文章编号: 2096-3203(2023)04-0102-11 中图分类号: TM71
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2. 智能电网保护和运行控制国家重点实验室，江苏 南京 211106;
3. 南瑞集团有限公司(国网电力科学研究院有限公司)，江苏 南京 211106;
4. 山东大学智能创新研究院，山东 济南 250101
 马睿聪(1999)，男，硕士在读，研究方向为电力系统稳定分析与控制(E-mail：202114573@mail.sdu.edu.cn); |
曹永吉(1992)，男，博士，副研究员，研究方向为电力系统稳定分析与控制、可再生能源并网及储能技术应用
电网受扰后频率动态行为与功角振荡过程运行机理复杂[1]。电网振荡过程中，频率变化使得系统中功角发生改变，功角振荡改变电网中发电机组电磁功率分布，加速转矩改变，影响频率变化，二者间存在耦合性。对电网频率动态与功角振荡进行耦合特性分析，能为电网控制策略分析提供理论依据，降低电网运行风险，提升电网稳定性[2]。
电力系统动态频率响应指系统频率会从正常运行状态过渡到一个新的稳态或失稳状态[3]。国内外学者已对电网频率响应分析进行诸多研究，文献[4]对电网惯量研究的各项概念进行阐述，为电网频率响应分析提供理论支撑。文献[5]将频率响应过程划分为4个阶段：扰动初始阶段、惯量响应阶段、一次调频响应阶段和二次调频响应阶段。文献[6]对系统频率响应(system frequency response, SFR)模型进行改进，进一步考虑发电机励磁系统对频率影响，提高了频率动态响应分析的精度。文献[7]对含分布式能源(distributed energy resources, DERs)配电网仿真建模进行频率响应分析，高比例DERs接入使频率动态过程变化更复杂。文献[8]对基于人工智能的频率响应估算进行深度剖析，总结深度学习在频率响应分析中的应用现状。文献[9]对惯性时间常数、一次调频死区和调差系数等调频关键参数进行分析，研究关键参数与稳态频率偏差Δfn、最大频率偏差Δfmax、频率变化率dΔf/dt和到达频率最低点的时间Tnadir等频率特征指标间灵敏度。文献[10]对SFR模型进行详细分析，构建新能源接入下的SFR模型。文献[11]提出一种基于风-光-水-火联合发电机组SFR模型的频率响应分析方法。文献[12]对频率响应的分散性、统一性、独立性和耦合性进行分析，提出频率响应特征量化方法。文献[13]针对电网发生故障后频率变化特征进行分析，阐述了频率动态行为，上述文献在对系统频率动态过程进行分析时，未考虑由于功角振荡产生的功率不平衡量，忽略了频率动态与功角振荡之间的耦合性。
在电网中发生大扰动时，系统功角变化会出现振荡过程，对该过程机理研究，在电力系统稳定分析方面有着重要意义[14-15]。文献[16]开展大规模双馈型风电并网对送端功角稳定性研究。文献[17]对暂态功角特征进行提取，通过k-medoids聚类方法区分实现故障筛选。文献[18]探究功角失稳与感应电动机失稳间耦合性，二者为正反馈关系。文献[19]对连锁故障下功角稳定进行分析，结合离散马尔可夫模型和Lyapunov函数推导出鲁棒随机稳定性判据，利用线性矩阵不等式(linear matrix inequality, LMI)进行电力系统功角稳定性判别。文献[20]利用扩展等面积准则(extended equal area criterion, EEAC)分析系统暂态特征，研究解列后局部电网功角首摆失稳问题，分析影响首摆稳定性因素。文献[21]考虑电网在极端场景运行，对电力系统功角稳定性进行分析。文献[22]探究功角失稳与电压失稳间耦合性，采用发电机和负荷之间的交互强度指标与暂态网络传输能力指标进行量化分析。现阶段已有文献证明，系统功角稳定性与系统电压稳定、感应电动机稳定有密切联系，但在频率动态和功角振荡耦合特性方面研究相对缺乏。
因此，文中提出电力系统频率动态与功角振荡间耦合强度评估方法。首先，对二机系统分析，推导频率动态与功角振荡的耦合关系，分析扰动后系统频率动态与功角振荡的耦合运动机理；其次，采用EEAC准则将耦合机理扩展至多机系统；然后，对频率动态与功角振荡特征分析，采用典型特性量化获取频率动态指标和功角振荡指标，将频率动态与功角振荡间耦合程度量化，提出耦合强度指标；最后，搭建IEEE 39节点系统仿真模型，设置负荷扰动，计算频率动态与功角振荡耦合强度指标，评估频率动态指标与功角振荡指标的耦合强度，验证了频率动态与功角振荡之间存在耦合关系。文中提出的指标体系能对耦合特征量化，可为后续开展双高电力系统频率动态和功角振荡耦合分析奠定理论基础。
1 频率动态与功角振荡的耦合特性 1.1 耦合现象电网受扰动时，各机组承担的功率缺额依据机组位置与扰动位置间电气距离进行分配，通常电气距离与机组承当功率缺额呈反比，即距扰动点越近的机组应承担更多功率缺额。考虑到各机组调速能力不同，各机组承担的功率缺额有所不同，扰动后各机组的转速变化存在差异，发电机组间转速很难出现同步变化，各节点的频率出现差异。
频率动态过程中通常伴随功角振荡。频率动态过程反映发电机组的转速调整过程，电网的功角振荡会导致发电机组输出电磁功率发生变化，影响电网频率动态，二者相互耦合。
1.2 耦合机理分析对图 1所示二机系统进行分析，两端机组为等效机组模型。E′1、E′2分别为机组1和2的内电势；δ1、δ2分别为机组1和2的功角；Pe为机组输出功率；XL为线路等值电抗；RL1、RL2、ΔRL分别为区域1负荷、区域2负荷及突增负荷的等值电阻。忽略电机内部电磁暂态效应，设负荷为恒阻抗负荷。发电机G1及负荷L1构成区域1，发电机G2及负荷L2构成区域2，正常运行方式下，区域1向区域2供电。t0时刻，区域2发生功率扰动。
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图 1 二机系统模型 Fig. 1 Two-machine system model |
扰动发生前，机组转子运动方程如式(1)—式(4)所示。
| $ \left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} \delta_1}{\mathrm{~d} t}=\Delta \omega_1 \omega_0 \\ H_{\mathrm{J} 1} \frac{\mathrm{d} \Delta \omega_1}{\mathrm{~d} t}=P_{\mathrm{m} 1}-P_{\mathrm{e} 1} \end{array}\right. $ | (1) |
| $ \left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} \delta_2}{\mathrm{~d} t}=\Delta \omega_2 \omega_0 \\ H_{\mathrm{J} 2} \frac{\mathrm{d} \Delta \omega_2}{\mathrm{~d} t}=P_{\mathrm{m} 2}-P_{\mathrm{e} 2} \end{array}\right. $ | (2) |
| $ P_{\mathrm{el}}=E_1^{\prime 2} G_{11}+E_1^{\prime} E_2^{\prime}\left(G_{12} \cos \delta_{12}+B_{12} \sin \delta_{12}\right) $ | (3) |
| $ P_{\mathrm{e} 2}=E_2^{\prime 2} G_{22}+E_1^{\prime} E_2^{\prime}\left(G_{12} \cos \delta_{12}-B_{12} \sin \delta_{12}\right) $ | (4) |
式中：δ12为机组1和2的功角差；ω0为系统的基准频率；Δω1、Δω2分别为机组1和2转子转速偏移量；Pm1、Pm2分别为机组1和2原动机输出的机械功率；Pe1、Pe2分别为机组1和2输出电磁功率；HJ1、HJ2分别为机组1和2的机械启动时间；δ1、δ2、HJ1和HJ2为有名值，其余变量为标幺值。G11、G12、G22和B12为导纳矩阵元素。
假设Pm1、Pm2、E′1和E′2恒定不变，HJ1=3HJ2，设两机组转速差为Δω12=Δω1-Δω2，突发扰动后，其Δω12变化规律如式(5)和式(6)所示。
| $ \frac{\mathrm{d} \Delta \omega_{12}}{\mathrm{~d} t}=P_{\mathrm{M}}+\frac{E_2^{\prime 2}}{H_{\mathrm{J} 2} \Delta R_{\mathrm{L}}}-P_{\mathrm{E}} $ | (5) |
| $ \frac{\mathrm{d} \delta_{12}}{\mathrm{~d} t}=\Delta \omega_{12} \omega_0 $ | (6) |
其中：
| $ P_{\mathrm{M}}=\frac{P_{\mathrm{m} 1}}{H_{\mathrm{J} 1}}-\frac{P_{\mathrm{m} 2}}{H_{\mathrm{J} 2}}-\frac{E_2^{\prime 2}}{H_{\mathrm{J} 1} \Delta R_{\mathrm{L} 1}}+\frac{E_2^{\prime 2}}{H_{\mathrm{J} 2} \Delta R_{\mathrm{L} 2}} $ | (7) |
| $ P_{\mathrm{E}}=\left(\frac{1}{H_{\mathrm{J} 1}}+\frac{1}{H_{\mathrm{J} 2}}\right) \frac{E_1^{\prime} E_2^{\prime}}{X_{\mathrm{L}}} \sin \delta_{12} $ | (8) |
式中：PM为系统等效冗余功率；PE为系统等效振荡功率。
突发扰动后，发电机转速变化如图 2所示。由图 2和图 3可知，两台发电机组转速呈交替下降趋势，为便于理解，将其划分为3个阶段进行分析。
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图 2 不考虑调速器响应的Δω曲线 Fig. 2 Δω variation curves after disturbance ignoring governor response |
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图 3 不考虑调速器响应机组功角差曲线 Fig. 3 Angle different variation curves after disturbance ignoring governor response |
第1阶段为下摆阶段，在区域2发生扰动后，系统机组出力小于负荷出力，出现功率缺额，因Pm1、Pm2为常数，原动机机械功率不变，机组1和机组2频率开始下降。在变化过程中，区域1向区域2输送功率，机组1频率持续降低，机组2频率先降低后升高，机组1和机组2间频率惯性向中心靠拢，第1阶段末尾二者频率达到一致。初始t0时刻，机组间
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图 4 机组功角差变化轨迹 Fig. 4 Trajectory of angle difference |
由图 4中可知，功角振荡过程中，功角差δ12有最大值且小于180°。由式(5)可知，转速差Δω12先增大后减小，在该阶段内发电机组2的转速始终小于等于发电机组1的转速。
当功角差δ12满足Pm2-Pe2=0时，第1阶段过程中的机组2频率达到最小值，为频率响应的局部最小值点，同时为扰动发生系统初期频率最低点。
第2阶段为上摆阶段，该阶段可作第1阶段的逆过程。在第2阶段初始时刻机组1与机组2转速相同，转速差Δω12 < 0，发电机2转速领先发电机1，功角差δ12逐渐减小。由式(5)和式(6)可得式(9)。
| $ \begin{gathered} P_{\mathrm{M}}+\frac{E_2^{\prime 2}}{H_{\mathrm{J} 2} \Delta R_{\mathrm{L}}}-\left(\frac{1}{H_{\mathrm{J} 1}}+\frac{1}{H_{\mathrm{J} 2}}\right) \frac{E_1^{\prime} E_2^{\prime}}{X_{\mathrm{L}}}\left(\sin \delta_{12}\right) \mathrm{d} \delta_{12}= \\ \Delta \omega_{12} \omega_0 \mathrm{~d} \Delta \omega_{12} \end{gathered} $ | (9) |
对式(9)方程两侧同时积分可得式(10)。
| $ \begin{gathered} \left(P_{\mathrm{M}}+\frac{E_2^{\prime 2}}{H_{\mathrm{J} 2} \Delta R_{\mathrm{L}}}\right) \delta_{12}+\left(\frac{1}{H_{\mathrm{J} 1}}+\frac{1}{H_{\mathrm{J} 2}}\right) \frac{E_1^{\prime} E_2^{\prime}}{X_{\mathrm{L}}} \cos \delta_{12}= \\ \frac{1}{2} \Delta \omega_{12}^2 \omega_0+C \end{gathered} $ | (10) |
初始t0时刻Δω12(t0)=0，功角差为δ12(t0)，将Δω12(t2)(t2为第二阶段两台机组转速相等时刻)代入式(10)可得δ12(t2)= δ12(t0)。该阶段中机组2的转速始终小于等于机组1的转速，机组1和2间频率惯性中心再次靠拢，二者频率再次达到一致。
第3阶段为钟摆振荡阶段，将周期性地重复第1、第2阶段的变化过程，机组转速将持续下降，存在振荡过程。
在实际电网运行中，调速器响应具有一定延时量，在扰动后1 s左右，其对机组频率影响在分析时无法忽略，其变化规律如图 5—图 7所示。
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图 5 扰动后Δω变化曲线 Fig. 5 Δω variation curves after disturbance |
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图 6 扰动后电网机组功角差变化曲线 Fig. 6 Angle different variation curves after disturbance |
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图 7 扰动后机组第1、第2阶段δ12 -Δω运动轨迹 Fig. 7 Variation trajectory of first and second stages δ12 -Δω after disturbance |
由图 5和图 6可知，电网中发电机组转速及功角差变化在三阶段变化基础上增加了振荡阻尼，本质仍为三阶段变化过程。图 7为机组第1、第2阶段机组相轨迹图。
1.3 基于EEAC的多机系统推广在对实际多机系统分析时，采用双机等值的思想将多机系统转换为两机系统分析，对机组进行分群，惯性中心频率振荡剧烈的机群为A群，另一机群为B群，得到主导功率联络线以及等效扰动负荷。两机组等效机组特性如式(11)和式(12)所示。
| $ \left\{\begin{array}{l} \omega_{\mathrm{A}}=\left(\sum\limits_{i \in M} H_{\mathrm{J} i} \omega_i\right) / \sum\limits_{i \in M} H_{\mathrm{J} i} \\ \delta_{\mathrm{A}}=\left(\sum\limits_{i \in M} H_{\mathrm{J} i} \delta_i\right) / \sum\limits_{i \in M} H_{\mathrm{J} i} \end{array}\right. $ | (11) |
| $ \left\{\begin{array}{l} \omega_{\mathrm{B}}=\left(\sum\limits_{j \in N} H_{\mathrm{J} j} \omega_j\right) / \sum\limits_{j \in N} H_{\mathrm{J} j} \\ \delta_{\mathrm{B}}=\left(\sum\limits_{j \in N} H_{\mathrm{Jj}} \delta_j\right) / \sum\limits_{j \in N} H_{\mathrm{J} j} \end{array}\right. $ | (12) |
式中：δi、ωi、HJi分别为A机群中第i台发电机功角、转速和惯性时间常数；δj、ωj、HJj分别为B机群中第j台发电机功角、转速和惯性时间常数；下标A和B为各机组所属的机群；M为发电机组集合，包括所有属于A机群的发电机组；N为发电机组集合，包括所有属于B机群的发电机组。
等值系统模型如式(13)所示。
| $ \left\{\begin{array}{l} \frac{\mathrm{d} \delta_{\mathrm{A}}}{\mathrm{d} t}=\Delta \omega_{\mathrm{A}} \omega_0 \\ H_{\mathrm{JA}} \frac{\mathrm{d} \Delta \omega_{\mathrm{A}}}{\mathrm{d} t}=P_{\mathrm{mA}}-P_{\mathrm{eA}} \\ \frac{\mathrm{d} \delta_{\mathrm{B}}}{\mathrm{d} t}=\Delta \omega_{\mathrm{B}} \omega_0 \\ H_{\mathrm{JB}} \frac{\mathrm{d} \Delta \omega_{\mathrm{B}}}{\mathrm{d} t}=P_{\mathrm{mB}}-P_{\mathrm{eB}} \\ P_{\mathrm{mA}}=\sum\limits_{i \in M} P_{\mathrm{m} i} \\ P_{\mathrm{mB}}=\sum\limits_{j \in N} P_{\mathrm{m} j} \\ P_{\mathrm{eA}}=-P_{\mathrm{eB}}=\frac{E_{\mathrm{A}} E_{\mathrm{B}}}{X_{\mathrm{eq}}} \sin \delta_{\mathrm{AB}} \end{array}\right. $ | (13) |
式中：HJA、HJB分别为机群A和B的等值惯量；PmA、PmB分别为机群A和B的等值驱动功率；PeA、PeB分别为机群A和B的等值制动功率；EA、EB分别为A机群和B机群等效电压；Xeq为等效传输阻抗。
采用EEAC确定的多机系统等效模型具有普适性，能够适用于现有的电网场景分析运算。
2 耦合特性量化指标频率动态-功角振荡耦合特性分析框架如图 8所示，分析流程可分为两步：频率动态与功角振荡特征的量化和耦合特性的量化分析。首先，对不同时空尺度下频率动态与功角振荡特征进行量化，构建功角振荡特征指表和频率动态特征指标。其次，依据构建指标进行耦合特性量化分析，基于频率动态与功角振荡特征量化指标，分析二者间耦合特征，评估二者的耦合强度。
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图 8 频率动态-功角振荡耦合特性分析框架 Fig. 8 Analysis framework of frequency dynamic and angle oscillation coupling characteristics |
功角振荡过程如图 9所示，将分为首摆阶段和首摆后趋于稳定阶段，量化功角振荡特征。
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图 9 扰动后发电机功角差变化轨迹 Fig. 9 Trajectory of angle difference after disturbance |
(1) 首摆摆幅。首摆摆幅Δδm能够直接反映系统受扰动后，机组间功角偏移程度。
| $ \Delta \delta_{\mathrm{m}}=\delta_{\mathrm{m}}-\delta_0 $ | (14) |
式中：δm为扰动后，系统中机组间功角偏移达到最大值，即首摆位置；δ0为系统扰动前机组间功角差。
(2) 振荡周期。系统发生扰动后，功角振荡速率快慢可由振荡周期表征，在分析时主要考虑首摆振荡过程，振荡周期可根据首摆振荡时间近似计算，如式(15)所示。
| $ \Delta T_{\mathrm{D}}=2\left(t_1-t_0\right) $ | (15) |
式中：t1为达到首摆位置时刻；t0为扰动时刻。
(3) 准稳态功角变化值。准稳态功角变化值为扰动前后机组运行点的位置偏移程度，能够反映系统的稳定运行能力，如式(16)所示。
| $ \Delta \delta_{\mathrm{ss}}=\delta_{\mathrm{ss}}-\delta_0 $ | (16) |
式中：δss为大扰动后机组间稳态功角差。
2.2 频率动态特征指标对频率动态特征分析，考虑到频率变化率k能够反映机组频率变化快慢；频率最大偏移量Δfmax反映扰动后机组频率最大偏移值；频率最大偏移量对应的延时量ΔTmax反映系统失稳速率；准稳态频率fss反映系统稳定运行新位置；机组间频率差ΔfAB, max反映扰动后机组间频率动态离散程度，频率动态特征指标如式(17)所示。
| $ \left\{\begin{array}{l} k=\frac{\Delta f_{\max 1}}{\Delta T_{\max 1}} \\ \Delta f_{\max }=f_0-f_{\min } \\ f_{\mathrm{ss}}=f_0-f_0^{\prime} \\ \Delta f_{\mathrm{AB}, \max }=\max \left|f_{\mathrm{A}}(t)-f_{\mathrm{B}}(t)\right| \end{array}\right. $ | (17) |
式中：Δfmax1为系统频率在首摆阶段局部最小值点；ΔTmax1为系统频率达到首摆阶段局部最小值点对应的延时量；f0为发生扰动前系统稳态频率值；fmin为振荡过程中频率最小值；f′0为发生扰动系统稳定后系统频率变化量；fA(t)、fB(t)分别为A机群和B机群惯性中心频率。
2.3 耦合强度评估指标频率动态与功角振荡指标耦合程度分析问题为离散变量相关性分析问题，文中采用相关系数法进行问题分析。常用的相关系数有：Pearson相关系数、Kendall相关系数和Spearman相关系数等。考虑到Pearson相关系数具备计算速度快，鲁棒性强的特点，采用Pearson相关系数法对功角振荡与频率动态的耦合程度进行分析，得到指标间的线性耦合关系，分析结果绝对值越接近于1，说明相关度越高，结果正负分别表示正相关性与负相关性。
Pearson相关系数计算如式(18)所示。
| $ r=\frac{\sum\limits_{g=1}^n\left(x_g-\bar{x}\right)\left(y_g-\bar{y}\right)}{\sqrt{\sum\limits_{g=1}^n\left(x_g-\bar{x}\right)^2 \sum\limits_{g=1}^n\left(y_g-\bar{y}\right)^2}} $ | (18) |
式中：n为样本数量；xg、yg为样本g的特征变量；x、y为样本均值；r的值域为[-1, 1]。
根据先验条件，将|r|在[0, 1]区间内划分6个区段表示xg和yg间的相关程度，划分结果见表 1。
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表 1 Pearson系数与相关程度 Table 1 Pearson coefficient and correlation degree |
依据上述提出的指标，提出两机群系统间功角振荡指标矩阵P和频率动态指标矩阵F分别如式(19)和式(20)所示。
| $ \boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll} \Delta \delta_{\mathrm{m}} & \Delta T_{\mathrm{D}} & \Delta \delta_{\mathrm{ss}} \end{array}\right] $ | (19) |
| $ \boldsymbol{F}=\left[\begin{array}{llllll} k_{\mathrm{A}} & \Delta f_{\operatorname{maxA}} & \Delta T_{\max } & k_{\mathrm{B}} & \Delta f_{\operatorname{maxB}} & \Delta T_{\operatorname{maxB}} & \Delta f_{\operatorname{maxAB}} & f_{\mathrm{ss}} \end{array}\right] $ | (20) |
式中：kA、kB分别为机群A和机群B的频率变化率；Δfmax、ΔfmaxB分别为机群A和机群B的频率最大偏移；ΔTmaxA、ΔTmaxB分别为机群A和机群B的频率最大偏移量对应的延时量。
两机群耦合强度评估矩阵如式(21)所示。
| $ \boldsymbol{R}=\left[\begin{array}{ccc} r_{11} & \cdots & r_{a 1} \\ \vdots & r_{l m} & \vdots \\ r_{1 b} & \cdots & r_{a b} \end{array}\right] $ | (21) |
式中：a为功角振荡指标矩阵P的列数；b为频率动态指标矩阵F的列数；rlm为P第l列元素和F第m列元素的耦合强度。
3 算例分析 3.1 算例参数设定以改进的英格兰IEEE 39节点系统为算例仿真分析。节点16、17间线路因维修需要断开连接。对系统等效分析，视为两机群，A机群包括G1、G2、G3、G8、G9和G10号6台发电机，依次在各机组设置观测点1—6，B机群包括G4、G5、G6和G7号4台发电机，依次在各机组设置观测点7—10。两机群通过节点15和16相连，仿真系统模型见图 10。
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图 10 改进的新英格兰10机39节点系统 Fig. 10 Modified New England 10-machine and 39-bus system |
扰动时刻为0.5 s，扰动位置为节点20与节点23，负荷增量为(100 MW，300 MW)、(200 MW，300 MW)、(200 MW，400 MW)、(500 MW，300 MW)、(500 MW，500 MW)、(500 MW，700 MW)、(700 MW，700 MW)、(900 MW，900 MW)，依次为模式1—8。负荷扰动为(700 MW，700 MW)时，各观测点频率及惯性频率中心变化分别如图 11、图 12所示。
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图 11 负荷突增时各观测点频率曲线 Fig. 11 Frequency curves of each observation point for the load surge |
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图 12 负荷突增时各机群频率曲线 Fig. 12 Frequency curves of each machine cluster for the load surge |
在进行耦合特性分析时，部分机组频率动态过程相近，文中在10个观测点中选择7个典型观测点(观测点1，3，5，6，8，9和10)展示仿真结果，重点关注分群后频率动态指标与功角振荡指标耦合关系。功角振荡指标及单机频率动态指标值见表 2、表 3。
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表 2 各机群功角振荡指标与频率动态指标变化情况 Table 2 Indexes of angle oscillation and frequency dynamic of each machine cluster |
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表 3 各观测点功角振荡指标与频率动态指标变化情况 Table 3 Indexes of angle oscillation and frequency dynamic of each observation point |
Δδm与Δδss随扰动量增大过程变化规律相同，由式(5)和式(10)可知，负荷水平增加，其等效阻抗表现为减小，系统频率首摆过程中最低点降低，功角振荡程度加剧，稳定时机组1向机组2传输功率增大，δss增大。ΔTD先基本保持不变，而后突降并随着扰动量增大而不断增大，这是由于Δδm较小时，振荡周期ΔTD随Δδm变化很小。采用小扰动分析方法分析，由式(5)和式(6)得线性化方程，如式(22)所示。
| $ \frac{\mathrm{d}^2 \Delta \delta}{\mathrm{d} t^2}+\omega_0\left(\frac{1}{H_{\mathrm{J} 1}}+\frac{1}{H_{\mathrm{J} 2}}\right) \frac{E_1^{\prime} E_2^{\prime}}{X_{\mathrm{L}}} \Delta \delta \cos \delta_0=0 $ | (22) |
式中：Δδ为δ的增量。
ΔTD计算见式(23)，可得ΔTD与功角振荡幅度无关，由初始功角值决定。
| $ \Delta T_{\mathrm{D}}=2 \pi / \sqrt{\omega_0\left(\frac{1}{H_{\mathrm{J} 1}}+\frac{1}{H_{\mathrm{J} 2}}\right) \frac{E_1^{\prime} E_2^{\prime}}{X_{\mathrm{L}}} \cos \delta_0} $ | (23) |
随着Δδm增大，小扰动分析方法误差逐渐增大，无法满足分析要求，由式(5)和式(6)可得式(24)。
| $ \frac{\mathrm{d}^2 \delta_{12}}{\mathrm{~d} t^2}=\left[P_{\mathrm{M}}+\frac{E_2^{\prime 2}}{H_{\mathrm{J} 2} \Delta R_{\mathrm{L}}}-\left(\frac{1}{H_{\mathrm{J} 1}}+\frac{1}{H_{\mathrm{J} 2}}\right) \frac{E_1^{\prime} E_2^{\prime}}{X_{\mathrm{L}}} \sin \delta_{12}\right] \times \omega_0 $ | (24) |
采用数值积分方法，依据式(24)分析得知，功角到达最大值的时间也不断增大，ΔTD不断增大。依据观测结果，按照式(17)得到两机群惯性中心的频率平均变化率、频率最大偏移及其对应的延时量，结果如表 2分群频率动态指标。Δδm与频率变化率k、频率最大偏移量Δfmax，延时量ΔTmax和两机群频率差的最大值ΔfAB, max呈正相关，与准稳态频率fss呈负相关。ΔTD与频率动态特征指标变化无明显相关，耦合程度低。频率动态特征指标与Δδss的相关性与Δδm相同，Δδss与频率动态特征指标的耦合强度低于Δδm。以kA和Δδm为例，拟合结果见图 13。
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图 13 Δ δm与频率变化率分析 Fig. 13 Δ δm and rate of change of frequency analysis |
通过耦合性分析，可将首摆摆幅滞后于频率变化率的变化特性，时移到同一时刻下进行分析。其余各项指标分析同理，可计算指标间耦合强度，耦合强度评估矩阵为：
| $ \boldsymbol{R}_{\text {load }}=\left[\begin{array}{ccc} -0.974 & -0.620 & -0.985 \\ 0.989 & 0.685 & 0.993 \\ 0.654 & 0.585 & 0.633 \\ -0.992 & -0.688 & -0.997 \\ 0.993 & 0.728 & 0.991 \\ 0.971 & 0.836 & 0.956 \\ -0.981 & -0.711 & -0.977 \\ 0.979 & 0.671 & 0.984 \end{array}\right] $ |
由耦合强度评估矩阵可得，Δδm与除ΔTmaxA、ΔTmaxi外的各频率动态特征指标均呈现线性关系，耦合程度强于ΔTD与Δδss。导致这一结果的原因为系统在首摆周期内达到频率最低点的时间是由发电机惯性时间常数、调速机惯性时间常数占据主导决定，当负荷增大时，其在首摆周期内达到频率最低点时刻略有增加。ΔTmaxA、ΔTmaxi为频率最大偏移量对应的延时量，在不同运行模式下，其位置会出现在第二振荡周期中，降低了与功角各指标间的耦合性。
3.2.2 短路故障设置三相短路故障0.5 s时刻发生，分别经0.04 s，0.06 s，0.1 s，0.15 s，0.25 s和0.4 s后切除故障，故障位置为单条输电线路，共计获得204种仿真结果。依据仿真结果分析，线路3-18、线路17-18和线路17-27故障时，系统符合二机振荡模式，以线路17-27故障为例分析，短路0.04 s后切除故障情况下机组响应曲线如图 14、图 15所示。
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图 14 各观测点频率曲线 Fig. 14 Frequency curves of each observation point |
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图 15 短路故障时各机群频率曲线 Fig. 15 Frequency curves of each machine cluster for the short circuit fault |
机群间的功角角振荡指标变化情况如图 16所示，选择7个典型观测点(观测点1、3、5、6、8、9、10)的频率动态指标结果进行展示，结果如图 17所示。
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图 16 短路故障时机群间功角振荡指标曲线 Fig. 16 Index curves of angle oscillation for the short circuit fault |
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图 17 典型观测点频率动态指标曲线 Fig. 17 Index curves of frequency dynamics at typical observation points |
由图 16分析可得，当发生短路扰动时，若不及时切除故障，系统继续运行过程中，故障量会持续变大，Δδm随切除时间增加而增大。振荡周期ΔTD变化较小，原因为若在短路故障发生后在机组功角振荡未达到首摆最大值之前时间区段内切除故障，随着切除时刻增大，ΔTD有所增加，切除故障时刻越接近首摆最大值时刻，ΔTD增量越少。在切除故障后，系统重新向稳定运行状态靠拢，达到新稳定状态后，功角Δδss由扰动前后拓扑状态决定，与故障切除时间关系较小。扰动后稳态功角δss与功角δ0大致相同，原因为仅有1条输电线路发生改变，拓扑结构变化小，对机群间主导联络线参数影响小，切除故障后机群间交换功率几乎不变。频率动态特征量的变化受首摆幅度Δδm影响程度较大，与稳态功角δss耦合性小。
由图 17可知，机组的频率变化率指标值与切除时刻关联性不大；频率最大偏移量随着切除时刻的增加而增加；延时量ΔTmax总趋势为随着切除时刻的增加而增加。以机组5为例进行分析，延时量ΔTmax在切除时刻较小时不具备规律性原因为机组间存在惯性差异。在0.1 s切除故障，系统频率偏差最大值出现在频率动态过程正向第二摆阶段，使得在0.1 s切除故障的ΔTmax大于0.15 s时刻。由以上分析可知，频率动态特征指标与首摆幅度Δδm耦合强度较大。
对机群惯性中心的频率动态指标分析，计算AB群的惯性中心频率动态特征指标值，如表 4所示。在不同时刻切除短路故障后，系统准稳态频率fss均为额定频率。
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表 4 扰动后各分群频率动态特征指标 Table 4 Indexes of frequency dynamic of each machine cluster |
计算频率动态与功角振荡耦合强度，耦合强度评估矩阵为：
| $ \boldsymbol{R}_{\text {short }}=\left[\begin{array}{ccc} -0.085 & -0.325 & -0.497 \\ 0.995 & 0.577 & 0.373 \\ 0.946 & 0.648 & 0.410 \\ 0.407 & 0.580 & -0.026 \\ 0.999 & 0.789 & 0.407 \\ 0.964 & 0.741 & 0.519 \\ 0.998 & 0.502 & 0.435 \\ -0.629 & -0.589 & -0.463 \end{array}\right] $ |
ΔTD与Δδss耦合性差，Δδm与频率动态特征指标耦合强度最高，但与kA、kB和fss耦合强度较低。造成这一结果的原因为：短路故障类型相同，系统频率变化率与故障切除时刻无关，由短路故障位置决定，系统频率变化率基本不变；系统的准稳态频率fss与切除故障后系统拓扑结构有关，与切除时刻无关。
综合上述分析可知，功角振荡指标中首摆摆幅Δδm与频率动态指标耦合强度最大。在不同运行状况下，Δδm与频率动态指标的耦合强度有所差别。上述两种运行情形下，首摆摆幅Δδm与两机群频率动态特征指标ΔfmaxA、ΔfmaxB以及ΔfAB, max耦合强度最大。由此可以得出功角振荡与频率动态特征间存在较强的线性耦合关系。
4 结论文中提出电力系统频率动态与功角振荡间耦合强度评估方法。以双机系统为例，分析扰动后系统频率动态与功角振荡的耦合运动机理；基于EEAC将耦合机理扩展至多机系统，扩展结果具有普适性；对频率动态与功角振荡特征分析，量化获取频率动态和功角振荡特征，提出耦合强度指标，分析耦合程度。
采用改进的39节点系统，设置负荷突增和短路故障两种情形，进行仿真分析，计算系统功角振荡和频率动态特征指标，定量评估二者间耦合强度。结果表明，频率动态特征指标与功角振荡特征指标的存在耦合关系，提出的指标体系能对耦合特征量量化，为电力系统频率-功角协调控制提供理论基础。
文中研究具有较高的拓展性，基于EEAC可将双机系统理论分析扩展至多机系统，提高理论普适性，为下一步分析电力电子装置的影响，开展双高电力系统频率动态与功角振荡耦合特性提供理论基础。
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