0 引言

在多属性群决策问题中，由于决策评价者自身犹豫或知识缺乏，其评价中往往存在着肯定、否定以及犹豫3个方面，针对这一现象，一些学者提出了直觉模糊集以及区间直觉模糊集，用以求解此类决策问题^[1-3].文献[4]借鉴理想点的求解思路提出了区间直觉模糊数表达的多属性群决策问题的相关系数求解方案，其集结权重运用熵法求得.文献[5]分析了经典区间直觉模糊集结算子，并给出了直觉模糊环境下的Hamacher集结算子，结合Hamacher算子的优势将其运用到多属性群决策问题中.文献[6]给出了区间直觉模糊表达下的连续最大熵权确定方法，结合经典集结算子求解多属性群决策问题.文献[7]给出了一种非犹豫得分函数，用以比较区间直觉模糊数的大小.这些方法采用不同技术确定区间或区间直觉模糊多属性群决策问题中的属性权重和专家权重指标，提供了问题求解的新方法与新思路.然而在实际决策中，除了要求专家给出标书的各个属性评价区间直觉模糊数外，还经常要求对决策对象进行初步的等级确定.这种初步评价信息反映了专家对评价的粗粒度偏好信息，在现实决策中具有重要的参考价值与决策意义.而现有的绝大多数多属性群决策的研究均基于决策矩阵，很少考虑此类问题.文献[8]首次将初步分级决策引入多属性群分级决策模型，设计了一种基于粒计算的多属性群决策模型，并计算出了具有解释意义的决策参数.现实生活中存在着大量的具有确定分级表达的区间直觉模糊多属性群决策问题，现有模型无法有效求解.

本文针对确定分级表达下的区间直觉模糊多属性群决策问题，提出一种基于粒计算的区间直觉模糊多属性群决策方法.最后给出人力资源管理实例说明所提方法的有效性与实用性.

1 基本概念 1.1 区间直觉模糊数

定义1^[2] 设X是一个非空集合, 则称$\tilde A = \{ \left\langle {x,{{\tilde \mu }_A}\left( x \right),{{\tilde \nu }_A}\left( x \right)} \right\rangle |x \in X\} $为区间直觉模糊集，其中${{\tilde \mu }_A}\left( x \right),{{\tilde \nu }_A}\left( x \right) \subseteq \left[ {0,1} \right]$，记为${{\tilde \mu }_A}\left( x \right) = \left[ {\underline {{\mu _A}} \left( x \right),\overline {{\mu _A}} \left( x \right)} \right],{{\tilde \nu }_A}\left( x \right) = [\underline {{\nu _A}} \left( x \right),\overline {{\nu _A}} \left( x \right)]$，满足条件$\overline {{\mu _A}} \left( x \right) + \overline {{\nu _A}} \left( x \right) \le 1$.为方便起见，称$\tilde \alpha = \left( {{{\tilde \mu }_\alpha },{{\tilde \nu }_\alpha }} \right) = ([\underline {{\mu _\alpha }} ,\overline {{\mu _\alpha }} \left] , \right[\underline {{\nu _\alpha }} ,\overline {{\nu _\alpha }} ])$为区间直觉模糊数，其中${{\tilde \mu }_\alpha },{{\tilde \nu }_\alpha }$的区间上界满足$\overline {{\mu _\alpha }} + \overline {{\nu _\alpha }} \le 1$.文献[1]给出了区间直觉模糊数的计算规则及各种权重集结算子，并给出了得分函数优先与相同比较精确函数的二次比较技术.然而这种比较方法仅能给出区间直觉模糊数的定性比较，区间直觉模糊数的定量比较也非常重要，这是在区间直觉模糊数表达的信息系统中获得对象之间优势关系的前提条件.

1.2 区间直觉模糊数集上的相对大于可能度

定义2 设$Int\_S = \{ {{\tilde \alpha }_1},{{\tilde \alpha }_2}, \ldots ,{{\tilde \alpha }_n}\} $是一个区间直觉模糊数构成的集合，其中${{\tilde \alpha }_i} = [\underline {{\mu _{{\alpha _i}}}} ,\overline {{\mu _{{\alpha _i}}}} \left] , \right[\underline {{\nu _{{\alpha _i}}}} ,\overline {{\nu _{{\alpha _i}}}} ]$. Int_S中${{\tilde \alpha }_i}$相对${{\tilde \alpha }_j}$的大于可能度为

(1)

其中： .

1.3 相对大于可能度性质

相对大于可能度考虑区间直觉模糊数集可能涉及范围，可以刻画不同程度的优势，是相对于当前判断而言的.同时，给定区间直觉模糊数集$Int\_S = \{ {{\tilde \alpha }_1},{{\tilde \alpha }_2}, \ldots ,{{\tilde \alpha }_n}\} $，相对大于可能度具有下面的性质.

性质1 $0 \le \rho ({{\tilde \alpha }_i} \ge {{\tilde \alpha }_j}) \le 1$(有界性).

证明 由定义2知大于可能度的计算项满足, 易得.同样地，，.由此得证.

性质2 $P\left( {{{\tilde \alpha }_i} \ge {{\tilde \alpha }_j}} \right) + P({{\tilde \alpha }_j} \ge {{\tilde \alpha }_i}) = 1$(互补性).

证明 从定义2计算易得.

性质3 若$P\left( {{{\tilde \alpha }_i} \ge {{\tilde \alpha }_j}} \right) \ge 1/2,P({{\tilde \alpha }_j} \ge {{\tilde \alpha }_k}) \ge 1/2$, 则$P({{\tilde \alpha }_i} \ge {{\tilde \alpha }_k}) \ge 1/2$(传递性).

证明 由$P({{\tilde \alpha }_i} \ge {{\tilde \alpha }_j}) \ge 1/2$和$P({{\tilde \alpha }_j} \ge {{\tilde \alpha }_k}) \ge 1/2$知

所以以上不等式左侧之和非负，故

性质4 $P\left( {{{\tilde \alpha }_i} \ge {{\tilde \alpha }_k}} \right) = P\left( {{{\tilde \alpha }_i} \ge {{\tilde \alpha }_j}} \right) + P({{\tilde \alpha }_j} \ge {{\tilde \alpha }_k}) - 1/2$(一致性).

证明 采用添补项的方法得

这4条性质表明新给出的相对大于可能度具有有界性、互补性，且满足max-max传递性及一致性.给定的区间直觉模糊数集$Int\_S = \{ {{\tilde \alpha }_1},{{\tilde \alpha }_2}, \ldots ,{{\tilde \alpha }_n}\} $，计算两两区间模糊数的优势关系构成模糊优势关系矩阵${(P({{\tilde \alpha }_i},{{\tilde \alpha }_j}))_{n \times n}}$，这个矩阵是互补加性模糊二元关系.文献[10]给出基于模糊二元关系的排序权重计算方法

$ {\lambda _i} = \frac{1}{n}\left( {\sum\limits_{j = 1}^n {P\left( {{{\tilde \alpha }_i},{{\tilde \alpha }_j}} \right)} + 1 - \frac{n}{2}} \right). $

(2)

1.4 优势粒结构相似度

设A={a₁, a₂, …, a_n}是n个对象，G={g₁, g₂, …, g_s}是s个等级且满足，g₁>g₂>…>g_s, f:A→G为从对象集到等级集合G的一个等级映射.每个映射可确定对象集上的一个优势粒结构为R_f={[a_i]^≥f|a_i∈A}, 其中[a_i]^≥f={a|f(a)≥f(a_i)}称为对象a在f下的优势粒结构.

不同的等级映射对应不同的粒结构，设f与f′是对象集A上的两个等级映射R_f和R_f′各自对应的优势粒结构.文献[9]定义一种优势粒结构相似度，可以精细描述等级映射的位置异同及差异.

定义3^[9] 设R_f={[a₁]^≥f, [a₂]^≥f, …, [a_n]^≥f}，R_f′={[a₁]^≥f, [a₂]^≥f, …, [a_n]^≥f}是集合A上的两个优势粒结构，R_f与R_f′之间的相似度为

$ sim\left( {{R_f},{R_{f'}}} \right) = \left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\log }_2}\frac{n}{{\left| {{{\left[ {{a_i}} \right]}^{ \ge f}} \cup {{\left[ {{a_i}} \right]}^{ \ge f'}}} \right|}}} } \right)/\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\log }_2}\frac{n}{{\left| {{{\left[ {{a_i}} \right]}^{ \ge f}} \cap {{\left[ {{a_i}} \right]}^{ \ge f'}}} \right|}}} } \right). $

(3)

若f与f′均为恒等映射，则规定sim(R_f, R_f′)=1.

定义3给定的相似度从取值范围、计算复杂性、位置敏感性方面均优于斯皮尔曼相关系数.可用来刻画数据取值序结构的敏感变化.

2 带确定分级偏好的区间直觉模糊多属性群决策模型描述

设A={a₁, a₂, …, a_n}(n>1)为评价对象集，E={e₁, e₂, …, e_l}(l>1)为专家集，C={c₁, c₂, …, c_m}(m>1)为评价属性集，d为初步分级决策属性.这里我们将专家e_k表达的确定分级区间直觉模糊评价系统表示为S^k={A, C, d, f^k}，其中f^k:A×(C∪{d})→II∪G是信息函数，且II是区间直觉模糊数集，G={g₁, g₂, …, g_s}为初步划分等级.

2.1 基于评价一致相似度的专家权重确定

第k个专家的初步分级评价信息可视为对象集上的等级映射，记为f_d^k:A×{d}→G，则涉及的l个专家的等级映射对应的优势粒结构分别为R_fd¹, R_fd², …, R_fd^l，则计算两两专家的初步评价的相似度矩阵为

$ \mathit{\boldsymbol{SM}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {sim\left( {{R_{f_d^1}},{R_{f_d^1}}} \right)}&{sim\left( {{R_{f_d^1}},{R_{f_d^2}}} \right)}& \cdots &{sim\left( {{R_{f_d^1}},{R_{f_d^l}}} \right)}\\ {sim\left( {{R_{f_d^2}},{R_{f_d^1}}} \right)}&{sim\left( {{R_{f_d^2}},{R_{f_d^2}}} \right)}& \cdots &{sim\left( {{R_{f_d^2}},{R_{f_d^l}}} \right)}\\ \vdots&\vdots &{}& \vdots \\ {sim\left( {{R_{f_d^l}},{R_{f_d^1}}} \right)}&{sim\left( {{R_{f_d^l}},{R_{f_d^1}}} \right)}& \cdots &{sim\left( {{R_{f_d^l}},{R_{f_d^l}}} \right)} \end{array}} \right). $

(4)

与其他专家评价一致性高的专家应获得比较高的权重，而评价与群体偏离的专家应赋予较低的权重，根据这一设定权重思想，设定专家e_k的权重为

$ {\rho ^k} = \left( {\sum\limits_{{k_1} = 1,{k_1} \ne k}^l {sim\left( {{R_{f_d^k}},{R_{f_d^k1}}} \right)} } \right)/\left( {\sum\limits_{{k_1} = 1}^l {\sum\limits_{{k_2} = 1,{k_2} \ne {k_1}}^l {sim\left( {{R_{f_d^k1}},{R_{f_d^k2}}} \right)} } } \right), $

(5)

其中$\sum\limits_{{k_1} = 1}^l {\sum\limits_{{k_2} = 1,{k_2} \ne {k_1}}^l {sim} } \left( {{R_{f_{{d^1}}^k}},{R_{f_{{d^2}}^k}}} \right)$为规范化系数，可将权重规范至[0, 1]区间，且满足$\sum\limits_{{k_1} = 1}^l {{\rho ^k}} = 1$.

2.2 一致最优属性权重确定

给定专家e^k评价系统S^k={A, C, d, f^k}，系统中既有专家在各个属性下的区间直觉模糊值定量评价，也有在决策属性下的定性等级评价.在实际决策过程中，相同属性在不同的专家看来具有不同的重要性，因此这里我们认为属性权重在不同的评价系统中应该具有相异性.设系统S^k中属性集C的权重向量记为W^k=(w₁^k, w₂^k, …, w_m^k)，下面设定属性权重使得评价结果与专家的初步评价结果保持一致.

系统S^k中，所有对象对A×A中的n×n个对象分为两类：占优类P_d^k={(a_i, a_j) f^k(a_i, d)>f^k(a_i, d)}和被占优类Q_d^k={(a_i, a_j) f^k(a_i, d) < f^k(a_i, d)}.根据实际意义，P_d^k=(Q_d^k)^-1占有类与被占有类之间具有关联性，在下列的模型中我们仅考虑被占优类. S^k中对象在属性c_j下的区间直觉模糊取值构成区间直觉模糊数集，根据第1节给出的区间直觉模糊相对大于度计算出相应的相对大于可能度矩阵为

$ \mathit{\boldsymbol{M}}_j^k = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {p_{11}^{k,j}}&{p_{12}^{k,j}}& \cdots &{p_{1n}^{k,j}}\\ {p_{21}^{k,j}}&{p_{22}^{k,j}}& \cdots &{p_{2n}^{k,j}}\\ \vdots&\vdots &{}& \vdots \\ {p_{n1}^{k,j}}&{p_{n1}^{k,j}}& \cdots &{p_{nn}^{k,j}} \end{array}} \right), $

(6)

其中：p_st^{k, j}=P(f^k(a_s, c_j), f^k(a_t, c_j)).设定属性权重，使得综合相对大于可能度与专家的初步评价尽可能一致，因此建立最优一致模型

$ \mathit{min}\;{B^k} = \sum\limits_{\left( {{a_s},{a_t}} \right) \in {Q^k}} {\sum\limits_{j = 1}^m {w_j^kp_{st}^{k,j}} } ,\;\;{\rm{s}}.\;{\rm{t}}.\;\;w_j^k \in \left[ {0,1} \right],\;\;\;\sum\limits_{j = 1}^m {{{\left( {w_j^k} \right)}^2}} = 1. $

(7)

根据以上模型可确定第k个专家的属性权重向量，在群决策中，l个专家就需要建立l个优化模型计算l组权重向量.求得不同专家属性的权重W^k=(w₁^k, w₂^k, …, w_m^k)后，将以上的各系统中不同属性下的区间直觉模糊相对大于度矩阵进行加权求和，有

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}^k} = \sum\limits_{j = 1}^m {w_j^k} \mathit{\boldsymbol{M}}_j^k. $

(8)

3 确定分级偏好的区间直觉模糊多属性群决策方法

基于优势粒结构相似度的专家权重，结合考虑每个专家初步分级判断的属性权重，我们给出具有确定分级偏好区间直觉模糊表达多属性群决策方法的计算步骤.

输入：l个专家的评价系统S^k=(A, C, d, f^k)(k=1, 2, …, l)；

输出：对象的排序向量及排序结果；

步骤1 计算每个评价系统下初步分级评价对应的优势粒结构R_fd^k(k=1, 2, …, l)；

步骤2 运用公式(3)和(4)计算专家评价一致矩阵SM；

步骤3 运用公式(5)计算专家权重(ρ¹, ρ², …, ρ^l)；

步骤4 根据公式(1)计算评价系统S^k(k=1, 2, …, l)中属性c_j(j=1, 2, …, m)下的区间直觉模糊数相对大于可能度矩阵M_j^k；

步骤5 根据公式(7)计算系统S^k(k=1, 2, …, l)中的属性权重向量W^k=(w₁^k, w₂^k, …, w_m^k)；

步骤6 根据公式(8)集结步骤5的权重向量与步骤4中大于可能度矩阵得M^k；

步骤7 结合步骤3中的专家权重计算得综合专家的大于可能度矩阵$\mathit{\boldsymbol{M = }}\sum\limits_{k = 1}^l {{\rho ^k}{\mathit{\boldsymbol{M}}^k}} $；

步骤8 根据公式(2)计算每个对象的综合排序向量.

4 人力资源管理求解实例

某企业欲从新聘任大学生中选择1人作为外联部门后备干部进行培养，召集4个部门的负责人对5名学生进行考评和选拔，这是一个多属性群决策问题，企业人力资源部门邀请4位专家(人事部门负责人e₁、HR猎头专家e₂、业务部门主任e₃和外联部门主任e₄)，对5个大学生(记为a₁, a₂, a₃, a₄, a₅)的基本情况进行评价.人员的评价指标涉及个人语言表达能力(c₁)、业务水平(c₂)、分析解决问题能力(c₃)、英文水平(c₄).各专家通过考核对5名人员在各个指标下给出区间直觉模糊数评价信息，对5个人的初级评价d分别设为：推荐(Y)、不推荐(N)、犹豫(U). 表 1~4为专家对各个人员的带初步分级决策信息的评价表.

运用第3节算法计算确定最后的靠近选拔结果.

步骤1 计算4个专家初步分级评价精确粒结构分别为

$ {R_{f_d^1}} = \left\{ {A,\left\{ {{a_2},{a_3}} \right\},\left\{ {{a_3}} \right\},A,A} \right\}, \cdots ,{R_{f_d^4}} = \left\{ {\left\{ {{a_1},{a_2}} \right\},\left\{ {{a_1},{a_2}} \right\},A,A,A} \right\}. $

步骤2 根据公式(3)和(4)，计算专家评价一致矩阵SM为$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {1.00}&{0.41}&{0.25}&{0.12}\\ {0.41}&{1.00}&{0.77}&{0.30}\\ {0.25}&{0.77}&{1.00}&{0.47}\\ {0.12}&{0.30}&{0.47}&{1.00} \end{array}} \right)$.

步骤3 根据公式(5)计算专家的权重分别为ρ¹=0.17, ρ²=0.32, ρ³=0.32, ρ¹=0.19.

步骤4 需计算4个评价系统中4个属性下的区间直觉模糊大于可能度矩阵M^{k, j}, 分别为

$ \mathit{\boldsymbol{M}}_1^1 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.50}&{0.88}&{0.44}&{0.94}&{0.79}\\ {0.12}&{0.50}&{0.63}&{0.56}&{0.42}\\ {0.56}&{0.37}&{0.50}&{1.00}&{0.85}\\ {0.06}&{0.44}&{0.00}&{0.50}&{0.35}\\ {0.21}&{0.58}&{0.15}&{0.65}&{0.50} \end{array}} \right), \cdots ,\mathit{\boldsymbol{M}}_4^4 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.50}&{0.00}&{0.30}&{0.30}&{0.00}\\ {1.00}&{0.50}&{0.80}&{0.80}&{0.50}\\ {0.70}&{0.20}&{0.50}&{0.50}&{0.20}\\ {0.70}&{0.25}&{0.50}&{0.50}&{0.20}\\ {1.00}&{0.50}&{0.80}&{0.80}&{0.50} \end{array}} \right). $

步骤5 根据以上16个相对大于可能度矩阵，建立优化模型计算4个系统中属性权重分别为

$ {\mathit{\boldsymbol{W}}^1} = \left( {0.31,0.22,0.29,0.18} \right),{\mathit{\boldsymbol{W}}^2} = \left( {0.23,0.28,0.22,0.28} \right), $

步骤6 结合步骤5权重对大于可能度矩阵进行集结得到

$ {\mathit{\boldsymbol{W}}^3} = \left( {0.21,0.26,0.24,0.29} \right),{\mathit{\boldsymbol{W}}^4} = \left( {0.15,0.33,0.29,0.23} \right). $

步骤7 结合专家权重得对象的大于可能度矩阵

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}^1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.50}&{0.31}&{0.30}&{0.50}&{0.53}\\ {0.67}&{0.50}&{0.49}&{0.69}&{0.71}\\ {0.70}&{0.51}&{0.50}&{0.70}&{0.72}\\ {0.50}&{0.31}&{0.30}&{0.50}&{0.53}\\ {0.47}&{0.29}&{0.28}&{0.47}&{0.50} \end{array}} \right), \cdots ,{\mathit{\boldsymbol{M}}^4} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {0.50}&{0.34}&{0.40}&{0.52}&{0.40}\\ {0.66}&{0.50}&{0.56}&{0.67}&{0.56}\\ {0.60}&{0.44}&{0.50}&{0.61}&{0.50}\\ {0.48}&{0.32}&{0.39}&{0.50}&{0.39}\\ {0.60}&{0.44}&{0.50}&{0.61}&{0.50} \end{array}} \right). $

步骤8 根据公式(2)计算得5个对象的排序分量是0.214 3, 0.213 5, 0.224 7, 0.180 8, 0.166 7，因此可知a₃>a₁>a₂>a₄>a₅.

群决策的结果是a₃综合评价为第一.与文献[5-8]相比，提出的方法在预备阶段将区间直觉模糊数的表达转化为评价表达下的大于可能度矩阵，通过对象的相对比较信息建立模型获得对象序.该算法不依赖于直觉模糊算子的集结方法，不需要决策者提前给定权重，是一种纯客观评价数据驱动的新方法.

5 总结

本文针对评价信息为区间直觉模糊信息的多属性群决策问题，提出一种数据驱动，无需决策者表达权重偏好信息的客观方法.该模型能够将决策数据与专家粗粒度的初步分级评价信息有效结合，无论属性还是专家权重，均从数据出发计算一致度确定客观权重，最优模型有机结合了评价数据与专家的主观分级偏好.实例计算说明模型是有效的.