0 引言

在研究中往往假设常规控制图R图和s图都是近似正态分布, 在实际问题中, 样本的极差R和标准差s都是从0开始趋近无限大, 在控制图的右侧无限延长且趋近于零.当α=0.002 7时, 在许多情况下R和s控制图平均链长最大值不是370, 这种缺陷在小样本检测中更加明显, 原因在于监控生产过程中R和s图的最小值均是从0开始, 去掉了负数部分的下控制限, 使整个控制图呈偏态分布的.

为了克服这些问题, 文献[1]提出了一种改进的R图(IRC).文献[2]讨论了常规s图的不足, 提出了一种修正的s控制图.文献[3]研究了高产过程的CCC-r控制图.文献[4-6]提出了多种改进的常规控制图.文献[7]展示了改进的R和s控制图(IRC和ISC), 通过计算顺序统计量的分布函数得到IRC和ISC.本文在文献[7]的基础上, 通过定义无偏的平均链长, 得到了ARL无偏的R(UBRC)和s(UBSC)控制图, 并精确计算控制图的上下限的参数.

定义1  对于某个同时具有上下控制限的控制图, 若σ=1时，平均链长达到最大；当σ偏离标准值1时，平均链长变小, 则称该控制图为ARL无偏的.否则称该控制图为ARL有偏的.

1 ARL无偏的R和s控制图 1.1 ARL无偏的R控制图

假设X服从独立同分布的标准正态分布N(μ, σ²)，已知其均值μ和标准差σ₀.有一组大小为n的样本, 对这些样本进行排序得到x₍₁₎, x₍₂₎, …，x_(n).标记σ为过程标准差, 其标准值为σ₀.设0 < λ < ∞，用λσ₀表示系统偏移量, 当λ=1时表示无偏移.

R控制图的上下控制限为：上控制限UCL_R=D₂R，中心线CL_R=R，下控制限LCL_R=D₁R，R=x_(n)-x₍₁₎, x₍₁₎=min{x₁, x₂, …, x_n}，x_(n)=max{x₁, x₂, …, x_n}, D₁和D₂是基于样本容量n的常数^[8].使用顺序统计量(x₍₁₎, x_(n))联合密度函数，f(x₍₁₎, x_(n))=n(n-1)φ(x₍₁₎)φ(x_(n))·[Φ(x_(n))-Φ(x₍₁₎)]^n-2，-∞ < x₍₁₎ < x_(n) < +∞，φ与Φ分别为X的概率密度函数与概率分布函数.令x₁=U，X的联合密度函数可以表示为^[7]：g(U, R)=n(n-1)φ(U)φ(U+R)(Φ(U+R)-Φ(U))^n-2, R>0；当R≤0时g(U, R)=0.

上式也可以表示为

$ \begin{array}{l} {G_R}\left( r \right) = P\left( {R < r} \right)\int_0^r {\int_{ - \infty }^{ + \infty } {g\left( {U, R} \right)} } {\rm{d}}U{\rm{d}}R = \int_{ - \infty }^\infty {\int_0^r {n\left( {n - 1} \right)} } \varphi \left( U \right)\varphi \left( {U + R} \right){\left( {\mathit{\Phi }\left( {U + R} \right)\\ - \mathit{\Phi }\left( U \right)} \right)^{n - 2}}{\rm{d}}U{\rm{d}}R = \int_{ - \infty }^\infty {n\varphi \left( U \right){{\left( {\mathit{\Phi }\left( {U + R} \right) - \mathit{\Phi }\left( U \right)} \right)}^{n - 1}}{\rm{d}}U, } \end{array} $

R控制图的上下控制限UCL_R和LCL_R分别表示为^[7]

$ \int_{-\infty }^\infty {n\varphi \left( U \right){{\left( {\mathit{\Phi }\left( {U + r} \right)-\mathit{\Phi }\left( U \right)} \right)}^{n-1}}{\rm{d}}U} = 1 - \frac{\alpha }{2}; \\ {\rm{ }}\int_{ - \infty }^\infty {n\varphi \left( U \right){{\left( {\mathit{\Phi }\left( {U + r} \right) - \mathit{\Phi }\left( U \right)} \right)}^{n - 1}}{\rm{d}}U} = \frac{\alpha }{2}. $

(1)

由公式(1) 可得, 改进型R控制图的参数为D₁^*和D₂^*.而ARL无偏R控制图的上下控制限分别为

$ \int_{-\infty }^\infty {n\varphi \left( U \right){{\left( {\mathit{\Phi }\left( {U + r} \right)-\mathit{\Phi }\left( U \right)} \right)}^{n-1}}{\rm{d}}U} = 1 - \left( {\alpha - {\alpha _1}} \right); \\ \int_{ - \infty }^\infty {n\varphi \left( U \right){{\left( {\mathit{\Phi }\left( {U + r} \right) - \mathit{\Phi }\left( U \right)} \right)}^{n - 1}}{\rm{d}}U} = {\alpha _1}. $

(2)

由公式(2) 可得无偏控制图参数D₁^**和D₂^**, 则控制图的上下限分别为UCL_R=D₂^**σ；LCL_R=D₁^**σ.对控制限等价变形为LCL < R < UCL⇔D₁^**σ₀ < g(U, R) < D₂^**σ₀⇔D₁^**λσ₀ < g(U, R) < D₂^**λσ₀.若用G(x)表示概率分布函数，则发出失控信号的概率为

$ {p_R} = p\left( \lambda \right) = 1-G(D_2^{**}\lambda {\sigma _0}) + G(D_1^{**}\lambda {\sigma _0}). $

(3)

ARL无偏的R控制图的平均链长为L_R(λ)=1/p(λ), 当λ=1时, 平均链长L(λ)取极大值L(1)=370.398 3，即发出失控信号的概率为p(λ), 当λ=1时得到极小值.当λ=1时, 由方程(3) 整理可得

$ \left\{ \begin{array}{l} g(D_2^{**}\lambda {\sigma _0})D_2^{**} = g(D_1^{**}\lambda {\sigma _0})D_1^{**}, \\ G(D_2^{**}\lambda {\sigma _0})-G(D_1^{**}\lambda {\sigma _0}) = 1-\alpha, \end{array} \right. $

(4)

其中g, G分别为R图的概率密度函数和概率分布函数.

由公式(4) 可得ARL无偏的控制图参数为D₁^**和D₂^**，同理，当σ未知时, 双侧检验的参数为D₃^**和D₄^**.表 1表示在第一类错误α下, n取不同值情况下的参数值D₁^**~D₄^**.图 1a表示当n=10时, 两种控制图的平均链长曲线, 可以看出ARL无偏的R图无偏斜的平均链长曲线.

1.2 ARL无偏的s控制图

常规控制图s 图是利用样本平均标准差来估计生产过程标准差σ, 从而快速发现生产过程中的质量问题.样本标准差${S^2} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{({X_i}-\bar X)}^2}/\left( {n-1} \right)} $，即(n-1)S²/σ²~X_n-1².使用3σ原理得到s图的上下控制限为：上控制限UCL_S=B₆s；中心线CL_S=s; 下控制限LCL_S=B₅s；B₄和B₅是基于样本容量n的常数^[8].s控制图的上下限分别表示为^[7]

$ {G_{x_{n-1}^2}}\{ \left( {n-1} \right){s^2}\} = 1-\alpha /2;{\rm{ }}{G_{x_{n - 1}^2}}\{ \left( {n - 1} \right){s^2}\} = \alpha /2. $

(5)

方程(5) 改进型s图的参数为B₅^*和B₆^*.对控制限等价变形LCL < s < UCL⇔B₅^**σ₀ < $\sqrt {\frac{1}{{n-1}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({X_i}-\bar X)}^2}} } $ < B₆^**σ₀⇔(n-1)(B₅^**/λ)² < $\;\frac{1}{{{{\left( {\lambda {\sigma _0}} \right)}^2}}}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({X_i}-\bar X)}^2}} $ < (n-1)(B₆^**/λ)²⇔(n-1)·(B₅^**/λ)² < χ²(n-1) < (n-1)(B₆^**/λ)².用F(x)表示χ²(n-1) 的概率分布函数, 则发出失控信号的概率为

$ {p_s} = p\left( \lambda \right) = 1-F(\left( {n-1} \right){(B_6^{**}/\lambda )^2}) + F(\left( {n-1} \right){(B_5^{**}/\lambda )^2}), $

(6)

s控制图的ARL为L_s(λ)=1/p(λ).当λ=1时，由方程(6) 可以得到f((n-1)B₆^**2)B₆^**2=f((n-1)B₅^**2)B₅^**2, F((n-1)B₆^**2)-F((n-1)B₅^**2)=1-2Φ(-3)≈1-α，其中f和F分别为自由度为n-1的χ²分布的概率密度函数和概率分布函数.ARL无偏s控制图的上下控制限分别为：UCL_s=B₆^**σ；LCL_s=B₅^**σ.同理可得在α未知时参数为B₃^**和B₄^**.表 2表示在第一类错误α下, 参数值B₃^**~B₆^**随n的变化趋势.图 1b表示当n=10时, 两种控制图的平均链长曲线, 可以看出ARL无偏控制图无偏斜的平均链长曲线.

2 数值比较 2.1 平均链长精确值的比较

可使用数值积分方法精确计算出控制图R图和s图的平均链长.标记σ₀为标准差(σ₀=1), σ为生产过程中发生偏差的标准差, δ(δ=σ/σ₀)为偏差幅度.

表 3和表 4分别给出在不同样本容量n和系统偏差δ下的控制图R图(UBRC和IRC)和控制图s图(UBSC和ISC)的平均链长.可以发现ARL无偏的R图和s图的平均链长最大值都在370, 当系统偏差逐渐变小或变大时平均链长都会变小, 并且随着样本容量的变大, 监控更加灵敏.

2.2 UBRC图和UBSC图的比较

对样本容量n=5, 10, 20时, ARL无偏的R图和s图的平均链长进行了比较, 图 2a，2b，2c中R图和s图的平均链长分别为

$ {p_R} = p\left( \sigma \right) = 1-G({D_2}\sigma ) + G({D_1}\sigma ), 即AR{L_R} = 1/{p_R}, $

(7)

$ {p_s} = p\left( \sigma \right) = 1-F\left( {\left( {n-1} \right){{({B_6}/\sigma )}^2}} \right) + F\left( {\left( {n-1} \right){{({B_5}/\sigma )}^2}} \right), \;即AR{L_s} = 1/{p_s}. $

(8)

当n=5时, 图 2a给出了系统偏差σ从1到3的曲线.图 2a中可以看到, 当σ < 1且逐渐趋近于1时, R图(UBRC)比s图(UBSC)有更短的平均链长，当σ>1且逐渐趋近于无穷时, UBSC控制图比UBRC控制图的平均链长减少速度更快, 较快的减少速率代表检测水平更为敏感.对比图 2a、图 2b及图 2c, 随着样本容量的变大, 两条曲线越来越趋近，当0.1 < σ < 1时, 两条曲线几乎没什么区别，当σ > 1时, UBSC图比UBRC更加有效.

图 2d表示两个控制图平均链长的差, 可以更直观地比较两个控制图平均链长.当n逐渐增大时, 两个控制图的平均链长之差越来越小, 当σ趋近无穷时, 两个控制图平均链长几乎相等.将图 2中四个图形比较可以发现, 当样本容量足够大时，s图处处比R图能进行更有效的监测.当0.6 < σ < 1时, R图监测效果非常灵敏.原因在于公式(7) 和(8) 中两个微小的概率密度, 它们的变化对平均链长之差产生很大的影响.当样本容量足够大时, s图比R图更有效，是因为R图只利用了样本最大值和最小值, 没有利用所有统计量的信息.

3 对随机模拟数据的检验

在随机模拟中检测ARL无偏控制图的性能.随机模拟20组样本容量为10的变量, 前10组是N(0, 1) 的独立同分布数据, 后10组数据系统误差为δ=σ/σ₀=2.图 3中显示，ARL无偏控制图具有优秀的监控效果.

4 结论

提出的“平均链长(ARL)无偏的休哈特控制图”及“控制图的ARL无偏性质”是对传统常规控制图的有效改进.通过数据显示, 无偏控制图、常规控制图在σ=1时，均达到平均链长的最大值370，在监控生产过程中质量变化并无差异.而σ≠1时，随着σ的变化，无偏控制图平均链长逐渐减小, 而常规控制图并无此优势.此外, 在大样本容量下, 通过比较ARL无偏的s控制图和ARL无偏的R控制图的平均链长, 发现在质量控制中，ARL无偏s控制图更具有优势.