郑州大学学报(理学版)  2024, Vol. 56 Issue (6): 17-24  DOI: 10.13705/j.issn.1671-6841.2023010

引用本文  

佘维, 王业腾, 孔德锋, 等. 基于自适应网格多目标鲸鱼算法的火力分配问题研究[J]. 郑州大学学报(理学版), 2024, 56(6): 17-24.
SHE Wei, WANG Yeteng, KONG Defeng, et al. Research on Firepower Assignment Problem Based on Adaptive Grid Multi-objective Whale Algorithm[J]. Journal of Zhengzhou University(Natural Science Edition), 2024, 56(6): 17-24.

基金项目

科技部国家重点研发计划课题(2020YFB1712401);河南省重点研发与推广专项(212102310039,202102310554);河南省高等学校重点科研项目(20A520035)

通信作者

田钊(1985—),男,副教授,主要从事区块链技术、机器学习研究,E-mail: tianzhao@zzu.edu.cn

作者简介

佘维(1977—),男,教授,主要从事复杂系统建模与仿真、机器学习、区块链与数据智能研究,E-mail: wshe@zzu.edu.cn

文章历史

收稿日期:2023-01-14
基于自适应网格多目标鲸鱼算法的火力分配问题研究
佘维1,2,3, 王业腾1,3, 孔德锋4, 刘炜1,2,3, 李英豪1,2, 田钊1,3    
1. 郑州大学 网络空间安全学院 河南 郑州 450002;
2. 郑州大学 互联网医疗与健康服务河南省协同创新中心 河南 郑州 450052;
3. 郑州市区块链与数据智能重点实验室 河南 郑州 450002;
4. 军事科学院 国防工程研究院 工程防护研究所 河南 洛阳 471023
摘要:传统多目标优化算法在解决多于两个目标函数的火力分配问题时收敛效果不佳,多样性差,耗时过大。基于此,提出了一种自适应网格多目标鲸鱼优化算法(AG-MOWOA)来解决以震塌比例、弹药成本和自身剩余价值为目标函数的火力分配问题。该算法引入混沌映射和外部Pareto存档进化策略提高了种群的多样性,通过自适应网格选取最优个体的方法极大地减少了算法运行时间。仿真实验结果表明,该算法较其他算法收敛速度更快、收敛质量更高、解集分布更多样,能够有效解决火力分配问题。
关键词火力分配    混沌映射    自适应网格划分    多目标优化    鲸鱼优化算法    
Research on Firepower Assignment Problem Based on Adaptive Grid Multi-objective Whale Algorithm
SHE Wei1,2,3, WANG Yeteng1,3, KONG Defeng4, LIU Wei1,2,3, LI Yinghao1,2, TIAN Zhao1,3    
1. School of Cyber Science and Engineering, Zhengzhou University, Zhengzhou 450002, China;
2. Henan Collaborative Innovation Center for Internet Medical and Health Services, Zhengzhou University, Zhengzhou 450052, China;
3. Zhengzhou Key Laboratory of Blockchain and Data Intelligence, Zhengzhou 450002, China;
4. Institute of Engineering Protection, National Defense Engineering Research Institute, The Academy of Military Sciences, Luoyang 471023, China
Abstract: The traditional multi-objective optimization algorithm had poor convergence effect, bad diversity and serious time-consuming problems when solving the firepower assignment problem with more than two objective functions. Based on this situation, an adaptive grid multi-objective whale optimization algorithm (AG-MOWOA) was proposed. The algorithm was to solve the firepower assignment optimization problem in which the collapse ratio, ammunition cost, and the own surplus value were taken as the objective functions. Besides, the algorithm increased the population diversity by introducing chaotic mapping and using external Pareto archival evolutionary strategy, and reduced the algorithm running time greatly by selecting the optimal individuals through adaptive grid. The results of the simulation experiments showed that the algorithm had better convergence speed and stability, and more diverse solution set distributions than other traditional algorithms in solving the firepower assignment problem.
Key words: firepower assignment    chaotic mapping    adaptive grid generation    multi-objective optimization    whale optimization algorithm    
0 引言

随着现代战场智能化程度的不断提高,对于火力筹划方法的要求也越来越高,传统的根据某项指标对火力分配方案进行筛选的方法已经无法适应现代战场中复杂多变的环境,在如今仿真作战场景下需要更加高效准确的方法来处理大量战场信息,对敌方目标进行火力分配方案的优选是火力筹划方法研究中的关键问题之一。

关于火力分配方案的选择已经不单单是基于弹药对目标最大毁伤效果的筛选,而是有选择地根据现有资源合理分配,在对敌方造成尽可能大的毁伤效果的情况下使自身损耗尽可能小[1]。文献[2]以作战资源消耗最少、近距离作战武器损失价值最小、敌方战场剩余价值最小为优化目标构建防御场景下的动态火力分配模型,并利用A-NSGA-GKM算法对模型进行求解,通过仿真实验证明了算法解决动态火力分配问题的有效性。文献[3]以实际毁伤与期望毁伤的差值平方和为目标函数构建火力分配模型,利用改进遗传算法对模型进行求解,在达到预期毁伤要求的基础上尽可能减少火力资源浪费,有效增加了火力分配方案的灵活性。这些研究均根据不同的作战场景设计了相适应的优化目标。

火力分配方案的求解是一种多目标优化问题,如何在多个优化目标中寻求一种平衡是多目标优化要解决的主要问题,求解此类问题的本质就在于找到问题模型的Pareto前沿解集[4]。文献[5]提出一种基于协同进化的混合变量多目标粒子群优化算法,利用协同进化策略提高搜索效率,引入基于结构学习的重组策略提高种群多样性,解决了无人机协同多任务分配问题。文献[6]提出了一种改进NSGA-Ⅲ算法,利用连续编码方式增加初始种群的多样性,采用随机选择,模拟二进制交叉和多项式变异作为种群进化策略,有效解决了集群目标火力分配问题。

上述方法虽然在算法收敛速度与效果上较一些经典算法有所提升,但还是普遍存在难以跳出局部最优解、全局搜索能力差的问题。鲸鱼优化算法(whale optimization algorithm, WOA)是一种元启发式优化算法,在2016年由Mirjalili等首次提出[7],它通过模仿鲸鱼的狩猎行为实现对目标问题的求解,具有控制参数少、可扩展性强、跳出局部最优能力强的特点。在传统的WOA基础上,文献[8]利用多种群探索机制增加种群多样性、引入二次插值法提高算法收敛速度、通过控制参数设置平衡算法的开发与探索能力。文献[9]使用柯西逆累积分布函数提高WOA的全局搜索能力,并利用改变权重的方法提高了算法的局部搜索能力和收敛精度。文献[10]通过非线性种群初始化、增加边界优化条件和引入精英个体引导机制对WOA改进,有效提高了算法的多样性与收敛速度。

传统的单目标算法在求解复杂问题上存在较大的局限性,因此多目标优化算法的设计与研究具有重大的意义,文献[11]提出了一种非支配排序的WOA,通过非支配排序拥挤度计算策略与狩猎行为对种群非支配解集的迭代更新实现多目标优化。文献[12]利用反向精英保留策略和种群引导策略加快了算法收敛速度,引入种群引导策略和Levy变异策略,提高了算法的全局搜索能力。上述方法都利用计算个体拥挤度的方式在新组成的种群中挑选最优个体,不但会增加算法的计算量,还会因为种群数量的限制而降低种群的多样性。

本文针对火力分配提出一种改进的多目标鲸鱼优化算法,该方法利用混沌映射初始化种群,进行自适应网格划分选择最优个体,进而结合外部Pareto档案进化种群。仿真实验表明,本文方法较之同类方法具有更好的搜索能力与收敛性。

1 相关技术

多目标优化算法的重要环节就是寻找解空间中的非支配解集,本节对多目标优化、非支配排序以及鲸鱼优化算法进行介绍。

1.1 多目标优化

最小化的多目标优化问题的数学模型表示为

$ \min F(x)=\left(f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots, f_{m}(x)\right), x \in S, $ (1)

其中:$S$为解空间;$m$为目标函数的个数。多目标优化的目的就是找到$x^{*}=\underset{x^{*} \in S}{\operatorname{argmin}}\left(f_{1}(x), f_{2}(x), \cdots\right.$, $\left.f_{m}(x)\right)$的解$x^{*}$。在实际应用中,这些目标函数都是互相矛盾的,即优化一个目标函数的代价是劣化其他目标函数,很难达到一种资源分配的理想状态,并且这种理想状态往往都存在多种解[13],如何在解空间内找到所有这样的解集是多目标优化算法要解决的主要问题。

1.2 非支配排序

解决多目标优化问题首先要引入Pareto支配关系的概念, 对于$m$个目标函数$f_{i}(x), i=1, 2, \cdots, m$, 给定任意两个决策变量$x_{1}$$x_{2}$, 如果满足式(2) 条件, 则可称解$x_{1}$支配$x_{2}$,

$ \begin{cases}f_{i}\left(x_{1}\right) \leqslant f_{i}\left(x_{2}\right), & \forall i \in 1, 2, \cdots, m , \\ f_{i}\left(x_{1}\right)<f_{i}\left(x_{2}\right), & \exists i \in 1, 2, \cdots, m。\end{cases} $ (2)

图 1,设目标函数f1f2为越小越好,ABCDEF为存在于目标空间中的6个解。其中B在两个目标函数上都要优于E,根据式(2)就可以称B支配E,同理也可以得出C支配F,而对于AD,由于解空间中不存在支配它们的解,因此ABCD所在的超曲面就构成了目前解空间中如图 1中曲线所示的Pareto前沿。

图 1 Pareto最优前沿图 Fig. 1 Pareto optimal front

因此如果对于一个决策变量来说,没有其他任何决策变量能够支配它,那这个决策变量就称为非支配解。非支配排序就是将所有决策变量中满足此条件的解放入一个集合中,构成Pareto前沿解集,标记为第一层,之后排除找到的所有非支配解并对剩余个体再次进行非支配排序,得到的Pareto前沿解集标记为第二层,以此类推直至处理完种群中的所有个体[14]

1.3 鲸鱼优化算法

鲸鱼优化算法模拟了自然界中鲸鱼的捕食过程:鲸鱼在发现猎物之后会成群地将猎物围住,螺旋运动游向目标并在这个过程中不断吐出气泡,形成一种柱状“气泡网”将猎物紧紧包围在中心,直至鲸鱼靠近一口吞下。鲸鱼的捕食策略可以将其看作一个不断逼近优化问题最优解的过程,其中每头鲸鱼可以看作是优化问题中的一个解,猎物可以看作是需要求得的最优解,因此可以模仿鲸鱼的捕食过程来解决优化问题[15]

1) 环绕猎物

鲸鱼是群居动物,只要种群中某个个体发现猎物,则其他个体就会向它移动争抢猎物。在优化问题中把具有最佳适应度函数的个体视为种群的最优个体,种群中其他个体朝着最优个体变化位置的过程用数学模型表示为

$ \left\{\begin{array}{l} \vec{X}(t+1)=\overrightarrow{X^{*}}(t)-A \vec{D}, \\ \vec{D}=\left|C \overrightarrow{X^{*}}(t)-\vec{X}(t)\right| ,\end{array}\right. $ (3)

其中:$t$为当前的迭代次数;$\vec{X}(t)$为当前鲸鱼的位置;$\overrightarrow{X^{*}}(t)$为目前得到的最优鲸鱼位置;$\vec{X}(t+1)$为更新后的鲸鱼位置。$A$$C$为相关系数, 如式(4)所示,

$ A=2 a R_{1}-a, C=2 R_{2}, a=2\left(t_{\max }-t\right) / t_{\max } , $ (4)

其中:$R_{1}$$R_{2}$$[0, 1]$上的随机浮点数;$t_{\text {max }}$为设定的最大迭代次数;$a$为收敛因子, 会随着迭代次数的增加逐渐递减至0。

2) “气泡网”狩猎

鲸鱼在狩猎的过程中会吐出“气泡网”包围猎物,因此设计出两种数学模型来表示这种捕猎行为。

收缩包围。通过公式(3)不断收缩接近猎物,与公式(3)不同之处在于A的取值范围,由于鲸鱼在接近猎物的时候才会发出“气泡网”困住猎物,而A随着迭代次数的不断增加会逐渐减小,所以这里设置在 A < 1时,鲸鱼更新后的位置可以是它与最优个体之间任意位置。

螺旋游动。鲸鱼会螺旋游向猎物,可以用数学模型表示为

$ \left\{\begin{array}{l} \vec{X}(t+1)=\overrightarrow{X^{*}}(t)+\overrightarrow{D_{p}} \mathrm{e}^{b l} \cos (2 {\rm{\mathsf{π}}} l) , \\ \overrightarrow{D_{p}}=\left|\overrightarrow{X^{*}}(t)-\vec{X}(t)\right|, \end{array}\right. $ (5)

其中:Dp 代表鲸鱼与最优个体之间的距离;b是一个用来定义螺旋形状的常数,通常取1;l为(-1, 1)上的随机浮点数。

以上介绍的两种狩猎行为发生在不同鲸鱼的捕食过程中,为了更好地模拟行为的异步性,引入行动概率P来决定鲸鱼是选择收缩包围还是螺旋游动接近猎物,鲸鱼个体在生成的随机数小于P时进行收缩包围,不小于P时进行螺旋游动,因此鲸鱼“气泡网”狩猎的数学模型为

$ \begin{aligned} & \vec{X}(t+1)= \\ & \left\{\begin{array}{l} \overrightarrow{X^*}(t)-A\left|C \overrightarrow{X^*}(t)-\vec{X}(t)\right|, p<P, \\ \overrightarrow{X^*}(t)+\left|\overrightarrow{X^*}(t)-\vec{X}(t)\right| \mathrm{e}^{b l} \cos (2 {\rm{\mathsf{π}}} l), p \geqslant P, \end{array}\right. \end{aligned} $ (6)

其中:p为区间[0, 1]上的随机浮点数;P为行动概率常数,通常设置为0.5。

3) 搜索狩猎

鲸鱼还可以在全局搜索猎物,其数学模型表示为

$ \left\{\begin{array}{l} \vec{X}(t+1)=\vec{X}_{\mathrm{rand}}(t)-A \vec{D} ,\\ \vec{D}=\left|C \vec{X}_{\mathrm{rand}}(t)-\vec{X}(t)\right|, \end{array}\right. $ (7)

其中:$\vec{X}_{\text {rand }}(t)$为在种群随机选择的鲸鱼位置,当|A|≥1时,鲸鱼会随机选择种群中的个体进行位置的更新,增强算法的全局搜索能力。

2 火力分配问题描述

假设有$m$种弹药资源用于打击$n$个地面目标, 弹药总资源集合为$W=\left\{w_{1}, w_{2}, \cdots, w_{m}\right\}$, 打击目标集合为$T=\left\{t_{1}, t_{2}, \cdots, t_{n}\right\}$, 弹药成本向量为$\boldsymbol{C}=\left\{c_{1}\right.$, $\left.c_{2}, \cdots, c_{m}\right\}$, 决策变量为弹药数量集合$X=\left\{x_{1}\right.$, $\left.x_{2}, \cdots, x_{m}\right\}$

针对问题描述选定火力分配的目标函数为以下3个。

1) 震塌比例。在目标毁伤效果选取方面,目前大多数的相关研究均通过设定毁伤概率来模拟某弹药打击某目标[16],此类方法虽然能够一定程度上反映火力分配过程中弹药对目标的毁伤效果,但是存在较大的主观性与随机性,并不能真实反映具体种类弹药对于具体种类目标的毁伤效果。因此本文以有限元仿真获得的弹药对特定目标的毁伤效应数据,在提高毁伤效果真实程度的同时,缩短仿真时间。

$ y_{e}={Ansys}\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}\right), $ (8)

其中:Ansys表示有限元仿真的过程;$x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{m}$表示输人的$m$种弹药种类。

2) 弹药成本。弹药资源的消耗量也是火力分配方案优劣性评估的重要指标,表示为

$ y_{c}=\sum\limits_{i=1}^{m} c_{i} x_{i} \text { 。} $ (9)

3) 自身剩余价值。考虑在实际作战中敌方作战单元遭受火力打击后的反击行为和我方作战单元作战后对自身价值的消耗,这里将敌我双方的对抗性行为和自身价值的消耗用自身剩余价值来描述,

$ y_{t}=\sum\limits_{i=1}^{m} c_{i} x_{i}\left(1-h_{i} \varepsilon\left(x_{i}\right)\right), $ (10)

其中:hi为武器打击目标后自身的损伤概率;ε(xi)为阶跃函数。

综上所述,本文提出的火力分配问题可以描述为

$ \left\{\begin{array}{l} \max \left(y_{e}\right), \\ \min \left(y_{c}\right), \\ \max \left(y_{t}\right), \end{array}\right. $ (11)
$ \text { s. t. } \min B d_i \leqslant x_i \leqslant \max B d_i, x_i \in N, i=1, 2, \cdots, m \text {, } $ (12)

其中: 式(11)为火力分配问题的优化目标;式(12)为约束条件;$\max B d_{i}$$\min B d_{i}$分别为弹药数量的上, 下界。

3 改进的多目标鲸鱼优化算法

对所提出的改进的自适应网格多目标鲸鱼优化算法(adaptive grid multi-objective WOA,AG-MOWOA)进行介绍,包括种群初始化、最优个体选择、Pareto存档进化等过程。算法流程如图 2所示。

图 2 改进多目标鲸鱼优化算法流程图 Fig. 2 Flow chart of improved multi-objective whale optimization algorithm
3.1 种群初始化

采用混沌映射的方法来进行种群的初始化,Logistic方程是一个典型的混沌映射系统[17]

$ Z_{n+1}=\mu Z_{n}\left(1-Z_{n}\right), n=0, 1, 2, \cdots , $ (13)

其中:Z为[0, 1]上的随机浮点数; μ被称为Logistic控制参量,是[0, 4]上的随机浮点数,研究表明μ在(3.567, 4]时整个混沌系统会呈现出一种伪随机分布的状态,且在靠近4时可以通过迭代不重复地经历空间中所有位置。所以用这种方法来初始化种群可以极大地提高初始种群在解的空间内的分布质量,具体操作步骤如下。

1) 初始化一个规模为m的种群,在[0, 1]内生成随机解向量$z_{0}=\left(z_{0, 1}, z_{0, 2}, \cdots, z_{0, m}\right)$

2) 利用Logistic方程进行迭代产生混沌序列。

3) 将得到的混沌序列映射到输入解空间中,

$ \left\{\begin{array}{l} \boldsymbol{Z}_{i, j}=\boldsymbol{z}_{i, j}\left(\boldsymbol{C}_{\max }-\boldsymbol{C}_{\min }\right)+\boldsymbol{C}_{\min } , \\ \boldsymbol{Z}_{i}=\left(\boldsymbol{Z}_{i, 1}, \boldsymbol{Z}_{i, 2}, \cdots, \boldsymbol{Z}_{i, m}\right), \end{array}\right. $ (14)

其中:$\boldsymbol{Z}_{i}$为混沌序列向量$\boldsymbol{z}_{i}$对应的输入解空间向量;$\boldsymbol{C}_{\text {max }}$$\boldsymbol{C}_{\text {min }}$分别为输入解空间的最大与最小值向量。

4) 假设种群大小为N,计算所有输入解空间向量的目标函数,并根据非支配关系选出其中最优的N个个体作为初始种群。

3.2 最优个体选择

传统的单目标鲸鱼优化算法可以根据适应函数值的大小选择最优个体,但是拥有多个目标函数的种群往往有多个最优个体,以什么样的标准来选取领导鲸鱼群更新位置是设计多目标鲸鱼优化算法的重要问题之一。

目前大多数多目标优化算法都是通过计算个体间的拥挤度来实现非支配解集优劣的排序,但是这个计算过程比较复杂且不利于算法的全局搜索,因此本文选用基于自适应网格划分[18]的方法来选择最优个体。

网格密度可以用来描述目标空间中每个区域所包含的个体数量,区域内的个体越多,网格密度就越大;个体越少,网格密度就越小。为了维持种群个体的多样性,网格密度越小的区域内的个体越有机会被选为最优个体。以目标函数一为例,关于网格信息计算方法的数学模型为

$ M=\left[\operatorname{Grid} \times \frac{y^{i}(t)-\min Y(t)}{\max Y(t)-\min Y(y)}\right] , $ (15)

其中:$M$代表个体所处的网格编号;[$\cdot$] 表示括号内数值向下取整;Grid为网格要划分的网格数;$t$为迭代次数;$y^{i}(t)$为第$t$代个体$i$的目标函数值;$\max Y(t)$为第$t$代种群所有个体中对应目标函数的最大值;$\min Y(t)$为第$t$代种群所有个体中对应目标函数的最小值。

此时通过式(15)得到所有个体的网格编号元组,利用轮盘赌法选择最优个体,处于同一个编号组的个体越多,该网格的密度就越大,选中这个网格中个体作为最优个体的概率就越小。当选中的网格有多个个体时,随机选择其中一个个体作为最优个体。

3.3 Pareto存档进化

在目前许多群智能算法的研究中都会引入Pareto外部档案用来存储种群迭代过程中产生的非支配解,当外部档案中的个体超过提前设定好的值之后,就需要根据相应的策略来删掉多余的个体,保持外部档案中个体的优越性[19]

按照这种思路,当外部档案中存放的非支配解超过设定值时,可以以不同个体的网格密度为评价标准对外部档案进行处理,将网格密度大的个体从档案中删除, 直到外部档案中的个体数量满足要求。

4 仿真实验与结果分析 4.1 实验环境与参数设置

针对本文提出的地面目标火力分配问题, 设弹药资源种类为$W=\left\{w_{1}, w_{2}, w_{3}, w_{4}\right\}$, 弹药资源的取值范围上、下区间分别为$[0, 0, 0, 0]$$[100, 100$, $50, 100]$, 弹药资源的成本向量为$\boldsymbol{C}=(20, 50, 30$, $15), h_{i}$$[0, 0.3]$区间内的随机值。仿真实验所使用的操作系统为Windows10, 环境为Python3.7, PyCharm版本为2021.1.3x64。

为了验证AG-MOWOA求解地面目标火力分配方案的有效性,在实验模块分别采用NSGA-Ⅱ[20]、MOPSO[21]、NSWOA[11]以及AG-MOWOA四种算法对火力分配问题进行对比分析,关于算法相关参数设置如下。

NSGA-Ⅱ:种群大小为100,迭代次数为50,存档规模为100,交叉概率为0.8,变异概率为0.05。

MOPSO:种群大小为100,迭代次数为50,存档规模为100,网格划分数为10。

NSWOA:种群大小为100,迭代次数为50,存档规模为100。

AG-MOWOA:种群大小为100,迭代次数为50,存档规模为100,网格划分数为10,Logistic控制参量为4。

4.2 实验结果分析

为了尽可能减少误差,使实验结果更加准确,这里独立进行三组实验,每组实验进行10次,取这10次实验的平均值为实验结果,三种算法得到的最优目标函数值如表 1所示。

表 1 仿真结果对比 Tab. 1 Comparison of simulation results

表 1可以看出,在相同的迭代次数下,MOPSO、NSGA-Ⅱ和NSWOA得到的最优解质量不相上下,而AG-MOWOA所求得的三个最优目标函数值的质量和稳定性均优于其他三种算法,说明该算法拥有更优的全局搜索能力。

以第一组算法得到的解集分布为例,初始的解集分布如图 3所示,AG-MOWOA的分布状况如图 4所示。从图中可以看出,相较于初始解集,AG-MOWOA的分布更加集中,但是仍无法准确判断是否收敛。因此,需要用更加科学的方法来对比这四种算法的效果。

图 3 初始解集在空间的分布 Fig. 3 Distribution of the initial solution set in space

图 4 AG-MOWOA获得的解集在空间的分布 Fig. 4 Distribution of the solution set in space obtained by AG-MOWOA
4.3 算法性能分析

为了测试各算法求解火力分配问题的性能,这里用三个指标对求得的解集进行评估,其中真实Pareto前沿取在范围区间内均匀分布的500条真实数据。

1) 反转世代距离(IGD)

反转世代距离计算的是每个参考点到最近解的欧氏距离[22],如式(16)所示,可以用来评估算法的收敛性与多样性,IGD的值越小,算法的综合性能就越好,

$ {IGD}\left(P, P^*\right)=\frac{\sum\limits_{x \in P^*} \min\limits_{{\rm y} \in P} {dis}(x, y)}{\left|P^*\right|}, $ (16)

其中:P为算法求得的Pareto前沿解集;P*为真实Pareto前沿上均匀的参考点;|P*|为参考点的数量;dis(x, y)为点x与点y之间的欧氏距离。

通过计算得到的最小欧氏距离分布如图 5所示,IGD值大小如表 2所示。

图 5 各算法欧氏距离分布vv Fig. 5 Euclidean distance distribution of each algorithm

表 2 各算法IGD结果值对比 Tab. 2 Comparison of IGD values for each algorithm

图 5中可以看出AG-MOWOA求得的解集距离参考Pareto前沿的距离分布更加均匀,结合表 2可以看出AG-MOWOA求得的IGD值更小,表明该算法获得的解集更加均匀,并且在收敛性和多样性上都占明显优势。

2) C-metric解集覆盖率

解集覆盖率可以表示不同算法得到解集之间的互相支配关系,如式(17)所示,分子为满足存在解集A中的点支配解集B中的任意条件的点的个数,分母为解集B中解的个数,如果解集覆盖率C(A, B)大于C(B, A),则说明解集A的个体更接近真实Pareto前沿。

$ C(A, B)=\frac{|\{x \in B \mid \exists y \in A: y<x\}|}{|B|}, $ (17)

其中:$A$$B$表示需要比较的两个解集;$y<x$表示$y$支配$x ;|\cdot|$表示满足括号内条件的个数。

记NSGA-Ⅱ为算法a,MOPSO为算法b,NSWOA为算法c,AG-MOWOA为算法d,计算三组实验得到的各算法解集覆盖率如表 3所示。

表 3 各算法C-metric值结果对比 Tab. 3 Comparison of C-metric values for each algorithm

表 3中可以看到,在三组实验中AG-MOWOA的解集覆盖率远大于其他三种算法,表明该算法求得的解集相较于其他三种算法质量更高,更接近真实Pareto前沿。

3) 算法消耗时间

每组10次实验的平均算法消耗时间统计得到的数据如表 4所示。从表 4中可以看出AG-MOWOA在消耗时间上也远远小于其他三种算法。

表 4 各算法消耗时间 Tab. 4 Time consumption for each algorithm 

通过以上评估,可以看出本文提出的AG-MOWOA在收敛性、多样性、均匀性、消耗时间上较其他算法均有提升,可以有效解决本文提出的火力分配问题。

5 结语

本文针对火力分配问题构建了以震塌比例、弹药成本和自身剩余价值为目标函数的火力分配模型,并提出了一种自适应网格多目标鲸鱼优化算法,该方法采用混沌映射初始化种群,使初始种群在可行解空间内分布更加均匀,利用自适应网格划分法为个体编号,不但可以挑选出最优个体,还能减少算法计算量,最后引入Pareto存档进化策略有效增加了种群的多样性。仿真实验结果表明,本文提出的算法在收敛性、多样性、运行速度等多方面性能较其他算法都有提升。针对多于三个目标函数的火力分配问题的求解是本文所提算法今后需要改进的方向。

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