著名的Poincaré-Birkhoff定理和它的推广形式是研究平面保守系统周期解问题的有力工具^[1-7]。但是，平面耗散系统对应的Poincaré映射一般不满足保面积条件，因此，Poincaré-Birkhoff定理通常不能用来研究其周期解问题。针对这种情况，丁同仁^[8-9]建立了不需要保面积条件，代之以某种弯曲条件的新的解析扭转映射不动点定理，并利用它证明了耗散Duffing方程

$ x^{\prime \prime}+\varepsilon c x^{\prime}+\left(a x+b x^3\right)=E p(t) $

至少有两个不同的k阶次调和解，条件是只要ε>0和E>0充分小。

马如云等^[10]利用集连通理论，给出了非保面积的扭转映射至少有两个不动点的一个新定理。Pascoletti和Zanolin^[11]通过拓扑方法推广了丁同仁^[8]的扭转弯曲定理，并得到了一些新的带有弯曲条件的不动点定理。作为应用，作者证明了如下结果：当ε>0充分小，w(t)为非负的周期函数时，方程

$ x^{\prime \prime}+\varepsilon x^{\prime}+(1+w(t)) f(x)=0 $

至少有四个初值在一星形环域中的次调和解。

本文的目的是拓展弯曲扭转映射定理的应用范围, 利用文献[11]的一个抽象结论，即下文中的引理4，来研究双项位势Duffing方程

$ x^{\prime \prime}+\varepsilon x^{\prime}+a(t) f(x)+b(t) g(x)=0 $

(1)

的周期解问题，其中a(t), b(t)是连续的T-周期函数。

1 准备

假设a, b: R→R是T-周期连续函数。对于以T为周期的周期函数α(t), 记其平均值$\bar{\alpha}:=\frac{1}{T} \int_0^T \alpha(t) \mathrm{d} t$, 偏差$\hat{\alpha}(t):=\alpha(t)-\bar{\alpha}$, 以及L¹范数$\alpha_1:=\int_0^T|\alpha(t)| \mathrm{d} t$。始终假设a, b>0, f, g: I→R满足局部Lipschitz条件，其中I=(A, B)(－∞ < A < 0 < B < ∞)是一个开区间。引入假设条件：

(H₀) f(0)=0, g(0)=0, 且存在常数N^*>0使得

$ 0<\frac{f(x)}{x}, \frac{g(x)}{x} \leqslant N^*, \quad \forall x \in I \backslash\{0\} 。$

(H₁) 存在常数δ₀>0, 满足

$ \begin{gathered} \hat{a}(t)=\hat{b}(t)=0, \quad t \in\left[0, T-\delta_0\right], \\ \hat{a}(t) \geqslant 0, \hat{b}(t) \geqslant 0, \hat{a}^2(t)+\hat{b}^2(t) \neq 0, t \in\left(T-\delta_0, T\right) 。\end{gathered} $

(H₂) 存在常数δ₀>0, 满足

$\begin{aligned} & \ \hat{a}(t)=\hat{b}(t)=0, \quad t \in\left[0, T-\delta_0\right], \\ & \hat{a}(t) \leqslant 0, \hat{b}(t) \leqslant 0, \hat{a}^2(t)+\hat{b}^2(t) \neq 0, t \in\left(T-\delta_0, \right.T) \end{aligned}$。当ε=0时, 方程(1)化为

$ x^{\prime \prime}+a(t) f(x)+b(t) g(x)=0 \text { 。} $

(2)

方程(2)可写成

$ x^{\prime \prime}+\bar{a} f(x)+\bar{b} g(x)+\hat{a}(t) f(x)+\hat{b}(t) g(x)=0, $

(3)

其等价系统为

$ \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=y, \\ y^{\prime}=-\bar{a} f(x)-\bar{b} g(x)-\hat{a}(t) f(x)-\hat{b}(t) g(x) 。\end{array}\right. $

(4)

考虑辅助方程

$ x^{\prime \prime}+\bar{a} f(x)+\bar{b} g(x)=0 $

(5)

及其等价系统

$ \left\{\begin{array}{l} x^{\prime}=y, \\ y^{\prime}=-\bar{a} f(x)-\bar{b} g(x) 。\end{array}\right. $

(6)

我们将系统(4)看作是系统(6)的扰动系统。

令ϕ(·)=ϕ(·, z)表示系统(6)满足初值条件ϕ(0)=z的解。计算得系统(6)的首次积分为

$ E(x, y):=\frac{1}{2} y^2+\bar{a} F(x)+\bar{b} G(x)=c, $

(7)

其中，$F(x)=\int_0^x f(s) \mathrm{d} s, G(x)=\int_0^x g(s) \mathrm{d} s$, c是常数。由文献[9](251页)可知：若条件(H₀)成立，则存在常数C>0使得，当0 < c < C时，系统(6)的轨道E^c={(x, y)|E(x, y)=c}是闭曲线，且是关于原点O的星形线。

令τ(c)表示E^c的最小正周期，则τ(c)是关于c的连续函数(参见^[11])。引入假设：

(H₃) 存在常数c₁, c₂: 0 < c₁ < c₂ < C使得，对于任意常数ε^*>0, 有0 < c₂－c₁ < ε^*, 并且T介于τ(c₁)和τ(c₂)之间。

令A={(x, y)∈I×R: c₁≤E(x, y)≤c₂}, 则A是平面上的一个环域，其内外边界分别为E^c₁和E^c₂。

令L_θ表示所有极角为θ的点的集合，则L_θ与E^c有且只有一个交点。因此，可以引入一个与极坐标投影映射等价的覆盖映射Ξ: A→R², 使得

$ \mathit{\Xi }(x, y) = (\theta , \xi ), \quad (x, y) \in A, $

式中: θ是通常意义下的极角，ξ=E(x, y)。

现在我们可以叙述本文的主要结果。

定理1   假设条件(H₀), (H₃)成立，且条件(H₁)或(H₂)成立，则存在充分小的正常数δ, 使得当$\max \left\{\|\hat{a}\|_1, \|\hat{b}\|_1, \delta_0\right\}<\delta$时, 公式(2)至少有4个初值在A中的T-周期解。进一步，该结论对带阻尼的公式(1)也成立，只要ε>0充分小。

将条件(H₁), (H₂)做一些弱化。假设存在正常数$\tilde{a}, \widetilde{b}$使得$\breve{a}(t):=a(t)-\widetilde{a}, \breve{b}(t):=b(t)-\widetilde{b}$满足以下两个条件之一：

(H₁)^*存在常数δ₀>0, 满足

$ \begin{gathered} \breve{a}(t)=\breve{b}(t)=0, \quad t \in\left[0, T-\delta_0\right], \\ \breve{a}(t) \geqslant 0, \breve{b}(t) \geqslant 0, \breve{a}^2(t)+\breve{b}^2(t) \neq 0, t \in\left(T-\delta_0, T\right) ; \end{gathered} $

(H₂)^*存在常数δ₀>0, 满足

$ \begin{gathered} \breve{a}(t)=\breve{b}(t)=0, \quad t \in\left[0, T-\delta_0\right], \\ \breve{a}(t) \leqslant 0, \breve{b}(t) \leqslant 0, \breve{a}^2(t)+\breve{b}^2(t) \neq 0, t \in\left(T-\delta_0, T\right)。\end{gathered} $

我们可以得到稍微宽泛的结果。

定理2  假设条件(H₀), (H₃)成立, 且存在正常数$\tilde{a}, \widetilde{b}$, 使得条件(H₁)^*或(H₂)^*成立，则存在充分小的正常数δ, 使得当$\max \left\{\|\breve{a}\|_1, \|\breve{b}\|_1, \delta_0\right\}<\delta$时，公式(2)至少有4个初值在A中的T-周期解。进一步，该结论对带阻尼的公式(1)也成立，只要ε>0充分小。

注1  因为条件(H₁)或(H₂) ((H₁)^*或(H₂)^*)不排除a(t)和b(t)在一个周期内变号，因此上述两定理适用范围比文献[11]中的相应结论更广泛。我们将在本文最后举例说明这一点。

2 主要结果的证明

设X⊂R²是一个拓扑环，h: X→R²\{0}是一个连续映射，记X_i和X_o分别是X的内外边界，所围的区域分别是$\mathfrak{D}_i, \mathfrak{D}_o$, 且原点$O \in \mathfrak{D}_i$。令

$ \mathit{\Pi }:(\varphi , r) \to (r\cos \varphi , r\sin \varphi ) $

为标准覆盖映射，则由覆盖投射理论^[12]可知，h存在一个连续的提升映射

$ \widetilde{h}:(\varphi, r) \rightarrow\left(\varphi+g^*(\varphi, r), r^*(\varphi, r)\right), $

满足${h^o }\mathit{\Pi } = {\mathit{\Pi }^o }\tilde h$, 其中g^*(φ, r), r^*(φ, r)是定义在Π^－1(X)上的连续函数，且关于φ是2π-周期的。

下面的引理来自文献[11]中的推论2.10, 它是我们证明主要定理的基本工具。

引理1  假设

(A₁)h的提升映射$\tilde{h}$, 满足扭转条件：

$ \left\{\begin{array}{l} g^*(\varphi, r)>2 j \pi(<2 j \pi), (r \cos \varphi, r \sin \varphi) \in X_i, \\ g^*(\varphi, r)<2 j \pi(>2 j \pi), (r \cos \varphi, r \sin \varphi) \in X_o, \end{array}\right. $

式中j是给定的整数。

(A₂)X中存在2k个连接X_i和X_o且互不相交的曲线, 分别用Γ₁, Γ₂, …，Γ_n, …，Γ_2k, Γ_2k+1=Γ₁进行标记，满足

$ \left\{\begin{array}{l} Y(z)<0, z \in \Gamma_{2 n-1}, n=1, 2, \cdots, k ; \\ Y(z)>0, z \in \Gamma_{2 n}, n=1, 2, \cdots, k 。\end{array}\right. $

式中Y(z)=r^*(φ, r)－r。则映射h在X的内部intX至少有2k个不同的不动点。

注2  由文献[11]中的论述可知，我们可以将Y表示为Y(z)=E(h(z))－E(z)。

下面我们进行定理1的证明。

证明  我们不妨假设τ(c₁) < T < τ(c₂)。由于τ(c)连续，因此系统(6)至少有一个T-周期解φ(t)=(x(t), y(t)), 满足$E(x(0), y(0))=\hat{c}, \tau(\hat{c})=T$。

令${\psi _{\hat a, \hat b}}( \cdot , z) = \left( {{\psi _1}( \cdot , z), {\psi _2}( \cdot , z)} \right)$表示系统(4)满足初值条件${\psi _{\hat a, \hat b}}(0, z) = z$的解。由于a(t), b(t)为连续周期函数，则存在常数M₀>0, 使得|a(t)|≤M₀, |b(t)|≤M₀。再结合文献[13]中定理2.4可知，在条件(H₀)成立的情况下，系统(4)的解$\psi_{\hat{a}, \hat{b}}(\cdot, z)$在整个t轴上存在。因此，可以将系统(4)的Poincaré映射${\mathit{\Psi }_{\hat a, \hat b}}:D \to {{\bf{R}}^2}$定义为${\mathit{\Psi }_{\hat a, \hat b}}(z): = {\psi _{\hat a, \hat b}}(T, z)$, 其中，

$ D=\left\{(x, y) \in I \times \bf{R}: E(x, y) \leqslant c_2\right\} \text { 。} $

因${\mathit{\Psi }_{\hat a, \hat b}}(0) = 0$, 由解的存在唯一性可知

$ {\psi _{\hat a, \hat b}}(t, z) \ne 0, \quad \forall t \in [0, T], z \in A 。$

定义函数$\vartheta(t, z)$满足

$ {\psi _{\hat a, \hat b}}(t, z) = \left\| {{\psi _{\hat a, \hat b}}(t, z)} \right\|(\cos (\vartheta (t, z)), \sin (\vartheta (t, z)))。$

令${\mathit{\widetilde \Psi }_{\hat a, \hat b}}$表示${ \mathit{\Psi }_{\hat a, \hat b}}$的提升映射，设

$ {\mathit{\widetilde \Psi }_{\hat a, \hat b}}(\theta , \xi ) = \left( {\theta + {\mathit{\Theta }_{\hat a, \hat b}}(\theta , \xi ), {\xi ^*}} \right), $

式中：θ是通常的极角；ξ=E(x, y)。

对于z=(ξcosθ, ξsinθ), 有

$ {\xi ^*} = \left\| {{\mathit{\Psi }_{\hat a, \hat b}}(z)} \right\|, $

(8)

$ {\mathit{\Theta }_{\hat a, \hat b}}(\theta , \xi ) = \int_0^T {\frac{{\left[ {\bar af\left( {{\psi _1}(t, z)} \right) + \bar bg\left( {{\psi _1}(t, z)} \right) + \hat a(t)f\left( {{\psi _1}(t, z)} \right) + \hat b(t)g\left( {{\psi _1}(t, z)} \right)} \right]{\psi _1}(t, z) + {\psi _2}{{(t, z)}^2}}}{{{{\left\| {{\psi _{\hat a, \hat b}}(t, z)} \right\|}^2}}}} {\rm{d}}t 。$

(9)

显然，在L¹拓扑下映射${\mathit{\Theta }_{\hat a, \hat b}}$关于$\hat{a}, \hat{b}$是连续的，且

$ {\mathit{\Theta }_{0, 0}}(\theta , \xi ) = - 2\pi , \quad (\theta , \xi ) \in {E^{\hat c}}。$

(10)

由于系统(6)从E^c出发的解绕原点顺时针旋转，且τ(c₁) < T < τ(c₂), 故

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\Theta }_{0, 0}}(\theta , \xi ) < - 2\pi , }&{(\theta , \xi ) \in {E^{{c_1}}}, }\\ {{\mathit{\Theta }_{0, 0}}(\theta , \xi ) > - 2\pi , }&{(\theta , \xi ) \in {E^{{c_2}}}}。\end{array}} \right. $

(11)

因此，结合公式(9)可得，存在常数δ>0，使得当$\max \left\{\|\hat{a}\|_1, \|\hat{b}\|_1\right\}<\delta$时，有

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\Theta }_{\hat a, \hat b}}(\theta , \xi ) < - 2\pi , (\theta , \xi ) \in {E^{c1}}, }\\ {{\mathit{\Theta }_{\hat a, \hat b}}(\theta , \xi ) > - 2\pi , (\theta , \xi ) \in {E^{c2}}}。\end{array}} \right. $

(12)

即${\mathit{\Psi }_{\hat a, \hat b}}$满足扭转条件。

下面证明A中存在4条连接E^c₁和E^c₂的曲线Γ₁, Γ₂, Γ₃, Γ₄, 且满足引理1中的条件(A₂)。

假设条件(H₁)成立(条件(H₂)成立时可类似证明)。令

$ {Y_{\hat a, \hat b}}(z) = E\left( {{\mathit{\Psi }_{\hat a, \hat b}}(z)} \right) - E(z), \quad \forall z \in A 。$

根据E(x, y)的定义，可以得到

$ \begin{aligned} & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} E\left(\psi_a, \hat{b}(t, z)\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} E\left(\psi_1(t, z), \psi_2(t, z)\right)= \\ & \psi_2(t, z) \psi_2^{\prime}(t, z)+\bar{a} f\left(\psi_1(t, z)\right) \psi_1^{\prime}(t, z)+ \\ & \bar{b} g\left(\psi_1(t, z)\right) \psi_1^{\prime}(t, z)= \\ & \psi_2(t, z)\left[-\bar{a} f\left(\psi_1(t, z)\right)-\bar{b} g\left(\psi_1(t, z)\right)-\right. \\ & \left.\hat{a}(t) f\left(\psi_1(t, z)\right)-\hat{b}(t) g\left(\psi_1(t, z)\right)\right]+ \\ & \bar{a} f\left(\psi_1(t, z)\right) \psi_2(t, z)+\bar{b} g\left(\psi_1(t, z)\right) \psi_2(t, z)= \\ & \psi_2(t, z)\left[-\hat{a}(t) f\left(\psi_1(t, z)\right)-\hat{b}(t) g\left(\psi_1(t, z)\right)\right] 。\end{aligned} $

(13)

由条件(H₀), (H₁)可知，对任意t∈(T－δ₀, T), 有

$ \begin{aligned} & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} E\left(\psi_{a, b}(t, z)\right)>0, \psi_{a, b}(t, z) \in \mathfrak{D}_1, \\ & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} E\left(\psi_{a, b}(t, z)\right)<0, \psi_{\hat{a}, b}(t, z) \in \mathfrak{D}_2, \end{aligned} $

(14)

式中：$\mathfrak{D}_1=\{(x, y): x y<0\}, \mathfrak{D}_2=\{(x, y): x y>0\}$。

令$\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, Γ₁表示$L_{\frac{\pi}{2}}-_\alpha$和A的交线，则Γ₁在第I象限。如图 1所示，取${z_0} = {\mathit{\Gamma }_1}\bigcap {{E^{\hat c}}} $, 由于$\tau(\hat{c})=T$, 则当δ₀充分小时，φ(t, z₀)(t∈(T－δ₀, T))位于第I象限。由条件(H₃)可知，τ(c₁), τ(c₂)与T充分接近，从而由曲线的紧性可知，当δ₀充分小时，对于任意z∈Γ₁, 有φ(t, z)(t∈(T－δ₀, T))在第I象限。因此，当$\max \left\{\|\hat{a}\|_1, \|\hat{b}\|_1, \delta_0\right\}$充分小时，对于任意z∈Γ₁, ${\psi _{\hat a, \hat b}}(t, z)\left( {t \in \left( {T - {\delta _0}, T} \right)} \right)$也位于第I象限。再结合公式(14)，可知$E\left(\psi_{\hat{a}, \hat{b}}(t, z)\right)$在(T－δ₀, T)上单调递减, 因此，对于任意z∈Γ₁有

$ E\left( {{\mathit{\Psi }_{\hat a, \hat b}}(z)} \right) = E\left( {{\psi _{\hat a, \hat b}}(T, z)} \right) < E\left( {{\psi _{\hat a, \hat b}}\left( {T - {\delta _0}, z} \right)} \right)。$

由条件(H₁)可知，对于t∈[0, T－δ₀]，系统(4)和(6)的解重合，从而${\psi _{\hat a, \hat b}}\left( {T - {\delta _0}, z} \right) = \varphi \left( {T - {\delta _0}, z} \right)$。因此，对于任意z∈Γ₁有

$ E\left( {{\psi _{\hat a, \hat b}}\left( {T - {\delta _0}, z} \right)} \right) = E\left( {\varphi \left( {T - {\delta _0}, z} \right)} \right) = E(z), $

从而

$ E\left( {{\mathit{\Psi }_{\hat a, \hat b}}(z)} \right) - E(z) < 0, \quad \forall z \in {\mathit{\Gamma }_1}。$

(15)

利用类似的方法, 我们还可以得到

$ \begin{array}{*{20}{l}} {E\left( {{\mathit{\Psi }_{\hat a, \hat b}}(z)} \right) - E(z) > 0, }&{z \in {\mathit{\Gamma }_2}: = {L_{\pi - \alpha }} \cap A, }\\ {E\left( {{\mathit{\Psi }_{\hat a, \hat b}}(z)} \right) - E(z) < 0, }&{z \in {\mathit{\Gamma }_3}: = {L_{\frac{3}{2}\pi - \alpha }} \cap A, }\\ {E\left( {{\mathit{\Psi }_{\hat a, \hat b}}(z)} \right) - E(z) > 0, }&{z \in {\mathit{\Gamma }_4}: = {L_{2\pi - \alpha }} \cap A, } \end{array} $

即

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{Y_{\hat a, \hat b}}(z) < 0, z \in {\mathit{\Gamma }_1}, {\mathit{\Gamma }_3}, }\\ {{Y_{\hat a, \hat b}}(z) > 0, z \in {\mathit{\Gamma }_2}, {\mathit{\Gamma }_4}。} \end{array}} \right. $

(16)

因此, 由引理1可知, 存在常数δ>0使得当$\max \left\{\|\hat{a}\|_1, \|\hat{b}\|_1, \delta_0\right\}<\delta$时, ${\mathit{\Psi }_{\hat a, \hat b}}$在A中至少有4个不动点。于是公式(2)至少有4个初值点在A中的T-周期解。此外，对于公式(1)，当ε充分小时，可以得到相同的结论。事实上，利用类似于${\mathit{\Theta }_{\hat a, \hat b}}$和${\mathit{\Upsilon }_{\hat a, \hat b}}(z)$的定义方法，我们可以定义${\mathit{\Theta }_{\hat a, \hat b}}(\varepsilon , \theta , \xi )$和$\mathit{\Upsilon }_{\hat{a}, \hat{b}}(\varepsilon, z)$, 满足

$ {\mathit{\Theta }_{\hat a, \hat b}}(0, \theta , \xi ) = {\mathit{\Theta }_{\hat a, \hat b}}(\theta , \xi ), {\mathit{\Upsilon }_{\hat a, \hat b}}(0, z) = {\mathit{\Upsilon }_{\hat a, \hat b}}(z)。$

由${\mathit{\Theta }_{\hat a, \hat b}}(\varepsilon , \theta , \xi )$和$\mathit{\Upsilon }_{\hat{a}, \hat{b}}(\varepsilon, z)$的连续性可得，当ε>0且充分小时，有

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\mathit{\Theta }_{\hat a, \hat b}}(\varepsilon , \theta , \xi ) < - 2\pi , (\theta , \xi ) \in {E^{c1}}}, \\ {{\mathit{\Theta }_{\hat a, \hat b}}(\varepsilon , \theta , \xi ) > - 2\pi , (\theta , \xi ) \in {E^{c2}}}, \end{array}} \right. $

且

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{Y_{\hat a, \hat b}}(\varepsilon , z) < 0, z \in {\mathit{\Gamma }_1}, {\mathit{\Gamma }_3}, }\\ {{Y_{\hat a, \hat b}}(\varepsilon , z) > 0, z \in {\mathit{\Gamma }_2}, {\mathit{\Gamma }_4}。} \end{array}} \right. $

因此公式(1)也至少有4个初值在A中的T-周期解。

定理1证毕。

注3  定理2的证明类似于定理1，只需要将证明过程中的a, b分别换成$\tilde{a}, \widetilde{b}$即可。

3 案例分析

下面举例说明定理2的有效性。

例1  考虑方程

$ x^{\prime \prime}+\frac{1}{n} x^{\prime}+a(t) f(x)+b(t) g(x)=0, $

(17)

式中：n是正整数；a(t), b(t)是$\sqrt{2} \pi-$周期函数，且a(t), b(t)在$[0, \sqrt{2} \pi)$上的定义如下：

$ a(t)= \begin{cases}1, & t \in\left[0, \sqrt{2} \pi-\frac{1}{n}\right], \\ 4\left(n^2+n\right) t^2+(n+1)(4-8 \sqrt{2} n \pi) t+(n+1)\left(8 n \pi^2-4 \sqrt{2} \pi\right)+1, & t \in\left(\sqrt{2} \pi-\frac{1}{n}, \sqrt{2} \pi\right), \end{cases} $

$ b(t)= \begin{cases}1, & t \in\left[0, \sqrt{2} \pi-\frac{1}{n}\right], \\ -2(n+1) t+2\left(\sqrt{2} \pi-\frac{1}{n}\right)(n+1)+1, & t \in\left(\sqrt{2} \pi-\frac{1}{n}, \sqrt{2} \pi-\frac{1}{2 n}\right], \\ 2(n+1) t-2 \sqrt{2} \pi(n+1)+1, & t \in\left(\sqrt{2} \pi-\frac{1}{2 n}, \sqrt{2} \pi\right), \end{cases} $

取$\delta_0=\frac{1}{n}, \tilde{a}=\tilde{b}=1$。显然，

$ \begin{aligned} & \breve{a}(t)=a(t)-\widetilde{a}=a(t)-1=0, t \in\left[0, T-\delta_0\right], \\ & \breve{b}(t)=b(t)-\widetilde{b}=b(t)-1=0, t \in\left[0, T-\delta_0\right] 。\end{aligned} $

从而，条件(H₂)^*成立。

计算可得

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ {\left\| {\mathord{\buildrel{\lower3pt\hbox{$\scriptscriptstyle\smile$}} \over a} } \right\|_1} = \int_0^{\sqrt 2 \pi } | a(t) - \tilde a|{\rm{d}}t = \\ \int_{\sqrt 2 \pi - {\delta _0}}^{\sqrt 2 \pi } {(\tilde a - a(} t)){\rm{d}}t = \widetilde a{\delta _0} + \int_{\sqrt 2 \pi - {\delta _0}}^{\sqrt 2 \pi } {( - a(} t)){\rm{d}}t = \\ \frac{4}{3}(n + 1)\left( { - 6{\pi ^2} + 3\sqrt 2 \pi {\delta _0} - \delta _0^2} \right) + (n + 1)\left( {2\delta _0^2 - } \right.\\ \left. {4\sqrt 2 n\pi \delta _0^2 + 8n{\pi ^2}{\delta _0}} \right) = \frac{2}{{3{n^2}}}(n + 1)。\end{array} $

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ \|\bar{b}\|_1=\int_0^{\sqrt{2} \pi}|b(t)-\widetilde{b}| \mathrm{d} t= \\ \int_{\sqrt{2} \pi-\delta_0}^{\sqrt{2} \pi}(\widetilde{b}-b(t)) \mathrm{d} t=\widetilde{b} \delta_0+\int_{\sqrt{2} \pi \delta_0}^{\sqrt{2} \pi}(-b(t)) \mathrm{d} t= \\ \widetilde{b}_0+\int_{\sqrt{2} \pi-\frac{1}{n}}^{\sqrt{2} \pi-\frac{1}{2 n}}\left[-2(n+1) t+2\left(\sqrt{2} \pi-\frac{1}{n}\right)(n+1)+1\right] \mathrm{d} t+ \\ \int_{\sqrt{2} \pi-\frac{1}{2 n}}^{\sqrt{2} \pi}[2(n+1) t-2 \sqrt{2} \pi(n+1)+1] \mathrm{d} t= \\ (n+1)\left(\frac{3}{4 n^2}-\frac{\sqrt{2} \pi}{n}\right)+(n+1) \frac{1}{n}\left(\sqrt{2} \pi-\frac{1}{n}\right)- \\ \frac{n+1}{4 n^2}+\frac{2}{n}=\frac{3}{2 n}-\frac{1}{2 n^2} 。\end{array} $

因此，$\lim _{n \rightarrow \infty}\|\bar{a}\|_1=\lim _{n \rightarrow \infty}\|\bar{b}\|_1=0$。

f, g∶(－1, 1)→R定义如下：f(0)=g(0)=0, f(x), g(x)为奇函数，且

$ \begin{aligned} & f(x)=x\left(\frac{4}{5} \cos (\ln x)+1\right), x \in(0, 1), \\ & g(x)=x\left(1-\frac{2}{5} \sin (\ln x)\right), x \in(0, 1) 。\end{aligned} $

则

$ \begin{aligned} & f^{\prime}(x)=\frac{4}{5} \cos (\ln x)-\frac{4}{5} \sin (\ln x)+1, x \in(0, 1), \\ & g^{\prime}(x)=1-\frac{2}{5} \sin (\ln x)-\frac{2}{5} \cos (\ln x), x \in(0, 1) 。\end{aligned} $

从而，f′(x), g′(x)在(0, 1)上有界。因此，f(x), g(x)满足局部Lipschitz条件。且容易验证f(x), g(x)满足条件(H₀)。

当x∈(0, 1)时，方程$x^{\prime \prime}+\tilde{a} f(x)+\tilde{b} g(x)=0$的首次积分为

$ E(x, y)=\frac{1}{2} y^2+H(x)=c, $

其中，

$ H(x)=x^2\left(1+\frac{2}{5} \cos (\ln x)\right) \text { 。} $

令$Q(x)=1+\frac{2}{5} \cos (\ln x)$, 设h_c=h(c)满足H(h_c)=c, 则有

$ \begin{array}{l} \ \ \ \ \tau (c) = 2\sqrt 2 \int_0^{{h_c}} {\frac{{{\rm{d}}u}}{{\sqrt {c - H(u)} }}} = \\ 2\sqrt 2 \int_0^1 {\frac{{{h_c}{\rm{d}}\sigma }}{{\sqrt {H\left( {{h_c}} \right) - H\left( {{h_c}\sigma } \right)} }}} = \\ \frac{{2\sqrt 2 }}{{\sqrt {Q\left( {{h_c}} \right)} }}\int_0^1 {\frac{{{\rm{d}}\sigma }}{{\sqrt {1 - {\sigma ^2}Q\left( {{h_c}\sigma } \right)/Q\left( {{h_c}} \right)} }}} \end{array} $

(18)

下面证明τ(c)满足条件。

由于$H^{\prime}(x)=\tilde{a} f(x)+\widetilde{b} g(x)$, 结合条件(H₀)可知，当x∈(0, 1)时，H′(x)>0, 即H(x)在(0, 1)上递增。令

$ c_1^*=H\left(\mathrm{e}^{-3 \pi}\right), c_2^*=H\left(\mathrm{e}^{-2 \pi}\right) \text { 。} $

由于

$ 0<\mathrm{e}^{-3 \pi}<\mathrm{e}^{-2 \pi}<1 $

则$0<c_1^*<c_2^*<C:=H\left(1^{-}\right)=\frac{7}{5}$。根据公式(18)可得

$ \begin{aligned} \tau\left(c_1^*\right) & =\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{Q\left(\mathrm{e}^{-3 \pi}\right)}} \int_0^1 \frac{\mathrm{d} \sigma}{\sqrt{1-\sigma^2 Q\left(\mathrm{e}^{-3 \pi} \sigma\right) / Q\left(\mathrm{e}^{-3 \pi}\right)}}>\sqrt{2} \pi, \\ \tau\left(c_2^*\right) & =\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{Q\left(\mathrm{e}^{-2 \pi}\right)}} \int_0^1 \frac{\mathrm{d} \sigma}{\sqrt{1-\sigma^2 Q\left(\mathrm{e}^{-2 \pi} \sigma\right) / Q\left(\mathrm{e}^{-2 \pi}\right)}}<\sqrt{2} \pi 。\end{aligned} $

因此，由函数τ(c)的连续性可知，存在正常数c₁, c₂, c^*∶ c₁^* < c₁ < c^* < c₂ < c₂^*, 满足对于任意常数ε^*>0, 有0 < c₂－c₁ < ε^*, 且τ(c^*)=2π介于τ(c₁)与τ(c₂)之间。从而条件(H₃)成立。

因$\lim _{n \rightarrow \infty} \max \left\{\|\bar{a}\|_1, \|\bar{b}\|_1, \delta_0\right\}=0$, 故由定理2可知, 存在N>0, 当n>N时，公式(1)至少有4个$\sqrt{2} \pi^{-}$周期解。