2011, Vol. 54
2. 日本京都大学防灾研究所,京都 611-0011;
3. 武汉科技大学应用物理系,武汉 430081;
4. 中国科学院上海天文台,上海 200030
2. Disaster Prevention Research Institute, Kyoto University, Uji, Kyoto 611-0011, Japan;
3. Department of Applied Physics, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China;
4. Shanghai Astronomical Observatory, Chinese Academy of Sciences, Shanghai 200030, China
地球重力场及其时变反映地球表层及内部物质的空间分布、运动和变化，同时决定着大地水准面的起伏和变化，因此确定地球重力场的精细结构及其时变不仅是大地测量学、地震学、海洋学、空间科学、国防建设等的需求，同时也将为全人类寻求资源、保护环境和预测灾害提供重要的信息资源[1~3].
GOCE(Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer)重力梯度卫星由欧洲空间局(ESA)独立研制，已于2009年3月17日发射升空，主要用于中短波地球重力场的精密测量.GOCE 采用近圆(轨道离心率0.001)、近极地(轨道倾角96.5°)和太阳同步轨道，经过20 个月的飞行计划，轨道高度由250km 降为240km.GOCE 采用卫星跟踪卫星高低(SST-HL)和卫星重力梯度(SGG)模式的结合，除基于高轨道的GPS/GLONASS 卫星对低轨道的GOCE 卫星进行精密跟踪定位(1cm)外，利用定位于质心处的重力梯度仪(3×10-12/s2)高精度测量卫星轨道高度处引力位的二阶导数，同时基于无阻尼离子微推进器补偿卫星受到的非保守力[4].早在20世纪80年代，国外便开始制定国际卫星重力梯度计划.Klees等[5]、Visser等[6]、Pail等[7]在基于卫星重力梯度反演地球重力场方面开展了广泛的研究.由于地球重力场信号随卫星轨道高度的增加而急剧衰减(Re/r)l，基于分析卫星轨道运动仅适合于精密确定中长波地球重力场，而卫星重力梯度技术可直接测定地球引力位的二次微分，进而在一定程度上抑制了地球重力场信号的衰减效应，因此卫星重力梯度测量有利于高精度感测中短波地球重力场信号.
在利用卫星重力测量数据反演地球重力场的众多方法中，按引力位系数解算方法的差异可分为空域法和时域法.空域法[8~11]的优点是因网格点数固定从而方程维数一定，且可利用快速傅立叶(FFT)方法进行批量处理，因此极大地降低了计算量；缺点是在进行网格化处理中作了近似处理，且不能处理色噪声.时域法[12~34]的优点是直接对卫星观测数据进行处理，不需作任何近似，求解精度较高且能有效处理色噪声；缺点是随着卫星观测数据的增多，观测方程数量剧增，极大地增加了计算量.为了满足下一代卫星重力测量计划中精密和快速解算高阶地球重力场的要求，国际大地测量学界将空域法和时域法的优点进行有效结合，正致力于提出时空域混合法的新思想.文献[35]基于一阶Tikhonov正则化法解算了GOCE 地球重力场，提出采用Kaula正则化降低正规阵病态性不可行(发散).本文紧跟国际卫星重力测量的热点和动态，分别利用Kaula正则化和一阶Tikhonov正则化解算了GOCE 地球重力场，结果表明:基于Kaula正则化降低正规阵病态性是可行的(收敛).因此，本文基于时空域混合法利用Kaula正则化和改进的预处理共轭梯度法精确和快速反演了250阶GOCE 地球重力场.
2 方法 2.1 卫星重力梯度观测方程的建立在地固系中，地球引力位按球谐函数展开的表达式为
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(1) |
其中，GM表示地球质量M和万有引力常数G之积，Re 表示地球的平均半径，L表示球函数展开的最大阶数；
地球引力位V(r，θ，λ)分别对x，y，z的二阶导数表示如下
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(2) |
其中，地球引力位二阶导数是对称张量，同时在真空情况下满足Laplace方程表现为无迹性，Vxx+Vyy+Vzz=0，因此在9个重力梯度分量中有5个是独立的.
在地心惯性系中，卫星观测方程建立如下
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(3) |
其中，yg×1 表示卫星轨道处的重力梯度观测值，g表示重力梯度观测值的个数；Γg×n表示g行n列的设计矩阵，n=L2+2L-3；xn×1 表示n×1列的待求引力位系数矩阵.地固系和地心系的转换关系请见参考文献[36].
如图 1所示，本文基于时空域混合法利用卫星重力梯度技术反演250 阶GOCE 地球重力场的主要思想如下:第一，以地心为球心选择4个等间距且规则的参考球面r1，r2，r3 和r4，GOCE 卫星轨道位于r2 和r3 之间，同时在每个参考球面上按照经纬度进行均匀网格划分；第二，在每个参考球面上利用 FFT 批量计算出卫星重力梯度值，并基于三维插值技术得到卫星轨道处的卫星重力梯度值(空域法)；第三，在卫星轨道处求解卫星观测方程(3)，利用最小二乘法拟合出地球引力位系数(时域法).
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图 1 基于时空域混合法解算地球重力场的原理图 Fig. 1 Schematic diagram of EarthS gravitational field determination using time-space-wise-approach |
在求解大型线性方程组(3)时，Γg×n的求解是核心环节.假设采用30d(d表示天数)的GOCE 卫星全张量重力梯度观测值，采样间隔设计为5s, 当反演L=250阶地球重力场时，Γg×n为9×30×24×3600/5=4665600行和L2 =62500列的长方设计矩阵，因此对Γg×n的求解和存储都较困难.为了高精度和快速地解算Γg×n，本文将Γg×n分解为网格划分矩阵ΓG，三维插值矩阵ΓI，坐标转换矩阵ΓR 和重力梯度分量选择矩阵ΓS4个部分进行分步解算[35]:
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(4) |
卫星重力梯度网格划分的观测方程表示如下:
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(5) |
其中，x表示EGM2008 地球重力场模型的引力位系数，yG表示在规则参考球面网格点上求得的重力梯度值，ΓG表示网格划分矩阵.
由于卫星轨道处观测点的空间位置不规则，因此直接计算轨道位置上的重力梯度值耗时较大(利用CPU 为2.0GHz, 内存为1Gb的PC 机解算先验重力场为250阶、时间为30d和采样间隔为5s的全张量重力梯度值耗时至少6d).为了克服上述耗时的缺点，本文具体处理如下:第一，以地心为球心选择4个等间距且规则的参考球面(距地心最近参考球面的半径为6583km, 球面间隔为30km)，并在每个球面上按照分辨率= 经度(360°/2048)×纬度(180°/1024)进行均匀网格划分；第二，由于 Legendre函数Plm(cosθ)的计算是耗时较多部分，因此固定每个规则参考球面上有限的纬度网格划分值θ(1024份)，通过有效的递推公式按纬圈快速计算Plm(cosθ)，并将计算结果存储以备后面调用；第三，固定极径r和余纬度θ，利用FFT 按纬圈θ计算参考球面上的全张量重力梯度观测值，这是运算速度加快的主要原因.
2.2.2 卫星重力梯度三维插值卫星重力梯度三维插值的观测方程表示如下
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(6) |
其中，yI 表示在卫星轨道处且位于局部指北坐标系(LNF)的全张量重力梯度值，卫星局部指北系的原点位于卫星的质心，XLNF轴指向北，YLNF轴指向西，ZLNF轴与XLNF、YLNF轴构成右手系(如图 2 所示)；ΓI表示由4 个规则参考球面网格点的重力梯度值三维插值到卫星轨道处的转换矩阵[37].
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图 2 卫星局部指北系(LNF)和卫星局部轨道系(LOF)示意图 Fig. 2 Local North-stabilized Frame(LNF) and Local Orbit Frame(LOF) |
如图 3所示，本文采用的三维插值是用1个单元格子的43=64个全张量重力梯度三维插值得到位于第二和第三个参考球面间的卫星轨道上的1个重力梯度值.单元格子的分辨率设计为经度(0.175°)×纬度(0.175°)×径向(30km).
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图 3 位于4个参考球面的SGG 三维插值单元格子 Fig. 3 Unit grid of SGG three-dimensional interpolation on the four reference spherical surfaces |
由于卫星重力梯度值需要由4个规则参考球面插值到卫星轨道处，因此本文利用9 阶Runge- Kutta线性单步法结合12阶Adams-Cowell线性多步法数值积分公式模拟了GOCE 卫星的轨道位置和速度.轨道数值模拟的参数如表 1 所示，模拟过程共耗时8h.
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表 1 GOCE卫星轨道模拟参数 Table 1 Simulative parameters of GOCE orbit |
卫星重力梯度坐标转换的观测方程表示如下
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(7) |
其中，yR 表示位于卫星局部轨道坐标系(LOF)的全张量重力梯度值，卫星轨道坐标系的原点位于卫星的质心，XLOF轴指向卫星瞬时速度的方向，YLOF轴指向卫星瞬时轨道角动量的方向，ZLOF轴与XLOF、YLOF轴构成右手系(如图 1所示)；ΓR 表示将重力梯度值由LNF转换到LOF的转换矩阵.
2.2.4 卫星重力梯度分量选择卫星重力梯度值分量选择的观测方程表示如下
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(8) |
其中，ΓS 表示重力梯度分量的选择单位矩阵，yS 表示位于LOF的全张量或几个分量的重力梯度观测值:
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(9) |
其中，在卫星重力梯度的9个分量中，如果某些分量被选择，则ηij=1；反之，ηij=0(i，j=x，y，z).
2.3 卫星重力梯度观测方程的求解卫星观测方程(3)是大型线性超定方程组，因此没有精确解，只有最小二乘解.在方程两边同乘ΓTE-1得
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(10) |
其中，E=D(y)表示重力梯度观测值噪声的协方差矩阵，D表示方差算子.本文在模拟的卫星轨道位置和重力梯度观测值中引入了色噪声[35].
由于随着阶数l的增加，ΓTΓ 的病态性急剧增强，进而影响地球重力场反演的精度，因此正则化处理较为关键，主要作用是降低ΓTΓ 的病态性[38].本文采用了Kaula正则化
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(11) |
其中，K0 表示Kaula正则化参数，本文基于全张量卫星重力梯度反演250阶GOCE地球重力场，K0 =2×10-10；K1 表示正则化函数:
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(12) |
其中，δij表示Kronecker符号，l(i)表示第i行(列)对应的引力位系数的阶数.
在观测方程(10)中加入Kaula正则化后可改写为
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(13) |
令G=ΓTE-1y，N=ΓTE-1Γ+K，则方程(13)可变为
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(14) |
在方程(14)两边同乘Pn×n-1得
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(15) |
其中，Pn×n表示预处理阵.
Γg×n是一个庞大的长方矩阵，存储需占用大量的内存空间，因此直接存储较难实现，而正规方阵Nn×n虽较Γg×n缩小了许多，但如果直接存储也会占用大量的内存空间(约占12Gb).如图 4所示，Nn×n是一个块对角占优的方阵，此性质为本文迭代求解的加速提供了有利条件.
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图 4 正规方阵Nn×n的块对角占优特性(l=30)色标代表矩阵元素数值的大小，色标条采用以10为底的对数表示. Fig. 4 Block-diagonally dominant characteristics of Nn×n(l=30) The value of matrix elements are represented by color intensity» and values of color bar are denoted by denary logarithm. |
预处理共轭梯度迭代法(PCCG)是目前求解大型线性方程组的有效方法之一，主体思想如下:第一，每一步迭代均对待求参量进行修正，直到达到预期精度为止；第二，每一步迭代的方向选择以误差最小为原则；第三，回避最小二乘法的直接矩阵求逆，通过循环迭代求解真值[39, 40].利用PCCG 求解观测方程(15)，不需要直接存储Nn×n，总运算量只需要900 Mb的内存空间.PCCG 最关键的部分是Pn×n的选取，标准如下:第一，Pn×n-1与Nn×n-1越接近越好，保证了大型线性方程组求解的精度；第二，Pn×n-1易于计算，提高了大型线性方程组求解的速度.本文选取Nn×n的块对角部分作为预处理阵，形成的Pn×n为主对角线上按次数m排列且其余部分为0 的块对角方阵，如此选取不仅保留了Nn×n的主要特征，而且Pn×n-1较Nn×n-1易于计算.总而言之，适当选取预处理阵可极大地减少PCCG 求解引力位系数中循环迭代的次数，较直接最小二乘法计算速度至少提高1000倍.本文基于改进的PCCG[36]反演了250阶GOCE 地球重力场，经过65步迭代，总计耗时为46h.
3 结果本文首先利用一阶Tikhonov 正则化反演了250阶GOCE 地球重力场，其与文献[35]的模拟结果符合较好，从而验证了本文整体算法的可靠性.图 5表示经过65步迭代，基于时空域混合法利用卫星重力梯度分量(Vxx，Vyy，Vzz，Vxz)结合Kaula正则化反演250阶GOCE 地球引力位系数的精度(由上而下)，其中轨道误差为1cm, 卫星重力梯度误差为3×10-12/s2.在250阶处，反演地球引力位系数的精度为8.402×10-11(第65步迭代)，在各阶处的统计结果如表 2所示.
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图 5 基于卫星重力梯度分量反演地球引力位系数精度 Fig. 5 Geopotential coefficients degree errors based on the components of SGG tensor |
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表 2 基于Kaula正则化反演GOCE地球重力场精度在各阶处的统计结果 Table 2 Statistics of the accuracies of GOCE Earth s gravitational field using Kaula regularization |
据图 5和表 2可知:(1)在地球重力场长波部分(2≤L≤50)，地球引力位系数反演精度较低.由于卫星重力梯度是地球引力位的二阶导数，因此在二次微分的过程中，在一定程度上损失了低频重力场的精度，但可以通过GRACE 高精度的长波地球重力场精度弥补其不足；(2)在地球重力场中长波部分(50 ＜L≤110)，地球引力位系数反演精度逐渐提高，说明随着球函数阶数的增加，卫星重力梯度对探测地球重力场的敏感性逐步加强；(3)在地球重力场中短波部分(110＜L≤250)，地球引力位系数误差增长缓慢，充分体现了基于卫星重力梯度高精度和高空间分辨率感测中高频地球重力场的优越性.通过本文基于Kaula 正则化和文献[35]基于一阶 Tikhonov正则化反演GOCE 地球重力场精度的对比可知，Kaula正则化是降低正规阵病态性的有效方法.
如图 6所示，实线和虚线分别表示在第65步迭代处，基于卫星重力梯度分量(Vxx，Vyy，Vzz，Vxz)，利用Kaula正则化反演250 阶GOCE 累计大地水准面精度和累计重力异常精度.在250 阶处，累计大地水准面和累计重力异常的精度分别为9.295cm 和2.037×10-6 m/s2，在各阶处的统计结果如表 2所示.
如图 7所示，虚线表示德国地学研究中心(GFZ)公布的120阶EIGEN-GRACE02S地球重力场模型的实测精度，在120 阶处累计大地水准面精度为18.938cm；实线表示基于时空域混合法，利用Kaula正则化反演250阶GOCE 地球重力场的模拟精度.GRACE 和GOCE 卫星工作在不同的地球重力场波谱内，它们各自具有不同的科学应用.由于GRACE卫星敏感于中长波地球重力场(2≤L＜80 阶)，而 GOCE 卫星敏感于中短波地球重力场(80≤L≤250阶)，因此GRACE 和GOCE 卫星计划不是相互竞争，而明显具有互补性，联合求解二者的观测数据可反演高精度、高空间分辨率和全频段的地球重力场.
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图 6 基于卫星重力梯度分量反演大地水准面和重力异常累积误差 Fig. 6 Errors of cumulative geoid height and gravity anomaly based on the components of SGG tensor |
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图 7 GRACE 和GOCE 大地水准面累积误差对比 Fig. 7 A comparison of cumulative geoid height errors between GR八CEand GOCE |
(1) 为了克服地球引力位随高度的衰减效应，卫星重力梯度技术直接测定地球引力位的二阶导数，进而高精度感测中短波地球重力场的信号.
(2) 为高精度和快速解算转换矩阵Γg×n，本文将其分解为网格划分矩阵，三维插值矩阵，坐标转换矩阵和重力梯度分量选择矩阵四个部分进行分步解算.
(3) 通过本文基于Kaula正则化和文献[35]基于一阶Tikhonov正则化反演GOCE 地球重力场精度的对比可知，Kaula正则化是降低正规阵病态性的有效方法.改进的PCCG 是目前求解大型线性方程组的有效方法之一，适当选取预处理阵可较大程度地减少PCCG求解引力位系数中循环迭代的次数.
(4) 基于时空域混合法利用卫星重力梯度分量(Vxx，Vyy，Vzz，Vxz)结合Kaula正则化反演了GOCE地球重力场.在250阶处，反演地球引力位系数、累计大地水准面和累计重力异常的精度分别为8.402×10-11、9.295cm 和0.204mGal.
(5) 由于GRACE 和GOCE 分别敏感于中长波和中短波重力场，因此联合求解二者的卫星观测数据可反演高精度、高空间分辨率和全频段的地球重力场.
致谢感谢编辑及评审专家、华中科技大学物理学院罗俊院士对本文的帮助.感谢欧洲空间局(ESA)提供了GOCE 卫星的相关资料.
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