1 引言

地球上空的大气由于受太阳紫外辐射和X射线等因素的影响而发生电离，形成电离层.当卫星信号穿越其中时，电离层电子密度的分布状态会影响卫星信号的传播路径，产生电离层延迟误差.在太阳活动异常条件下，该误差的影响尤为突出，从而严重影响卫星导航与定位的精度(闻德保，2013).因此，了解和掌握电离层电子密度的三维分布状态，有助于提高电离层延迟改正的精度(Yuan et al., 2007; Liu et al., 2011).

基于GNSS电离层层析成像技术的出现，为重构电离层电子密度的三维分布状态提供了前所未有的发展机遇.由于GNSS射线的高度角较大，加上可利用地面测站数量的有限性和分布的不均匀性，导致GNSS电离层层析成像模型呈现出不适定性(Garcia and Crespon， 2008).为此，国内外学者先后提出了多种算法来克服不适定问题对电子密度层析反演结果带来的不利影响(Lee and Kamalabadi， 2009; Nesterov and Kunitsyn， 2011；Wen et al., 2012; Zhao et al., 2013).自适应联合迭代重构算法(Adaptive Simultaneous Iteration Reconstruction Technique，ASIRT)由于具有较快的迭代收敛速度，在电离层电子密度层析反演中得到广泛应用(Kunitsyn and Tereshchenko， 2003;姚宜斌等，2014).该方法通过引入具有物理意义的先验信息来解决电子密度反演过程中的不适定问题，实际反演过程中引入的先验信息通常来自于已有的经验电离层模型(如国际参考电离层模型，简称为IRI模型).然而，根据f_oF₂月中值测量数据建立起来的经验电离层模式反映的是磁静条件下电离层的月平均状态(吴健等，1998)，制约了经验电离层模型输出参数的精度.对于重构区域内没有任何射线穿过的三维电离层格网来说，采用自适应联合迭代重构算法反演电离层电子密度时，迭代收敛后，这些没有观测信息的格网电子密度值与迭代收敛前经验模型给出的初值是一致的，影响了电离层电子密度反演结果的精度.针对上述问题，本文提出了一种约束自适应联 合迭代重构算法(Constrained Adaptive Simultaneous Iteration Reconstruction Technique，CASIRT)，该算法利用相邻格网间电子密度变化的平滑性和连续性，构造平滑约束矩阵，相当于增加了观测信息量，一方面为有效地解决电离层层析模型中的不适定问题提供了一种新途径，另一方面改善了电离层电子密度反演精度.数值模拟实验和实测数据的重构结果证实了新算法的可行性和优越性.

电离层电子密度分布通常用函数N_e(r，t)表示，其中 r 为t时刻的位置向量.该函数为一系列基函数的加权和，即

顾及实际反演中观测噪声和离散误差的存在，则(3)式的矩阵表达可以表示为：

自适应联合迭代重构算法在迭代过程中利用上一轮迭代结果自适应地调整松弛因子，有效地加快了迭代收敛速度，提高了计算效率，其表达式如下(姚宜斌等，2014)：

然而，由于地基GNSS观测数据的不充足性和分布的不均匀性，导致重构区域内部分格网无任何观测信息，使得(4)式中的系数矩阵秩亏.在系数矩阵秩亏状态下，利用自适应联合迭代重构算法时，那些没有任何观测信息格网的最终结果仍然是经验模式给出的精度不高的初值.为了解决秩亏问题引起的解的多样性和重构精度不高的问题，本文根据相邻格网间电子密度分布的连续性和平滑性给层析系统施加平滑约束，其方程表达式为：

由(6)式可以看出，约束矩阵的构造是约束自适应联合迭代重构算法的核心.文中采用二阶拉普拉斯算子九点差分近似法构造相应的约束算子，进而构造平滑约束矩阵 H .

图 1

Fig. 1

图 1 同层格网划分示意图 Fig. 1 The sketch map of the grid partition in the same layer

图 1给出了同层格网的划分及编号示意图.根据二阶拉普拉斯算子九点差分近似法，位于重构区域中央的格网，其拉普拉斯算子的构造如下：

对于处于重构区域左上、右上、左下和右下四个边角的格网，其拉普拉斯算子的构造分别如下：

同理，位于上下边缘中央和左右边缘中央的格网，约束算子分别采用如下的构造方式：

根据上述的约束算子，则可构造出同层中约束矩阵 M，其表达式如下：

将每层的约束矩阵组合即可得到(6)式中的约束矩阵 H .施加了上述约束矩阵后，系数矩阵 A 中

合并(4)式和(6)式可得：

施加平滑约束后，间接地增加了观测信息量，相当于给没有任何观测信息的格网增加了虚拟观测，克服了由于地基和空基观测信息不足引起的秩亏问题.

为验证新算法在电离层电子密度层析重构中的可行性及其相对于原有的自适应联合迭代重构算法的优越性，首先进行模拟实验，模拟时所选择的地理范围为25°N—40°N，110°E—120°E，高度范围为100~1000 km.在对电离层空间进行离散化时，经度、纬度和高度上的离散间隔分别取为1°，0.5°和50 km，选取的模拟时段为2009年3月10日07 ∶ 30— 08 ∶ 00UT.模拟试算时，利用上述地理范围内的地面GNSS观测站坐标和计算获得的对应反演时段内的卫星坐标构造系数矩阵 A .模拟STEC观测量 所需的电子密度 x _模拟来自于IRI 2012模型.借助于 前述构造的系数矩阵 A和x _模拟，则可计算出STEC_模拟.顾及实际反演中观测噪声和离散误差的存在，在模 拟的STEC加入一定量的随机噪声，利用CASIRT和ASIRT两种算法计算前，首先给每个格网赋予一个不同于电子密度模拟值的初值.

图 2给出了CASIRT和ASIRT两种方法反演的重构区域内所有格网的电子密度值与IRI 2012 模型给出的真值的比较.从图 2可以看出，与ASIRT 重构结果相比较，利用CASIRT重构的电离层电子密度值与IRI 2012模型给出的电子密度真值更加吻合.误差统计结果显示：CASIRT重构电子密度误差绝对值的最大值、平均值和RMS分别为 4.56×10¹⁰ el·m^-3、1.7×10⁹ el·m^-3和3.8×10⁹ el·m^-3，而ASIRT 重构误差的绝对值的最大值、平均值和RMS分别为 1.32×10¹¹ el·m^-3、2.8×10¹⁰ el·m^-3和4.67×10¹⁰ el·m^-3. 从上述比较结果可以看出，利用CASIRT重构的电子密度的精度比ASIRT的精度高，从而证 实了新算法的可行性和其相对于ASIRT的优越性.

图 2

Fig. 2

图 2 约束自适应联合迭代重构算法(CASIRT)和自适应联合迭代重构算法(ASIRT)重构的 电离层电子密度值与IRI 2012模拟值的比较 Fig. 2 Comparisons between the electron density obtained from IRI 2012 model and those reconstructed by the two algorithms

为进一步证实新算法的可靠性和优越性，利用新算法重构了2010年3月9日电离层电子密度分布的周日变化特性.顾及地面GNSS观测射线的高度角较大，为减弱水平射线缺失引起的重构图像垂直分辨率不高的问题，本文引入了COSMIC掩星数据联合反演电离层电子密度的时空分布.所选择的地基GNSS观测数据来源于中国地壳运动观测网络.重构区域与模拟实验中所选择的电离层区域相同.

图 3展示了利用本文提出的CASIRT重构的114°E经度链上电离层电子密度的周日变化，从图 3可以看出，电离层电子密度值在一天内随时间变化呈现增大-减小-增大的时变特性.在01—05UT之间，电离层电子密度随着时间推移逐渐增大，在05UT时，重构区域内的电子密度值达到最大，约为1.48×10¹²el·m^-3.此后，随着时间的增加，重构地 理区域内的电离层电子密度值则逐渐减小，在21UT时(北京时间5时)，该值达到最小.至23UT时，电离层电子密度又开始呈现变大的趋势.这种变化趋势反映了电离层电子密度的分布与太阳活动状态密切相关.同时，从图 3可以看出，在01—13UT之间，低纬地区电离层电子密度高于高纬地区，随着时间推移，高纬地区电离层电子密度开始逐步增加，在15—23UT之间，高纬地区电离层电子密度高于低纬地区，但从23UT子图上可以看出，低纬地区电离层电子密度在此后呈现逐步变大的趋势，这种变化现象与电离层其他观测手段观测到的变化规律是吻合的(Wen et al., 2007).

图 3

Fig. 3

图 3 CASIRT重构的114°E经度链上电离层电子密度分布随纬度和高度变化的时序图， 电离层电子密度单位为1011el·m-3 Fig. 3 Time-series variation maps of ionospheric electron density distribution with the latitude and altitude along 114°E using CASIRT. The unit of ionospheric electron density is 1011el·m-3

为了验证新算法的可靠性，图 4对新算法重构的02UT和10UT两个不同时刻的电离层电子密度剖面与武汉站(114°E，30.5°N)电离层测高仪获得的剖面进行了比较.从图 4的比较结果可以看出，CASIRT算法重构的电离层电子密度剖面与测高仪剖面整体上吻合得较好，进一步证实了新算法在电离层电子密度重构过程中的可靠性.同时，借助于武汉站测高仪观测数据，统计了CASIRT和ASIRT两种算法的重构误差，此处的误差为计算值与测高仪观测值之差.表 1给出了三个不同时刻的统计结果.从表 1可以看出，CASIRT重构的电离层电子密度在精度上明显优于ASIRT算法，从而进一步证明了新算法相对于原有ASIRT的优越性.

图 4

Fig. 4

图 4 CASIRT重构的两个不同时刻电离层电子密度剖面与武汉站电离层测高仪获得剖面的比较 Fig. 4 Comparison between the ionospheric profiles reconstructed from CASIRT and those obtained from ionosonde observations at Wuhan station

表 1(Table 1)

表 1 CASIRT和ASIRT两种方法反演的三个不同时刻重构区域内电离层电子密度误差统计分析表，电子密度误差单位为1010 el·m-3 Table 1 Error statistics analysis of ionospheric electron density reconstructed using CASIRT and ASIRT. The unit of ionospheric electron density is 1010 el·m-3 时间 03UT 11UT 19UT 重构方法 CASIRT ASIRT CASIRT ASIRT CASIRT ASIRT 最大绝对 误差 3.67 9.82 2.98 7.39 2.26 4.77 平均绝对 误差 0.08 0.17 0.02 0.09 0.03 0.06 RMS 0.23 0.54 0.16 0.41 0.19 0.54

表 1 CASIRT和ASIRT两种方法反演的三个不同时刻重构区域内电离层电子密度误差统计分析表，电子密度误差单位为1010 el·m-3 Table 1 Error statistics analysis of ionospheric electron density reconstructed using CASIRT and ASIRT. The unit of ionospheric electron density is 1010 el·m-3

本文根据相邻格网之间电离层电子密度连续性和平滑性，通过施加合理的平滑约束，提出了一种附加约束的自适应联合迭代重构算法，数值模拟实验和实测数据反演结果证实了新算法的可行性、可靠性及其相对于自适联合迭代重构算法的优越性.本文研究中仅利用地磁平静条件下地基和空基GNSS观测数据反演了电离层电子密度分布.在太阳活动异常条件下如强磁暴发生期间，文中设计的约束矩阵是否能够准确地反映电离层电子密度的时空扰动特性，有待进一步深入研究.

致谢 感谢地壳运动观测网络提供的地基GNSS 观测资料，感谢COSMIC数据分析中心提供的COSMIC掩星资料，感谢中国科学院地质与地球物理研究所刘立波研究员提供的电离层测高仪资料.