由于多分量阵列感应测井仪器可以同时测量九个不同分量的感应磁场，能够提供地层水平与垂直电导率、井眼相对倾角等有用地层信息，是对砂泥岩薄交互层、裂缝等各向异性油气储层进行勘探与评价的有力工具 (Zhdanov et al., 2001；Rabinovich et al., 2007).自21世纪初Baker Hughes公司成功研制出第一台多分量感应仪器3DEX以来 (Hussain et al., 2005)，有关三维感应测井响应的数值模拟、新型井下仪器研制以及资料处理理论与方法等已成为非常重要的研究课题，并已取得重大进展.在数值模拟方面，三维有限差法 (Wang and Fang, 2001；Davydycheva et al., 2003; 沈金松，2003；杨守文等，2009)、三维有限体积法 (Hou et al., 2006；张烨等，2012)、三维有限元法 (孙向阳等，2008)、2.5维数值模式匹配算法 (汪宏年等，2008；Wang et al., 2012) 以及解析方法 (Zhdanov et al., 2001；Wang et al., 2008a) 均已成为解决不同情况下三维感应测井数值模拟问题的重要方法，为仪器参数优化、资料处理方法建立与检验提供了重要基础.在仪器研制方面，Baker Hughes公司的第一台3DEX多分量感应仅装备单一的、1m源距的三轴收发系统，在探测电导率径向分布方面存在一定困难.因此，多阵列型多分量感应测井仪器成为重要的发展方向.例如，Schlumberger公司的RT Scanner (Davydycheva et al., 2009)、Halliberton公司的3D-Induction Xaminer (Hou et al., 2013) 以及中国石油集团测井有限公司自主研制开发的三维感应测井仪器 (TDIT)，均采用了变化范围为0.5~1.8m的四个不同源距的三轴接收线圈系，同时提供四个不同探测深度的张量视电导率曲线.由于共面线圈系受井眼环境影响很大，视电导率值与地层电导率间存在着强非线性关系 (沈金松和郭乃川，2008；李剑浩，2014)，有关三维感应资料处理理论与技术是一个相对薄弱的研究环节，多分量感应三维反演技术由于工作量太大、效率太低，目前情况下难以应用于实际资料处理解释，直井中的2D全参数正则化迭代反演技术计算效率明显提高、但仍然满足不了实时处理和解释的要求 (Abubakar et al., 2008).目前，一维反演 (Wang et al., 2008b; Hou and Bittar, 2010; Zhang et al., 2012; 周建美等，2012; Yang et al., 2014) 仍然是处理多分量感应测井资料的主要方法，但必须借助井眼校正库与井眼环境校正技术对多分量感应测井资料进行预处理，尽可能消除井眼环境的影响.

针对中国石油集团测井有限公司研制的三维感应测井仪器 (TDIT)，我们自主研制开发出一套完整的资料实时处理方法与软件，该处理软件主要包含井眼校正库的建立、井眼环境校正以及水平层状各向异性模型中一维多参数反演三个方面的内容.利用该套方法有效降低了井眼、层厚以及电磁非线性响应等对测井响应的影响，从多分量多阵列感应测井资料能够快速获取较可靠的地层纵横向电导率、仪器偏心距与旋转角以及地层厚度等参数.建立满足工业标准的多分量多阵列感应测井井眼校正库是整个处理软件中非常重要的研究环节.考虑到常见地层模型中井径、泥浆电导率、偏心率、地层横电导率和各向异性系数的可能变化范围，在这五个参数的变化范围分别优选出16、22、22、17、11个离散节点，形成总共1448128个柱状地层模型，通过计算出每个模型对应的多分量多阵列感应测井响应，形成多分量多阵列感应测井井眼环境校正库.需要指出的是，整个井眼校正库巨大的模型数量以及模型中出现的电导率巨大反差，均给高质量三维井眼校正库的建立带来极大困难.Hou J S (Hou and Bittar, 2010) 利用三维有限体积算法建立多分量阵列感应井眼校正库，然而由于三维有限体积算法效率较低，计算每个模型的响应需耗费CPU时间约3min，如果仅在一台电脑上计算，则总耗费总CPU时间约为1448128×3 min约等于8.27年.此外，三维有限体积算法对于大反差电导率情况计算精度会下降，则需要更多的网格节点来提高计算精度，计算时间会更长，因此计算成本太高，难以承受.在国内，中国石油集团测井有限公司刚刚研发了多分量阵列感应测井仪器，迫切需要建立与之匹配的井眼校正库.因此，我们利用模式匹配算法，开发出柱状各向异性介质中仪器偏心情况下电磁场并矢Green函数的快速算法，并利用该算法计算多分量阵列感应井眼校正库.在两台计算机上，利用一周的时间就完成了整个井眼校正库的计算任务，使得整个计算效率提高了200多倍.

本文将对文献 (Wang et al, 2008a, 2012) 中的改进的2.5维数值模式匹配算法进行推广，建立柱状各向异性地层中仪器偏心情况下磁流源电磁并矢Green函数的快速算法并得到并矢Green函数半解析表达式，在此基础上，根据中国石油集团测井有限公司研制的TDIT真实结构与仪器参数，建立其相应的井眼环境校正库，并利用校正库分析考察多分量阵列感应测井响应的响应特征.

图 1a是多分量感应井眼校正库中采用的地层模型，整个模型包含井眼半径a、井眼泥浆电导率σ_m、仪器偏心距ρ_Ecc=a·Ecc、地层水平电导率σ_h以及电导率各向异性系数λ五个变量，其中Ecc为偏心率且0≤Ecc＜1.为方便起见，图 1a中建立了直角坐标系xyz，其中，z轴与井轴重合，x轴位于仪器轴线与井轴构成的平面内.图 1b是多分量阵列感应仪器结构示意图，整个仪器由一个三轴发射线圈T、四个不同源距的轴向接收模块 (A06、A09、A12、A15) 和四个不同源距的三轴接收模块 (A21、A27、A39、A72) 组成.三轴发射线圈与三轴接收线圈的结构如图 1c所示，其中，三轴阵列感应仪器包含x、y和z方向的三个相互正交的发射线圈，并且x和y方向的发射线圈分别由两对大小与匝数相等、相互平行地放置在仪器的芯棒上.每个接收模块包含一组接收线圈系和一组屏蔽线圈系 (图 1d)，屏蔽线圈的缠绕方向与接收线圈缠绕方向相反，用于屏蔽电磁场的直藕信号，其中，L_R、L_B分别代表主接收线圈系和屏蔽线圈系到发射线圈系的距离 (图 1d).

图 1

Fig. 1

图 1 柱状地层模型及TDIT结构 (a) 柱状地层模型；(b) TDIT结构；(c) 三轴向线圈系结构；(d) 三轴向收发模块. Fig. 1 Schematic diagram of a cylindrical stratum model and TDIT strudture (a) Cylindrical stratum model; (b) TDIT structure; (c) Structure of triaxial coil array; (d) Transmitter and receiver system of triaxial coil array.

多分量多阵列感应井眼环境校正库的建立，需要对高达数百万的柱状地层模型进行相似的计算.单个地层模型测井响应的计算效率直接影响到整个井眼库的建库效率.因此，必须开发在大反差电导率情况下仍然稳定而且具有较高的计算效率的正演模拟程序，其核心问题是计算柱状横向同性地层中多分量多阵列感应仪器在偏心情况下的测井响应.

在柱坐标系，引入三个单位正交发射源ρ, θ, z) 产生的电场与磁场E^p_T=(E_ρ^p_T, E_θ^p_T, E_z^p_T)^T和H^p_T=(H_ρ^p_T, H_θ^p_T, H_z^p_T)^T，该电磁场满足Maxwell方程，公式为

(1)

其中，r_T=(ρ_T, θ_T, z_T) 是发射源位置，(p=ρ, θ, z) 是发射源r_T处的三个单位正交向量，μ为地层磁导率且假定为常数，ω=2πf为角频率，f为仪器发射源频率且忽略位移电流影响.电导率是分片常数的电导率函数且在井壁上出现跳跃，公式为

(2)

由于仪器处于偏心位置，因此源是关于ρ, θ, z的函数.其中，关于θ的狄拉克函数可以用Fourier级数展开公式进行展开，同理，将电磁场E^p_T(r, r_T) 和H^p_T(r, r_T) 展开成Fourier级数为

(3)

这时，地层中水平方向电场的l阶谐变分量E_{S, l}^p_T=(σ_hE_{ρ, l}^p_T, E_{θ, l}^p_T)^T满足的方程为 (Wang et al., 2008a, 2012)：

(4)

其中，l=-∞, …, -1, 0, 1, …, +∞.为了保证 (4) 式在轴心处也有稳定的解，水平方向电场的l阶谐变分量E_{S, l}^p_T需要满足的边界条件为 (Wang et al., 2008a, 2012)：

(5)

水平方向磁场强度的l阶谐变分量H_{S, l}^p_T=(H_{ρ, l}^p_T, H_{θ, l}^p_T)^T与水平方向电场l阶谐变分量E_{S, l}^p_T=(σ_hE_{ρ, l}^p_T, E_{θ, l}^p_T)^T间的关系方程为 (Wang et al., 2008a, 2012)：

(6)

垂直方向电场强度和磁场强度的l阶谐变分量E_{Z, l}^p_T和H_{Z, l}^p_T由如下关系确定，公式为 (Wang et al., 2008a, 2012)：

(7)

方程 (4) 左边的以及方程 (6) 右边的均是已知的2×2阶奇异微分算子 (Wang et al., 2008a, 2012)，方程 (4) 右端项可简化为

(8)

对于不含水平界面的完全柱状介质，利用数值模式匹配算法，可以得到方程 (4) 中三个单位正交发射源产生的水平电场的l阶谐变分量E_{S, l}^p_T(ρ, z; ρ_T, z_T)、E_{S, l}^θ_T(ρ, z; ρ_T, z_T) 和E_{S, l}z_T(ρ, z; ρ_T, z_T) 的半解析解，公式为 (Wang et al, 2008a, 2012):

(9)

其中，是2×2M或2×2(M-1) 基函数矩阵并且S_{l (ρ)}=是基函数组成的2M或2(M-1) 阶行向量，E_l是模式匹配算法得到的本征向量组成的矩阵，K_l是由本征值的方根组成的对角矩阵.A_{S, l}^p_T(ρ_T, z_T), p=ρ, θ, z是完全柱状介质中水平电场的l阶谐变分量的振幅，具有如下表达式为

(10)

其中，是2M×2M或2(M-1)×2(M-1) 的质量矩阵.

将 (9) 中三个水平电场分量的l阶谐变分量E_{S, l}^p_T(ρ, z; ρ_T, z_T)、E_{S, lθT}(ρ, z; ρ_T, z_T) 和E_{S, l}^z_T(ρ, z; ρ_T, z_T) 组合起来得：

(11)

其中，

是完全柱状介质中水平电场的l阶谐变分量的振幅的组合.

为了计算三个单位正交发射源产生的水平磁场的l阶谐变分量、和，将 (11) 代人方程 (6) 得：

(12)

其中，是2M×2M或2(M-1)×2(M-1) 矩阵，且V_l=

将 (11) 和 (12) 代人方程 (7)，可以得到垂直方向电场强度与磁场强度的l阶谐变分量为

(13)

(14)

其中，和

是M×2M(当l=±1时) 或 (M-1)×2(M-1)(当l≠±1时) 矩阵.

将式 (11)-(14) 结合起来，磁流源电场并矢Green函数的l阶谐变分量写为

(15)

磁流源磁场并矢Green函数的l阶谐变分量为

(16)

磁流源电场和磁场并矢Green函数为

(17)

根据柱坐标系和直角坐标系的关系，可以得到直角坐标系下磁场的三个主分量H_xx、H_yy和H_zz.由于多分量阵列感应测井仪器的收发线圈系统由一个三轴向的发射线圈、一个三轴向的屏蔽线圈和一个三轴向的接收线圈组成 (如图 1d)，因此，必须根据复合线圈系的线圈结构，计算等价的视电导率张量.设三个正交发射线圈的磁矩分别为M_Tx=A_TxN_Tx, M_Ty=A_TyN_Ty; M_Tz=A_TzN_Tz，三个正交主接收线圈的磁矩分别为M_Rx=A_RxN_Rx, M_Ry=A_RyN_Ry; M_Rz=A_RzN_Rz，三个正交屏蔽接收线圈的磁矩M_Bx=A_BxN_Bx, M_By=A_ByN_By; M_Bz=A_BzN_Bz，其中，A_Tx、A_Ty、A_Tz和N_Tx、N_Ty、N_Tz分别代表三个正交发射线圈的面积和线圈匝数，A_Rx、A_Ry、A_Rz和N_Rx、N_Ry、N_Rz分别代表三个正交主接收线圈的面积和线圈匝数，A_Bx、A_By、A_Bz和N_Bx、N_By、N_Bz分别代表三个屏蔽线圈的面积和线圈匝数.主接收线圈系的磁通量张量为

(18)

屏蔽接收线圈系的磁通量张量为

(19)

总磁通量组成的张量为

(20)

定义多分量阵列感应仪器常数为

(21)

其中，是多分量感应仪器各个分量与阵列的屏蔽系数.

将式 (18)-(21) 代入磁通量和感应电压的关系以及视电导率的计算公式σ_{a, αβ}=-Re (V_αβ)/K_αβ，可得由合成磁场强度计算复合线圈系的视电导率张量公式为

(22)

其中，合成磁场张量的各个分量为

(23)

系数W简化为

(24)

在利用模式匹配算法计算偏心情况下的仪器响应时，由于采用了傅里叶级数展开技术，最终计算磁场强度时，需要计算一个无穷级数 (如公式 (17))，在实际计算中，我们只能利用l=-N, …, -1, 0, 1, …, N个有限项的谐变分量和作为近似.因此，必须选取合理的谐变分量总阶N，以便兼顾最终测井响应的计算精度和计算效率.

我们选取一个柱状地层模型，其中，井眼半径为0.2 m，井眼泥浆电导率为0.01 S·m^-1，地层横向电导率为2.5 S·m^-1，地层电导率各向异性系数为4.0.图 2是不同偏心情况下，视电导率三个主分量与谐变分量总阶数N的变化关系.从图中可以看出，共轴线圈系的视电导率σ_{a, zz}的精度受总阶数N的影响较小，而共面线圈系的视电导率σ_{a, xx}和σ_{a, yy}受总阶数N的影响较大；当仪器居中时，N=1即可满足计算精度要求，而随着偏心率Ecc增大，需要更大的总阶数N，从测试结果上可以看出，当偏心率达到0.8时，N=3即可达到计算精度的要求.基于以上考察，在整个井眼环境校正的计算过程中，总阶数N均设为3，可以兼顾计算精度和计算效率.

图 2

Fig. 2

图 2 谐变分量总阶数对测井响应计算精度的影响 Fig. 2 Impact of total order on the precision of logging response

为了进一步考察模式匹配算法的计算精度，我们重新选择一个新的柱状地层模型，其井眼半径为0.1m，井眼泥浆电导率为1.0 S·m^-1，地层横向电导率为0.05 S·m^-1，地层电导率各向异性系数为2.0.图 3是仪器不同偏心情况下，分别利用解析法 (AM)(Liu and Chew, 1992) 和2.5D数值模式匹配算法 (2.5D NMM) 计算的视电导率主分量σ_{a, xx}、σ_{a, yy}、σ_{a, zz}以及交叉分量σ_{a, zx}的对比结果.从图中可以看出，两种方法计算的视电导率各分量均吻合得非常好，证明了利用NMM计算多分量阵列感应测井响应的有效性.NMM算法的计算效率随求和指标N的增加而降低，图 1已经证明当N=3时，NMM的计算精度已经满足要求，而当N=3时，图 2中模式匹配算法计算时间为96 s，而解析法所用时间为278 s，模式匹配算法的计算效率要比解析算法也高3倍左右.此外，从图 3中可以看出，由于仪器是沿x轴发生偏移，因此共面线圈系的视电导率σ_{a, xx}(图 3a) 和共轴线圈系的视电导率σ_{a, zz}(图 3c) 受偏心的影响较小，而另一共面线圈系的视电导率σ_{a, yy}(图 3b) 和交叉分量σ_{a, zx}(图 3d) 却受偏心的影响较大，并且，收发线圈系的距离越小，其受偏心的影响越大.

图 3

Fig. 3

图 3 模式匹配法 (NMM) 和解析法 (AM) 的计算结果对比 Fig. 3 Comparison of calculations by NMM and AM

井眼校正库由一系列不同井眼半径a、井眼泥浆电导率σ_m、水平电导率为σ_h、各向异性系数为λ以及仪器偏心距ρ_Ecc下的多分量阵列感应测井响应组成，其目的是利用井眼校正库进行井眼环境校正，以便消除井眼、偏心距等对测井响应的影响，以利于测井资料的进一步处理与解释.

常见地层模型中各个参数的变化范围往往非常大，根据井场地层的实际情况，我们选定井眼半径a的变化范围为0.06~0.22 m、井眼泥浆电导率的变化范围为0.01~100.0 S·m^-1、地层水平电导率σ_h的变化范围为0.001~10.0 S·m^-1、地层电导率各向异性系数的变化范围为0.8~5.井眼半径、泥浆电导率、地层电导率、各向异性系数、偏心率在各自变化范围内选取的离散节点个数分别为16、22、22、17、11.利用上述的模式匹配算法，建立了多分量阵列感应测井响应的井眼校正库.为了将来利用井眼校正库对测井资料进行有效的校正，下面将深入考察各模型参数对测井响应的影响.

选取一个柱状地层模型，其井眼泥浆电导率为2.0 S·m^-1，地层横向电导率为0.1 S·m^-1，地层电导率各向异性系数为2.0.图 4-图 7均是在此地层模型下，考察井径 (a) 和偏心率 (Ecc) 对不同阵列不同视电导率分量的影响.

图 4是阵列A21中视电导率三个主分量σ_{a, xx}、σ_{a, yy}、σ_{a, zz}和交叉分量σ_{a, xz}随井径和偏心率变化的三维图.从图中可以看出，σ_{a, xx}受井径影响较大，而受偏心率的影响较小 (图 4a)；σ_{a, yy}受井径和偏心率的影响均较大 (图 4b)；σ_{a, zz}受井径的影响较大，且当井径较大时，其受偏心率的影响也开始变大；井径较大时，交叉分量σ_{a, xz}受偏心的影响也较大.

图 4

Fig. 4

图 4 井径和偏心率对阵列A21中视电导率主分量和交叉分量的影响 (a) σa, xx；(b) σa, yy; (c) σa, zz；(d) σa, xz. Fig. 4 Influence of borehole radius and eccentricity ratio on main and cross components of apparent conductivity of array A21

图 5是不同阵列 (A06、A12、A21、A27) 中共轴线圈系视电导率主分量σ_{a, zz}随井径和偏心率变化的三维图.从图中可以看出，收发线圈系的距离越短，其共轴线圈系的响应受井径和偏心的影响越大，图 5d显示A27阵列线圈的σ_{a, zz}受井径和偏心的影响均比较小.

图 5

Fig. 5

图 5 井径和偏心率对不同阵列中视电导率共轴主分量σa, zz的影响 (a) A06阵列；(b) A12阵列；(c) A21阵列；(d) 27阵列. Fig. 5 Influence of borehole radius and eccentricity ratio on σa, zz with different arrays (a) A06 array; (b) A12 array; (c) A21 array; (d) A27 array.

图 6和图 7分别是不同阵列 (A21、A27) 中共面线圈系视电导率主分量σ_{a, xx}和σ_{a, yy}随井径和偏心率变化的三维图.从图中仍然可以看出，短源距收发线圈系共面线圈系的响应受井径和偏心的影响更大；在仪器向x方向偏心的情况下，与σ_{a, xx}相比，σ_{a, yy}受井径和偏心的影响更大.

图 6

Fig. 6

图 6 井径和偏心率对不同阵列中视电导率共面主分量σa, xx的影响 (a) A21阵列；(b) A27阵列. Fig. 6 Influence of borehole radius and eccentricity ratio on σa, xx with different arrays (a) A21 array; (b) A27 array.

图 7

Fig. 7

图 7 井径和偏心率对不同阵列中视电导率共面主分量σa, yy的影响 (a) A21阵列；(b) A27阵列. Fig. 7 Influence of borehole radius and eccentricity ratio on σa, yy with different arrays (a) A21 array; (b) A27 array.

选取一个柱状地层模型，其井眼半径为0.1 m，井眼泥浆电导率为2.0 S·m^-1，假设仪器偏心率Ecc=0.5.图 8-图 10均是在此地层模型下，考察横向电导率和各向异性系数对不同阵列不同视电导率分量的影响.

图 8

Fig. 8

图 8 横向电导率和各向异性系数对阵列A21中视电导率主分量和交叉分量的影响 (a) σa, xx； (b) σa, yy； (c) σa, zz； (d) σa, xz Fig. 8 Influence of transverse conductivity and anisotropic coefficient on main and cross components of apparent conductivity of array A21

图 9

Fig. 9

图 9 横向电导率和各向异性系数对不同阵列中视电导率共轴主分量σa, zz的影响 (a) A06阵列；(b) A12阵列；(c) A21阵列；(d) A27阵列. Fig. 9 Influence of transverse conductivity and anisotropic coefficient on σa, zz with different arrays (a) A06 array; (b) A12 array; (c) A21 array; (d) A27 array.

图 10

Fig. 10

图 10 横向电导率和各向异性系数对不同阵列中视电导率共面主分量σa, xx的影响 (a) A21阵列；(b) A27阵列. Fig. 10 Influence of transverse conductivity and anisotropic coefficient on σa, xx with different arrays (a) A21 array; (b) A27 array.

图 8是阵列A21中视电导率三个主分量σ_{a, xx}、σ_{a, yy}、σ_{a, zz}和交叉分量σ_{a, xz}随横向电导率和各向异性系数变化的三维图.从图中可以看出，仪器偏心率为0.5时，两个共面线圈系σ_{a, xx}和σ_{a, yy}的响应差别不大，受横向电导率和各向异性系数影响均较大 (图 8a、8b)；σ_{a, zz}受横向电导率的影响较大，而与各向异性系数无关 (图 8c)；交叉分量σ_{a, xz}受横向电导率和各向异性系数的影响较大.

图 9是不同阵列 (A06、A12、A21、A27) 中共轴线圈系视电导率主分量σ_{a, zz}随横向电导率和各向异性系数变化的三维图.从图中可以看出，各个阵列的σ_{a, zz}均与各向异性系数无关，并且随着收发源距的增大，共轴线圈系的响应σ_{a, zz}逐渐变小.图 10是不同阵列 (A21、A27中共面线圈系视电导率主分量σ_{a, xx}(σ_{a, yy}类似) 随横向电导率和各向异性系数变化的三维图.从图中可以看出，短源距收发线圈系共面线圈系的响应受横向电导率和各向异性系数的影响更大.

本文利用模式匹配算法建立了仪器偏心情况下柱状各向异性地层中磁场强度并矢Green函数的快速算法，结合中国石油集团测井有限公司开发的多分量多阵列感应测井仪器的具体参数，开发出效率较高的、适用工业生产的多分量阵列感应测井井眼环境校正库.通过考察地层模型参数对井眼校正库的影响，得出如下规律：当仪器沿x方向偏心时，共面线圈系视电导率σ_{a, xx}受井径影响较大，而受偏心率的影响较小；共面线圈系σ_{a, yy}受井径和偏心率的影响均较大；共轴线圈系σ_{a, zz}受井径的影响较大，且当井径较大时，其受偏心率的影响也开始变大；在垂直井中，各个阵列的σ_{a, zz}均与各向异性系数无关；与长源距收发线圈系相比，短源距收发线圈系的视电导率响应受井径和偏心的影响更大.各阵列各分量的测井响应与地层模型各参数呈单调变化趋势，表明利用井眼校正库校正多分量阵列感应测井资料是可行的.