0 引言

自Zadeh^[1]提出模糊集概念以来，许多学者陆续给出了模糊集的多种扩展形式。例如，文献[2]提出了直觉模糊集的概念，并研究了直觉模糊集代数运算及其应用。文献[3-4]定义了犹豫模糊集，讨论了不同类型犹豫模糊集的集成算子。由于犹豫模糊集只对每个属性信息给出不同的隶属度，在实际决策过程中不能够全面地反映决策者的评估信息。基于此，文献[5]定义了直觉犹豫模糊集，并将其应用于多属性决策问题。直觉犹豫模糊集集成了直觉模糊集和犹豫模糊集的优势，能够更好地描述决策者的偏好不一致性。此外，文献[6]研究了基于犹豫直觉模糊语言集距离的TOPSIS和TODIM多属性决策方法；文献[7]结合相关系数研究了直觉犹豫模糊集的群决策问题。

距离测度在决策过程中一直是研究的热点问题之一，已经在许多领域得到了广泛的应用，如多属性决策问题、市场前景预测、模式识别等。文献[8]研究了模糊集的几何度量和Hausdorff度量；文献[9-11]研究了犹豫模糊集的距离测度、相似测度和相关测度。文献[12]同样考虑了直觉犹豫模糊集的距离度量问题，但只考虑了隶属度和非隶属度之间的差异，并未考虑直觉犹豫模糊集犹豫程度的差异。犹豫度是体现直觉犹豫模糊集的重要特征之一，基于此，本文将给出直觉犹豫模糊集犹豫度的概念，并基于犹豫度定义给出不同类型的直觉犹豫模糊集的距离测度，结合偏好决策和TOPSIS方法，通过模式识别案例和锂离子电池供应商模型，验证了所提方法的有效性和优越性。

1 预备知识

定义1^[2]  设X是一个有限的非空集合，则称

$ I=\{\langle x, \mu(x), \nu(x)\rangle \mid x \in X\} $

为直觉模糊集(intuitionistic fuzzy set，IFS)，其中μ(x)和ν(x)分别表示元素x∈X对于集合I的隶属度和非隶属度，μ(x)≥0, ν(x)≥0, 且μ(x)+ν(x)≤1。

进一步地，π(x)=1-μ(x)-ν(x)表示元素对于集合I的犹豫度。

定义2^[3-4]设X是一个有限的非空集合，则称

$ H=\{\langle x, h(x)\rangle \mid x \in X\} $

为X上的一个犹豫模糊集(hesitant fuzzy set，HFS)，其中h(x)是[0, 1]区间中一些数值的集合，表示元素关于集合A的一些可能的隶属度。

定义3^[4]设X是一个有限的非空集合，则称

$ A=\left\{\left\langle x, \varGamma_{A}(x), \varPsi_{A}(x)\right\rangle \mid x \in X\right\} $

为直觉犹豫模糊集(intuitionistic hesitant fuzzy set，IHFS)，其中Γ_A(x)和Ψ_A(x)是[0, 1]区间中的两个子集合，表示x∈X的可能的隶属度和非隶属度，即

$ \varGamma_{A}(x)=\left\{\gamma_{1}, \gamma_{2}, \cdots, \gamma_{l_{(h)}}\right\}, $

$ \varPsi_{A}(x)=\left\{\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{l_{(g)}}\right\}, $

其中：对于任意的γ_A(x)∈Γ_A(x), 有η_A(x)∈Ψ_A(x), 且满足0≤γ_A(x)+η_A(x)≤1;反之，对任意的η_A(x)∈Ψ_A(x)，有γ_A(x)∈Γ_A(x)，且满足0≤γ_A(x)+η_A(x)≤1。所有直觉犹豫模糊集构成的集合记为IHFS(X)。

对于任意的x∈X，〈x, Γ_A(x), Ψ_A(x)〉被称为直觉犹豫模糊元(intuitionistic hesitant fuzzy element，IHFE)，可以简写为

$ a=\left\langle\varGamma_{A}, \varPsi_{A}\right\rangle=\left\langle\left\{\gamma_{A}^{1}, \gamma_{A}^{2}, \cdots, \gamma_{A}^{l_{A}}\right\},\left\{\eta_{A}^{1}, \eta_{A}^{2}, \cdots, \eta_{A}^{g_{A}}\right\}\right\rangle, $

其中：l_A和g_A分别表示隶属度和非隶属度元素的个数。一般情况下要求l_A=g_A。若l_A≠g_A, 可以对较短的隶属度个数或非隶属度个数进行延伸，直至l_A=g_A，延伸方式为

$ \bar{\gamma}_{A}=\xi \gamma_{A}^{+}+(1-\xi) \gamma_{A}^{-}, \bar{\eta}_{A}=\zeta \eta_{A}^{+}+(1-\zeta) \eta_{A}^{-}, $

这里，

$ \gamma_{A}^{+} =\max \limits_{\gamma_{A} \in \varGamma_{A}}\left\{\gamma_{A}\right\}, \gamma_{A}^{-}=\min \limits_{\gamma_{A} \in \varGamma_{A}}\left\{\gamma_{A}\right\}, $

$ \eta_{A}^{+} =\max \limits_{\eta_{A} \in \varPsi_{A}}\left\{\eta_{A}\right\}, \eta_{A}^{-}=\min \limits_{\eta_{A} \in \varPsi_{A}}\left\{\eta_{A}\right\}, $

其中: 0≤ξ，ζ≤1，ξ和ζ是由决策者风险偏好所决定的。令σ: {1, 2, …, m}→{1, 2, …, m}，满足γ_A^σ(j)≥γ_A^σ(j+1), η_A^σ(j)≥η_A^σ(j+1)(j=1, 2, …, m-1)，这里γ_A^σ(j)和η_A^σ(j)分别表示Γ_A(x)和Ψ_A(x)中第j大的值。

特别地，对于任意的x∈X，若Ψ_A(x)=Ø，此时，IHFS退化为HFS; 而当满足0≤$\mathop {\max }\limits_{{\gamma _A} \in {\mathit{\Gamma }_A}}${γ_A}+$\mathop {\max }\limits_{{\eta _A} \in {\mathit{\psi }_A}}${η_A}≤1时，IHFS退化为对偶犹豫模糊集(dual hesitant fuzzy set, DHFS)。

定义4  设A, B∈IHFS(X), 若函数D: IHFS(X)×IHFS(X)→[0, 1]满足以下性质：

1) 0≤D(A, B)≤1，

2) D(A, B)=0当且仅当A=B，

3) D(A, B)=D(B, A)，

则称D(A, B)为A和B间的直觉犹豫模糊集的距离测度。

设A, B∈IHFS(X)，其中

$ A=\left\{\left\langle x, \varGamma_{A}(x), \varPsi_{A}(x)\right\rangle \mid x \in X\right\}, $

$ B=\left\{\left\langle x, \varGamma_{B}(x), \varPsi_{B}(x)\right\rangle \mid x \in X\right\}, $

则A和B间的Hamming距离为

$ \begin{aligned} &D_{\mathrm{H}}(A, B)=\frac{1}{2 n} \sum\limits_{i=1}^{n}\left(\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}}\left|\gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|+\right. \\ &\left.\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left|\eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|\right) 。\end{aligned} $

A和B间的广义距离为

$ \begin{aligned} &D_{G}(A, B)=\left[\frac { 1 } { 2 n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \left(\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}}\left|\gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|^{p}+\right.\right.\\ &\left.\left.\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left|\eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|{ }^{p}\right)\right]^{\frac{1}{p}}, \end{aligned} $

其中：p>0。特别地，若p=2，则为A和B间的Euclidean距离(D_E(A, B))。

例1  设X={x}, A, B, C∈IHFS(X), 其中

$ A=\{\langle x,\{0.4,0.2\},\{0.8,0.5\}\rangle\}, $

$ B=\{\langle x,\{0.3,0.1\},\{0.5,0.4\}\rangle\}, $

$ C=\{\langle x,\{0.7,0.3\},\{0.6,0.1\}\rangle\}, $

则D_H(A, C)=D_H(B, C)=0.25，D_E(A, C)=D_E(B, C)=0.273 9。

根据上述计算结果，传统的Hamming距离和Euclidean距离无法识别样本C是属于模式A还是模式B。因此，有必要进一步考虑直觉犹豫模糊集的距离测度。本文将在直觉犹豫模糊集犹豫度的基础上，提出一些新的直觉犹豫模糊集的距离测度公式。

2 基于犹豫度的直觉犹豫模糊集的距离测度

定义5  设A∈IHFS(X), 对任意的x_i∈X，则直觉犹豫模糊元A(x_i)的直觉犹豫度定义为

$ \begin{aligned} &\mu_{A}\left(x_{i}\right)=\frac{1}{l_{A}} \sum\limits_{j=1}^{l_{A}}\left|\gamma_{A}^{j}\left(x_{i}\right)-\bar{\gamma}_{A}\left(x_{i}\right)\right|+ \\ &\frac{1}{g_{A}} \sum\limits_{j=1}^{g_{A}}\left|\eta_{A}^{j}\left(x_{i}\right)-\bar{\eta}_{A}\left(x_{i}\right)\right|, \end{aligned} $

其中：γ_A(x_i)表示A的隶属度均值；η_A(x_i)表示A的非隶属度均值；μ_A(x_i)表示A的隶属度和非隶属度与其平均值之间的偏差之和。

实际上，这里的μ_A(x_i)表示决策者对给出隶属度与非隶属度的犹豫程度。特别地，若μ_A(x_i)=0, 表示决策者可以很明确地得出隶属度和非隶属度; 若μ_A(x_i)=1, 表示决策者对给出隶属度与非隶属度最犹豫不决的情况。

定义6  设A, B∈IHFS(X)，对任意的x_i∈X，则A和B关于x_i的直觉犹豫度的偏差定义为

$ \mu_{B}^{A}\left(x_{i}\right)=\left|\mu_{A}\left(x_{i}\right)-\mu_{B}\left(x_{i}\right)\right|, $

其中，μ_A(x_i)和μ_B(x_i)分别为直觉犹豫模糊元A(x_i)和B(x_i)的直觉犹豫度。

特别地，若μ_B^A(x_i)=0，表示决策者对A和B的犹豫程度相同；若μ_B^A(x_i)=1, 表示决策者对A和B中的一个直觉犹豫模糊集可以很明确地给出隶属度和非隶属度，而对另一个直觉犹豫模糊集，决策者对给出隶属度与非隶属度最犹豫不决。

例2  设A, B, C为例1中的IHFS，根据定义6，计算出μ_C^A(x)=0.2，μ_C^B(x)=0.3，可知C与B的直觉犹豫度偏差大于C与A的直觉犹豫度偏差。

定义7  设a₁=〈Γ₁, Ψ₁〉，a₂=〈Γ₂, Ψ₂〉∈IHFE(X)，则a₁和a₂间的Hamming距离为

$ \begin{gathered} D_{\mathrm{HH}}\left(a_{1}, a_{2}\right)=\frac{1}{2}\left[t \left(\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}}\left|\gamma_{a_{1}}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\gamma_{a_{2}}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|+\right.\right. \\ \left.\left.\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left|\eta_{a_{1}}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{a_{2}}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|\right)+(1-t) 2 \mu_{a_{2}}^{a_{1}}\left(x_{i}\right)\right], \end{gathered} $

其中：参数t∈[0, 1]。

对应的A, B∈IHFS(X)，则A和B间新的Hamming距离定义为

$ \begin{gathered} D_{\mathrm{HH}}(A, B)=\frac{1}{2 n} \sum\limits_{i=1}^{n}\left[t \left(\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}}\left|\gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|+\right.\right. \\ \left.\left.\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left|\eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|\right)+(1-t) 2 \mu_{B}^{A}\left(x_{i}\right)\right], \end{gathered} $

其中：参数t∈[0, 1]。

A和B间新的Euclidean距离定义为

$ \begin{gathered} D_{\mathrm{HE}}(A, B)=\frac{1}{2 n} \sum\limits_{i=1}^{n}\left[t \left(\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}}\left|\gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|^{2}+\right.\right. \\ \left.\left.\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left|\eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|^{2}\right)+(1-t) 2 \mu_{B}^{A}\left(x_{i}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}}, \end{gathered} $

其中：参数t∈[0, 1]。

A和B间新的广义距离定义为

$ \begin{aligned} &D_{\mathrm{HG}}(A, B)=\frac{1}{2 n} \sum\limits_{i=1}^{n}\left[t \left(\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}}\left|\gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|^{p}+\right.\right. \\ &\left.\left.\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left|\eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|^{p}\right)+(1-t) 2 \mu_{B}^{A}\left(x_{i}\right)^{p}\right]^{\frac{1}{p}}, \end{aligned} $

其中：参数t∈[0, 1], p>0。

定理1  设A, B∈IHFS(X), 则D_HH(A, B), D_HE(A, B), D_HG(A, B)满足定义4中的三条性质。

证明  以D_HH(A, B)为例进行证明，其他距离测度的证明类似。

1) 设

$ A=\left\{\left\langle x, \varGamma_{A}(x), \varPsi_{A}(x)\right\rangle \mid x \in X\right\}, $

$ B=\left\{\left\langle x, \varGamma_{B}(x), \varPsi_{B}(x)\right\rangle \mid x \in X\right\}, $

γ_A^σ(j)和η_A^σ(j)分别表示Γ_A(x)和Ψ_A(x)中第j大的值，γ_A(x_i)表示A的隶属度均值，η_A(x_i)表示A的非隶属度均值，则

$ -1 \leqslant \gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right) \leqslant 1, $

$ -1 \leqslant \eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right) \leqslant 1, $

从而

$ 0 \leqslant\left|\gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right| \leqslant 1, $

$ 0 \leqslant\left|\eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right| \leqslant 1, $

故有

$ 0 \leqslant \frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}}\left|\gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right| \leqslant 1, $

$ 0 \leqslant \frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left|\eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right| \leqslant 1, $

所以，

$ \begin{aligned} &0 \leqslant \frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}}\left|\gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|+ \\ &\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left|\eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right| \leqslant 2, \end{aligned} $

$ 0 \leqslant\left|\gamma_{A}^{j}\left(x_{i}\right)-\bar{\gamma}_{A}\left(x_{i}\right)\right| \leqslant \frac{1}{2}, $

$ 0 \leqslant\left|\eta_{A}^{j}\left(x_{i}\right)-\bar{\eta}_{A}\left(x_{i}\right)\right| \leqslant \frac{1}{2}, $

$ 0 \leqslant \frac{1}{l_{A}} \sum\limits_{j=1}^{l_{A}}\left|\gamma_{A}^{j}\left(x_{i}\right)-\bar{\gamma}_{A}\left(x_{i}\right)\right| \leqslant \frac{1}{2}, $

$ 0 \leqslant \frac{1}{g_{A}} \sum\limits_{j=1}^{g_{A}}\left|\eta_{A}^{j}\left(x_{i}\right)-\bar{\eta}_{A}\left(x_{i}\right)\right| \leqslant \frac{1}{2} 。$

于是，有

$ \begin{aligned} &0 \leqslant \mu_{A}\left(x_{i}\right)=\frac{1}{l_{A}} \sum\limits_{j=1}^{l_{A}}\left|\gamma_{A}^{j}\left(x_{i}\right)-\bar{\gamma}_{A}\left(x_{i}\right)\right|+ \\ &\frac{1}{g_{A}} \sum\limits_{j=1}^{g_{A}}\left|\eta_{A}^{j}\left(x_{i}\right)-\bar{\eta}_{A}\left(x_{i}\right)\right| \leqslant 1, \end{aligned} $

同理可得0≤μ_B(x_i)≤1。从而

$ 0 \leqslant 2 \mu_{B}^{A}\left(x_{i}\right)=2\left|\mu_{A}\left(x_{i}\right)-\mu_{B}\left(x_{i}\right)\right| \leqslant 2, $

进一步可得

$ \begin{aligned} &0 \leqslant t\left(\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}}\left|\gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|+\right. \\ &\left.\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left|\eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|\right)+(1-t) 2 \mu_{B}^{A}\left(x_{i}\right) \leqslant 2, \end{aligned} $

因此，

$ \begin{aligned} &0 \leqslant D_{\mathrm{HH}}(A, B)=\frac{1}{2 n} \sum\limits_{i=1}^{n}\left[t \left(\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}} \mid \gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\right.\right. \\ &\left.\left.\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|+\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left| \eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right) \right|\right)+ \\ &\left.(1-t) 2 \mu_{B}^{A}\left(x_{i}\right)\right] \leqslant 1 。\end{aligned} $

2) 若D_HH(A, B)=0, 则

$ \begin{aligned} &\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}}\left|\gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|+ \\ &\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left|\eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|=0, \end{aligned} $

且μ_B^A(x_i)=0, 从而有

$ \gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)=0, $

$ \eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)=0, $

故μ_A(x_i)-μ_B(x_i)=0, 即

$ \gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)=\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right), \eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)=\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right), $

可得μ_A(x_i)=μ_B(x_i)，故A=B。

反之，显然成立。

3) 根据定义7，有

$ \begin{aligned} &D_{\mathrm{HH}}(A, B)=\frac{1}{2 n} \sum\limits_{i=1}^{n}\left[t \left(\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}} \mid \gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\right.\right. \\ &\left.\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|+\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left| \eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right) \mid\right)+ \\ &\left.(1-t) 2 \mu_{B}^{A}\left(x_{i}\right)\right]=\frac{1}{2 n} \sum\limits_{i=1}^{n}\left[t \left(\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}} \mid \gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\right.\right. \\ &\left.\left.\gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|+\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left| \eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right) \right|\right)+ \\ &\left.(1-t) 2 \mu_{A}^{B}\left(x_{i}\right)\right]=D_{\mathrm{HH}}(B, A) 。\end{aligned} $

综上所述，D_HH(A, B)满足定义4中的三条性质。

由于属性之间存在差异，因此有必要将属性的权重纳入距离测度考虑中。定义A和B间的新Hamming加权距离为

$ \begin{aligned} &D_{\mathrm{HH} \omega}(A, B)=\frac{1}{2 n} \sum\limits_{i=1}^{n} \omega_{i}\left(t \left(\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}} \mid \gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\right.\right. \\ &\left.\left.\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|+\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left| \eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right) \right|\right)+ \\ &\left.(1-t) 2 \mu_{B}^{A}\left(x_{i}\right)\right) 。\end{aligned} $

A和B间的新Euclidean加权距离为

$ \begin{aligned} &D_{\mathrm{HE} \omega}(A, B)=\left[\frac { 1 } { 2 n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \omega _ { i } \left(t \left(\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}} \mid \gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\right.\right.\right. \\ &\left.\left.\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|^{2}+\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left|\eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|^{2}\right)+ \\ &\left.\left.(1-t)\left(2 \mu_{B}^{A}\left(x_{i}\right)\right)^{2}\right)\right]^{\frac{1}{2}} 。\end{aligned} $

A和B间的新广义加权距离为

$ \begin{aligned} &D_{\mathrm{HG \omega} }(A, B)=\left[\frac { 1 } { 2 n } \sum _ { i = 1 } ^ { n } \omega _ { i } \left(t \left(\frac{1}{l_{i}} \sum\limits_{j=1}^{l_{i}} \mid \gamma_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\right.\right.\right. \\ &\left.\left.\gamma_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|^{p}+\frac{1}{g_{i}} \sum\limits_{j=1}^{g_{i}}\left|\eta_{A}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)-\eta_{B}^{\sigma(j)}\left(x_{i}\right)\right|^{p}\right)+ \\ &\left.\left.(1-t)\left(2 \mu_{B}^{A}\left(x_{i}\right)\right)^{p}\right)\right]^{\frac{1}{p}} 。\end{aligned} $

例3  设A, B, C为例1中的IHFS，根据上述距离测度，并取t=0.5，可以计算出D_HH(A, C)=0.225, D_HH(B, C)=0.275。由此可判别模式C属于模式A，这与直观上认识是一致的。

此外，从问题的计算结果来看，本文提出的新距离测度既保留了传统的直觉犹豫模糊集距离测度的特点，又考虑了直觉犹豫模糊集本身的数据结构特征，克服了传统距离测度的不足。

3 属性权重的确定方法

目前，多属性决策问题是一个研究热点，决策者需要在权衡多个属性后选择最优方案。近年来，人们对解决这一问题的方法进行了广泛的研究，TOPSIS是其中比较有效的方法之一。对于属性值为直觉犹豫模糊元的多属性决策问题，决策者对备选方案有一定的主观偏好，且偏好值为直觉犹豫模糊元。决策举证中的属性值可以作为客观偏好值，但由于现实条件的限制，主观与客观偏好间常常存在一定的偏差。为了使决策更合理，属性权重的选择应使决策者的主观偏好与客观偏好的总偏差最少。本文提出的距离测度既充分考虑了直觉模糊元之间隶属度和非隶属度的关联，又考虑了直觉犹豫模糊元的犹豫度，且在实际应用中是有效的。由此，将基于新的直觉犹豫模糊集的距离测度来确定属性信息的权重模型，

$ \left\{\begin{array}{l} \min f(\omega)=\sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} d_{\mathrm{HH}}\left(\alpha_{i j}, \bar{\alpha}_{i}\right) \omega_{j}, \\ \text {s.t.} \quad \sum\limits_{j=1}^{n} \omega_{j}^{2}=1, \omega_{j} \geqslant 0。\end{array}\right. $

(1)

为了求解该模型，构造拉格朗日函数

$ L(\omega, \lambda)=\sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} d_{\mathrm{HH}}\left(\alpha_{i j}, \bar{\alpha}_{i}\right) \omega_{j}+\frac{\lambda}{2}\left(\sum\limits_{j=1}^{n} \omega_{j}^{2}-1\right), $

对λ和ω_j分别求偏导，并令$\frac{\partial L(\omega, \lambda)}{\partial \omega_{j}}$=0，$\frac{\partial L(\omega, \lambda)}{\partial \lambda}$=0，得

$ \left\{\begin{array}{l} \frac{\partial L(\omega, \lambda)}{\partial \omega_{j}}=\sum\limits_{i=1}^{m} d_{\mathrm{HH}}\left(\alpha_{i j}, \bar{\alpha}_{i}\right)+\lambda \omega_{j}=0, \\ \frac{\partial L(\omega, \lambda)}{\partial \lambda}=\sum\limits_{j=1}^{n} \omega_{j}^{2}-1=0, \end{array}\right. $

(2)

属性权重为

$ \omega_{j}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m} d_{\mathrm{HH}}\left(\alpha_{i j}, \bar{\alpha}_{i}\right)}{\sqrt{\sum\limits_{j=1}^{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{m} d_{\mathrm{HH}}\left(\alpha_{i j}, \bar{\alpha}_{i}\right)\right)^{2}}}, j=1,2, \cdots, n。$

在解决实际问题时，通常要求属性权重的和为1，将上述属性权重式子归一化，可得

$ \omega_{j}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m} d_{\mathrm{HH}}\left(\alpha_{i j}, \bar{\alpha}_{i}\right)}{\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{i=1}^{m} d_{\mathrm{HH}}\left(\alpha_{i j}, \bar{\alpha}_{i}\right)}, j=1,2, \cdots, n。$

(3)

根据直觉犹豫模糊元的新距离测度，分别计算方案与正、负理想元的加权距离，

$ d_{\mathrm{HH}}\left(Y_{i}, \alpha^{+}\right)=\sum\limits_{j=1}^{n} d_{\mathrm{HH}}\left(\alpha_{i j}, \alpha_{j}^{+}\right) \omega_{j}, $

$ d_{\mathrm{HH}}\left(Y_{i}, \alpha^{-}\right)=\sum\limits_{j=1}^{n} d_{\mathrm{HH}}\left(\alpha_{i j}, \alpha_{j}^{-}\right) \omega_{j}, $

其中：α_j⁺=〈{1}, {0}〉, α_j^-=〈{0}, {1}〉分别表示直觉犹豫模糊元的正理想元和负理想元。进一步地，根据TOPSIS思想计算各方案的相对贴近度为

$ R\left(Y_{i}\right)=\frac{d_{\mathrm{HH}}\left(Y_{i}, \alpha^{-}\right)}{d_{\mathrm{HH}}\left(Y_{i}, \alpha^{+}\right)+d_{\mathrm{HH}}\left(Y_{i}, \alpha^{-}\right)}, j=1,2, \cdots, n。$

(4)

根据R(Y_i)的值对备选方案进行排序，R(Y_i)越大，则方案Y_i越优。

4 决策步骤

本文给出一种对方案有偏好的直觉犹豫模糊集的多属性决策方法，具体步骤如下。

Step 1  决策者对各方案按照属性进行评估，获得直觉犹豫模糊决策矩阵M=(α_ij)_m×n，同时给出对各方案的偏好值α_i(1≤i≤m)。

Step 2  根据属性权重优化模型，利用式(3)计算属性权重。

Step 3  根据式(4)计算各方案的相对贴近度。

Step 4  进一步根据R(Y_i)(1≤i≤m)的值，对方案进行排序。

5 算例分析 5.1 算例

在TOPSIS方法中，用Y={Y₁, Y₂, …, Y_m}表示m个备选方案，C={C₁, C₂, …, C_n}表示n个属性，ω={ω₁, ω₂, …, ω_n}是属性权重，且$\sum\limits_{j=1}^{n}$ω_j=1，其中ω_j表示属性C_j的重要程度。在属性C_j(j=1, 2, …, n)下，α_ij=〈Γ_αij, Ψ_αij〉, 这里Γ_αij={γ_ij¹, γ_ij², …, γ_ij^l}和Ψ_αij={η_ij¹, η_ij², …, η_ij^g}表示满意值和不满意值。

下面通过具体实例对上述算法进行说明。

例4  与传统二次电池相比，锂离子电池具有能量高、循环性能好、无记忆效应等优点。自其诞生以来，在短短的数年内，锂离子电池就占据了手机、数码相机、摄像机和笔记本等便携式移动电子设备领域。影响锂离子电池性能的因素是多种多样的，下面将利用直觉犹豫模糊集的决策方法，分别从锂离子电池正负极材料的选择(C₁)、电解质的选择(C₂)、隔膜的选择(C₃)、电池的结构和尺寸(C₄)四种主要属性来对Y₁、Y₂、Y₃和Y₄这四家锂离子电池供应商进行评估。

Step 1  专家对这四种属性进行评估，得到各方案的属性值，以直觉犹豫模糊元的形式给出，如表 1所示。

评估专家给出各方案的偏好值α_i(1≤i≤m)为：α₁=〈{0.6, 0.8}, {0.3}〉, α₂=〈{0.7, 0.5}, {0.2}〉, α₃=〈{0.7, 0.6}, {0.3}〉, α₄=〈{0.8, 0.7}, {0.1}〉。由此得到决策矩阵为

$ \boldsymbol{M}=\left(\alpha_{i j}\right)_{4 \times 4}=\left(\begin{array}{cccc} \langle\{0.2,0.7\},\{0.2\}\rangle & \langle\{0.8,0.6\},\{0.1,0.2\}\rangle & \langle\{0.7\},\{0.4,0.2\}\rangle & \langle\{0.5,0.8\},\{0.2,0.1\}\rangle \\ \langle\{0.8,0.7\},\{0.2,0.1\}\rangle & \langle\{0.3,0.4,0.2\},\{0.5\}\rangle & \langle\{0.3,0.4\},\{0.5,0.6\}\rangle & \langle\{0.6,0.7\},\{0.3,0.1\}\rangle \\ \langle\{0.5,0.3\},\{0.4\}\rangle & \langle\{0.6,0.4,0.5\},\{0.3\}\rangle & \langle\{0.6,0.8\},\{0.2,0.3\}\rangle & \langle\{0.9,0.8\},\{0.1\}\rangle \\ \langle\{0.6,0.5\},\{0.3,0.2\}\rangle & \langle\{0.6\},\{0.4,0.3\}\rangle & \langle\{0.7,0.6\},\{0.3\}\rangle & \langle\{0.7,0.8\},\{0.1\}\rangle \end{array}\right)。$

这里不妨取t=0.5，p=1，可计算出各方案的d_HH(Y_i, α⁺)，d_HH(Y_i, α^-)，结果列于表 2。同时，可计算出d_HH(Y_1j, α₁)，d_HH(Y_2j, α₂)，d_HH(Y_3j, α₃)，d_HH(Y_4j, α₄)，结果列于表 3。

因此，可得

$ \sum\limits_{j=1}^{n} d_{\mathrm{HH}}\left(\alpha_{1 j}, \bar{\alpha}_{1}\right)=0.562\ 5, \sum\limits_{j=1}^{n} d_{\mathrm{HH}}\left(\alpha_{2 j}, \bar{\alpha}_{2}\right)=0.337\ 5, $

$ \sum\limits_{j=1}^{n} d_{\mathrm{HH}}\left(\alpha_{3 j}, \bar{\alpha}_{3}\right)=0.350\ 0, \sum\limits_{j=1}^{n} d_{\mathrm{HH}}\left(\alpha_{4 j}, \bar{\alpha}_{4}\right)=0.250\ 0。$

Step 2  取t=0.5, p=1，建立属性权重优化模型为

$ \begin{aligned} &\min f(\omega)=0.562\ 5 \omega_{1}+0.337\ 5 \omega_{2}+ \\ &0.350\ 0 \omega_{3}+0.250\ 0 \omega_{4}, \end{aligned} $

$ \text {s.t. }\ \sum\limits_{j=1}^{n} \omega_{j}^{2}=1, \omega_{j} \geqslant 0 。$

根据式(3)计算属性权重为

$ \omega=(0.375,0.225,0.233,0.167) \text { 。} $

Step 3  由式(4)计算各方案的相对贴近度为

$ R\left(Y_{1}\right)=0.635\ 5, R\left(Y_{2}\right)=0.583\ 1, $

$ R\left(Y_{3}\right)=0.657\ 3, R\left(Y_{4}\right)=0.682\ 0 。$

Step 4  按照R(Y_i)(1≤i≤4)的大小，对方案进行排序，即R(Y₄)>R(Y₃)>R(Y₁)>R(Y₂)。因此，Y₄为最佳锂离子电池供应商。

5.2 敏感性分析

令p=1, 通过对参数t取不同的数值进行敏感性分析。当t分别取0.2、0.5、0.6、0.8、1.0时，分析备选方案评价结果的排序情况，结果如表 4所示。可以看出，随着参数t取值的不同，最佳备选方案Y₄的排序结果始终没有发生改变，由此可知，备选方案的排序结果对参数t的变化不敏感。

令t=0.5，通过对参数p取不同的数值进行敏感性分析。当p分别取1、2、4时，分析备选方案评价结果的排序情况，结果如表 5所示。可以看出，随着参数p取值的不同，最佳备选方案Y₄的排序结果始终没有发生改变。也就是说，备选方案的排序结果对参数p的变化不敏感。

综合参数t、p的敏感性分析，表明了本文方法的稳定性和可行性。

注  利用文献[12]中提出的Hamming距离进行计算，其结果为R(Y₄)>R(Y₁)>R(Y₃)>R(Y₂)。

由此可知，其排序的最优方案和最劣方案与本文方法的计算结果基本一致。此外，通过上述例1和例3的分析可知，本文提出的直觉犹豫模糊集距离测度可以克服文献[12]中Hamming距离的不足之处，进一步说明本文所提出的距离测度是有效的。

6 小结

犹豫度是体现直觉犹豫模糊集的重要特征之一，在决策过程中能够很好地反映决策者犹豫不决的程度。基于此，本文给出直觉犹豫模糊集犹豫度的概念，以及不同类型的直觉犹豫模糊集的距离测度，具体模式识别案例分析结果表明了本文所提出的距离测度的有效性和实用性。此外，结合有偏好的决策问题和TOPSIS方法，给出了备选方案的决策模型和算法步骤。将此方法应用于锂离子电池供应商模型，并对相应的参数t、p进行了敏感性分析，可以得到的最优方案始终相同，证明了所提出的距离测度具有实用性和稳定性。