0 引言

由于人类思维的模糊性以及客观事物的复杂性, 仅仅使用数值通常不能有效、准确地描述决策者的偏好。基于文献[1-3]提出的语言变量, 决策者可以用“差”“中等”“好”等语言项来更准确地表达决策者的直觉与偏好。目前, 语言变量已经成为处理定性信息的一个有用工具, 其应用涵盖决策分析、信息检索、风险评估等领域。基于扩展原理的语言变量计算模型具有简洁与直接的优点, 但在计算过程中存在信息损失和失真^[4]。为了解决这个问题, 文献[5]提出了二元语义变量及其相关的运算法则, 该变量是由一个语言项和一个在[－0.5, 0.5)范围内的实数组成, 可以有效地减少计算过程中的信息损失。然而, 单纯使用单个二元语义变量^[6]难以刻画决策过程中决策者的犹豫性。为了处理这种情况, 文献[7]引入了犹豫二元语义变量(s_i, β_ij), 其中β_ij用来表达决策者的犹豫程度。文献[8]设计了一种面向犹豫二元语义变量的评价方法, 利用聚合算子求出各方案的综合评价值, 并通过计算犹豫二元语义变量的均值和方差来进行方案的排序。文献[9]引入了犹豫二元语义模糊集的概念, 它是二元语义变量的推广形式。

信息融合是多属性决策的一个重要环节, 在某些决策背景下, 应采取不同的聚合算子来集结决策者复杂的偏好评价值。目前, 已有多种类型的二元语义聚合算子被构建。文献[9]提出了犹豫二元语义Einstein加权平均相关聚合算子, 该算子基于Einstein t-范数和s-范数解决了现有算子的粒度和逻辑问题。文献[10]提出了推广的二元语义混合加权几何平均算子。为了表示聚合过程中属性之间的相互依赖性, 文献[11]提出Bonferroni平均(BM)算子, BM算子可以考虑任意2个属性之间的相互关系, 但忽略了属性与其自身之间的依赖性。文献[12]提出了Heronian平均(HM)算子, 可以有效地解决BM算子存在的不足。在实际的决策过程中, 人们经常会遇到需要在属性分类的基础上进行决策的情况。例如, 当选择供应商时会考虑一些属性因素, 如产品成本C₁、产品质量C₂、售后服务水平C₃、供应商供货能力C₄。上述4个因素根据考察对象可以分为2个部分:第一部分P₁={C₁, C₂}, 第二部分P₂={C₃, C₄}。也就是说同一部分中的属性相互关联性较大, 不同部分中的属性相互独立。显然, HM算子无法处理这类决策问题, 由此文献[13-14]提出了划分Heronian平均(PHM)算子。基于犹豫二元语义模糊集的思想, 本文首先利用PHM算子且考虑不同属性子集中属性的相互关系, 构建了划分犹豫二元语义模糊Heronian平均(P2TLHFHM)算子。在所提出算子的基础上, 设计了一种基于犹豫二元语义评价信息的决策方法, 最后用实例验证了该方法的可行性和灵活性。

1 相关概念 1.1 犹豫二元语义变量

文献[5]提出了二元语义变量(s_p, α_p), 其中s_p是语言术语集S={s_p|p=0, 1, …, l}中的元素, α_p表示实数且α_p∈[－0.5, 0.5)。

定义1^[5]  设S={s_p|p=0, 1, …, l}是一个语言术语集, 定义函数Δ将β∈[0, 1]转换为二元语义变量,

$ \Delta :[0,l] \to S \times [ - 0.5,0.5), $

$ \Delta (\beta ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{s_p},p = {\rm{round}} (\beta ),}\\ {{\alpha _p} = \beta - p,{\alpha _p}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} [ - 0.5,0.5),} \end{array}} \right. $

式中:round(·)为取整算子; s_p是距β最近的语言项。反之, 二元语义变量(s_p, α_p)可运用函数Δ^－1转化成等价的实数β,

$ {\Delta ^{ - 1}}:S \times [ - 0.5,0.5) \to [0,l], $

$ {\Delta ^{ - 1}}:({s_p},{\alpha _p}) = p + {\alpha _p} = \beta 。$

定义2^[9]  设Sf={(s_p, α_p)|p=0, 1, …, l}是一个二元语义集, 则称LH_i为集合Sf上的一个犹豫二元语义模糊集, 简写为2-TLHFS, 其定义为

$ L{H_i} = \{ \langle ({s_{{\theta _i}}},{\alpha _{{\theta _i}}}), lh ({s_{{\theta _i}}},{\alpha _{{\theta _i}}})\rangle |\ {\theta _i}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \{ 1, \cdots ,|\partial (L{H_i})|\} ,({s_{{\theta _i}}},{\alpha _{{\theta _i}}}) \in Sf\} , $

式中:|$\partial $(LH_i)|表示$\partial $(LH_i)={(s_θi, α_θi)|〈(s_θi, α_θi), lh_θi〉∈LH_i, lh_θi≠{0}}的势; lh(s_θi, α_θi)={r₁, r₂, …, r_mi}, 表示LH_i中元素属于(s_θi, α_θi)的m_i个隶属度的集合。为简单表达, 下文将用LH_i={〈(s_θi, α_θi), lh_θi〉|θ_i∈{1, …, |$\partial $(LH_i)|}}来表示2-TLHFS, 其中lh_θi=lh(s_θi, α_θi)={r₁, r₂, …, r_mi}。

定义3^[9]  设LH是定义在Sf={(s_p, α_p)|p=0, 1, …, l}上的1个2-TLHFS, 称F(LH)为LH的期望函数, 且

$ F(LH) = \frac{1}{{|\partial (LH)|}}(\sum\limits_{{\theta _i} = 1}^{\left| {\partial (LH)} \right|} {\frac{{{\Delta ^{ - 1}}({s_{{\theta _i}}},{\alpha _{{\theta _i}}})}}{{| lh ({s_{{\theta _i}}},{\alpha _{{\theta _i}}})|}}(\sum\limits_{r{\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\kern 1pt} {\kern 1pt} l{h_{{\theta _i}}}} r ))} , $

式中:|lh(s_θi, α_θi)|表示集合lh(s_θi, α_θi)的势。

定义4^[9]  设LH是定义在Sf={(s_p, α_p)|p=0, 1, …, l}上的1个2-TLHFS, 称K(LH)为LH的方差函数, 且

$ K(LH) = \frac{1}{{|\partial (LH)|}}(\sum\limits_{{\theta _i} = 1}^{|\partial (LH)|} {(\frac{{{\Delta ^{ - 1}}({s_{{\theta _i}}},{\alpha _{{\theta _i}}})}}{{| lh ({s_{{\theta _i}}},{\alpha _{{\theta _i}}})|}}(} \sum\limits_{r{\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\kern 1pt} {\kern 1pt} lh{ _{{\theta _i}}}} r ) - F(LH){)^2})。$

定义5^[9]  令LH₁和LH₂表示2个2-TLHFSs, 其比较规则为:①若F(LH₁) < F(LH₂), 则有LH₁$ \prec $LH₂。②若F(LH₁)=F(LH₂), 则有(a)当K(LH₁) < K(LH₂)时, 则LH₁$ \succ $LH₂; (b)当K(LH₁)>K(LH₂)时, 则LH₁$ \prec $LH₂; (c)当K(LH₁)=K(LH₂)时, 则LH₁~LH₂。

1.2 2-TLHFSs的运算法则

基于文献[9], 定义了2-TLHFSs的运算法则, 且为简单表达, 令Δ^－1(s_θi, α_θi)=Δ^－1_θi。

定义6  LH₁和LH₂表示任意2个2-TLHFSs, 运算法则定义如下(其中λ>0)。

(1) $L{H_1} \oplus L{H_2} = \bigcup\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {\left\langle {\left( {{s_{{\theta _i}}}, {\alpha _{{\theta _i}}}} \right), l{h_{{\theta _i}}}} \right\rangle \in L{H_1}, }\\ {\left\langle {\left( {{s_{{\theta _j}}}, {\alpha _{{\theta _j}}}} \right), l{h_{{\theta _j}}}} \right\rangle \in L{H_2}} \end{array}} {\left\{ {\left\langle {\mathit{\Delta }\left( {\mathit{\Delta }_{{\theta _i}}^{ - 1} + \mathit{\Delta }_{{\theta _j}}^{ - 1}} \right)} \right.} \right., \bigcup\limits_{{r_i} \in l{h_{{\theta _i}}}, {r_j} \in l{h_{{\theta _j}}}} {\left. {\left. {\left( {1 - \left( {1 - {r_i}} \right)\left( {1 - {r_j}} \right)} \right)} \right\rangle } \right\};} } $

(2) $L{H_1} \otimes L{H_2} = \bigcup\limits_{\begin{array}{*{20}{c}} {\left\langle {\left( {{s_{{\theta _i}}}, {\alpha _{{\theta _i}}}} \right), l{h_{{\theta _i}}}} \right\rangle \in L{H_1}, }\\ {\left\langle {\left( {{s_{{\theta _j}}}, {\alpha _{{\theta _j}}}} \right), l{h_{{\theta _j}}}} \right\rangle \in L{H_2}} \end{array}} {\left\{ {\left\langle {\mathit{\Delta }\left( {\mathit{\Delta }_{{\theta _i}}^{ - 1} \times \mathit{\Delta }_{{\theta _j}}^{ - 1}} \right), } \right.} \right.} \bigcup\limits_{{r_i} \in l{h_{{\theta _i}}}, {r_j} \in l{h_{{\theta _j}}}} {\left. {\left. {{r_i}{r_j}} \right\rangle } \right\};} $

(3) $\lambda L{H_1} = \bigcup\limits_{\left\langle {\left( {{s_{{\theta _i}}}, {\alpha _{{\theta _i}}}} \right), l{h_{{\theta _i}}}} \right\rangle \in L{H_1}} {\left\{ {\left\langle {\Delta \left( {\lambda \Delta _{{\theta _i}}^{ - 1}} \right)} \right.} \right.} , \bigcup\limits_{{r_i} \in l{h_{{\theta _i}}}} {\left. {\left. {\left( {1 - {{\left( {1 - {r_i}} \right)}^\lambda }} \right)} \right\rangle } \right\}} ;$

(4) $LH_1^\lambda = \bigcup\limits_{\left\langle {\left( {{s_{{\theta _i}}}, {\alpha _{{\theta _i}}}} \right), l{h_{{\theta _i}}}} \right\rangle \in L{H_1}} {\left\{ {\left\langle {\mathit{\Delta }{{\left( {\mathit{\Delta }_{{\theta _i}}^{ - 1}} \right)}^\lambda }, \bigcup\limits_{{r_i} \in l{h_{{\theta _i}}}} {r_i^\lambda } } \right\rangle } \right\}} $。

定理1  LH₁、LH₂和LH₃表示3个2-TLHFSs, 则如下性质成立(其中λ, λ₁, λ₂>0)。

(1) LH₁⊕LH₂=LH₂⊕LH₁;

(2) LH₁⊗LH₂=LH₂⊗LH₁;

(3) λ(LH₁⊕LH₂)=λLH₁⊕λLH₂;

(4) (LH₁⊗LH₂)^λ=LH₁^λ⊗LH₂^λ;

(5) (λ₁+λ₂)LH₁=λ₁LH₁⊕λ₂LH₁;

(6) LH₁^λ₁+λ₂=LH₁^λ₁⊗LH₁^λ₂;

(7) (LH₁⊕LH₂)⊕LH₃=LH₁⊕(LH₂⊕LH₃);

(8) (LH₁⊗LH₂)⊗LH₃=LH₁⊗(LH₂⊗LH₃)。

2 划分犹豫二元语义模糊HM算子

文献[13-14]提出的PHM算子将所有属性划分为若干部分, 同一部分中的属性相互关联, 不同部分中的属性相互独立, 并考虑属性之间的相互依赖关系。本节在犹豫二元语义模糊信息背景下构建划分犹豫二元语义模糊Heronian平均(P2TLHFHM)算子, 同时讨论了该算子的一些性质和特殊形式。

定义7  设LH₁, LH₂, …, LH_n是定义在二元语义集Sf上的n个2-TLHFSs, 被划分为d个不同部分P₁, P₂, …, P_d, 其中P_h={LH_h1, LH_h2, …, LH_h3}(h=1, 2, …, d), $\sum\limits_{h = 1}^d {\left| {{P_h}} \right|} = n$且|P_h|表示P_h的势, 对于任意的p, q>0, P2TLHFHM算子定义为

$ {\rm{P2TLHFH}}{{\rm{M}}^{p,q}}(L{H_1},L{H_2}, \cdots ,L{H_n}) = \frac{1}{d}\sum\limits_{h = 1}^d {(\frac{2}{{|{P_h}|(|{P_h}| + 1)}}\mathop \oplus \limits_{i = 1,j = i}^{|{P_h}|} (} L{H_{hi}}^p \otimes L{H_{hj}}^q{)^{\frac{1}{{p + q}}}})。$

定理2  设LH₁, LH₂, …, LH_n是定义在二元语义集Sf上的n个2-TLHFSs, 定义7中P2TLHFHM算子的聚合结果为

$ \begin{array}{l} {\rm{P2TLHFH}}{{\rm{M}}^{p,q}}(L{H_1},L{H_2}, \cdots ,L{H_n}) = \\ \mathop \cup \limits_{\begin{array}{*{20}{l}} {\langle ({s_{{\theta _1}}},{\alpha _{{\theta _1}}}),l{h_{{\theta _1}}}\rangle {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\kern 1pt} {\kern 1pt} L{H_1}, \cdots ,}\\ {\langle ({s_{{\theta _n}}},{\alpha _{{\theta _n}}}),l{h_{{\theta _n}}}\rangle {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\kern 1pt} {\kern 1pt} L{H_n}} \end{array}} \left\{ {\left\langle {\Delta \left( {\frac{1}{d}\sum\limits_{h = 1}^d ( \frac{2}{{|{P_h}|(|{P_h}| + 1)}}\sum\limits_{i = 1,j = i}^{|{P_h}|} {{{(\Delta _{hi}^{ - 1})}^p}} {{(\Delta _{hj}^{ - 1})}^q}{)^{\frac{1}{{p + q}}}}} \right),\mathop \cup \limits_{{r_1}{\kern 1pt} \in {\kern 1pt} l{h_{{\theta _1}}}, \cdots ,{r_n}{\kern 1pt} \in {\kern 1pt} l{h_{{\theta _n}}}} (1 - {{(\prod\limits_{h = 1}^d {(1 - c_1^{\frac{1}{{p + q}}})} )}^{\frac{1}{d}}})} \right\rangle } \right\}, \end{array} $

式中:${c_1} = 1 - {\left( {\prod\limits_{i = 1, j = i}^{\left| {{P_h}} \right|} {\left( {1 - r_{hi}^pr_{hj}^q} \right)} } \right)^{\frac{2}{{\left| {{P_h}} \right|\left( {\left| {{P_h}} \right| + 1} \right)}}}}$。

定理3  设LH₁, LH₂, …, LH_n是定义在二元语义集Sf上的n个2-TLHFSs, P2TLHFHM算子有以下性质。

(1) (单调性)若LH_i=〈(s_θi, α_θi), lh_θi〉和LH_i^*=〈(s^*_θi, α^*_θi), lh^*_θi〉(i=1, 2, …, n)是2个2-TLHFSs, 如果对于任意的i, 有(s_θi, α_θi)≥(s^*_θi, α^*_θi)和lh_θi≥lh^*_θi, 则

$ {\rm{P2TLHFH}}{{\rm{M}}^{p,q}}(L{H_1},L{H_2}, \cdots ,L{H_n}) \ge {\rm{P2TLHFH}}{{\rm{M}}^{p,q}}(LH_1^ * ,LH_2^ * , \cdots ,LH_n^ * )。$

(2) (有界性)若LH_i=〈(s_θi, α_θi), lh_θi〉, 且

$ LH_i^ + = \mathop \cup \limits_{\langle ({s_{{\theta _i}}},{\alpha _{{\theta _i}}}),l{h_{{\theta _i}}}\rangle {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\kern 1pt} {\kern 1pt} L{H_i}} \{ \langle {\rm{max}} \{ \Delta ({s_{{\theta _i}}},{\alpha _{{\theta _i}}})\} ,\mathop \cup \limits_{{r_i}{\kern 1pt} \in {\kern 1pt} lh{ _{{\theta _i}}}} {\rm{max}} \{ {r_i}\} \rangle \} , $

$ LH_i^ - = \mathop \cup \limits_{\langle ({s_{{\theta _i}}},{\alpha _{{\theta _i}}}),l{h_{{\theta _i}}}\rangle {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\kern 1pt} {\kern 1pt} L{H_i}} \{ \langle {\rm{min}} \{ \Delta ({s_{{\theta _i}}},{\alpha _{{\theta _i}}})\} ,\mathop \cup \limits_{{r_i}{\kern 1pt} \in {\kern 1pt} lh{ _{{\theta _i}}}} {\rm{min}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \{ {r_i}\} \rangle \} , $

则

$ \begin{array}{l} {\rm{P2TLHFH}}{{\rm{M}}^{p,q}}(LH_1^ + ,LH_2^ + , \cdots ,LH_n^ + ) \ge {\rm{P2TLHFH}}{{\rm{M}}^{p,q}}(L{H_1},L{H_2}, \cdots ,L{H_n}) \ge \\ {\rm{P2TLHFH}}{{\rm{M}}^{p,q}}(LH_1^ - ,LH_2^ - , \cdots ,LH_n^ - )。\end{array} $

(3) (交换性)若LH_i′是LH_i(i=1, 2, …, n)的1个置换, 则

$ {\rm{ P2TLHFHM}}{{\rm{ }}^{p,q}}\left( {L{H_{{1^\prime }}},L{H_{{2^\prime }}}, \cdots ,L{H_{{n^\prime }}}} \right) = {\rm{ P2TLHFHM}}{{\rm{ }}^{p,q}}\left( {L{H_1},L{H_2}, \cdots ,L{H_n}} \right)。$

当参数p和q取不同值时, 可以获得P2TLHFHM算子的一些特殊形式, 如下所示。

(ⅰ)当q→0时, 有

$ \begin{array}{l} {\rm{P2TLHFH}}{{\rm{M}}^{p,0}}(L{H_1},L{H_2}, \cdots ,L{H_n}) = \\ \mathop \cup \limits_{\begin{array}{*{20}{l}} {\langle ({s_{{\theta _1}}},{\alpha _{{\theta _1}}}),l{h_{{\theta _1}}}\rangle {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\kern 1pt} {\kern 1pt} L{H_1}, \cdots ,}\\ {\langle ({s_{{\theta _n}}},{\alpha _{{\theta _n}}}),l{h_{{\theta _n}}}\rangle {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\kern 1pt} {\kern 1pt} L{H_n}} \end{array}} \left\{ {\left\langle {\Delta \left( {\frac{1}{d}\sum\limits_{h = 1}^d ( \frac{2}{{|{P_h}|(|{P_h}| + 1)}}\sum\limits_{i = 1}^{|{P_h}|} {{{(\Delta _{hi}^{ - 1})}^p}} {)^{\frac{1}{p}}}} \right),\mathop \cup \limits_{{r_1}{\kern 1pt} \in {\kern 1pt} l{h_{{\theta _1}}}, \cdots ,{r_n}{\kern 1pt} \in {\kern 1pt} l{h_{{\theta _n}}}} (1 - {{(\prod\limits_{h = 1}^d {(1 - c_2^{\frac{1}{p}})} )}^{\frac{1}{d}}})} \right\rangle } \right\}, \end{array} $

式中:${c_2} = 1 - {\left( {\prod\limits_{i = 1}^{\left| {{P_h}} \right|} {\left( {1 - r_{hi}^p} \right)} } \right)^{\frac{2}{{\left| {{P_h}} \right|\left( {\left| {{P_h}} \right| + 1} \right)}}}}$。

(ⅱ)当p=1, q=1时, 有

$ \begin{array}{l} {\rm{P2TLHFH}}{{\rm{M}}^{1,1}}(L{H_1},L{H_2}, \cdots ,L{H_n}) = \\ \mathop \cup \limits_{\begin{array}{*{20}{l}} {\langle ({s_{{\theta _1}}},{\alpha _{{\theta _1}}}),l{h_{{\theta _1}}}\rangle {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\kern 1pt} {\kern 1pt} L{H_1}, \cdots ,}\\ {\langle ({s_{{\theta _n}}},{\alpha _{{\theta _n}}}),l{h_{{\theta _n}}}\rangle {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\kern 1pt} {\kern 1pt} L{H_n}} \end{array}} \left\{ {\left\langle {\Delta \left( {\frac{1}{d}\sum\limits_{h = 1}^d ( \frac{2}{{|{P_h}|(|{P_h}| + 1)}}\sum\limits_{i = 1,j = i}^{|{P_h}|} {\Delta _{hi}^{ - 1} \cdot \Delta _{hj}^{ - 1}} {)^{\frac{1}{2}}}} \right),\mathop \cup \limits_{{r_1}{\kern 1pt} \in {\kern 1pt} l{h_{{\theta _1}}}, \cdots ,{r_n}{\kern 1pt} \in {\kern 1pt} l{h_{{\theta _n}}}} (1 - {{(\prod\limits_{h = 1}^d {(1 - c_3^{\frac{1}{2}})} )}^{\frac{1}{d}}})} \right\rangle } \right\}, \end{array} $

式中:${c_3} = 1 - {\left( {\prod\limits_{i = 1, j = i}^{\left| {{P_h}} \right|} {\left( {1 - {r_{hi}}{r_{hj}}} \right)} } \right)^{\frac{2}{{\left| {{P_h}} \right|\left( {\left| {{P_h}} \right| + 1} \right)}}}}$。

3 犹豫二元语义模糊信息多属性决策方法

对某一多属性决策问题, 方案集为A={A₁, A₂, …, A_m}(i=1, 2, …, m), 属性集为C={C₁, C₂, …, C_n}(j=1, 2, …, n)。H=(LH_ij)_m×n为犹豫二元语义模糊矩阵, 且LH_ij表示方案A_i相对于属性C_j的犹豫二元语义评价值。本文在P2TLHFHM算子的基础上, 提出了一种在犹豫二元语义模糊环境下求解多属性决策问题的方法, 具体步骤如下。

步骤1  构建犹豫二元语义模糊矩阵H=(LH_ij)_m×n(i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n), 并按照某种原则将属性C_j划分为d个不同部分P₁, P₂, …, P_d, 其中${P_h} = \left\{ {{C_{h1}}, {C_{h2}}, \cdots , {\mathit{C}_\mathit{h}}_{\left| {{P_h}} \right|}} \right\}, \sum\limits_{h = 1}^d {\left| {{P_h}} \right|} = n$且|P_h|表示P_h的势(h=1, 2, …, d)。

步骤2  规范化犹豫二元语义模糊决策矩阵H=(LH_ij)_m×n, 即

$ \overline {L{H_{ij}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {L{H_{ij}},}&{{C_j}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\rm{ }}{\kern 1pt} {\kern 1pt} \ {\rm{效益属性, }}}\\ {LH_{ij}^c,}&{{C_j}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} \in {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{ 成本属性, }}} \end{array}} \right. $

式中:$LH_{ij}^c = \left\{ {\left\langle {\mathit{\Delta }\left( {l - {\mathit{\Delta }^{ - 1}}\left( {{s_{{\theta _{ij}}}}, {\alpha _{{\theta _{ij}}}}} \right)} \right), \bigcup\limits_{{r_{ij}} \in \mathit{l}{\mathit{n}_{{\theta _{jj}}}}} {\left( {1 - {r_{ij}}} \right)} } \right\rangle |\left( {{s_{{\theta _{ij}}}}, {\alpha _{{\theta _{ij}}}}} \right) \in Sf} \right\}$。

步骤3  利用P2TLHFHM算子将犹豫二元语义模糊决策矩阵H=(LH_ij)_m×n进行聚合, 得到各个方案的综合评价值LH_i(i=1, 2, …, m)。

步骤4  根据定义3、定义4, 计算LH_i(i=1, 2, …, m)的期望函数值和方差函数值, 利用定义5, 对方案A_i(i=1, 2, …, m)进行排序, 获得最优方案。

4 实例分析 4.1 实际问题

某货物公司通过货物易保存特性C₁、货物的包装C₂、港口服务水平C₃以及港口地理位置C₄共4个评估标准来进行港口选择。通过调查和分析评估标准的相互关系, 本文将评估标准分为P₁={C₁, C₂}和P₂={C₃, C₄}来评估3个港口{A₁, A₂, A₃}。公司根据语言术语集S={s₀=极差, s₁=非常差, s₂=差, s₃=较差, s₄=均等, s₅=较好, s₆=好, s₇=非常好, s₈=极好}给出评价值。具体步骤如下。

步骤1  构建犹豫二元语义模糊矩阵H=(LH_ij)_m×n(i=1, 2, …, m; j=1, 2, …, n), 如表 1所示。由于每个评价标准C_j(j=1, 2, …, n)都是效益属性类型, 因此不需要对决策矩阵进行规范化。

步骤2  用P2TLHFHM算子对矩阵H中的评价值进行集结, 当p=q=1时, 结果为LH₁=P2TLHFHM^{1, 1}(LH₁₁, LH₁₂, LH₁₃)={〈(s₃, 0.321 9), 0.557 0, 0.526 1, 0.482 5, 0.508 2〉, 〈(s₃, 0.468 1), 0.499 3, 0.549 0, 0.473 2, 0.517 5〉, 〈(s₃, 0.468 1), 0.608 6, 0.565 6, 0.542 9, 0.581 3〉, 〈(s₄, －0.389 4), 0.595 2, 0.550 7, 0.527 2, 0.567 0〉}; LH₂=P2TLHFHM^{1, 1}(LH₂₁, LH₂₂, LH₂₃)={〈(s₃, 0.472 1), 0.533 9, 0.457 5, 0.434 4, 0.500 9, 0.430 2, 0.383 8〉, 〈(s₄, －0.381 7), 0.501 9, 0.420 1, 0.395 5, 0.466 5, 0.391 0, 0.341 5〉}; LH₃=P2TLHFHM^{1, 1}(LH₃₁, LH₃₂, LH₃₃)={〈(s₃, 0.468 1), 0.456 7, 0.433 5, 0.385 1, 0.410 2〉, 〈(s₄, －0.382 5), 0.477 7, 0.518 8〉, 〈(s₄, －0.389 7), 0.381 4, 0.355 0, 0.327 7, 0.355 2, 0.362 6, 0.335 4, 0.312 6, 0.340 7〉, 〈(s₄, －0.240 4), 0.452 2, 0.429 0, 0.416 2, 0.435 5〉}。

步骤3  求LH_i(i=1, 2, 3)的期望函数值, 可得F(LH₁)=1.876 5, F(LH₂)=1.551 8, F(LH₃)=1.512 2。

步骤4  根据定义5可得A₁$ \succ $A₂$ \succ $A₃。

因此, 最佳方案是港口A₁。

4.2 参数p和q的影响

p和q的取值对P2TLHFHM算子排序结果的影响如表 2所示。表 2显示最佳方案为A₁, 体现了算子的灵活性, 同时也表明参数p和q在最终排序中起着非常重要的作用。P2TLHFHM算子的这些特征使聚合过程灵活且可行, 所以对于实际生活的决策问题至关重要。因此, 尽可能在P2TLHFHM算子中选取合适的参数值, 以获得稳定可靠的最终排序结果。

5 小结

犹豫二元语义模糊集是表达决策者偏好的模糊性、不确定性、犹豫性以及避免语言信息损失的有力工具。本文基于犹豫二元语义模糊信息首先提出了P2TLHFHM算子, 并对该算子的一些性质和特殊形式进行了研究。基于此, 设计了一种多属性决策问题的求解方法, 该方法充分考虑了属性之间的相互关系。通过实例分析参数p和q对最终排序结果的影响, 体现了算子的灵活性以及所提方法的可行性。