1 引言

逾渗理论是处理强无序和具有随机几何结构系统常用的理论方法之一，其实质是用统计方法来研究流体在随机的无序介质中的分布和流动规律 (王克文等，2007).逾渗网络模型是逾渗理论与网络模型的结合，通过利用抽象网络描述实际地层复杂的孔道结构以进行多孔介质特性及其拓扑参量的研究，从而为描述空间的随机分布过程提供模型 (郑委等，2011).

随着计算科学的发展，基于拓扑网络模型的逾渗理论成为解决多孔介质岩石物理学问题的重要方法.Greenberg和Brace (1969)、Shankland和Brace (1974)先后将逾渗理论与二维网络模型相结合，研究了多孔介质的微观孔隙结构对岩石电学性质的影响，并由O′Keefe和Hyde (1996)加以完善；Bryant (1993)首次开展了等价真实孔隙空间的网络模型的研究；Suman和Knight (1997)通过三维逾渗网络模型研究孔隙结构和润湿性对岩石电学性质的影响；Bernabé等 (2010) 结合逾渗理论与网络模型，研究了渗透率与多孔介质孔隙结构之间的关系.随后，核磁共振成像技术 (MRI)、同步X射线技术、共聚焦激光显微镜 (CSLM) 扫描、X射线μ-CT等成像技术的迅猛发展，使得数字岩心模拟技术日臻成熟.

泥页岩储层岩石颗粒细小，储集空间以纳米-微米级微孔隙和微裂缝为主 (谢庆明等，2014)，物性较差，加之岩石骨架中黏土矿物含量较高，以及黄铁矿等导电矿物的存在，造成了页岩储层导电机理的复杂性，给储层含水饱和度的测井评价带来了极大的困难.而地层中油气的运移与驱替可视为流体在多孔介质中以随机路径渗透传播 (王克文等，2005)，因此是一个典型的逾渗问题.本文即在前人的基础上，首次利用逾渗理论数值模拟开展了有机质、黄铁矿含量等对页岩导电性影响的数值模拟，根据数值模拟结果揭示各影响因素对页岩导电性的影响规律；并在此基础上进行岩电实验模拟，根据模拟结果对岩电参数m、n进行修正，利用修正的模型准确计算页岩游离气的含气饱和度.

2 模型建立

多孔介质内部含有大量的节点，这些节点经由许多路径得以连接，形成节点集团，随着外部条件的不断变化，这些集团逐步演化成为贯通整个孔隙介质的逾渗集团 (Bryant et al., 1993).将复杂的无序孔隙空间简化为规则的网络结构，可以研究无序孔隙介质中流体的流动等随机物理过程.逾渗理论认为，只要保证规则网络的连通性等于不规则网络的平均连通性，那么这两个网络的宏观流动特性是等同的 (王克文等，2006).因此，只要保证所建立的网络模型与实际地层宏观连通特性相同，那么利用逾渗网络模型简化实际储层的复杂孔隙网络将是可行的.

为了网络计算的简便性，选择建立正六面体三维网络模型，设置每个方向的节点数均为2n-1个，且每两节点的间距均为L，则每个方向上第奇数个节点代表孔隙 (共n个)，而第偶数个节点代表喉道 (共n-1个)，故可以确定该模型的体积为 (2n-1)L×(2n-1)L×(2n-1).对网络模型做如下假设：代表孔隙的节点，无一定的长度和截面直径，起电流网络枢纽作用，因此当有电流通过时具有电压分布；代表喉道的节点，具有一定的长度和截面直径，起电流导通的作用.据此建立起一个初始节点阵.

逾渗理论需要解决的核心问题是如何通过一定的路径使得随机、无序的孔隙网络空间结构得以导通，即路径导通问题 (康天合等，1995).假设初始时刻模型中所有键均关闭，设某个面为起始面，其对面为终止面，然后元素从起始面开始依次被占.认为只有连通两个面的连续孔隙才能为模型电流的流动起到贡献，由于所有节点的导通均服从相同的连通概率，那么可以认为整个网络模型中导通节点数量与节点总数的比值即为连通概率，且该概率在逾渗过程中受含水饱和度的控制.因此，为网络模型赋予一定的含水饱和度后，利用随机数发生器可以确定导通节点的坐标，从而确定导通路径，使初始节点阵连通成为节点网络.随着S_w的增大，导通节点越来越多，网络模型的导通特性逐渐增大，该过程即为逾渗.为了更好地对实际泥页岩储层进行模拟，需要充分考虑到储层的随机孔隙分布以及复杂矿物组分.

由于逾渗网络模型能够忽略岩石微观特性，只要保证模型与实际地层宏观孔隙特征相同，即可认为模型的模拟是有效的.因此在实际地层孔隙度的约束下，利用随机数发生器，产生孔隙尺寸参数，赋值给喉道节点，认为模型总孔隙体积与设定的孔隙体积相同时，该网络的模拟就是成功的.

由于页岩地层的组分复杂，非均质性强，为了研究不同岩石组分对地层电阻率的影响，可将每个喉道节点视为一个边长为L的小立方体，其中部为圆柱形孔隙空间，由地层水和页岩气所占据，其他部分为骨架，如图 1所示.因此，类似于地层孔隙结构的模拟，可以在某种目标矿物含量的约束下，利用随机数发生器，随机给喉道节点赋予一定体积的该目标矿物，认为模型中这种矿物总体积与设定的体积相同时，该网络的模拟就是成功的.

通过上述步骤，即可建立起逾渗网络模型，并且可以根据需要赋予喉道节点不同的孔隙尺寸、各组分含量、含水饱和度等参数以对模型进行调节，从而实现对真实地层的模拟.

3 模型电学参数的求解

当逾渗网络模型的孔隙结构和矿物组分成功模拟时，则认为数字岩心已建立，即可通过改变含水饱和度来获取不同含水饱和度下的岩心电阻率.模拟过程遵循传统岩电实验的方法，假设实验开始时数字岩心饱含水 (即S_w=100%)，随后模拟页岩气驱替岩心中的水这一物理过程，使含水饱和度逐步降低，通过设定加在数字岩心两端的电压，即可得到不同含水饱和度对应的岩心电阻率，从而拟合得到相应的岩电参数.数字岩心的逾渗过程如图 2所示.

网络模型建立以后，设定模型两端电压分别为V₁和V₂，通过模型的电流为I，则通过欧姆定律求出模型的电阻R为

(1)

式中，ΔV为电压差 (单位：V)；I为电流 (单位：A)；R为电阻 (单位：Ω).

在进行网络模拟时，模型两端电压已知，需要求解模型中的电流大小.在建立起的网络结构基础上，如何求解网络中的电流大小是网络模拟的难点.求解网络中的电流大小前，需要首先求解出各节点的电压.当得到网络中所有节点的电压后，便能计算网络输入输出电流I的数值.

节点电压可利用超松弛迭代法获取.该方法用一系列逐渐收敛于真实解的中间向量极限值作为方程组的解，该过程始于预先设定的假定值，通过将这些假定值连续迭代，最终得到无限接近于方程组真实解的最终解.对于一个收敛系统，每次产生的误差都会随着迭代过程的进行而逐渐减小，使得解向量逐渐逼近正确解，直到达到设定的收敛标准，迭代过程即终止.同时由于引入了松弛因子，该方法能够迅速获得较为准确的方程组的解.

超松弛迭代法的求解步骤如下：

① 对网络中每一个节点赋初值

这个初值完全可以任意给定，因为最终的解与这些初值无关，但是较好的估计初值可以提高收敛速度.正方形网络中，假定电流或流体的流动方向为从左到右，则网络最左边边界上的节点均赋输入电压值V₁，最右边边界上的节点均赋输出电压值V₂，其余节点一般可取零值.

② 求取喉道电导

由于泥页岩储层骨架矿物成分较为复杂，主要由含量较高的黏土矿物、脆性矿物、干酪根以及少量的黄铁矿等导电矿物等组成.故储层的导电特性主要由孔隙空间中赋存的地层水的导电作用以及黏土矿物阳离子交换作用造成，同时还受到地层中局部富集的黄铁矿导电性的影响.故对于单根喉道管束，其电导g^(e)为地层水电导g_f、黏土矿物电导g_clay以及导电矿物电导g_cm三者之和，即

(2)

由于喉道节点可视为一个边长为L的小立方体，其中部为圆柱形通道，故孔隙空间中，地层水产生的电导为

(3)

式中，σ_f为地层水电导率 (单位：S·m^-1)；r为喉道截面半径 (单位：μm)；l为喉道长度 (单位：μm).

而黏土矿物与导电矿物的附加电导部分可利用如下公式进行计算：

(4)

(5)

式中，g_clay为黏土矿物的附加电导 (单位：S)；g_cm为导电矿物的附加电导 (单位：S)；σ_clay为黏土矿物的电导率 (单位：S·m^-1)；σ_cm为导电矿物的电导率 (单位：S·m^-1)；A_clay为黏土矿物的导电截面积 (单位：m²)；A_cm为黏土矿物的导电截面积 (单位：m²).

则对于单根喉道，其电流I的大小为

(6)

式中，Δu为喉道两端的电压差值 (单位：V).

③ 建立节点间电压与电流之间关系的表达式

当在模型两端加上电压后，电路中的每个节点均符合基尔霍夫定律.电路中的基尔霍夫 (Kirchoff) 定律包含有两种：一种是基尔霍夫电流定律 (KCL)，即在任何瞬间流入任一节点的电流的代数和为0；另一种为基尔霍夫电压定律 (KVL)，即对任意一个回路，按设定的方向沿回路绕行一周时，各支路电压的代数和在任意瞬间恒为0.

以图 3所示的正方形网络中一个节点为例，节点0(i，j) 处流入与流出的电流大小应当相等，其相邻节点之间必须满足如下关系：

(7)

式中，g为相邻节点之间喉道的电导，可以通过欧姆定律计算得到.

对于三维逾渗网络模型中的每一个节点均可以写出类似的式子，从而就得到方程数与未知节点电压的节点数相等的线性方程组：

(8)

该式可变形为如下迭代形式：

(9)

为了提高迭代速度，对 (9) 式做出一定的改进.首先在计算某个节点电压时，将该节点三个方向上前一个相邻节点的刚刚计算得到的电压新值提前代入运算，并写作增量形式为

(10)

该式中的增量即就是要求方程局部达到平衡应补充的能量.同时，引入一个取值在1~2之间的松弛因子e，其原理为给予每个点的增量超过使方程达到局部平衡时所需的值，从而加速解的收敛.则上式可改写为

(11)

该方法即为超松弛迭代法.根据上述方法，以实际实验数据为约束进行反复迭代，可以得到逾渗网络中每个节点的电压分布，从而获取模型的电阻.不断改变其连通概率、孔隙尺寸以及各组分含量，可以模拟出页岩电学参数随各因素的变化.

4 储层电性影响因素模拟分析

经典阿尔奇公式是电阻率测井解释最基本的公式，认为对于纯砂岩地层，其岩石骨架完全不导电，而孔隙中流体构成导电通路，因此阿尔奇公式中考虑到的影响储层电性的因素只有孔隙度和含水饱和度.但由于页岩成分较为复杂，矿物组成中黏土矿物占较大的比重，而国内外学者的研究均表明，湿黏土的阳离子交换作用对储层电性的影响不容忽视，另外储层中呈分散状分布的少量黄铁矿也会对储层的电阻率造成一定的影响.因此，采用逾渗数字岩心模拟技术对孔隙度、黏土矿物以及黄铁矿含量对储层电阻率的影响加以分析.

(1) 孔隙度对电阻率的影响

为了从数值模拟角度研究孔隙度对页岩气储层电性的影响，建立了7组不同孔隙度 (2%、3%、4%、5%、6%、7%、8%) 的数字岩心模型，每组有5种黏土矿物含量 (30%、40%、50%、60%、70%)，并设定黄铁矿含量为3%，分别进行不同含水饱和度下数字岩心电阻率的模拟.经过模拟计算，获得了地层中不同孔隙度的模型的电阻率，如图 4所示.

结果显示，在不同的含水饱和度下 (100%、80%、60%、40%)，数字岩心电阻率均随着孔隙度的增加而呈负指数减小.其原因主要在于，随着孔隙度的增加，孔隙所占的体积也明显增大，孔隙水的导电截面积也相应增加，从而导致地层电阻率减小.

(2) 黏土矿物对电阻率的影响

为了从数值模拟角度研究黏土矿物含量对页岩气储层电性的影响，建立了5组不同黏土含量 (10%、20%、30%、40%、50%) 的数字岩心模型，每组有5种孔隙度 (2%、3%、5%、7%、10%)，并设定黄铁矿含量为3%，分别进行不同含水饱和度下数字岩心电阻率的模拟.经过模拟计算，获得地层中不同孔隙度的模型的电阻率，如图 5所示.

结果显示，在不同的含水饱和度下 (100%、75%、50%、25%)，数字岩心电阻率均随着黏土矿物含量的增加而呈负指数减小.其原因主要在于，随着黏土含量的增加，黏土层的导电路径缩短，且横截面变大，导致地层电阻率减小.

(3) 黄铁矿

X衍射资料显示主要生气层段中黄铁矿含量分布介于2%~5%之间，因此为了从数值模拟角度研究黄铁矿含量对页岩气储层电性的影响，建立了9组不同黄铁矿 (0、1%、2%、3%、4%、5%、6%、7%、8%) 的数字岩心模型，并设定孔隙度为5%、黏土矿物含量为50%，分别进行不同含水饱和度下数字岩心电阻率的模拟.经过模拟计算，获得了地层中不同赋存状态和含量的黄铁矿的五组模型电阻率，如图 6所示.

结果显示，当黄铁矿含量较低时，岩样电阻率会随着黄铁矿的增多而迅速下降，但是当其含量增加到一定的量，一般认为是5%，由于电阻率此时已经下降到一个较低的值，电阻率的下降幅度逐渐变缓.即在不同的含水饱和度下 (100%、80%、60%、40%)，数字岩心电阻率均随着黄铁矿含量的增加而呈负指数减小.这主要是因为黄铁矿本身是优良的导体，据统计，纯的黄铁矿电导率约为1×10³ S·m^-1，因此黄铁矿的存在势必会对储层电性造成一定的影响，但是由于黄铁矿在储层中的相对体积较小，且分布比较分散，因此赋存在地下的黄铁矿电阻率将大打折扣.同时由于储层成分的复杂性，高电阻或不导电的组分，如碎屑矿物和碳酸盐岩，也将对黄铁矿的导电通路产生较大的影响，因此，上述模拟结果从理论上揭示了黄铁矿对页岩储层电阻率的影响规律，但是由于实际地层的特殊性，黄铁矿影响程度还需要进一步的探讨和研究.

5 页岩含气量评价模型建立

阿尔奇公式揭示了胶结良好饱含水纯砂岩的电阻率与所含地层水电阻率之比与地层水性质无关，只与地层性质有关的客观规律.该公式的理想条件是具有颗粒孔隙的纯地层，并且对于泥质含量较少的地层也能取得较好的结果.但目前的生产实际显示，对于含有黏土或者泥质较多的地层和裂缝性地层，直接利用阿尔奇公式很难得到令人满意的结果.

阿尔奇公式中岩性参数a、b、m、n是影响储层评价结果的重要参数.其中，a、b均为岩性系数，取决于储层的岩性；m为胶结系数，随着岩石胶结程度的不同而变化；n为饱和度指数，根据岩石骨架成分和孔隙结构的差异而不同.目前在生产实际中，对于上述岩电参数的求取主要是通过对大量岩心进行岩电实验，建立电阻率增大系数I与含水饱和度S_w以及地层因素F与孔隙度φ的关系，将其统计平均值作为该地区的岩电参数值.国内外学者根据实验室的岩心分析数据，均发现常规的阿尔奇公式中m和n值并不是固定的，而是随孔隙结构及地层黏土含量等的变化而变化的.对于高含黏土的岩石，尤其是页岩储层，黏土矿物的阳离子交换作用会造成较大的统计误差，传统的获取岩电参数的方法显然是不合适的，需要对其进行修正.

对于胶结指数m，通过调节数字岩心的含水饱和度、孔隙度、黏土含量等参数，研究影响数字岩心电阻率变化的因素.同一数字岩心在不同黏土矿物含量和孔隙度下的模拟岩电实验显示，胶结指数m与黏土矿物含量以及孔隙度之间存在如下关系，如图 7所示：

① 随着黏土含量的增加，数字岩心胶结指数m会逐渐呈线性减小；

② 随着总孔隙度的增加，数字岩心胶结指数m会逐渐呈线性增大.

而对于饱和度指数n，通过调节数字岩心的含水饱和度、孔隙度、黏土含量等参数，研究影响数字岩心电阻率变化的因素.同一数字岩心在不同黏土矿物含量和孔隙度下的模拟岩电实验显示，饱和度指数n与黏土矿物含量以及孔隙度之间存在如下关系，如图 8所示.

① 随着黏土含量的增加，数字岩心饱和度指数n会逐渐减小；

② 随着总孔隙度的增加，数字岩心饱和度指数n会逐渐减小.

通过不同孔隙度φ、黏土矿物含量V_cl下的模拟岩电实验结果加以拟合，最终得到本地区的胶结指数m与饱和度指数n的计算模型为

(12)

相关系数R=0.928；

(13)

相关系数R=0.813.

并据此将阿尔奇公式修正为

(14)

利用基于逾渗理论的阿尔奇修正公式进行单井解释，可以看出，胶结指数和饱和度指数随着黏土含量和孔隙度的变化而波动，造成含水饱和度计算结果趋势与阿尔奇法结果略有差异.胶结指数m值变化幅度较小，主要在1.4~1.7之间，而计算n值的波动相对较大，从最终计算结果看，在主要产气层段，该模型计算结果较为平滑，尤其是低电阻异常段，由于m和n值随着孔隙度和黏土矿物含量而变化，在一定程度上起到了电阻率校正的作用，因此计算结果对电阻率并不是那么敏感.

6 结论

本文通过分析泥页岩储层非阿尔奇性产生原因以及泥页岩储层电性的影响因素，利用实际岩心实验资料，结合随机算法建立三维逾渗模型并通过数值模拟和超松弛迭代法进行求解，得到各种影响因素的影响规律，并对传统阿尔奇公式进行修订，得到如下结论：

(1) 孔隙度、黏土矿物以及黄铁矿含量对泥页岩储层电阻率的影响作用明显，利用逾渗数字岩心模拟技术分析得到其影响规律：数字岩心电阻率随着孔隙度、黏土矿物、黄铁矿含量的增加均呈负指数减小，原因在于随着孔隙度的增加，孔隙所占的体积也明显增大，孔隙水的导电截面积也相应增加，从而导致地层电阻率减小；随着黏土含量的增加，黏土层的导电路径缩短，且横截面变大，导致地层电阻率减小；由于黄铁矿本身是优良的导体，因此黄铁矿的存在会在一定程度上对储层电性造成影响.

(2) 对同一数字岩心在不同黏土矿物含量和孔隙度含量下进行岩电实验模拟，模拟结果显示：胶结指数m随着黏土总量的增加呈线性减小，随着总孔隙度的增加呈线性增大；饱和度指数n随着黏土总量的增加呈线性减小，随着总孔隙度的增加呈线性减小.

(3) 通过模拟结果加以拟合得到适合于本地区的胶结指数m与饱和度指数n的计算模型，并据此进行阿尔奇公式的修订，利用基于逾渗理论的阿尔奇修正公式进行单井解释更加符合实际情况.