0 引言

为给不确定性信息处理理论提供可靠且合理的逻辑基础，许多学者提出并研究了各种逻辑代数。在众多的逻辑代数中，文献[1]提出的非交换剩余格是一种重要且应用广泛的代数系统，众多学者从不同角度对非交换剩余格的性质和结构特征作了深入的研究。特别地，伪MTL代数、伪BL代数等逻辑代数^[2-3]，都可看成是非交换剩余格的特例，因此对非交换剩余格的研究有利于探究这些代数中的共同特征。

滤子是研究逻辑代数的一个重要工具，它对不同逻辑系统以及与之对应的逻辑代数的完备性问题的研究发挥着重要作用。目前，非交换剩余格及其他逻辑代数中已引入各种特殊滤子，如布尔滤子、蕴涵滤子、正蕴涵滤子、奇异滤子、PMTL滤子等，并获得了许多重要结果^[4-10]。文献[11]提出模糊集的概念后，众多学者将其应用于多种代数结构，使模糊理论得到了进一步发展^[12-13]。为了更好地揭示非交换剩余格的特性，学者们将模糊集的方法应用于非交换剩余格中，提出了非交换剩余格上各类模糊滤子的概念。其中，文献[14]在非交换剩余格上提出了模糊滤子，模糊蕴涵滤子和模糊正蕴涵滤子的概念，讨论了它们的基本性质；文献[15]进一步提出非交换剩余格上的模糊正蕴涵滤子，并指出其与模糊正蕴涵滤子的关系；随后文献[16]在非交换剩余格引入模糊极滤子的概念，证明了在一定条件下模糊极滤子和模糊正蕴涵滤子是等价的，文献[17]在非交换剩余格上引入了模糊弱蕴涵滤子的概念，并给出了模糊极滤子与模糊弱蕴涵滤子相互等价的条件。受上述工作的启发，本文基于文献[9]中非交换剩余格上PMTL滤子的概念，在非交换剩余格上定义模糊PMTL滤子，得到了模糊PMTL滤子的一系列等价刻画，并引入非交换剩余格上模糊同余和模糊商代数的概念, 证明了由模糊PMTL滤子生成的模糊商代数是伪MTL代数。

1 预备知识

定义1^[18]  代数系统(L, ∧, ∨, ⊗, →, $\rightsquigarrow $, 0, 1)被称为非交换剩余格，如果

(1) (L, ∧, ∨, 0, 1)为有界格；

(2) (L, ⊗, 1)是非交换幺半群；

(3) 对任意x, y, z∈L, x⊗y≤z⇔x≤ y→z⇔y≤x$\rightsquigarrow $z。

在非交换剩余格L中，对∀x∈L，定义¬x=x→0, ~x=x$\rightsquigarrow $0, $ x^{n}=\underbrace{x \otimes \cdots \otimes x}_{n}, n \in {\bf{N}}^{+}$。

定义2^[2]  非交换剩余格L若满足: (x→y)∨(y→x)=(x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x)=1，则称L为伪MTL代数。

定义3^[3]  一个伪MTL代数L若满足：(x→y)⊗x=x⊗(x$\rightsquigarrow $y)=x∧y，则称L为伪BL代数。

引理1^[18]  设L为非交换剩余格，则对任意x, y, z∈L，以下性质成立：

(1)(x∨y)→z=(x→z)∧(y→z), (x∨y)$\rightsquigarrow $z=(x$\rightsquigarrow $z)∧(y$\rightsquigarrow $z)；

(2) z→(x∧y)=(z→x)∧(z→y), z$\rightsquigarrow $(x∧y)=(z$\rightsquigarrow $x)∧(z$\rightsquigarrow $y)；

(3) x∨y≤(x→y)$\rightsquigarrow $y, x∨y≤(x$\rightsquigarrow $y)→y；

(4) x≤y→x, x≤y$\rightsquigarrow $x；

(5) x$\rightsquigarrow $(y→z)=y→(x$\rightsquigarrow $z), x→(y$\rightsquigarrow $z)=y$\rightsquigarrow $(x→z)；

(6) x≤y⇔x→y=1⇔x$\rightsquigarrow $y=1；

(7) x≤y⇔z→x≤z→y, y→z≤x→z, z$\rightsquigarrow $x≤z$\rightsquigarrow $y, y$\rightsquigarrow $z≤x$\rightsquigarrow $z；

(8) x→(y→z)=(x⊗y)→z, x$\rightsquigarrow $(y$\rightsquigarrow $z)=(y⊗x)$\rightsquigarrow $z；

(9) x⊗(y∨z)=(x⊗y)∨(x⊗z), (y∨z)⊗x=(y⊗x)∨(z⊗x)；

(10) x→(y∨z)≥(x→y)∨(x→z), (y∧z)→x≥(y→x)∨(z→y)，x$\rightsquigarrow $(y∨z)≥(x$\rightsquigarrow $y)∨(x$\rightsquigarrow $z), (y∧z)$\rightsquigarrow $x≥(y$\rightsquigarrow $x)∨(z$\rightsquigarrow $x);

(11)(y→z)⊗(x→y)≤x→z, (x$\rightsquigarrow $y)⊗(y$\rightsquigarrow $z)≤x$\rightsquigarrow $z；

(12) x⊗y≤x∧y, 特别地，x²≤x。

定义4^[18]  设F为非交换剩余格L的非空子集，若满足

(1) x∈F, y∈F⇒x⊗y∈F,

(2) x∈F, x≤y⇒y∈F,

则称F为非交换剩余格L的滤子。

引理2^[18]  设F为非交换剩余格L的非空子集，则以下条件等价：

(1) F是L的滤子；

(2) 1∈F, 且x, y∈L, (x∈F, x→y∈F)⇒y∈F；

(3) 1∈F, 且x, y∈L, (x∈F, x$\rightsquigarrow $y∈F)⇒y∈F。

定义5^[9]  设F为非交换剩余格L的滤子，若对任意x, y∈L，有(x→y)∨(y→x)∈F且(x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x)∈F，则称F为L的PMTL滤子。

定义6^[19]  设L是非交换剩余格，定义L到区间[0, 1]的映射μ: L→[0, 1]，称μ为L的模糊集。

定义7^[19]  设μ是非交换剩余格L的模糊集，对∀t∈[0, 1]，称集合μ_t={x∈L|μ(x)≥t}是μ的水平截集。

下面用Γ(L)表示L上模糊集的全体，且对∀x, y∈[0, 1]，分别用x∨y和x∧y表示max{x, y}, min{x, y}。

定义8^[19]  设μ∈Γ(L)，若μ满足

(1) ∀x, y∈L, x≤y⇒μ(x)≤μ(y),

(2) ∀x, y∈L, μ(x)∧μ(y)≤μ(x⊗y), 则称μ为L的模糊滤子。

定理1^[19]  设μ∈Γ(L)，则μ是非交换剩余格L的模糊滤子，当且仅当对∀t∈[0, 1]，μ_t不是空集就是L的滤子。

推论1^[19]  设L是非交换剩余格，F为L的非空子集，则F是L的滤子，当且仅当F的特征函数χ_F是L的模糊滤子，其中$\chi_{F}= \begin{cases}1, & x \in F \\ 0, & x \notin F\end{cases} $。

引理3^[20]  设μ∈Γ(L)，则以下条件等价：

(1) μ是模糊滤子；

(2) ∀x, y∈L, μ(1)≥μ(x), μ(y)≥μ(x)∧μ(x→y)；

(3) ∀x, y∈L, μ(1)≥μ(x), μ(y)≥μ(x)∧μ(x$\rightsquigarrow $y)。

引理4^[19-20]  设μ是非交换剩余格L的模糊滤子，则对∀x, y, z∈L, 以下性质成立：

(1) μ(x⊗y)=μ(x)∧μ(y)；

(2) μ(x∧y)=μ(x)∧μ(y)；

(3) 如果μ(x→y)=μ(1)或μ(x$\rightsquigarrow $y)=μ(1)，则μ(x)≤μ(y)；

(4) μ(x→y)∧μ(y→z)≤μ(x→z), μ(x$\rightsquigarrow $y)∧μ(y$\rightsquigarrow $z)≤μ(x$\rightsquigarrow $z)；

(5) u(x→y)≤μ(x⊗z→y⊗z)，μ(x$\rightsquigarrow $y)≤μ(x⊗z$\rightsquigarrow $y⊗z)；

(6) μ(x→y)≤μ((z→x)→(z→y)), μ(x$\rightsquigarrow $y)≤μ((z$\rightsquigarrow $x)(z$\rightsquigarrow $y))；

(7) μ(x→y)≤μ((y→z)$\rightsquigarrow $(x→z)), μ(x$\rightsquigarrow $y)≤μ((y$\rightsquigarrow $z)→(x$\rightsquigarrow $z))。

定义9^[20]  设μ是非交换剩余格L的模糊滤子。若对∀x, y∈L, μ(x→y)=μ(x$\rightsquigarrow $y)，则称μ是L的模糊正规滤子。

2 模糊PMTL滤子

定义10  设μ是非交换剩余格L的模糊滤子，若对∀x, y∈L, μ((x→y)∨(y→x))=μ(1)且μ((x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x))=μ(1)，则称μ是L的模糊PMTL滤子。

例1  设L={0, a, b, c, d, 1}，0 < a < b, c < d < 1，b与c是不可比的，且运算⊗, →, $\rightsquigarrow $定义为

$ \begin{array}{l|llllll} \otimes & 0 & a & b & c & d & 1 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 & a & 0 & a & a \\ b & 0 & 0 & b & 0 & b & b \\ c & 0 & a & a & c & c & c \\ d & 0 & a & b & c & d & d \\ 1 & 0 & a & b & c & d & 1 \end{array}, $

$ \begin{array}{l|llllll} \rightarrow & 0 & a & b & c & d & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ b & 0 & c & 1 & c & 1 & 1 \\ c & b & b & b & 1 & 1 & 1 \\ d & 0 & a & b & c & 1 & 1 \\ 1 & 0 & a & b & c & d & 1 \end{array}, $

$ \begin{array}{l|llllll} \rightsquigarrow & 0 & a & b & c & d & 1 \\ \hline 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ a & c & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ b & c & c & 1 & c & 1 & 1 \\ c & 0 & b & b & 1 & 1 & 1 \\ d & 0 & a & b & c & 1 & 1 \\ 1 & 0 & a & b & c & d & 1 \end{array}, $

则L为非交换剩余格^[4]。定义L上的模糊集μ为μ(1)=μ(d)=t₁, μ(a)=t₂, μ(b)=t₃, μ(c)=μ(0)=t₄(0≤t₄ < t₃ < t₂ < t₁≤1)。容易验证μ是模糊PMTL滤子。

定理2  设μ是非交换剩余格L的模糊滤子，则μ是模糊PMTL滤子当且仅当对∀t∈[0, 1]，μ_t不是空集就是L的PMTL滤子。

证明  必要性。因为μ是L的模糊滤子，由定理1可知μ_t是L的滤子。对于∀t∈[0, 1]，若μ_t≠ϕ，假设存在x₀∈μ_t，使得μ(x₀)≥t，则μ(1)≥μ(x₀)≥t。又因μ是模糊PMTL滤子，则μ(1)=μ((x→y)∨(y→x))=μ((x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x))，故(x→y)∨(y→x)∈μ_t且(x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x)∈μ_t，因此μ_t是PMTL滤子。

充分性。已知对∀t∈[0, 1]，μ_t不是空集就是L的PMTL滤子。设t=μ(1)，则1∈μ_t。因此μ_t是PMTL滤子，即(x→y)∨(y→x)∈μ_t且(x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x)∈μ_t，从而有μ((x→y)∨(y→x))≥t=μ(1)和μ((x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x))≥t=μ(1)，则μ((x→y)∨(y→x))=μ((x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x))=μ(1)，故μ是模糊PMTL滤子。

推论2  设μ是非交换剩余格L的模糊滤子，则μ是模糊PMTL滤子当且仅当μ_μ(1)是PMTL滤子。

推论3  一个非空子集F是L的PMTL滤子当且仅当χ_F是L的模糊PMTL滤子。

3 模糊PMTL滤子的刻画

定理  设μ是非交换剩余格L的模糊滤子，则对∀x, y, z∈L，以下条件等价：

(1) μ是模糊PMTL滤子；

(2) μ[x→(y∨z)]≤μ[(x→y)∨(x→z)], μ[x$\rightsquigarrow $(y∨z)]≤μ[(x$\rightsquigarrow $y)∨(x$\rightsquigarrow $z)]；

(3) μ[x→(y∨z)]=μ[(x→y)∨(x→z)], μ[x$\rightsquigarrow $(y∨z)]=μ[(x$\rightsquigarrow $y)∨(x$\rightsquigarrow $z)]；

(4) μ{[x→(y∨z)]→[(x→y)∨(x→z)]}=μ{[x$\rightsquigarrow $(y∨z)][(x$\rightsquigarrow $y)∨(x$\rightsquigarrow $z)]}=μ(1)。

证明  (1)⇒(2)。已知μ是模糊PMTL滤子。设t=μ(x→(y∨z))，则x→(y∨z)∈μ_t。由定理2知μ_t是PMTL滤子，则根据引理1(9)、(1)、(12)、(11)可得：

$ \begin{aligned} &{[(y \rightarrow z) \vee(z \rightarrow y)] \otimes[x \rightarrow(y \vee z)]=} \\ &\{(y \rightarrow z) \otimes[x \rightarrow(y \vee z)]\} \vee \\ &\{(z \rightarrow y) \otimes[x \rightarrow(y \vee z)]\}= \\ &\{[(y \vee z) \rightarrow z] \otimes[x \rightarrow(y \vee z)]\} \vee \\ &\{[(y \vee z) \rightarrow y] \otimes[x \rightarrow(y \vee z)]\} \leqslant \\ &(x \rightarrow z) \vee(x \rightarrow y) 。\end{aligned} $

因此(x→z)∨(x→y)∈μ_t，从而μ[x→(y∨z)]≤μ[(x→y)∨(x→z)]。同理可得，μ[x$\rightsquigarrow $(y∨z)]≤μ[(x$\rightsquigarrow $y)∨(x$\rightsquigarrow $z)]。

(2) ⇒(3)。由引理1(10)以及模糊滤子的保序性易得。

(3) ⇒(4)。设u=x→(y∨z)，由定理3(3)和引理1(8)可得：

$ \begin{aligned} &\mu\{[x \rightarrow(y \vee z)] \rightarrow[(x \rightarrow y) \vee(x \rightarrow z)]\}= \\ &\mu\{u \rightarrow[(x \rightarrow y) \vee(x \rightarrow z)]\}= \\ &\mu\{[u \rightarrow(x \rightarrow y)] \vee[u \rightarrow(x \rightarrow z)]\}= \\ &\mu\{[(u \otimes x) \rightarrow y] \vee[(u \otimes x) \rightarrow z]\}= \\ &\mu\{[(u \otimes x)] \rightarrow(y \vee z)\}= \\ &\mu\{u \rightarrow[x \rightarrow(y \vee z)]\}=\mu(1) 。\end{aligned} $

因此μ{[x→(y∨z)]→[(x→y)∨(x→z)]}=μ(1)，同理可得μ{[x$\rightsquigarrow $(y∨z)]$\rightsquigarrow $[(x$\rightsquigarrow $y)∨(x$\rightsquigarrow $z)]}=μ(1)。

(4) ⇒(1)。令x=y∨z，则结论成立。

定理4  设μ是非交换剩余格L的模糊滤子，则对∀x, y, z∈L, 以下条件等价：

(1) μ是模糊PMTL滤子；

(2) μ[(y∧z)→x]≤μ[(y→x)∨(z→x)], μ[(y∧z)$\rightsquigarrow $x]≤μ[(y$\rightsquigarrow $x)∨(z$\rightsquigarrow $x)]；

(3) μ[(y∧z)→x]=μ[(y→x)∨(z→x)], μ[(y∧z)$\rightsquigarrow $x]=μ[(y$\rightsquigarrow $x)∨(z$\rightsquigarrow $x)]；

(4) μ{[(y∧z)→x]$\rightsquigarrow $[(y→x)∨(z→x)]}=μ{[(y∧z)$\rightsquigarrow $x]→[(y$\rightsquigarrow $x)∨(z$\rightsquigarrow $x)]}=μ(1)。

证明  (1)⇒(2)。已知μ是模糊PMTL滤子。设t=μ((y∧z)→x)，则(y∧z)→x∈μ_t。由定理2知μ_t是PMTL滤子，则根据引理1(9)、(12)、(2)、(11)可得：

$ \begin{aligned} &{[(y \wedge z) \rightarrow x] \otimes[(y \rightarrow z) \vee(z \rightarrow y)]=} \\ &\{[(y \wedge z) \rightarrow x] \otimes(y \rightarrow z)\} \vee \\ &\{[(y \wedge z) \rightarrow x] \otimes(z \rightarrow y)\}=\\ &\{[(y \wedge z) \rightarrow x] \otimes[y \rightarrow(y \wedge z)]\} \vee \\ &\{[(y \wedge z) \rightarrow x] \otimes[z \rightarrow(y \wedge z)]\} \leqslant \\ &(y \rightarrow x) \vee(z \rightarrow x) 。\end{aligned} $

因此(y→x)∨(z→x)∈μ_t，从而μ[(y∧z)→ x]≤μ[(y→x)∨(z→x)]。同理可得，μ[(y∧z)$\rightsquigarrow $x]≤μ[(y$\rightsquigarrow $x)∨(z$\rightsquigarrow $x)]。

(2) ⇒(3)。由引理1(10)以及模糊滤子的保序性易得。

(3) ⇒(4)。设u=(y∧z)→x，由定理4(3)和引理1(10)、(5)可得：

$ \begin{aligned} &\mu\{[(y \wedge z) \rightarrow x] \rightsquigarrow[(y \rightarrow x) \vee(z \rightarrow x)]\}= \\ &\mu\{u \rightsquigarrow[(y \rightarrow x) \vee(z \rightarrow x)]\} \geqslant \\ &\mu\{[u \rightsquigarrow(y \rightarrow x)] \vee[u \rightsquigarrow(z \rightarrow x)]\}= \\ &\mu\{[y \rightarrow(u \rightsquigarrow x)] \vee[z \rightarrow(u \rightsquigarrow x)]\}= \\ &\mu[(y \wedge z) \rightarrow(u \rightsquigarrow x)]= \\ &\mu\{u \rightsquigarrow[(y \wedge z) \rightarrow x]\}=\mu(1)。\end{aligned} $

因此μ{[(y∧z)→x]$\rightsquigarrow $[(y→x)∨(z→x)]}= μ(1)，同理可得μ{[(y∧z)$\rightsquigarrow $x]→[(y$\rightsquigarrow $x)∨(z$\rightsquigarrow $x)]}=μ(1)。

(4) ⇒(1)。令x=y∧z，则结论成立。

定理5  设μ是非交换剩余格L的模糊滤子，则对∀x, y, z∈L, 以下条件等价：

(1) μ是模糊PMTL滤子；

(2) μ(x→z)≤μ[(x→y)∨(y→z)], μ(x$\rightsquigarrow $z)≤μ[(x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $z)]；

(3) μ{(x→z)→[(x→y)∨(y→z)]}= μ{(x$\rightsquigarrow $z)[(x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $z)]}=μ(1)。

证明  (1)⇒(2)。已知μ是模糊PMTL滤子。设t=μ(x→z)，则x→z∈μ_t。由定理2知μ_t是PMTL滤子，则根据引理1(9)、(12)、(11)可得：

$ \begin{aligned} &{[(z \rightarrow y) \vee(y \rightarrow z)] \otimes(x \rightarrow z)=} \\ &{[(z \rightarrow y) \otimes(x \rightarrow z)] \vee[(y \rightarrow z) \otimes} \\ &(x \rightarrow z)] \leqslant[(z \rightarrow y) \otimes(x \rightarrow z)] \vee \\ &(y \rightarrow z) \leqslant(x \rightarrow y) \vee(y \rightarrow z) 。\end{aligned} $

因此(x→y)∨(y→z)∈μ_t，从而μ(x→z)≤ μ[(x→y)∨(y→z)]。同理可得，μ(x$\rightsquigarrow $z)≤μ[(x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $z)]。

(2) ⇒(3)。设u=x→z，由引理1(10)、(4)、(8)可得：

$ \begin{aligned} &\mu\{(x \rightarrow z) \rightarrow[(x \rightarrow y) \vee(y \rightarrow z)]\}= \\ &\mu\{u \rightarrow[(x \rightarrow y) \vee(y \rightarrow z)]\} \geqslant \\ &\mu\{[u \rightarrow(x \rightarrow y)] \vee[u \rightarrow(y \rightarrow z)]\} \geqslant \\ &\mu\{[u \rightarrow(x \rightarrow y)] \vee(y \rightarrow z)\}= \\ &\mu\{[(u \otimes x) \rightarrow y] \vee(y \rightarrow z)\} \geqslant \\ &\mu[(u \otimes x) \rightarrow z]=\mu[u \rightarrow(x \rightarrow z)]=\mu(1) 。\end{aligned} $

因此μ{(x→z)→[(x→y)∨(y→z)]}=μ(1)，同理可得μ{(x$\rightsquigarrow $z)[(x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $z)]}=μ(1)。

(3) ⇒(1)。令x=z，则结论成立。

定理6  设μ是非交换剩余格L的模糊滤子，则对∀x, y, z∈L, 以下条件等价：

(1) μ是模糊PMTL滤子；

(2) μ{[(x→y)$\rightsquigarrow $z]→{[(y→x)$\rightsquigarrow $z]→z}}=μ{[(x$\rightsquigarrow $y)→z]$\rightsquigarrow ${[(y$\rightsquigarrow $x)→z]$\rightsquigarrow $z}}=μ(1)；

(3) μ[(x→y)$\rightsquigarrow $z]≤μ{[(y→x)$\rightsquigarrow $z]→z}, μ[(x$\rightsquigarrow $y)→z]≤μ{[(y$\rightsquigarrow $x)→z]$\rightsquigarrow $z}。

证明  (1)⇒(2)。已知μ是模糊PMTL滤子。由引理1(8)、(12)、(7)、(1)、(3)可得：

$ \begin{aligned} &\mu\{[(x \rightarrow y) \rightsquigarrow z] \rightarrow\{[(y \rightarrow x) \rightsquigarrow z] \rightarrow z\}\}= \\ &\mu\{\{[(x \rightarrow y) \rightsquigarrow z] \otimes[(y \rightarrow x) \rightsquigarrow z]\} \rightarrow z\} \geqslant \\ &\mu\{\{[(x \rightarrow y) \rightsquigarrow z] \wedge[(y \rightarrow x) \rightsquigarrow z]\} \rightarrow z\}= \\ &\mu\{\{[(x \rightarrow y) \vee(y \rightarrow x)] \rightsquigarrow z\} \rightarrow z\} \geqslant \\ &\mu[(x \rightarrow y) \vee(y \rightarrow x)]=\mu(1) 。\end{aligned} $

因此μ{[(x→y)$\rightsquigarrow $z]→{[(y→x)$\rightsquigarrow $z]→z}}=μ(1)，同理可得μ{[(x$\rightsquigarrow $y)→z]$\rightsquigarrow ${[(y$\rightsquigarrow $x)→z]$\rightsquigarrow $z}}=μ(1)。

(2) ⇒(3)。由引理4(3)可得。

(3) ⇒(1)。令z=(x→y)∨(y→x)，则μ[(x→y)$\rightsquigarrow $z]=μ{(x→y)$\rightsquigarrow $[(x→y)∨(y→x)]}≥u{[(x→y)$\rightsquigarrow $(x→y)]∨[(x→y)$\rightsquigarrow $(y→x)]}=μ(1)。从而μ[(x→y)$\rightsquigarrow $z]=μ(1)。由定理6(3)得μ{[(y→x)$\rightsquigarrow $z]→z}=μ(1)，又由引理1(10)、(7)得μ{{(y→x)$\rightsquigarrow $[(x→y)∨(y→x)]}→[(x→y)∨(y→x)]}≤μ[(x→y)∨(y→x)]。从而μ[(x→y)∨(y→x)]=μ(1)。同理，令z=(x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x)，可得μ[(x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x)]=μ(1)。故μ是模糊PMTL滤子。

4 非交换剩余格上的模糊同余关系

定义11  设L为非交换剩余格，定义映射θ: L×L→[0, 1]。若满足对∀x, y, z∈L，下列条件成立：

(1) θ(1, 1)=θ(x, x)；

(2) θ(x, y)=θ(y, x)；

(3) θ(x, z)≥θ(x, y)∧θ(y, z)；

(4) θ(x⊗z, y⊗z)∧θ(z⊗x, z⊗y)≥θ(x, y)；

(5) θ(x→z, y→z)∧θ(z→x, z→y)≥θ(x, y), θ(x$\rightsquigarrow $z, y$\rightsquigarrow $z)∧θ(z$\rightsquigarrow $x, z$\rightsquigarrow $y)≥θ(x, y)。则称θ为L上的模糊同余关系。

定义12  设θ是L上的模糊同余关系。定义模糊集θ^x: θ^x(y)=θ(x, y)，称模糊集θ^x是由模糊同余关系θ诱导出的关于x的一个模糊同余类。称L/θ={θ^x|x∈L}是由模糊同余关系θ诱导出的模糊商集。

引理5  若θ是L上的模糊同余关系，则对∀x, y∈L, θ(1, 1)≥θ(x, y)。

证明  设θ是L上的模糊同余关系，则由定义11知θ(1, 1)=θ(x, x)，θ(x, x)≥θ(x, y)∧θ(y, x)=θ(x, y)。因此θ(1, 1)≥θ(x, y)。

引理6  若θ是L上的模糊同余关系，则θ¹是L的模糊滤子。

证明  设θ是L上的模糊同余关系，则由引理5得：θ¹(1)=θ(1, 1)≥θ(1, x)=θ¹(x)。根据定义11可知，对∀x, y∈L，θ(1, y)≥θ(1, x→y)∧θ(x→y, y)，又θ(x→y, y)=θ(x→y, 1→y)≥θ(x, 1)，则θ(1, y)≥θ(1, x→y)∧θ(x, 1)，即θ(1, y)≥θ(1, x)∧θ(1, x→y)。由定义12得：对∀x, y∈L, θ¹(y)≥θ¹(x)∧θ¹(x→y)。综上由引理3知θ¹是L的模糊滤子。

引理7  设μ是非交换剩余格L的模糊正规滤子，则θ_μ(x, y)=μ(x→y)∧μ(y→x)或θ_μ(x, y)=μ(x$\rightsquigarrow $y)∧μ(y$\rightsquigarrow $x)是L的模糊同余关系。

证明  根据引理4容易验证θ_μ是模糊同余关系。

设μ是非交换剩余格L的模糊正规滤子，则对∀x∈L，由θ_μ诱导出的关于x的模糊同余类记为μ^x。由θ_μ诱导出的模糊商集记为L/μ。

引理8  设μ是非交换剩余格L的模糊正规滤子，则对∀x, y∈L，μ^x=μ^y⇔μ(x→y)=μ(y→x)=μ(1)⇔μ(x$\rightsquigarrow $y)=μ(y$\rightsquigarrow $x)=μ(1)。

证明  先证第一个等价。必要性：若μ是非交换剩余格L的模糊正规滤子，μ^x(y)=θ_x^x(y)=θ_μ(x, y)=μ(x→y)∧μ(y→x)。因为μ^x=μ^y，则μ^x(x)=μ^y(x)，从而μ(1)=μ(x→y)∧μ(y→x)，即μ(x→y)=μ(y→x)=μ(1)。

充分性：因为μ(x→y)=μ(y→x)=μ(1)，由μ(x→z)≥μ(x→y)∧μ(y→z)和μ(y→z)≥μ(y→x)∧μ(x→z)，可得μ(x→z)=μ(y→z)。类似地有μ(z→x)=μ(z→y)。从而μ^x(z)=μ^y(z)，因此μ^x=μ^y。

第二个等价由μ是模糊正规滤子易得。

推论4  设μ是非交换剩余格L的模糊正规滤子，则对∀x, y∈L, μ^x=μ^y⇔x~_μμ(1)y。x~_μμ(1)y定义为对∀x, y∈L, x→y∈μ_μ(1)，y→x∈μ_μ(1)⇔x$\rightsquigarrow $y∈μ_μ(1), y$\rightsquigarrow $x∈μ_μ(1)。

设μ是非交换剩余格L的模糊滤子，对μ^x, μ^y∈L/μ，定义μ^x∨μ^y=μ^x∨y, μ^x∧μ^y=μ^x∧y, μ^x⊗μ^y=μ^x⊗y, μ^x→μ^y=μ^x→y, μ^x$\rightsquigarrow $μ^y=μ^{x$\rightsquigarrow $y}。

定理7  设μ是非交换剩余格L的模糊正规滤子，则L/μ=(L/μ, ∧, ∨, ⊗, →, $\rightsquigarrow $, μ⁰, μ¹)是非交换剩余格。

证明  首先说明在L/μ上的运算是合理的。设μ^x=μ^s, μ^y=μ^t，则由推论4知，x~_μμ(1)s, y~_μμ(1)t。根据~_μμ(1)的定义可知~_μμ(1)是个同余关系，则x∨y~_μμ(1)s∨t，则μ^x∨y=μ^s∨t。同理有μ^x∧y=μ^s∧t, μ^x⊗y=μ^s⊗t, μ^x→y=μ^s→t, μ^{x$\rightsquigarrow $y}=μ^{s$\rightsquigarrow $t}。

现证L/μ是非交换剩余格。显然，L/μ满足定义1(1)、(2)。下证L/μ满足定义1(3)。定义L/μ上的序关系≤满足：μ^x≤μ^y当且仅当μ^x∨μ^y=μ^y。由引理8知μ^x≤μ^y⇔ μ(x→y)=μ(1)⇔μ(x$\rightsquigarrow $y)=μ(1)。设μ^x, μ^y, μ^z∈L/μ，有以下式子成立：

$ \begin{aligned} &\mu^{x} \otimes \mu^{y} \leqslant \mu^{z} \Leftrightarrow \mu^{x \otimes y} \leqslant \mu^{z} \Leftrightarrow \\ &\mu[(x \otimes y) \rightarrow z]=\mu(1) \Leftrightarrow \\ &\mu[x \rightarrow(y \rightarrow z)]=\mu(1) \Leftrightarrow \\ &\mu[y \rightsquigarrow(x \rightsquigarrow z)]=\mu(1) \Leftrightarrow \\ &\mu^{x} \leqslant \mu^{y \rightarrow z} \Leftrightarrow \mu^{y} \leqslant \mu^{x \rightsquigarrow z}, \end{aligned} $

即μ^x⊗μ^y≤μ^z⇔μ^x≤μ^y→μ^z⇔μ^y≤μ^x$\rightsquigarrow $μ^z。因此L/μ=(L/μ, ∧, ∨, ⊗, →, $\rightsquigarrow $, μ⁰, μ¹)是非交换剩余格。

定理8  设μ是非交换剩余格L的模糊正规滤子，则以下条件等价：

(1) μ是L的模糊PMTL滤子；

(2) L/μ是伪MTL代数。

证明  (1)⇒(2)。若μ是L的模糊PMTL滤子，则μ((x→y)∨(y→x))=μ(1)且μ((x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x))=μ(1)，由引理8得μ^{(x→y)∨(y→x)}=μ¹=μ^{(x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x)}，即(μ^x→μ^y)∨(μ^y→μ^x)= μ¹=(μ^x$\rightsquigarrow $μ^y)∨(μ^y$\rightsquigarrow $μ^x)。又由定理7知L/μ是非交换剩余格，从而L/μ是伪MTL代数。

(2) ⇒(1)。若L/μ是伪MTL代数，则(μ^x→μ^y)∨(μ^y→μ^x)=μ¹=(μ^x$\rightsquigarrow $μ^y)∨(μ^y$\rightsquigarrow $μ^x)，即μ^{(x→y)∨(y→x)}=μ¹=μ^{(x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x)}，从而μ((x→y)∨(y→x))=μ(1)且μ((x$\rightsquigarrow $y)∨(y$\rightsquigarrow $x))=μ(1)。故μ是L的模糊PMTL滤子。

5 总结

本文在非交换剩余格上引入了模糊PMTL滤子的概念，通过研究其特征和性质，获得了这类模糊滤子的一系列等价条件，提出了非交换剩余格上模糊同余和模糊商代数的定义，证明了由模糊PMTL滤子生成的模糊商代数是伪MTL代数。相关结果丰富了非交换剩余格上的滤子理论。