特点，因而获得了广泛应用.但是单一的大地电磁反演或重力反演均存在严重的多解性问题.大地电磁和重力的联合反演，可以利用不同方法优点，减少反演多解性.本文根据正则化思想构建目标函数，使用交替迭代反演流程(高级和张海江，2016)，利用共轭梯度最优化方法，对重力和大地电磁数据进行了局部相关性约束和联合反演.数据结果表明，与单一大地电磁或重力反演相比，采用相关系数约束联合反演明显提升反演效果.它不仅使大地电磁中高阻异常体的属性值得到较好地恢复，同时还改善了重力反演中的异常位置和边界信息，验证了本文算法的有效性.
1 Pearson相关系数和局部参数约束概率论和统计学中相关性描述了两个随机变量之间线性关系的强度和方向.Pearson相关系数主要用于度量两个变量间的线性相关程度，它的一个重要数学特性是两个变量位置和尺度的变化并不会引起相关系数变化，因此非常适合地球物理数据之间的相关性评价.Pearson相关系数可表示为(王金亮等，2011)
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(1) |
式中，cov(X, Y)表示X、Y的协方差，σX、σY为标准差，x=E(X)和y=E(Y)分别为变量X、Y的期望值.Pearson相关系数值介于-1和1之间，描述了两组线性数据同步变化的趋势.当两个变量的线性关系增强时，相关系数趋于1或-1.当一个变量增大，而另一个变量也增大时，表现为正相关，相关系数大于0；反之，如果一个变量增大，另一个变量减小，则相关系数小于0；相关系数等于0表明两变量之间不存在线性相关关系.
对于同一个地下研究区域，当存在多个异常体的复杂情形时，虽然不同地球物理属性之间存在很强的相关性，但通常不是线性的.此时，Pearson相关系数不能用来衡量整个研究区域地球物理属性之间的线性相关性.为此，本文引入数字信号处理中的窗函数，使得我们所选取的局部区域中不同地球物理属性之间近似满足线性关系.加入窗函数后，不同地球物理属性间的局部Pearson相关系数可表示为
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(2) |
其中，wij为第i个地下网格窗函数矩阵Wi的元素，表示第i个地下网格窗函数中第j个单元的权重，具有如下形式：
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(3) |
公式(3)中的dij表示第i个单元与第j个单元的欧几里德距离，窗函数矩阵表明，以第i个单元为中心，在范围r内的单元权重为1；范围r以外的单元权重为0.由此，(2)式中xi、yi不再是整个研究区域的期望值，而是对应截取局部区域的期望值，即
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(4) |
考虑到同一个异常体在不同地球物理属性中可能表现为完全相反的正异常和负异常.因此，我们对地球物理属性取平方，使得正负异常在平方后具有相同的表征，即
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(5) |
式中，m1、m2代表不同的地球物理属性值，本文算例中分别代表电阻率值和相对密度值.对于每一个地下单元，可以计算出对应范围r内的一个局部Pearson相关系数pi，-1≤pi≤1.需要注意的是，对于波动较小的数据，局部Pearson相关系数不再能够描述两组数据间的相关性.从式(2)可以看出，当窗函数范围内的两组数据标准差等于0，即数据没有波动时，pi趋于无穷大；当两组数据的标准差很小时，pi仍可求解，但其已无法衡量数据间的线性相关性.为解决标准差很小造成数据相关性无法衡量的问题，本文引入如下标准差加权系数：
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(6) |
式中，σiX、σiY分别为窗函数Wi范围内两种数据属性值的标准差.εX>0和εY>0为衡量σiX和σiY的阈值，用于改善局部Pearson系数pi因σiX、σiY过小所造成的统计偏差.当σiX、σiY均大于各自设定的阈值εX、εY时，ri等于1；反之，ri等于0.通过标准差加权矩阵阈值的选取还可以确定约束强度.由(6)式可以看出，当阈值较大时，仅对波动较大的区域进行约束.由于模型边界处通常为波动较大区域，因此本方法可对模型形态和范围进行有效识别；当阈值较小时，对波动较小的区域进行约束，要求模型细节部分更为匹配，因此可有效刻画模型细节.
综合(2)和(6)式，得到局部相关系数的联合约束项表达式为
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(7) |
X、Y与m1、m2的对应关系，由(5)式给出.
通过在目标函数中加入(7)式作为正则化约束项，随着最优化反演过程中ΦJ(m1, m2)减小，pi增大并趋于1，截取的局部区域线性相关性增强，实现相关性约束联合反演的目标.
为了进一步理解局部Pearson系数对联合反演的作用，我们作如下分析.首先对数据样本X、Y进行标准化，得到两个列向量D、E，其元素di、ei分别为
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(8) |
从元素形式来看，列向量D和E中元素di、ei具有很好的统计学性质：向量元素均值为0，标准差为1，向量模为1.因此，Pearson系数可表示为上述标准化向量的点积，即
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(9) |
其中，|D|、|E|分别为向量D、E的模，θ为向量D、E的夹角.由于|D|=1，|E|=1，(9)式表明Pearson相关系数仅与向量D、E的夹角θ有关.当向量D、E平行时，Pearson系数取-1或1，两组数据线性相关；当向量D、E垂直时，Pearson系数取0，两组数据线性无关.因此，当我们对不同地球物理数据的相关性进行约束时，实际上是约束两组数据平方构成的向量之间的方向，从而使得地下介质属性变化趋势相同.
从本质上来说，局部Pearson相关系数同交叉梯度类似，是对地下介质结构变化的一种联合约束.然而，交叉梯度联合反演需要对所有梯度方向，即所有模型细节进行拟合，当单一反演结果存在明显差异时，联合反演效果较差；本文算法中通过设定标准差阈值，可以滤掉波动小的区域，主要对波动较大的区域，即模型边界施加相关性约束，避免了单一数据中局部小异常对另一数据的影响，提高算法稳定性.同时，由于窗函数在地下介质中连续地移动，每个单元被包含在很多窗函数中，不同窗函数的约束导致总体反演结果有很好的全局连续性.
在利用Pearson相关系数进行相关性约束时，窗函数的选择起着重要的作用.讨论两种极限情况：当窗函数最小，即窗函数内仅包含一个单元，此时局部Pearson系数中的均值和期望已没有意义，局部Pearson系数恒为零，联合约束项不起作用；另一个极限情况是，窗函数大小为整个研究区域，此时因全区域可能并不是线性相关的，导致联合反演效果不理想，约束结果与实际情况有较大差别.
窗函数的选取既要保证窗函数内的属性参数满足线性相关，同时考虑到地下物质属性的复杂分布.当地下网格剖分较细或地下异常构造简单时，选择较大的窗函数能从大尺度上恢复地下信息，同时提高效率；当地下网格剖分稀疏或地下异常构造复杂时，小的窗函数分辨率较高，能够更好地恢复细节.较理想的窗函数应该不大于任意两个异常体间最小间距，以保证窗函数内仅存在一个异常体属性值，最大限度地保证线性相关性条件.需要注意的是，窗函数不能太小，否则因统计量太少，Pearson相关系数不存在统计意义.后续仍需深入研究窗函数的影响，确定不同大小窗函数对联合反演结果的影响，以及如何恰当地选择窗函数等.
2 基于局部Pearson相关系数约束的联合反演方法采用正则化方法，并结合高级和张海江(2016)提出的联合反演流程，我们构建如下联合反演目标函数：
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(10) |
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(11) |
其中，Φd1(m1)和Φd2(m2)分别为大地电磁和重力数据拟合项，Φm1(m1)和Φm2(m2)分别为大地电磁和重力模型约束项，ΦJ(m1, m2)为这两种数据的联合约束项.β1和β2分别为Φm1(m1)、Φm2(m2)的权重系数，而λ1和λ2为ΦJ(m1, m2)在不同目标函数中的权重系数.
(10)、(11)式具体矩阵形式为
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(12) |
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(13) |
公式(12)(13)中，F[m]为大地电磁正演算子；G为重力雅可比矩阵；d1和d2分别为大地电磁观测数据和重力观测数据，mpr为先验模型；Cd为数据协方差矩阵，通常是对角矩阵，Cd－1为其逆矩阵；Cm为对称正定模型协方差矩阵，约束m相对于先验模型mpr的光滑度，采用差分实现该矩阵计算，其逆矩阵Cm－1则表征模型粗糙程度，能更好刻画模型边界(Egbert et al., 1994；Siripunvaraporn and Egbert, 2000)；两式中联合约束项表达形式由(7)式给出.
深度加权矩阵W是基于网格灵敏度建立的，其形式为(Portniaguine and Zhdanov, 2002；Zhdanov et al., 2004)
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(14) |
我们使用共轭梯度法对(12)和(13)式目标函数进行求解.该方法需要求解目标函数梯度，而联合约束项梯度求解过程复杂，本文给出其对m1元素简要推导过程.
将(7)式对m1j求导，有
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(15) |
(2) 式pi对m1j求导，有
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(16) |
其中
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(17) |
将(16)和(17)式代入(15)式，得到
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(18) |
(18)式即为联合约束项ΦJ关于模型参数m1的导数，用m2替换m1即可得到联合约束项ΦJ关于模型参数m2的导数.
公式(12)和(13)给出的反演流程不同于Gallardo和Meju(2004)提出的交叉梯度反演流程.它不再将不同地球物理数据统一到一个目标函数中，而是分别交替迭代，在每一个迭代过程中加入联合约束项.在实际进行反演时，要求一种数据反演模型作为另一种数据反演的约束，以保证模型结构一致，如此两种数据交替反演直至收敛.该方法缓解了在同一个目标函数中，数据拟合项数量级不同造成联合反演困难和迭代速度慢等问题.
3 模型试验 3.1 模型一为了检验局部相关约束联合反演的有效性，我们设计了如图 1所示的电阻率和密度模型，对合成数据进行联合反演，并与单一反演结果进行对比和分析.大地电磁和重力采用相同网格剖分.我们将联合反演区域剖分为22×22×16个网格，x、y方向单元长度为1 km，z方向网格起始为1 km，后续网格以1.05倍增.电阻率模型在x、y正反方向和正z方向分别延展4个网格，延展网格大小分别为2 km、4 km、8 km、16 km.重力观测点设在联合反演区域地面上，点间距为1 km，测点数为441个；大地电磁观测点距为2 km，测点数为221个.频率分别为0.1 Hz、0.2 Hz、1 Hz、2 Hz、10 Hz和20 Hz.地下存在两个异常体，密度模型中背景密度为0，两个异常体的密度分别为-1 g·cm-3、2 g·cm-3；电阻率模型中背景电阻率为100 Ωm，两个异常体电阻率分别为10 Ωm和1000 Ωm.异常体顶部埋深分别为2.05 km和4.31 km，x方向间距为3 km.
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图 1 模型一：(a)密度模型；(b)电阻率模型 Fig. 1 Model 1 for (a) density and (b) resistivity |
大地电磁和重力单一反演中采用与联合反演相同的模型拟合项权重系数.联合反演中标准差衡量参数选取如下：εX=0.005，εY=0.008.联合约束项权重系数λ1和λ2采用自适应方式选择.初始我们选择较小的λ1和λ2值，当反演过程中大地电磁数据和重力拟合项均达到初始反演时数据拟合项的1/3时，增大λ1和λ2使得λ1ΦJ和λ2ΦJ分别达到数据拟合项的1倍和1/3倍.这样可避免初始联合反演过程中λ1和λ2选择不当造成联合约束项过大，导致迭代过程不稳定的难题，同时保证反演后期的联合约束效果.
从图 2可以看出，对于深度不同的两个异常体，由于重力反演对深度不灵敏、结果容易集中于表面等原因，单一重力反演无法准确反映异常体位置.联合大地电磁相关性约束反演对较深异常体的位置确定效果明显，相对密度值也从单一反演的0.35 g·cm-3恢复到0.5 g·cm-3，同时异常体的范围也较好地确定.为对比起见，我们也同时给出利用交叉梯度方法的反演结果.本文算法结果明显优于交叉梯度反演结果.由图 3可以看出，对于电阻率模型来说，相关性约束反演和交叉梯度反演相比于单一大地电磁反演均取得更好的效果，其中以本文相关性约束算法效果最佳.
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图 2 模型一重力反演结果对比(切片分别位于y=41 km和z=5 km) (a)、(d)单一反演；(b)、(e)交叉梯度反演；(c)、(f)相关性约束反演. Fig. 2 Gravity inversions for Model 1 (a) and (d) are single inversions; (b) and (e) are inversions based on cross gradients; (c) and (f) are inversions based on correlation constraints. |
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图 3 模型一大地电磁反演结果对比(切片分别位于y=41 km和z=5 km) (a)、(d)单一反演；(b)、(e)交叉梯度反演；(c)、(f)相关性约束反演. Fig. 3 MT inversions for Model 1 (a) and (d) are single inversions; (b) and (e) are inversions based on cross gradients; (c) and (f) are inversions based on correlation constraints. |
图 4给出单一反演和联合反演数据拟合差随迭代次数的变化曲线.从图可以看出，单一反演和联合反演的数据残差下降趋势基本一致，数据拟合程度相当.联合反演中的数据残差增大是由于调整λ1和λ2所致.图 5给出交叉梯度反演方法和局部相关性反演方法的联合约束项随迭代次数的变化曲线.由图可知，当λ1ΦJ和λ2ΦJ分别增加到数据拟合项的1倍和1/3倍后，两种联合反演方法的约束项均随迭代次数增加逐渐减小，并于后期趋于平缓，达到稳定.结合数据残差曲线可以看出，无论交叉梯度还是相关约束反演中，联合约束项随着迭代次数增加而减小, 则由(8)式可知，不同数据反演的模型相关性逐渐增强.此时，两种不同地球物理方法优势互补，反演结果相互制约，地下目标体得到有效地分辨.
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图 4 单一反演和联合反演数据残差随迭代次数变化曲线 (a)重力数据；(b)大地电磁数据. Fig. 4 Fitting errors versus iteration numbers for single and joint inversions (a) Gravity data; (b) MT data. |
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图 5 相关性约束和交叉梯度约束项随迭代次数变化曲线 Fig. 5 Correlation and cross gradient constraints versus iteration numbers |
为了进一步说明该方法的有效性，我们设计如图 6所示的模型.网格剖分、测点分布等与模型一相同.四个异常体埋深均为2.05 km，水平间距为2 km.密度模型中背景密度为0，密度分别为-1 g·cm-3和1 g·cm-3；电阻率模型中背景电阻率为100 Ωm，异常体电阻率分别为10 Ωm和1000 Ωm.我们在原始数据中加入了3%的高斯噪声.图 7和图 8分别给出重力和大地电磁单一和相关约束联合反演结果.由图可以看出，单一反演和联合反演均能较好地反映地下物质属性分布特征.然而，无论对于密度模型还是电阻率模型，单一反演无法准确区分两个具有相近物性参数的异常体分界面，相比之下，相关性约束联合反演不仅有效反演异常体的物质属性，同时也能清晰区分出异常体边界.
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图 6 模型二 (a)密度模型；(b)电阻率模型. Fig. 6 Model 2 for (a) density and (b) resistivity |
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图 7 模型二重力反演结果对比(切片分别位于y=37 km和z=4 km) (a)、(c)单一反演；(b)、(d)相关性约束反演. Fig. 7 Gravity inversions for Model 2 (a) and (c) are single inversions. (b) and (d) are inversions based on correlation constraints. |
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图 8 模型二大地电磁反演结果对比(切片分别位于y=37 km和z=4 km) (a)、(c)单一反演；(b)、(d)相关性约束反演. Fig. 8 MT inversions for Model 2 (a) and (c) are single inversions; (b) and (d) are inversions based on correlation constraints. |
考虑到地下异常体的不同物质属性之间存在相关性，本文利用Pearson相关系数评价不同地球物理属性间的相关程度，并通过引入适当的窗函数以保证截取的局部区域中物质属性间呈线性相关，成功实现了基于局部相关性约束的联合反演方法.仿真数据测试结果表明，该方法能充分利用大地电磁和重力数据综合信息，有效改善单一反演多解性问题，准确刻画异常体边界和位置，反演效果较好.
通过对该方法的理论研究分析，得到如下结论：
(1) 该方法本质上是一种结构约束的方法，但避免了求取参数的梯度，同样达到联合反演目的.当参数梯度求取复杂或困难(如非结构网格剖分)时，该方法从理论上来说，更易于实现；
(2) 该方法通过设定适当标准差阈值，可以滤掉较小的参数变化，对波动较大的模型边界进行重点拟合，不同于对每个网格参数梯度进行约束的交叉梯度法，避免数据噪声等因素对联合反演效果的影响，提高该方法稳定性；
(3) 通过引入窗函数，该方法使每个单元被包含在多个其他窗函数中，随着窗函数在地下模型中逐步移动，确保最终反演结果有很好的全局连续性；
(4) 该方法仅对模型相关性进行约束，即约束模型变化趋势，不同于依赖经验函数关系的联合反演，与模型参数类别无关，因而理论上可应用于任何地球物理数据间的联合反演.
然而，本文限于条件仅对算法进行研究，目前尚未应用于实测数据反演.因此针对该方法，有许多方面仍需进一步研究：
(1) 深入研究窗函数的影响，确定不同大小窗函数对联合反演结果的影响，以及如何恰当地选择窗函数大小；
(2) 研究不同标准差阈值对联合反演结果的影响；
(3) 将该方法应用到其他地球物理数据联合反演中，确定该方法对其他地球物理数据联合反演的适用性.
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