0 引言

方程整数解的研究是数论研究中的一个重要课题之一，其研究内容与成果也很丰富^[1-3]，令φ(n)为Euler函数是数论研究中的一个重要函数.关于包含Euler函数φ(n)的方程的研究有着丰富的研究成果^[4-9].对于形如

$ \varphi \left( {xy} \right) = {k_1}\varphi \left( x \right) + {k_2}\varphi \left( y \right), \left( {{k_1}, {k_2}是正整数} \right) $

(1)

的讨论，大多文献讨论的都是当k₁=k₂的情况，即讨论的是形如φ(xy)=k(φ(x)+φ(y))的方程.文献[10]研究了当k为素数时，方程φ(xy)=k(φ(x)+φ(y))的正整数解，并给出了当k=3时其所对应方程的部分正整数解.文献[11]研究了方程φ(xy)=3(φ(x)+φ(y))的可解性，并给出其全部的35组正整数解.文献[12]研究了方程φ(xy)=7(φ(x)+φ(y))的可解性，并给出了其全部的15组正整数解.本文将讨论形如方程(1) 的具体方程

$ \varphi \left( {xy} \right) = 5\varphi \left( x \right) + 7\varphi \left( y \right) $

(2)

的一切整数解问题.并根据这一具体方程解的情况，给出了方程(1) 中有(x, y)=(k₁+k₂, k₁+k₂)解的结论.

1 引理

引理1^[13]   对任意正整数m与n，若m|n，则φ(m)φ(n).

引理2^[13]   对任意正整数n与m，有$\varphi \left( {nm} \right) = \frac{{\left( {n, m} \right)\varphi \left( n \right)\varphi \left( m \right)}}{{\varphi \left( {\left( {n, m} \right)} \right)}}$，其中(n, m)为n与m的最大公因数.

引理3^[13]   当n≥3是整数，则φ(n)为偶数.

引理4^[14]   方程φ(x)=14无正整数解.

2 定理及其证明

定理1   方程(2) 有整数解(x, y)=(43, 7)，(43, 9)，(43, 14)，(43, 18)，(49, 9)，(49, 18)，(86, 7)，(86, 9)，(98, 9)，(13, 21)，(13, 28)，(13, 36)，(13, 42)，(21, 13)，(21, 26)，(26, 21)，(28, 13)，(36, 13)，(42, 13)，(15, 41)，(15, 82)，(15, 88)，(16, 41)，(16, 55)，(16, 75)，(20, 41)，(24, 41)，(24, 55)，(30, 41)，(14, 18)，(18, 14)，(8, 50)，(8, 66)，(10, 44)，(10, 66)，(12, 50)，(15, 24)，(24, 15)，(12, 44)，(12, 12).

证明   对于方程(1)，设gcd(x, y)=d，则由引理1可知，存在x₁, y₁∈Z⁺, 使得φ(x)=x₁φ(d)，φ(y)=y₁φ(d).再由引理2，有φ(xy)=x₁y₁dφ(d).结合方程(1)，有d=k₁y₁^-1+k₂x₁^-1.由于k₁≠k₂，不妨设k₁ < k₂.若d>2k₂，则有2k₂ < d=k₁y₁^-1+k₂x₁^-1 < k₂y₁^-1+k₂x₁^-1，即有2 < y₁^-1+x₁^-1.显然，不存在x₁, y₁∈Z⁺，使得2 < y₁^-1+x₁^-1成立.因而要考虑当k₁≠k₂时方程(1) 的正整数解，只需考虑gcd(x, y)∈[1, 2 max{k₁, k₂}]的情况.

在方程(2) 中，k₁=5，k₂=7.因而，只需考虑gcd(x, y)=d∈[1,14]的情况.

情况1   当d=1时.此时有$1 = \frac{5}{{{y_1}}} + \frac{7}{{{x_1}}}$，则有${x_1} = \frac{{7{y_1}}}{{{y_1}-5}} = 7 + \frac{{35}}{{{y_1}-5}}$.由于x₁, y₁∈Z⁺，因而有y₁-5=1, 5, 7, 35.从而有x₁=42, y₁=6，或x₁=14, y₁=10，或x₁=12, y₁=12，或x₁=8, y₁=40.

当x₁=42，y₁=6时，有φ(x)=x₁φ(d)=42，φ(y)=y₁φ(d)=6.因而有x=43, 49, 86, 98，y=7, 9, 14, 18.因而，此时方程(2) 有整数解(x, y)=(43, 7)，(43, 9)，(43, 14)，(43, 18)，(49, 9)，(49, 18)，(86, 7)，(86, 9)，(98, 9).

当x₁=14，y₁=10时，有φ(x)=x₁φ(d)=14，φ(y)=y₁φ(d)=10.由引理4可知，方程(2) 无整数解.

当x₁=y₁=12时，有φ(x)=x₁φ(d)=12，则x=y=13, 21, 26, 28, 36, 42.方程(2) 有整数解(x, y)=(13, 21)，(13, 28)，(13, 36)，(13, 42)，(21, 13)，(21, 26)，(26, 21)，(28, 13)，(36, 13)，(42, 13).

当x₁=8，y₁=40时，有φ(x)=x₁φ(d)=8，φ(y)=y₁φ(d)=40.因而有x=15, 16, 20, 24, 30，y=41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150.因而，此时方程(2) 有整数解(x, y)=(15, 41)，(15, 82)，(15, 88)，(16, 41)，(16, 55)，(16, 75)，(20, 41)，(24, 41)，(24, 55)，(30, 41).

情况2   当d=2时.此时有$\;2 = \frac{5}{{{y_1}}} + \frac{7}{{{x_1}}}$，则有${x_1} = \frac{{7{y_1}}}{{2{y_1}-5}} = \frac{{3(2{y_1}-5)}}{{2{y_1}-5}} + \frac{{{y_1} + 15}}{{2{y_1} - 5}} = 3 + \frac{{{y_1} + 15}}{{2{y_1} - 5}}$.由于当2y₁-5>y₁+15，即当y₁>20时，$\frac{{{y_1} + 15}}{{2{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$.再由2y₁-5≥1，即y₁≥3，因而有当y₁∈[3,20]时，$\frac{{{y_1} + 15}}{{2{y_1}-5}}$有可能是正整数.经计算，有x₁=21, y₁=3，或x₁=7, y₁=5，或x₁=6, y₁=6，或x₁=4, y₁=20.

当x₁=21，y₁=3时，有φ(x)=x₁φ(d)=21，φ(y)=y₁φ(d)=3.由引理3可知，此时方程(2) 无整数解.同理，当x₁=7，y₁=5时，方程(2) 亦无整数解.

当x₁=y₁=6时，φ(x)=φ(y)=6，有x=y=7, 9, 14, 18.方程(2) 有整数解(x, y)=(14, 18)，(18, 14).

当x₁=4，y₁=20时，有φ(x)=x₁φ(d)=4，φ(y)=y₁φ(d)=20.因而有x=5, 8, 10, 12，y=25, 33, 44, 50, 66.因而，此时方程(2) 有整数解(x, y)= (8, 50)，(8, 66)，(10, 44)，(10, 66)，(12, 50).

情况3   当d=3时.有$3 = \frac{5}{{{y_1}}} + \frac{7}{{{x_1}}}$，则有${x_1} = \frac{{7{y_1}}}{{3{y_1}-5}} = \frac{{2(3{y_1}-5)}}{{3{y_1}-5}} + \frac{{{y_1} + 10}}{{3{y_1} - 5}} = 2 + \frac{{{y_1} + 10}}{{3{y_1} - 5}}$.由于当3y₁-5>y₁+10，即当y₁≥8时，$\left( {{y_1} + 10} \right)/(3{y_1}-5) \notin {\bf{Z}}$.再由于3y₁-5≥1，即y₁≥2，因而有当y₁∈[2,7]时，(y₁+10)/(3y₁-5) 有可能是正整数.经计算，有x₁=14, y₁=2或x₁=4, y₁=4.

当x₁=14，y₁=2时，有φ(x)=x₁φ(d)=28，φ(y)=y₁φ(d)=4.因而有x=29, 58，y=5, 8, 10, 12.由于，以上x，y的值没有满足gcd(x, y)=3.因而，此时方程(2) 无整数解.

当x₁=4，y₁=4时，有φ(x)=x₁φ(d)=y₁φ(d)=8.因而有x=y=15, 16, 20, 24, 30.因而，此时方程(2) 有整数解(x, y)=(15, 24)，(24, 15).

情况4   当d=4时.此时有$4 = \frac{5}{{{y_1}}} + \frac{7}{{{x_1}}}$，则有${x_1} = \frac{{7{y_1}}}{{4{y_1}-5}} = \frac{{4{y_1}-5}}{{4{y_1}-5}} + \frac{{3{y_1} + 5}}{{4{y_1} - 5}} = 1 + \frac{{3{y_1} + 5}}{{4{y_1} - 5}}$.由于当4y₁-5>3y₁+5，即当y₁>10时，$\frac{{3{y_1} + 5}}{{4{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$.再由于4y₁-5≥1，即y₁≥2，因而当y₁∈[2,10]时，3y₁+54y₁-5有可能是正整数.经计算，有x₁=3，y₁=3，或x₁=2，y₁=10.

当x₁=3，y₁=3时，有φ(x)=x₁φ(d)=y₁φ(d)=6.因而有x=y=7, 9, 14, 18.由于以上x，y的值没有满足gcd(x, y)=3.因而，此时方程(2) 无整数解.

当x₁=2，y₁=10时，有φ(x)=x₁φ(d)=4，φ(y)=y₁φ(d)=20.因而有x=5, 8, 10, 12，y=25, 33, 44, 50, 66.因而，此时方程(2) 有整数解(x, y)=(12, 44).

情况5   当d=5时.此时有$5 = \frac{5}{{{y_1}}} + \frac{7}{{{x_1}}}$，则有${x_1} = \frac{{7{y_1}}}{{5{y_1}-5}} = \frac{{5{y_1}-5}}{{5{y_1}-5}} + \frac{{2{y_1} + 5}}{{5{y_1} - 5}} = 1 + \frac{{2{y_1} + 5}}{{5{y_1} - 5}}$.由于当5y₁-5>2y₁+5，即当y₁≥4时，$\frac{{2{y_1} + 5}}{{5{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$.再由于5y₁-5≥1，即y₁≥2，因而当y₁=2, 3时，$\frac{{2{y_1} + 5}}{{5{y_1}-5}}$有可能是正整数.而当y₁=2, 3时，$\frac{{2{y_1} + 5}}{{5{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$，因而此时方程(2) 无整数解.

情况6   当d=6时.此时有$6 = \frac{5}{{{y_1}}} + \frac{7}{{{x_1}}}$，则有${x_1} = \frac{{7{y_1}}}{{6{y_1}-5}} = \frac{{6{y_1}-5}}{{6{y_1}-5}} + \frac{{{y_1} + 5}}{{6{y_1} - 5}} = 1 + \frac{{{y_1} + 5}}{{6{y_1} - 5}}$.由于当6y₁-5>y₁+5，即当$\frac{{{y_1} + 15}}{{2{y_1} - 5}} \notin {\bf{Z}}$.再由于6y₁-5≥1，即y₁≥1，因而当y₁∈[1,2]时，$\frac{{{y_1} + 5}}{{6{y_1}-5}}$有可能是正整数.经计算，有x₁=7, y₁=1，或x₁=2, y₁=2.

当x₁=7，y₁=1时，有φ(x)=x₁φ(d)=14，φ(y)=y₁φ(d)=2.由引理4可知，此时方程(2) 无整数解.

当x₁=2，y₁=2时，有φ(x)=x₁φ(d)=y₁φ(d)=4.因而有x=y=5, 8, 10, 12.方程(2) 无整数解.

情况7   当d=7时，有$7 = \frac{5}{{{y_1}}} + \frac{7}{{{x_1}}}$，则有${x_1} = 1 + \frac{5}{{7{y_1}-5}}\;$.当y₁≥1时，$\frac{5}{{7{y_1}-5}} \notin {{\bf{Z}}^ + }$.方程(2) 无整数解.

情况8   当d=8时，有${x_1} = \frac{{7{y_1}}}{{8{y_1}-5}}$.由于当8y₁-5>7y₁，即当y₁>5时，$\frac{{7{y_1}}}{{8{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$.因而当y₁∈[1,5]时，$\frac{{7{y_1}}}{{8{y_1}-5}}$有可能是正整数.经计算，有x₁=1，y₁=5.此时有φ(x)=x₁φ(d)=4，φ(y)=y₁φ(d)=20.因而有x=5, 8, 10, 12，y=25, 33, 44, 50, 66.以上x，y没有满足gcd(x, y)=8的值，因而，此时方程(2) 无整数解.

情况9   当d=9时.此时有$9 = \frac{5}{{{y_1}}} + \frac{7}{{{x_1}}}$，则有${x_1} = \frac{{7{y_1}}}{{9{y_1}-5}}$.由于当9y₁-5>7y₁，即当y₁≥3时，$\frac{{7{y_1}}}{{9{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$.因而y₁∈[1,2].而当y₁∈[1,2]时，$\frac{{7{y_1}}}{{9{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$.因而，此时方程(2) 无整数解.

情况10   当d=10时.此时有$10 = \frac{5}{{{y_1}}} + \frac{7}{{{x_1}}}$，则有${x_1} = \frac{{7{y_1}}}{{10{y_1}-5}}$.由于当10y₁-5>7y₁，即当y₁≥2时，$\frac{{7{y_1}}}{{10{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$.因而有y₁=1.而当y₁=1时，$\frac{{7{y_1}}}{{10{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$.因而，此时方程(2) 无整数解.

情况11   当d=11时.此时有$11 = \frac{5}{{{y_1}}} + \frac{7}{{{x_1}}}$，则有${x_1} = \frac{{7{y_1}}}{{11{y_1}-5}}$.由于当11y₁-5>7y₁，即当y₁≥2时，$\frac{{7{y_1}}}{{11{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$.因而有y₁=1.而当y₁=1时，$\frac{{7{y_1}}}{{11{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$.因而，此时方程(2) 无整数解.

情况12   当d=12时.此时有$12 = \frac{5}{{{y_1}}} + \frac{7}{{{x_1}}}$，则有${x_1} = \frac{{7{y_1}}}{{12{y_1}-5}}$.由于当12y₁-5>7y₁，即当y₁≥2时，$\frac{{7{y_1}}}{{12{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$.因而当y₁=1时，$\frac{{7{y_1}}}{{12{y_1}-5}}$才有可能是正整数.经计算，有x₁=1, y₁=1.此时有φ(x)=x₁φ(d)=4，φ(y)=y₁φ(d)=4.因而有x=y=5, 8, 10, 12.因而，此时方程(2) 有整数解(x, y)=(12, 12).

情况13   当d=13时.此时有$13 = \frac{5}{{{y_1}}} + \frac{7}{{{x_1}}}$，则有${x_1} = \frac{{7{y_1}}}{{13{y_1}-5}}$.由于当13y₁-5>7y₁，即当y₁≥1时，$\frac{{7{y_1}}}{{13{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$.因而，此时方程(2) 无整数解.

情况14   当d=14时.此时有$14 = \frac{5}{{{y_1}}} + \frac{7}{{{x_1}}}$，则有${x_1} = \frac{{7{y_1}}}{{14{y_1}-5}}$.由于当14y₁-5>7y₁，即当y₁≥1时，$\frac{{7{y_1}}}{{14{y_1}-5}} \notin {\bf{Z}}$.因而，此时方程(2) 无整数解.

综合以上讨论，可得本文结论.证毕.

在定理1中，当k₁=5，k₂=7时，方程(2) 有解，(x, y)=(12, 12)，此时k₁+k₂=12.那么，对于任意的正整数k₁, k₂，方程(1) 是否一定有(k₁+k₂, k₁+k₂)这一组解.为此，证明了以下结论.

定理2   对于任意的正整数k₁, k₂，(x, y)=(k₁+k₂, k₁+k₂)是方程(1) 的1组解.

证明   当(x, y)=(k₁+k₂, k₁+k₂)时，令k₁+k₂=2^αq₁^β₁…q_t^β_t是标准分解式，则φ(xy)=φ((k₁+k₂)²)=φ(2^2αq₁^2β₁…q_t^2β_t)=2^2α-1q₁^2β₁-1…q_t^2β_t-1(1-q₁^-1)(1-q₂^-1)…(1-q_t^-1)，而k₁φ(x)+k₂φ(y)=k₁φ(k₁+k₂)+k₂φ(k₁+k₂)=(k₁+k₂)φ(k₁+k₂)=2^αq₁^β₁…q_t^β_tφ(2^αq₁^β₁…q_t^β_t)=2^2α-1q₁^2β₁-1…q_t^2β_t-1(1-q₁^-1)…(1-q_t^-1)=φ(xy).因而，(x, y)=(k₁+k₂, k₁+k₂)是方程(1) 的1组解.证毕.

3 结语

本文讨论了当k₁=5，k₂=7时方程φ(xy)=5φ(x)+7φ(y)的解问题.而对于其他的正整数k₁, k₂，效仿定理1中方程的讨论，同样可以得到相对应方程的解，只不过当k₁, k₂中有一数略大时，需分2 max{k₁, k₂}种情况讨论.