0 引言

在对模糊集理论^[1]进行深入研究后，Atanassov^[2]提出了直觉模糊集(intuitionistic fuzzy set，IFS)概念，定义了隶属度、非隶属度和犹豫度来描述客观事物的模糊性和不确定性，为直觉模糊集理论的形成奠定了坚实的基础。因直觉模糊集具有良好的包容性及表达性，所以被广泛应用于多属性决策领域，例如航空军贸、应急决策、医疗诊断、人力资源等^[3-6]。

直觉模糊多属性决策问题中，属性权重对决策结果具有重大影响，其分配可分为两类情况。一是权重完全已知的情况，即属性权重是决策者主观给出的：梅晓玲^[7]构造新的记分函数并引入相似度概念，利用已知权重对动态直觉模糊决策问题中的方案进行加权集成并排序；李磊等^[8]依据最小化最大妥协度的决策准则，考虑含有决策主体权重的决策情景，给出个体偏好值的集结算法及决策方法。二是权重部分未知或完全未知的情况：汪峰等^[9]给出了一种改进的直觉模糊熵定义，通过建立非线性规划模型得到属性权重并利用协相关度对方案进行排序；张洋铭等^[10]采用投影法和直觉模糊熵确定权重信息，然后运用直觉模糊物元多属性决策方法进行实例分析。而在现实情况中，决策问题往往伴随着决策者的主观偏好和决策问题的客观条件，若单独考虑一方来确定属性权重分配，会使决策结果较为片面，不符合实际情况。

在决策信息集结方面，采用层次分析法、理想点法、选择法等方法处理直觉模糊决策信息存在一定的局限性，容易造成决策信息部分流失的问题。证据推理是由Yang等^[11]在证据理论的基础上提出的一种融合不确定信息的方法。因其能够很好保留整体决策信息的特点，在直觉模糊多属性决策领域被广泛运用。包甜甜等^[12]通过直觉模糊集统一不同类型的属性值，提出了一种基于前景理论和证据推理的混合多属性决策方法；代文锋等^[13]将证据推理方法运用于直觉模糊多属性群决策问题，弥补了现有直觉模糊信息融合的不足；刘文清等^[14]在对不完全信息进行补缺后，运用证据推理方法融合直觉模糊决策信息，选择最优方案。

综上所述，本文将在综合考虑属性客观性和决策者主观性的前提下，提出一种新的权重优化公式，对属性权重进行优化分配，使权重值更符合实际情况。其次，利用证据推理方法集结不确定性决策信息，再通过新的记分函数对方案进行排序。最后，用算例对比分析本文方法的可行性。

1 预备知识 1.1 直觉模糊集

直觉模糊集由模糊集发展而来，是模糊集发展的一个分支，能够很好地描述不确定信息。

定义 1^[2]  假设直觉模糊集α={〈x, μ_α(x), ν_α(x)〉x∈Φ}，该式的含义可表述为非空集合Φ中有元素x属于α，且其隶属度为μ_α(x)，非隶属度为ν_α(x)，犹豫度为π_α(x)=1－μ_α(x)－ν_α(x)，其中μ_α: Φ→[0, 1], ν_α: Φ→[0, 1]，且必须满足0≤μ_α(x)+ν_α(x)≤1, ∀x∈Φ。μ_α(x)和ν_α(x)组成的有序对(μ_α(x), ν_α(x))称为直觉模糊数。

定义 2^[1]  设α={〈x, μ_α(x), ν_α(x)〉，x∈Φ}，β={〈x, μ_β(x), ν_β(x)〉，x∈Φ}是两个直觉模糊集，若μ_α(x)≥μ_β(x)，ν_α(x)≤ν_β(x)，则α≥β，当且仅当μ_α(x)=μ_β(x)，ν_α(x)=ν_β(x)时，α=β。

1.2 证据推理

证据推理由证据理论发展而来，克服了证据理论中存在的悖论现象，能够较好融合各类不确定信息并尽可能保留决策信息不流失，被广泛应用于多属性决策领域。

定义 3^[15]  设Θ为识别框架，则函数m: 2^Θ→[0, 1]满足：1)m(Ø)=0；2)$\mathop \sum \limits_{A \subseteq \mathit{\boldsymbol{\Theta }}} m\left( A \right) = 1$。m为Θ上的基本可信度分配(basic probability assignment，BPA)，简称mass函数，A为Θ中的任意子集。其中，使m(A)>0的A称为焦元。

定义 4^[16]  证据推理法中，设有n个评价等级构成辨识框架Θ，记为Θ={H_n，n=1, 2, …, N}；各个属性是决策问题方案集中的证据，记为e_i(i=1, 2, …, I)。则证据e_i的评价结果可以表示为

$ S\left(e_{i}\right)=\left\{\left(H_{n}, \beta_{n, i}\right), n=1,2, \cdots, N\right\}, i=1,2, \cdots, I, $

(1)

其中：β_{n, i}表示表示证据e_i被评为等级H_n的置信度，满足0≤β_{n, i}≤1，且$\mathop \sum \limits_{n = 1}^N {\beta _{n, i}} \le 1$。当$\mathop \sum \limits_{n = 1}^N {\beta _{n, i}} \le 1$表示决策过程是完全确定的；当$\mathop \sum \limits_{n = 1}^N {\beta _{n, i}} \le 1$表示决策过程存在不确定性，可表示为${\beta _{H, i}} = 1 - \sum\limits_{n = 1}^N {{\beta _{n, i}}} $。

2 问题描述

假设某多属性决策有m个备选方案A={A_i，i=1, 2, …, m}，A_i表示第i个备选方案。每个方案都有n个决策属性C={C_j，j=1, 2, …, n}，C_j表示第j个决策属性，且决策者给出的n个属性的权重ω={ω_j，j=1, 2, …, n}，ω_j表示属性C_j的重要程度，且0≤ω_j≤1，$\mathop \sum \limits_{j = 1}^n {\omega _j} = 1$；方案A_i对属性C_j的属性值以直觉模糊数表示为〈μ_j(A_i), ν_j(A_i)〉，则相应的犹豫度表示为π_j(A_i)=1－μ_j(A_i)－ν_j(A_i)，相应的直觉模糊决策矩阵表示为

$ \boldsymbol{X}=\left[\begin{array}{cccc} \left\langle\mu_{1}\left(A_{1}\right), \nu_{1}\left(A_{1}\right)\right\rangle & \left\langle\mu_{2}\left(A_{1}\right), \nu_{2}\left(A_{1}\right)\right\rangle & \cdots & \left\langle\mu_{n}\left(A_{1}\right), \nu_{n}\left(A_{1}\right)\right\rangle \\ \left\langle\mu_{1}\left(A_{2}\right), \nu_{1}\left(A_{2}\right)\right\rangle & \left\langle\mu_{2}\left(A_{2}\right), \nu_{2}\left(A_{2}\right)\right\rangle & \cdots & \left\langle\mu_{n}\left(A_{2}\right), \nu_{n}\left(A_{2}\right)\right\rangle \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ \left\langle\mu_{1}\left(A_{m}\right), \nu_{1}\left(A_{m}\right)\right\rangle & \left\langle\mu_{2}\left(A_{m}\right), \nu_{2}\left(A_{m}\right)\right\rangle & \cdots & \left\langle\mu_{n}\left(A_{m}\right), \nu_{n}\left(A_{m}\right)\right\rangle \end{array}\right]。$

(2)

3 决策方法 3.1 基于直觉模糊熵和相似度的属性权重优化

优化权重需要考虑两个部分，一是决策者主观确定的权重，二是属性自身客观确定的权重。一般而言，主观权重都是根据决策者经验或者环境条件直接给出的，而客观权重由决策信息的具体情况决定。在直觉模糊数的背景下，可以通过直觉模糊熵和直觉模糊相似性两方面来综合考虑属性的客观权重。

直觉模糊熵是对直觉模糊集不确定性的定量描述，用以衡量直觉模糊集的模糊程度。直觉模糊熵越大，说明该直觉模糊集不确定程度越高。张毛银等^[17]对比分析了现有计算直觉模糊熵方法存在的不足，利用核概念来描述隶属度与非隶属度之间产生的偏差，再结合犹豫度提出了一种新的直觉模糊熵计算方法。

$ E\left(C_{j}\right)=\frac{1}{m} \sum\limits_{i=1}^{m} \frac{e^{1-\eta_{j}\left(A_{i}\right)}\left(1-\eta_{j}\left(A_{i}\right)\right)+e^{\pi_{j}\left(A_{i}\right)} \pi_{j}\left(A_{i}\right)}{e^{1-\eta_{j}\left(A_{i}\right)}+e^{\pi_{j}\left(A_{i}\right)}}, $

(3)

其中：η_j(A_i)=|μ_j(A_i)－ν_j(A_i)|表示直觉模糊数〈μ_j(A_i), ν_j(A_i)〉的核；π_j(A_i)=1－μ_j(A_i)－ν_j(A_i)表示直觉模糊数〈μ_j(A_i), ν_j(A_i)〉的犹豫度。由此可以得出属性C_j的直觉模糊熵为E(C_j)。

直觉模糊相似度是对两个直觉模糊集相似性的定量描述，用以衡量直觉模糊集的相似程度。直觉模糊相似度越高，说明不同直觉模糊集越相似。Song等^[18]对比发现已有的直觉模糊相似度测量方法会出现与直觉相反的结果，通过界定隶属度与非隶属度的上下界并结合犹豫度，提出了一种符合人们直觉判断的新的直觉模糊相似度测量方法。

$ \begin{array}{l} T\left(C_{\alpha}, C_{\beta}\right)=\frac{1}{3 m} \sum\limits_{i=1}^{m}\left(2 \sqrt{\mu_{\alpha}\left(A_{i}\right) \mu_{\beta}\left(A_{i}\right)}+2 \sqrt{\nu_{\alpha}\left(A_{i}\right) \nu_{\beta}\left(A_{i}\right)}+\sqrt{\pi_{\alpha}\left(A_{i}\right) \pi_{\beta}\left(A_{i}\right)}+\right. \\ \left.\sqrt{\left(1-\mu_{\alpha}\left(A_{i}\right)\right)\left(1-\mu_{\beta}\left(A_{i}\right)\right)}+\sqrt{\left(1-\nu_{\alpha}\left(A_{i}\right)\right)\left(1-\nu_{\beta}\left(A_{i}\right)\right)}\right), \end{array} $

(4)

其中：α≠β，表示比较两个不同属性的相似度，所以某个特定属性C_j的相似度需要将包含该属性的相似度比较进行结合，

$ T\left(C_{j}\right)=\frac{1}{n-1} \sum\limits_{\alpha=j, \beta \neq j}^{n} T\left(C_{\alpha}, C_{\beta}\right)。$

(5)

结合已知的决策者给出的主观权重ω={ω_j，j=1, 2, …, n}，利用熵权法的基本思想，将直觉模糊熵、直觉模糊相似度和主观权重进行优化修正，得到综合权重${\tilde \omega _j}$，

$ \tilde{\omega}_{j}=\frac{1-\omega_{j} E\left(C_{j}\right)+\omega_{j} T\left(C_{j}\right)}{\sum\limits_{j=1}^{n}\left(1-\omega_{j} E\left(C_{j}\right)+\omega_{j} T\left(C_{j}\right)\right)}。$

(6)

3.2 基于证据推理的直觉模糊信息融合

以直觉模糊决策矩阵X为基础，设直觉模糊等级集合^[12]为H={H_q，q=1, 2}，方案A_i对属性C_j的评价结果可表示为S(C_j(A_i))={(H_q, β_{q, ij}), q=1, 2}，其中：β_{1, ij}=μ_j(A_i)；β_{2, ij}=ν_j(A_i)。若μ_j(A_i)+ν_j(A_i)=1，π_j(A_i)= 1－μ_j(A_i)－ν_j(A_i)= 0，则β_{H, ij}= 0表示方案A_i对属性C_j的决策信息是确定的；若μ_j(A_i)+ν_j(A_i)＜1，π_j(A_i)=1－μ_j(A_i)－ν_j(A_i)≠0，则${\beta _{H, ij}} = 1 - \mathop \sum \limits_{q = 1}^2 {\beta _{q, ij}} = {\pi _j}\left( {{A_i}} \right)$表示方案A_i对属性C_j的决策信息存在不确定性。

$ m_{q, i j}=\tilde{\omega}_{j} \beta_{q, i j}, q=1,2, j=1,2, \cdots, n, $

(7)

$ m_{H, i j}=1-\sum\limits_{q=1}^{2} m_{q, i j}=1-\tilde{\omega}_{j} \sum\limits_{q=1}^{2} \beta_{q, i j}, $

(8)

$ \bar{m}_{H, i j}=1-\tilde{\omega}_{j}, $

(9)

$ \tilde{m}_{H, i j}=\tilde{\omega}_{j}\left(1-\sum\limits_{q=1}^{2} \beta_{q, i j}\right), $

(10)

$ m_{H, i j}=\bar{m}_{H, i j}+\tilde{m}_{H, i j}, $

(11)

其中：m_{q, ij}表示方案A_i的属性C_j在等级H_q的基本概率分配；m_{H, ij}表示方案A_i中各属性融合后没有被分配的程度；m_{H, ij}表示由权重产生的未知；${\tilde m_{H, ij}}$表示由判断引起的未知。

结合证据推理融合公式，将所有属性对应的决策信息进行融合。

$ m_{q, i}=K\left[\left(\prod \limits_{j=1}^{n} m_{q, i j}+\bar{m}_{H, i j}+\tilde{m}_{H, i j}\right)-\prod \limits_{j=1}^{n}\left(\bar{m}_{H, i j}+\tilde{m}_{H, i j}\right)\right], $

(12)

$ \tilde{m}_{H, i}=K\left[\prod \limits_{j=1}^{n}\left(\bar{m}_{H, i j}+\tilde{m}_{H, i j}\right)-\prod \limits_{j=1}^{n} \tilde{m}_{H, i j}\right], $

(13)

$ \bar{m}_{H, i}=K \prod \limits_{j=1}^{n} \tilde{m}_{H, i j}, $

(14)

$ K=\left[\sum\limits_{q=1}^{2} \prod \limits_{j=1}^{n}\left(m_{q, i j}+\bar{m}_{H, i j}+\tilde{m}_{H, i j}\right)-\prod \limits_{j=1}^{n}\left(\bar{m}_{H, i j}+\tilde{m}_{H, i j}\right)\right]^{-1}。$

(15)

故可得到方案A_i的评价结果，表示为S(A_i)={(H_q, β_{q, i}), q=1, 2}，其中不确定性表示为β_{H, i}，

$ \beta_{q, i} =\frac{m_{q, i}}{1-\bar{m}_{H, i}}, $

(16)

$ \beta_{H, i} =\frac{\tilde{m}_{H, i}}{1-\bar{m}_{H . i}} 。$

(17)

将融合信息进行整理得到方案A_i的直觉模糊数为〈μ_i, ν_i〉，其中：μ_i=β_{1, i}；ν_i=β_{2, i}。

3.3 基于新的记分函数的方案大小排序

直觉模糊数可以通过记分函数比较大小。在综合考虑隶属度、非隶属度和犹豫度三者的情况下，本文引用了一种新的记分函数计算方法^[19]，较为客观合理地确定不同直觉模糊数的大小。记分函数越大，说明相应的直觉模糊数越优。

定义 5^[19]  设任意直觉模糊集α={〈x, μ_α(x), ν_α(x)〉 x∈Φ}，称

$ \varphi(\alpha)=\frac{\exp \left(\mu_{\alpha}-\nu_{\alpha}+H_{I} \pi_{\alpha}\right)}{1+\pi_{\alpha}^{2}} $

(18)

为直觉模糊集的记分函数，其中：

$ H_{I}=H I ; H=\frac{H\left(\mu_{\alpha}, \nu_{\alpha}\right)+H\left(\nu_{\alpha}, \mu_{\alpha}\right)}{2} ; H\left(\mu_{\alpha}, \nu_{\alpha}\right)=\mu_{\alpha} \log _{2} \frac{\mu_{\alpha}}{\left(\mu_{\alpha}+\nu_{\alpha}\right) / 2}+\left(1-\mu_{\alpha}\right) \log _{2} \frac{1-\mu_{\alpha}}{1-\left(\mu_{\alpha}+\nu_{\alpha}\right) / 2} ; $

$ I=\left\{\begin{aligned} 1, &\ \ \ \ \mu_{\alpha}>\nu_{\alpha} ,\\ 0, &\ \ \ \ \mu_{\alpha}=\nu_{\alpha} ,\\ -1, &\ \ \ \ \mu_{\alpha}<\nu_{\alpha}, \end{aligned}\right. $

H是直觉模糊交叉熵^[20]，用来表示隶属度和非隶属度的交互情况。

将上述步骤得到的方案A_i的直觉模糊数为〈μ_i, ν_i〉，通过此方法得到相应的记分函数φ(A_i)，比较大小，得出最优方案。

通过上述方法，本文的决策流程为步骤1~4。

步骤 1  运用公式(3)~(5)，分别计算出属性C_j直觉模糊熵E(C_j)和直觉模糊相似度T(C_j)。

步骤 2  结合已知的主观属性权重系数ω={ω_j，j=1, 2, …, n}，运用公式(6)对主观权重系数进行优化修正，得到综合权重${\tilde \omega _j}$。

步骤 3  将直觉模糊数与证据推理模型相结合，运用公式(7)~(17)对不同属性的决策信息进行融合，得到方案A_i的直觉模糊数为〈μ_i, ν_i〉。

步骤 4  运用直觉模糊数的记分函数φ(α)确定方案A_i的大小，通过排序选出最优方案。

4 算例分析

假设某作战队伍需要购买一批武器进行战斗，有3家武器供应商提供了相应的武器方案A_i，i=1, 2, 3。武器购买专家主要从3个方面考察武器方案的优越性：突击能力C₁、反应能力C₂、机动能力C₃，均用直觉模糊数表示考察结果。专家A₁的考察结果分别为C₁=＜0.5, 0.3＞，C₂=＜0.6, 0.2＞，C₃=＜0.5, 0.1＞；专家A₂的考察结果分别为C₁=＜0.6, 0.1＞，C₂=＜0.5, 0.4＞，C₃=＜0.5, 0.3＞；专家A₃的考察结果分别为C₁=＜0.7, 0.2＞，C₂=＜0.6, 0.2＞，C₃=＜0.5, 0.2＞。其中，专家给出各属性权重为ω=(0.3, 0.3, 0.4)。

步骤 1  对属性权重进行优化，结合公式(3)~(5)，先后计算出各属性的直觉模糊熵E(C_j)，E(C₁)=0.446，E(C₂)=0.510，E(C₃)=0.546；直觉模糊相似度T(C_j)，T(C₁)=0.978，T(C₂)=0.986，T(C₃)=0.985。

步骤 2  根据公式(6)对各属性的直觉模糊数、直觉模糊相似度以及专家给出的主观权重进行整合，得到综合权重${\tilde \omega _j} = \left( {0.327, 0.324, 0.349} \right)$。

步骤 3  利用证据推理对各个方案中的不同属性的评价信息进行融合，根据公式(7)~(17)计算得出各个方案的综合评价，A₁=〈0.595, 0.193〉，A₂=〈0.542, 0.312〉，A₃=〈0.616, 0.239〉。

步骤 4  根据定义4给出的记分函数运算方法，计算出各个方案的记分函数，进行排序比较，选出最具有优越性的方案。解得，φ(A₁)=1.469，φ(A₂)=1.239，φ(A₃)=1.450，${A_1} \succ {A_3} \succ {A_2}$，故A₁方案最优。

结合专家给出各属性权重为ω=(0.3, 0.3, 0.4)，利用文献[14]的方法，得到三种方案的直觉模糊评价分别为A₁=〈0.592, 0.184〉，A₂=〈0.577, 0.266〉，A₃=〈0.648, 0.186〉，最后通过贴近度计算得到C(A₁)=0.667，C(A₂)=0.634，C(A₃)=0.698，又因为贴近度越大，方案越优，故A₃方案最优。

两种方法的比较如表 1所示。

经过对比，发现本文方法得到结果与文献[14]方法得到结果存在差异，其主要原因有两点：一是文献[14]没有考虑权重的客观性，而是直接采用了文中的主观权重进行证据推理计算，使得运算结果出现偏差；二是文献[14]的方案排序方法是比较直觉模糊数的贴近度，其计算公式中缺少对直觉模糊数犹豫度的考量，无法表现排序的全面性，使得排序结果出现偏差。综上所述，本文方法从权重和排序两方面对解决直觉模糊多属性决策问题进行优化，所选方案更符合实际需求，更为客观合理。

5 结论

因直觉模糊集的兼容性，可以把不同类型的数据转化为直觉模糊数且不出现信息缺失的情况，所以直觉模糊多属性决策问题涵盖范围很广。本文提出了一种基于直觉模糊数和证据推理的多属性决策方法。该方法将直觉模糊熵、直觉模糊相似度以及主观权重相结合，通过熵权法优化修正属性权重，使各属性权重分配更为合理。其次，利用证据推理方法融合直觉模糊信息，避免信息缺失的情况。最后，引入一种新的记分函数，综合考虑方案的隶属度、非隶属度和犹豫度对方案进行排序，选择出最优方案。算例验证了本文方法的可行性，通过与其他方法的对比凸显了本文方法的优越性，在直觉模糊多属性决策领域具有一定的应用价值。