0 引言

非线性发展方程可以用来描述等离子体物理、非线性光学、流体力学等许多物理现象。为了更好地理解这些物理现象的本质，寻找非线性发展方程的相关解就显得尤为重要。文献[1]通过Painlevé截断展开法提出了留数对称定理。同时，为了得到更多非线性系统的本质特征，文献[2]提出了一致的Riccati展开(CRE)法，在此基础上，不仅可以明确非线性系统的可积性，还可以构造孤子与其他多种非线性波之间的相互作用解^[3-5]。本文主要对修正Broer-Kaup-Kupershmidt(MBKK)方程^[6]

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{u_t} = - \frac{1}{2}{u_{xx}} - 2u{u_x} + \frac{1}{2}{v_{xx}}, }\\ {{v_t} = \frac{1}{2}{v_{xx}} - 2{{(uv)}_x}} \end{array}} \right. $

(1)

进行了研究。MBKK方程是由(2+1)维BKK方程^[7]当y=x时改写得到的。BKK方程是描述非线性和色散长重力波在浅海水平方向均匀深度的模型, MBKK方程则主要用于描述浅水波的运动。目前, 已有文献主要针对BKK方程进行研究, 而对MBKK方程的研究较少, 如文献[8]用Hirota方法把非线性方程化为双线性方程, 然后通过摄动法寻找其精确解。本文首先用Painlevé分析法^[9]研究MBKK方程的留数对称和相应的有限变换，其次用CRE方法得到MBKK方程的新的相互作用解。

1 MBKK方程的非局域留数对称及其局域化

由MBKK方程(1)的非线性项与色散项的平衡，可得其Painlevé截断展开^[10]为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \frac{{{u_1}}}{\phi } + {u_0}, }\\ {v = \frac{{{v_1}}}{\phi } + {v_0}, } \end{array}} \right. $

(2)

式中：u₀、u₁、v₀、v₁、均为x和t的函数。将方程(2)代入方程(1)，取1/Φ的各次幂系数为0，可得

$ {u_1} = - \frac{{{\phi _x}}}{4};{v_1} = - \frac{{3{\phi _x}}}{8};{u_0} = \frac{{{\phi _{xx}} - 4{\phi _t}}}{{8{\phi _x}}};{v_0} = \frac{{3{\phi _{xx}}}}{{16{\phi _x}}}。$

(3)

Φ满足方程(1)的Schwartzian形式，即

$ 2{C_{xx}} - {S_x} = 0, $

(4)

式中：$C = \frac{{{\phi _t}}}{{{\phi _x}}};S = \frac{{{\phi _{xxx}}}}{{{\phi _x}}} - \frac{{3\phi _{xx}^2}}{{2\phi _x^2}}$。

方程(4)在Möbious变化

$ \phi \to \frac{{a + b\phi }}{{c + d\phi }}, (ad \ne bc) $

(5)

下保持不变，这表示方程(4)拥有σ^Φ=a、σ^Φ=b和σ^Φ=c²三种对称，将方程(2)代入方程(1)，可得定理1。

定理1(Bäcklund变换定理)  若Φ是方程(4)的解，则

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = \frac{{{\phi _{xx}} - 4{\phi _t}}}{{8{\phi _x}}}, }\\ {v = \frac{{3{\phi _{xx}}}}{{16{\phi _x}}}} \end{array}} \right. $

(6)

是方程(1)关于Φ和解u, v间的一个Bäcklund变换。当Φ和解u, v满足Bäcklund变换(6)时，方程(1)有如下留数对称：${\sigma ^u} = - \frac{1}{4}{\phi _x}, {\sigma ^v} = - \frac{3}{8}\phi $。

为了将留数对称局域化^[11]，引入辅助变量g=g(x, t)，利用表达式

$ g = {\phi _x}, $

(7)

则方程(1)的非局域留数对称被局域化为延拓系统(1)、(6)、(7)的Lie点对称，即

$ {\sigma ^u} = - \frac{1}{4}g;{\sigma ^v} = - \frac{3}{8}g;{\sigma ^g} = - 2\phi g;{\sigma ^\phi } = - {\phi ^2}。$

(8)

相应的Lie点对称的向量场表达式为

$ V = - \frac{1}{4}g{\partial _u} - \frac{3}{8}g{\partial _v} - 2\phi g{\partial _g} - {\phi ^2}{\partial _\phi }。$

(9)

由Lie的第一基本定理，解如下的初值问题：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{{\rm{d}}\hat u(\varepsilon )}}{{{\rm{d}}\varepsilon }} = - \frac{1}{4}\hat g(\varepsilon ), \hat u(0) = u, }\\ {\frac{{{\rm{d}}\hat v(\varepsilon )}}{{{\rm{d}}\varepsilon }} = - \frac{3}{8}\hat g(\varepsilon ), \hat v(0) = v, }\\ {\frac{{{\rm{d}}g(\varepsilon )}}{{{\rm{d}}\varepsilon }} = - 2(\hat \phi (\varepsilon )\hat g(\varepsilon )), \hat g(0) = g, }\\ {\frac{{{\rm{d}}\hat \phi (\varepsilon )}}{{{\rm{d}}\varepsilon }} = - \hat \phi {{(\varepsilon )}^2}, \hat \phi (0) = \phi }。\end{array}} \right. $

(10)

可得Lie点对称(9)的有限对称变换为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\hat u(\varepsilon ) = u - \frac{{g\varepsilon }}{{4(\varepsilon \phi + 1)}}, }\\ {\hat v(\varepsilon ) = v - \frac{{3g\varepsilon }}{{8(\varepsilon \phi + 1)}}, }\\ {\hat g(\varepsilon ) = \frac{g}{{{{(\varepsilon \phi + 1)}^2}}}, }\\ {\hat \phi (\varepsilon ) = \frac{\phi }{{\varepsilon \phi + 1}}, } \end{array}} \right. $

(11)

式中：ε是任意群参数。

2 MBKK方程的CRE可解与新的精确解

根据CRE方法^[12]，方程(1)有如下的截断展开式：

$ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = {u_0} + \frac{{{u_1}}}{{R(\omega )}}, }\\ {v = {v_0} + \frac{{{v_1}}}{{R(\omega )}}, } \end{array}} \right.} $

(12)

式中：ω=ω(x, t)；R(ω)是Riccati方程

$ {{R_\omega } = {l_0} + {l_1}R + {l_2}{R^2}} $

(13)

的解, l₀、l₁、l₂为任意常数, R=R(ω)。

将式(12)和(13)代入方程(1), 并令${\frac{1}{{R(\omega )}}}$的各次幂系数为0，可得

$ {u_1} = - \frac{{{\omega _x}{l_0}}}{4}, {u_0} = - \frac{{\omega _x^2{l_1} - {\omega _{xx}} + 4{\omega _t}}}{{8{\omega _x}}}, {v_1} = - \frac{{3{\omega _x}{l_0}}}{8}, {v_0} = - \frac{{3\omega _x^2{l_1} - 3{\omega _x}}}{{16{\omega _x}}}, $

且ω满足方程

$ \frac{{3\delta }}{{32}}{\omega _x}{\omega _{xx}} - \frac{3}{{32}}{S_x} + \frac{3}{{16}}{C_{xx}} = 0, $

(14)

式中：$C = \frac{{{\omega _t}}}{{{\omega _x}}};S = \frac{{{\omega _{xxx}}}}{{{\omega _x}}} - \frac{{3\omega _{xx}^2}}{{2\omega _x^2}};\delta = l_1^2 - 4{l_0}{l_2}$。

为求相互作用解，可设相容性方程(14)的解的具体形式为

$ \omega = {k_1}x + {p_1}t + W(X);X = {k_2}x + {p_2}t。$

(15)

将式(15)代入式(14)，得到椭圆方程

$ W_{1X}^2 = {C_0} + {C_1}{W_1} + {C_2}W_1^2 + {C_3}W_1^3 + {C_4}W_1^4, $

(16)

式中：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{C_0} = \frac{{k_1^2(4k_1^2{l_0}{l_2} - k_1^2l_1^2 + {C_2}k_2^2)}}{{3k_2^4}}, }\\ {{C_1} = \frac{{{k_1}(4k_1^2{l_0}{l_2} - k_1^2l_1^2 + {C_2}k_2^2)}}{{k_2^3}}, }\\ {{C_3} = \frac{{ - 20k_1^2{l_0}{l_2} + 5k_1^2l_1^2 + {C_2}k_2^2}}{{3{k_1}{k_2}}}, }\\ {{C_4} = \delta , {p_1} = \frac{{{p_2}{k_1}}}{{{k_2}}}, {W_1}(X) = {W_X}, } \end{array}} \right. $

(17)

其中C₂, k₁, k₂, p₂为任意常数。则MBKK方程(1)的解有如下形式：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {u = - \frac{{{l_1}{{({k_1} + {k_2}{W_X})}^2} - k_2^2{W_{XX}} + 4({p_1} + {p_2}{W_X})}}{{8({k_1} + {k_2}{W_X})}} - \frac{{{l_0}({k_1} + {k_2}{W_X})}}{{4R(\omega )}}, }\\ {v = - \frac{{3({l_1}{{({k_1} + {k_2}{W_X})}^2} - k_2^2{W_{XX}})}}{{16({k_1} + {k_2}{W_X})}} - \frac{{3{l_0}({k_1} + {k_2}{W_X})}}{{8R(\omega )}}}。\end{array}} \right. $

(18)

下面通过2个例子来具体给出MBKK方程的孤立波与椭圆周期波之间的相互作用解。

例1  取椭圆函数方程(16)的解为

$ W = c{E_\pi }( sn ({k_2}x + {p_2}t, m), n, m), $

(19)

式中：sn(q, m)为椭圆函数；E_π为第三类不完全椭圆积分。取l₀=－1, l₁=0, l₂=－1, 此时Riccati方程的解为R(ω)=cot(ω)。

将R(ω)=cot(ω)和式(19)代入式(18)，可得MBKK方程的相互作用解为

$ u = \frac{{4{p_1} + \frac{{4c{p_2}}}{{ - {S^2}n + 1}} - \frac{{2ck_2^2nSCD}}{{{{( - {S^2}n + 1)}^2}}}}}{{8({k_1} + \frac{{c{k_2}}}{{ - {S^2}n + 1}})}} + \frac{{{k_1} + \frac{{c{k_2}}}{{ - {S^2}n + 1}}}}{{4{\rm{cot}}({k_1}x + {p_1}t + c{E_\pi }(S, n, m))}}, $

$ v = \frac{{3ck_2^2nSCD}}{{8({k_1} + \frac{{c{k_2}}}{{ - {S^2}n + 1}}){{( - {S^2}n + 1)}^2}}} + \frac{{3({k_1} + \frac{{c{k_2}}}{{ - {S^2}n + 1}})}}{{8{\rm{cot}}({k_1}x + {p_1}t + c{E_\pi }(S, n, m))}}, $

式中：S=sn(k₂x+p₂t, m)；C=cn(k₂x+p₂t, m)；D=dn(k₂x+p₂t, m)。

将式(15)和式(19)代入方程(14)，利用Maple软件解超定方程可得：c、m、k₁、k₂、p₁、p₂为任意常数，n=0。

图 1为例1中u, v相互作用解的波形图, 图 2为x=0时u, v的平面周期波解结构。参数选择如下：{c=－0.553 931 451 6, m=0.9, n=0, k₁=1, k₂=1, p₁=2, p₂=2}。可以看出, 解u, v分别具有多个不在同一平面上的波峰和波谷，且这些波峰和波谷的凹陷程度不同。

例2  $W = \frac{1}{2}{\rm{arctan}}{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} h( sn ({k_2}x + {p_2}t, n)), {l_0} = {l_1} = 0, {l_2} = 1$, 此时Riccati方程的解为$R(\omega ) = - \frac{1}{{\omega + 3}}$, 按照与例1类似的步骤，可得方程(1)的相互作用解为

$ \begin{array}{l} u = \frac{1}{{4({k_2}( - {S^2} + 1)( - {n^2}{S^2} + 1) - 2{S^2}{k_1} + 2{k_1})}}\left( {\left( {\frac{{k_2^2{{( - {n^2}{S^2} + 1)}^2}S}}{{2( - {S^2} + 1)}} + \frac{{k_2^2( - {S^2} + 1){n^2}S}}{2} - k_2^2{{( - {n^2}{S^2} + 1)}^2}S - } \right.} \right.\\ \left. {\left. {\frac{{2({p_2}( - {S^2} + 1)( - {n^2}{S^2} + 1) - 2{S^2}{p_1} + 2{p_1})}}{{{S^2} - 1}}} \right)({S^2} - 1)} \right), \end{array} $

$ v = - \frac{{3( - \frac{{k_2^2{{( - {n^2}{S^2} + 1)}^2}S}}{{2( - {S^2} + 1)}} - \frac{{k_2^2( - {S^2} + 1){n^2}S}}{2} + k_2^2{{( - {n^2}{S^2} + 1)}^2}S)({S^2} - 1)}}{{8({k_2}( - {S^2} + 1)( - {n^2}{S^2} + 1) - 2{S^2}{k_1} + 2{k_1})}}, $

式中：$S = sn ({k_2}x + {p_2}t, n);{p_1} = \frac{{{k_1}{p_2}}}{{{k_2}}}$

图 3为例2中u, v相互作用解的波形图, 图 4为x=0时u, v的平面周期波解结构。参数选择如下：{n=0.568, k₁=0.4, k₂=0.2, p₁=0.8, p₂=0.4}。可以看出，解u, v分别具有多个波峰和波谷，且波峰和波谷的凹陷程度不同。

3 结束语

由Painlevé截断展开法得到MBKK方程的留数对称, 并通过引入合适的新变元将其局域化为Lie点对称, 在此基础上, 利用Lie的第一基本定理研究了延拓系统的有限变换。最后, 用CRE方法获得了MBKK方程的相互作用解。为了更好地研究解的性质, 通过选取适当的参数, 给出了解的相应图形。