0 引言

粗糙集^[1]是一种刻画不完整性和不确定性的数学工具, 主要思想是利用已知知识库来刻画不确定或不精确的知识，被广泛应用于专家系统、图像处理、模式识别、决策分析和风险评估等领域。

经典的粗糙集方法有一定的局限性, 在处理实值信息系统时, 往往需要将数据离散化, 这可能导致一些信息的丢失。为了解决这个问题, 文献[2]提出了模糊粗糙集, 用来解决数据集中存在的不确定性和模糊性, 将模糊集与粗糙集结合, 给出了实值数据不确定性推理的关键方法。文献[3]提出了直觉模糊集, 考虑到了隶属度、非隶属度与犹豫度, 可以更好地处理不确定性, 具有更强的处理信息系统的能力。考虑到其只能描述隶属度与非隶属度小于和等于1的情况, 文献[4]提出了毕达哥拉斯模糊集, 要求隶属度与非隶属度的平方和小于等于1即可, 可行域为半径为1的1/4圆域, 是非常有现实意义的。目前, 毕达哥拉斯模糊集主要应用于多准则(属性)决策中^[5-6]。属性约简是粗糙集理论研究的核心内容之一, 它是在保持知识库分类能力不变的条件下, 删除其中不相关或不重要的属性。文献[7]提出的辨识矩阵是求最小约简的有力工具。文献[8]提出了基于辨识矩阵的属性集求核算法, 减少了对象之间不必要的比较以及矩阵中的空值存储。文献[9]提出将形式背景中的属性约简与图论相结合, 将形式背景的属性约简问题转化为图论中的最小顶点覆盖问题, 并证明这种方法大大减少了算法的时间复杂度。因此我们考虑将辨识矩阵和最小顶点覆盖应用到Pythagorean模糊信息系统的属性约简中。

本文定义了Pythagorean模糊信息系统中的辨识矩阵, 将辨识矩阵的布尔推理问题转化为图论中的最小顶点覆盖问题, 给出了属性约简的算法, 并通过实例表明该算法的有效性, 最后定义了Pythagorean模糊决策信息系统中的属性约简算法, 用实例证明算法的可行性, 并进行了对比分析。

1 基础概念 1.1 基于加权欧几里得距离的相似度

相似度的定义有很多种方法, 应用比较广泛的是文献[10]提出的模糊相似关系。

定义1^[10]  若F=(U, A, I, f)为一个模糊信息系统, U为对象集, A为属性集, I为所有模糊集的集合, f：U×A→I为映射, ∀a∈A, 相似度定义为sim_a(x_i, x_j)=1－|μ_a(x_i)－μ_a(x_j)|/|μ_amax－μ_amin|，其中：μ_a(x_i)、μ_a(x_j)分别为对象x_i、x_j对于属性a的隶属度；μ_amax、μ_amin分别为所有对象对于属性a的最大和最小隶属度。文献[11]定义了直觉模糊信息系统基于加权欧几里得距离的相似关系。

定义2^[11]  若F=(U, A, I, f)为直觉模糊信息系统, U为对象集, A为属性集, I为所有直觉模糊集的集合, f:U×A→I为映射, ∀x_i, x_j∈U, a∈A, 两个直觉模糊集分别为f(x_i, a)=〈μ_a(x_i), ν_a(x_i)〉和f(x_j, a)=〈μ_a(x_j), ν_a(x_j)〉，基于加权欧几里得距离的相似度定义为

$ \mathit{si}{\mathit{m}_a}\left( {{x_i}, {x_j}} \right) = 1 - \sqrt {\alpha {{\left| {{\mu _a}\left( {{x_i}} \right) - {\mu _a}\left( {{x_j}} \right)} \right|}^2} + \beta {{\left| {{\nu _a}\left( {{x_i}} \right) - {\nu _a}\left( {{x_j}} \right)} \right|}^2} + \gamma {{\left| {{\pi _a}\left( {{x_i}} \right) - {\pi _a}\left( {{x_j}} \right)} \right|}^2}} , $

其中α、β、γ为加权因子。

1.2 Pythagorean模糊信息系统

定义3^[12-13]  设U为给定的非空论域, 集合X={〈x, μ_X(x), ν_X(x)〉|x∈U}称为Pythagorean模糊集, 若满足0≤μ_X²(x)+ν_X²(x)≤1, μ_X(x), ν_X(x)∈[0, 1], 其中μ_X(x)表示元素x对于集合X的隶属度, ν_X(x)表示元素x对于集合X的非隶属度, ${\pi _X}(x) = \sqrt {1 - \mu _X^2(x) - \nu _X^2(x)} $称为元素x对于集合X的犹豫度。λ=〈μ_X(x), ν_X(x)〉为Pythagorean模糊数。

定义4^[12-13]  设四元组S=(U, A, V_PF, f)表示一个Pythagorean模糊信息系统, U={x₁, x₂, …, x_n}为对象的集合, A={a₁, a₂, …, a_m}为属性集合, V_PF为所有的Pythagorean模糊集的集合, f：U×A→V_PF为映射, 对任意的x∈U和a∈A, 有f(x, a)=〈μ_a(x), ν_a(x)〉, 其中：μ_a(x)为对象x关于属性a的隶属度；ν_a(x)为对象x关于属性a的非隶属度, 且满足0≤μ_X²(x)+ν_X²(x)≤1, μ_X(x), ν_X(x)∈[0, 1]。

1.3 辨识矩阵的简化

当数据维数较大时, 辨识矩阵中逻辑运算的计算量较大, 需要对辨识矩阵进行简化。

定义5^[14]  (1) ∀(x, y)∈U×U, M(x, y)≠Ø⇒M_S(x, y)≠Ø, 且M_S(x, y)⊆M(x, y); (2) ∀(x, y)∈U×U, M(x, y)=Ø⇒M_S(x, y)=Ø。倘若满足以上两个条件时，矩阵M_S称为辨识矩阵M的简化辨识矩阵。

元素吸收^[14]指若矩阵中一元素M(x′, y′)≠Ø, 满足M(x, y)：Ø≠M(x′, y′)⊂M(x, y)。此矩阵中M(x, y)的值被M(x′, y′)代替。

矩阵吸收^[14]：矩阵吸收运算的规则是, 在满足Ø≠M(x′, y′)⊂M(x, y)的情况下, 对矩阵中所有可能的元素对都进行吸收操作。简化后的辨识矩阵得到的约简与原辨识矩阵得到的约简相同。

2 Pythagorean模糊信息系统的图表示

对于一些维数较大的数据集来说, 辨识矩阵的析取与合取的算法过程复杂度较大, 考虑将辨识矩阵的约简转化为图的最小顶点覆盖来简化计算量。首先定义Pythagorean模糊信息系统中基于加权欧几里得距离的相似度和辨识矩阵。

2.1 Pythagorean模糊信息系统中的加权欧几里得距离及相似关系

由于Pythagorean模糊信息系统是直觉模糊信息系统的推广，因此将直觉模糊集的一些性质推广到Pythagorean模糊集中。首先给出Pythagorean模糊信息系统中的相似关系并讨论它的性质。

定义6  设λ₁=〈μ₁, ν₁〉与λ₂=〈μ₂, ν₂〉为两个Pythagorean模糊数, 则D(λ₁, λ₂)=$\sqrt {\alpha {{\left| {\mu _1^2 - \mu _2^2} \right|}^2} + \beta {{\left| {\nu _1^2 - \nu _2^2} \right|}^2} + \gamma {{\left| {\pi _1^2 - \pi _2^2} \right|}^2}} $称为Pythagorean模糊数的加权欧几里得距离, 其中α、β、γ为加权因子, 本文中规定加权因子α、β、γ满足条件：(1) 0≤α, β, γ≤1, 其中α, β≠0;(2) α+β+γ=1;(3) α≥β>γ。

性质1  设λ₁=〈μ₁, ν₁〉, λ₂=〈μ₂, ν₂〉, λ₃=〈μ₃, ν₃〉为3个Pythagorean模糊数, 则D(λ_i, λ_j)为一个度量, 其中i, j=1, 2, 3。对于任意的Pythagorean模糊数λ₁、λ₂、λ₃, 则(1) D(λ₁, λ₂)≥0, 且D(λ₁, λ₂)=0，当且仅当λ₁=λ₂; (2) D(λ₁, λ₂)=D(λ₂, λ₁); (3) D(λ₁, λ₂)≤D(λ₁, λ₃)+D(λ₃, λ₂)。

下面定义Pythagorean模糊信息系统中两个对象的相似度。

定义7  设S=(U, A, V_PF, f)为Pythagorean模糊信息系统, 若(x_i, x_j)∈U, a_k∈A, f(x_i, a_k)=〈μ_ak(x_i), ν_ak(x_i)〉与f(x_j, a_k)=〈μ_ak(x_j), ν_ak(x_j)〉为两个Pythagorean模糊数, α、β、γ为加权因子。关于a_k的基于加权欧几里得距离的相似度sim定义为

$ \mathit{si}{\mathit{m}_{{a_k}}}\left( {{x_i}, {x_j}} \right) = 1 - \sqrt {\alpha {{\left| {\mu _{{a_k}}^2\left( {{x_i}} \right) - \mu _{{a_k}}^2\left( {{x_j}} \right)} \right|}^2} + \beta {{\left| {\nu _{{a_k}}^2\left( {{x_i}} \right) - \nu _{{a_k}}^2\left( {{x_j}} \right)} \right|}^2} + \gamma {{\left| {\pi _{{a_k}}^2\left( {{x_i}} \right) - \pi _{{a_k}}^2\left( {{x_j}} \right)} \right|}^2}} 。$

性质2  设S=(U, A, V_PF, f)为Pythagorean模糊信息系统, 对于任意x_i, x_j∈U, a_k∈A, 关于a_k的基于加权欧几里得距离的相似度满足性质：(1) 0≤sim_ak(x_i, x_j)≤1;(2) sim_ak(x_i, x_j)=sim_ak(x_j, x_i); (3) f(x_i, a_k)=f(x_j, a_k)⇔sim_ak(x_i, x_j)=1;(4)若f(x_i, a_k)=〈1, 0〉, f(x_j, a_k)=〈0, 1〉, 且α+β=1, 则sim_ak(x_i, x_j)=0, 也就是说, x_i和x_j在性质a_k上的表现完全不同。

定义8  设S=(U, A, V_PF, f)为Pythagorean模糊信息系统, 对于任意a_k∈A, δ∈[0, 1], 两个对象的δ-相似关系定义为R^δ(A)={(x_i, x_j)∈U×U|sim_ak(x_i, x_j)≥δ, ∀a_k∈A}。

性质3  设S=(U, A, V_PF, f)为Pythagorean模糊信息系统, R^δ(A)为由属性A决定的二元关系, 则以下性质成立：(1)对任意x_i∈U, R^δ(A)(x_i, x_i)=1;(2)对任意x_i, x_j∈U, R^δ(A)(x_i, x_j)=R^δ(A)(x_j, x_i)。对任意的C⊆A, δ∈[0, 1], 有R^δ(C)=∩_ck∈CR^δ(c_k), 且R^δ(A)⊆R^δ(C)。

参数δ往往根据数据集的分布特征进行取值, 不同的δ代表对象x_i与x_j之间不同的相似度和信息系统中不同的相似关系。当数据集的相似程度较大时, 应选择更大的δ值, 反之亦然。

定义9  若S=(U, A, V_PF, f)为Pythagorean模糊信息系统, δ∈[0, 1], R^δ(A)为由属性集A决定的二元关系, C⊆A, 称C为属性集A的约简(记为red(A)), 满足条件：(1) R^δ(A)=R^δ(C); (2)对任意元素c∈C, R^δ(A)≠R^δ(C－{c})。

2.2 基于相似关系的辨识矩阵

为了得到Pythagorean模糊信息系统的属性约简, 引入基于相似关系的辨识矩阵。

定义10  设S=(U, A, V_PF, f)为Pythagorean模糊信息系统。记M_S(x, y)={a_k∈A:sim_ak(x, y) < δ}为x与y的辨识属性集, 其中(x, y)∈U×U, 称矩阵M_S=M_S(x, y)为信息系统S的辨识矩阵。

定义11  设S=(U, A, V_PF, f)为Pythagorean模糊信息系统, (x, y)∈U×U。M_S=M_S(x, y)为信息系统S的辨识矩阵, 其中M_S(x, y)为x与y的辨识属性集。设辨识函数f_S为含有m个分别与属性a₁, a₂, …, a_m对应的布尔变量a₁^*, a₂^*, …, a_m^*的布尔函数^[6], 定义为f_S(a₁^*, a₂^*, …, a_m^*)=∧{∨M_S(x, y):M_S(x, y)∈M_S}=∨(∧red)，其中∨M_S(x, y)为M_S(x, y)中所有属性的析取, 即对象x与y可以被M(x, y)中任意一个属性区分, 则red为约简。

例1  设S=(U, A, V_PF, f)为一个Pythagorean模糊信息系统, 其中:U={x₁, x₂, x₃, x₄}为4个病人的集合; AT={a₁, a₂, a₃, a₄}为4个属性的集合, a₁：=heat, a₂：=cough, a₃：=headache, a₄：=sorethroat, 信息如表 1所示, 令δ=0.8, α=0.4, β=0.4, γ=0.2。

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_s} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \emptyset &{}&{}&{}\\ {\left\{ {{a_1}, {a_2}, {a_3}} \right\}}&\emptyset &{}&{}\\ {\left\{ {{a_3}} \right\}}&A&\emptyset &{}\\ A&{\left\{ {{a_1}, {a_4}} \right\}}&{\left\{ {{a_3}, {a_4}} \right\}}&\emptyset \end{array}} \right), $

根据两对象相似度的定义可得sim_a1(x₁, x₂)=0.505, sim_a2(x₁, x₂)=0.714, sim_a3(x₁, x₂)=0.518, sim_a4(x₁, x₂)=0.916, M(x₁, x₂)={a_k∈A:sim(x₁, x₂) < 0.8}={a₁, a₂, a₃}。同理可计算M(x₁, x₃)={a₃}, M(x₁, x₄)=A, M(x₂, x₃)=A, M(x₂, x₄)={a₁, a₄}, M(x₃, x₄)={a₃, a₄}。进而得到辨识矩阵M_S为red(A)=(a₁∨a₂∨a₃)∧(a₁∨a₂∨a₃∨a₄)∧a₃∧(a₁∨a₄)∧(a₃∨a₄)=(a₃∧a₁)∨(a₃∧a₄), 即得到两个约简集{a₁, a₃}和{a₃, a₄}。任何一个约简集都含有的元素称为核心元素, 记为core(A), 即core(A)=∩red(A)。例1中core(A)={a₃}。

定理1  若S=(U, A, V_PF, f)为一个Pythagorean模糊信息系统, C⊆A, δ∈[0, 1], M_S为此信息系统的辨识矩阵, 则有core(A)={a∈A:M(x, y)={a}}。

即核心属性为辨识矩阵中所有单个元素的集合。

2.3 辨识矩阵的图表示方法

下面我们将辨识矩阵的约简与图中最小顶点覆盖联系起来。

定义12^{[9, 15]}  给定一个图G=〈V, E〉, 且e∈E, 令N(e)为连接边e的一个顶点集。定义N={N(e):e∈E}。设f_G为图G的一个布尔函数, 由m个布尔变量v₀^*, v₁^*, …, v_m^*构成, 且布尔变量与顶点集v₀, v₁, …, v_m一一对应。f_G(v₁^*, v₂^*, …, v_m^*)=∧{∨N(e):N(e)∈N}，其中∨N(e)为所有布尔变量v^*的析取, v∈N(e)。由此可见, 图的最小顶点覆盖也可通过布尔公式得到。

定理2^[9]  设G=〈V, E〉为一个图, 顶点集K⊆V是图G的最小顶点覆盖，当且仅当∧_vi∈Kv_i^*是布尔函数f_G极小析取范式中的合取式。

若将布尔函数f_G化简, 则布尔函数f_G(v₁^*, v₂^*, …, v_m^*)=∧{∨N(e):N(e)∈N}=∨_i=1^t(∧_j=1^s_iv_j^*), 其中∧_j=i^s_iv_j^*, i≤t为布尔函数f_G的极小析取范式中的所有合取式, 而K_i={v_j:j≤s_i}, i≤t, 为图G的所有最小顶点覆盖^[9]。在后面的讨论中, 用v_i来代替v_i^*。

定义13  设M_S为Pythagorean模糊信息系统S=(U, A, V_PF, f)的辨识矩阵, 令V=A, E={e∈M_S:e≠Ø}, 称G_S=〈V, E〉为Pythagorean模糊信息系统S的生成图。

例2  以例1中的简化后的辨识矩阵为例。生成图中顶点集为V={a₁, a₃, a₄}, 边集E={e₁, e₂}, 如图 1所示, e₁与a₃关联, e₂与a₁和a₄关联, 关联矩阵用M_G表示。

定理3  设G_S=〈V, E〉为由Pythagorean模糊信息系统S=(U, A, V_PF, f)的辨识矩阵生成的图, red(S)为Pythagorean模糊信息系统S的约简, v(G_S)为S产生的图G_S的最小顶点覆盖, 则v(G_S)=red(S)。

性质4  若S=(U, A, V_PF, f)为Pythagorean模糊信息系统, δ∈[0, 1], R^δ(A)为由属性集A决定的二元关系, M_S为辨识矩阵, 若M_S中元素M_S(x, y)由A中的单个元素a组成, 那么在生成图中, a为一个含有环的顶点。

2.4 基于相似度的属性约简算法(算法1)

输入：Pythagorean模糊信息系统S=(U, A, V_PF, f), δ, 加权因子α, β, γ。

输出：S的约简red(A)。

1.根据相似关系的定义计算辨识矩阵M_S并简化。/*删掉重复行, 满行及零行*/

2.找到所有含有环的顶点, 这些顶点构成的集合定义为red。

3.对任意顶点v∈red, 删除所有与顶点v关联的边。/*删除关联矩阵M_G中的某些行*/

4. While M_G≠Ø do

5.找度最大的顶点v₀, 令red=red∪{v₀}。

6.删除所有与顶点v₀相关联的边。

7. End while

8.对任意v∈red, 若与顶点v关联的边都被点集red－{v}覆盖, 则删除顶点v。

9.返回red。

此算法在最坏情况下的时间复杂度为O(|U|(|U|－1)|A|+|U|(|U|－1)/2+2|A|+|U|), 为多项式时间复杂度, 可记为O(U²A), 经过简化矩阵之后, 矩阵运算的维度降低, 使算法的效率更高。

2.5 实例分析

为了验证基于图论的Pythagorean模糊信息系统的属性约简算法的可行性和有效性, 在目前已有的Pythagorean模糊集数据上, 进行排列组合得到较大规模数据集，如表 2所示。数据集中含有50个对象, 7个条件属性和4个决策属性。data1、data2、data3分别由数据集中的前10、20、50个对象以及条件属性构成。用不同的数据集, 不同的约简方法以及不同的参数得到的约简结果及约简时间见表 3和表 4。表 3中α、β、γ分别为0.4、0.4、0.2, 在表 4中分别为0.5、0.4、0.1。通过对比可见, 随着参数δ的增大, 得到的约简基数变小。本文的算法得到的约简包含在原始算法得到的约简中, 且在一定条件下等于原始算法的最小约简, 原始算法可得到所有可能的约简结果，但是图论方法可以节省算法的时间。

在约简的过程中, 若出现度数相同的顶点(条件属性), 总是优先考虑角标较小的点, 在实际应用中可根据决策者的偏好, 优先选择相对重要的属性。

3 Pythagorean模糊决策信息系统约简的图解法 3.1 Pythagorean模糊决策信息系统的辨识矩阵

定义14  Pythagorean模糊决策信息系统是一个五元组F=(U, A, V, D, I), A为条件属性集, D为决策属性集, δ∈[0, 1], 则Pythagorean模糊决策信息系统中的δ-相似关系R^δ(A|D)定义为

$ {R^\delta }(A|D) = \left\{ {\left( {{x_i}, {x_j}} \right) \in U \times U|\forall {a_k} \in A, {{{\mathop{\rm sim}\nolimits} }_{{a_k}}}\left( {{x_i}, {x_j}} \right) \ge \delta \vee {I_D}\left( {{x_i}} \right) = {I_D}\left( {{x_j}} \right)} \right\}。$

定义15  令F=(U, A, V, D, I)为Pythagorean模糊决策信息系统, δ∈[0, 1], C⊆A为属性集A关于D的一个约简, 满足条件:(1)R^δ(CD)=R^δ(AD); (2)∀C′⊂C, R^δ(C′D)≠R^δ(AD)。

定义16  令F=(U, A, V, D, I)为Pythagorean模糊决策信息系统, (x, y)∈U×U, 则称

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_F}(x, y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {{a_k} \in A;\mathit{si}{\mathit{m}_{{a_k}}}(x, y) < \delta } \right\}, }&{{I_D}(x) \ne {I_D}(y), }\\ {\emptyset , }&{{\rm{ otherwise}}{\rm{。}}} \end{array}} \right. $

为F中x与y的辨识属性集, 称M_F={M_F(x, y):(x, y)∈U×U}为F的辨识矩阵, 辨识函数类似地定义为f_F(a₁, a₂, …, a_m)=∧{∨M_F(x, y):M_F(x, y)∈M_F, M_F(x, y)≠Ø}。

3.2 辨识矩阵的图表示

定义17  令F=(U, A, V, D, I)为Pythagorean模糊决策信息系统, M_F为辨识矩阵, G_F=〈V, E〉称为Pythagorean模糊决策信息系统的生成图, 若V=A, E={e∈M_F, e≠Ø}。

通过定理2中信息系统的约简与生成图中顶点覆盖的关系, 可以得到关于Pythagorean模糊决策信息系统的相关结论。

定理4  若G_F=〈V, E〉为Pythagorean模糊决策信息系统F=(U, A, V, D, I)的生成图, 则有red(F)=v(G_F)。

以上结果对于超图依然成立。

例3  表 5为一个Pythagorean模糊决策信息系统F=(U, A, V, D, I), 其中：U={x₁, x₂, x₃, x₄}；A={a₁, a₂, a₃, a₄}；D={d}。令δ=0.7, α=0.4, β=0.4, γ=0.2。

根据定义10, 利用辨识函数得到约简{a₁, a₃}, {a₁, a₄}, {a₃, a₄}, {a₂, a₄}。通过辨识矩阵可得生成图G_F=〈V, E〉, 关联矩阵如表 6所示。得到辨识矩阵M_S为

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_s} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \emptyset &{}&{}&{}\\ {\left\{ {{a_1}, {a_2}, {a_3}} \right\}}&\emptyset &{}&{}\\ \emptyset &A&\emptyset &{}\\ A&{\left\{ {{a_1}, {a_4}} \right\}}&{\left\{ {{a_3}, {a_4}} \right\}}&{\emptyset )} \end{array}} \right), $

生成图G_F=〈V, E〉中, V={a₁, a₂, a₃, a₄}, E={{a₁, a₂, a₃}, {a₁, a₄}, {a₃, a₄}}, 显然red(F)=v(G_F)={{a₁, a₄}, {a₁, a₃}, {a₂, a₄}, {a₃, a₄}}。

性质5  令F=(U, A, V, D, I)为Pythagorean模糊决策信息系统, 称S_F(U, A, V)为由F生成的Pythagorean模糊信息系统, M_S为S_F的辨识矩阵, M_F为F的辨识矩阵, 对任意x, y∈U, 可得关系

$ {\mathit{\boldsymbol{M}}_F}(x, y) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\boldsymbol{M}}_s}(x, y), }&{{I_D}(x) \ne {I_D}(y);}\\ {\emptyset , }&{{\rm{ otherwise}}{\rm{。}}} \end{array}} \right. $

根据定义10和16可证上式成立，由此可见, 对任意x, y∈U, 恒有M_F(x, y)=M_S(x, y)。

3.3 Pythagorean模糊决策信息系统的属性约简算法(算法2)

输入：Pythagorean模糊决策信息系统F=(U, A, V, D, I), δ, 加权因子α, β, γ。

输出：F的约简red(A)。

1.根据算法1, 找到Pythagorean模糊信息系统S_F(U, A, V)生成图的辨识矩阵M_S。

2. if I_D(x)=I_D(y)

3. M_F(x, y)=M_S(x, y)

4. else M_F(x, y)=Ø

5.产生图的关联矩阵M_G。

6.利用算法1中步骤3~9, 得到约简red(A)。

3.4 实验分析

选取表 2中的前10、20、50个数据以及对应的条件和决策属性作为data4、data5、data6。算法的约简结果及运行时间见表 7(参数α、β、γ分别为0.4、0.4、0.2)和表 8(参数α、β、γ分别为0.5、0.4、0.1)。可见在约简结果相同的条件下，本文提出的算法大大减少了算法复杂度。

4 结论

本文主要讨论了Pythagorean模糊信息系统和Pythagorean模糊决策信息系统中的属性约简问题。利用加权欧几里得距离定义了对象之间的相似度, 然后利用信息系统中的约简与图论中顶点覆盖之间的关系, 将辨识矩阵转化为图论中的关联矩阵, 将NP-Hard问题简化为多项式复杂度的问题, 减少了约简算法的时间复杂度, 给出了Pythagorean模糊信息系统和Pythagorean模糊决策信息系统中属性约简的算法, 最后分别用实例验证了其可行性, 并进行了对比分析。