本文所提及的亚纯函数是指在整个复平面上的亚纯函数。设f是复平面上1个非常数的亚纯函数，并假设读者熟悉Nevanlinna理论的基本概念和结果及其标准记号^[1-3], 例如T(r, f)，m(r, f)，N(r, f)，N(r, f)，$N\left(r, \frac{1}{f-a} \right)$，$\bar{N}\left(r, \frac{1}{f-a} \right)$等等。同时用$\bar{C}=C\cup \infty $表示扩充复平面。此外，我们还用到下述定义：

定义1^[1-2]  假设f是1个非常数的亚纯函数，a∈${\bar{C}}$为1个扩充复平面上的复值，则亏量δ(a, f), 精简亏量Θ(a, f)分别定义为

$ \begin{array}{l} \delta \left( {a,f} \right) = \mathop {\lim \inf }\limits_{r \to \infty } \frac{{m\left( {r,\frac{1}{{f - a}}} \right)}}{{T\left( {r,f} \right)}} = \\ 1 - \mathop {\lim \sup }\limits_{r \to \infty } \frac{{N\left( {r,\frac{1}{{f - a}}} \right)}}{{T\left( {r,f} \right)}}和\\ \;\;\;\;\;\Theta \left( {a,f} \right) = 1 - \mathop {\lim \sup }\limits_{r \to \infty } \frac{{\bar N\left( {r,\frac{1}{{f - a}}} \right)}}{{T\left( {r,f} \right)}}。\end{array} $

定义2^[1-3]  假设f是1个非常数的亚纯函数，其下级μ(f), 级ρ(f), 超级ρ₂(f)分别定义为

$ \mu \left( f \right) = \mathop {\lim \inf }\limits_{r \to \infty } \frac{{\log T\left( {r,f} \right)}}{{\log r}}, $

$ \rho \left( f \right) = \mathop {\lim \sup }\limits_{r \to \infty } \frac{{\log T\left( {r,f} \right)}}{{\log r}}, $

$ {\rho _2}\left( f \right) = \mathop {\lim \sup }\limits_{r \to \infty } \frac{{\log \log T\left( {r,f} \right)}}{{\log r}}。$

定义3^[1-3]  假设f是1个非常数的亚纯函数，若ρ(f)=μ(f)，则称f为正规增长的亚纯函数。

亚纯函数Nevanlinna理论中引人注目的成就之一就是下述亏量关系：

$ \sum\limits_{a \in \bar C} {\delta \left( {a,f} \right)} \le 2。$

涉及导函数的最大亏量和的亚纯函数的值分布问题是近几十年来国际复分析专家关注的热点课题^[4-7]。

1990年，杨乐证明了下面的定理：

定理A^[4]。设f是复平面上的1个有穷级超越亚纯函数，k≥1是1个整数，那么

$ \sum\limits_{a \in \bar C} {\delta \left( {a,{f^{\left( k \right)}}} \right)} \le 2 - \frac{{2k\left( {1 - \mathit{\Theta }\left( {\infty ,f} \right)} \right)}}{{1 + k\left( {1 - \mathit{\Theta }\left( {\infty ,f} \right)} \right)}}。$

本文在超级有穷且正规增长的的条件下证明了下述定理，推广了定理A。

定理1  设f是复平面上的1个正规增长的超越亚纯函数，并且ρ₂(f) < ∞，k是1个正整数，那么

$ \sum\limits_{a \in \bar C} {\delta \left( {a,{f^{\left( k \right)}}} \right)} \le 2 - \frac{{2k\left( {1 - \mathit{\Theta }\left( {\infty ,f} \right)} \right)}}{{1 + k\left( {1 - \mathit{\Theta }\left( {\infty ,f} \right)} \right)}}。$

推论1  设f是复平面上的1个正规增长的超越亚纯函数，并且ρ₂((f) < ∞和$\sum\limits_{a\in \bar{C}}{\delta \left(a.f \right)}=2$，那么定理1结论成立。

推论2  设f是复平面上的1个正规增长的超越亚纯函数，并且ρ₂(f) < ∞, 若Θ(∞，f) < 1, 则

$ \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \left\{ {\sum\limits_{a \in \bar C} {\delta \left( {a,{f^{\left( k \right)}}} \right)} } \right\} = 0。$

推论3  设f是复平面上的1个正规增长的超越亚纯函数，并且ρ₂(f) < ∞, 若Θ(∞，f)=0, 则

$ \sum\limits_{a \in \bar C} {\delta \left( {a,{f^{\left( k \right)}}} \right)} \le \frac{2}{{k + 1}}。$

推论4  设f是复平面上的1个正规增长的超越亚纯函数，并且ρ₂(f) < ∞, 若存在1个正整数k₀使得$\sum\limits_{a\in \bar{c}}{\delta \left(a, {{f}^{({{k}_{0}})}} \right)}=2$, 则有Θ(∞，f)=1。

本文给出下面两个例子。

例1  设$f\left(z \right)={{e}^{{{e}^{z}}}}$容易验证$\rho \left(f \right)=\mu \left(f \right)=\infty $，${{\rho }_{2}}\left(f \right)=1$，并且对任意正整数k, 有$\delta \left(0, {{f}^{\left(k \right)}} \right)=\delta \left(\infty, {{f}^{\left(k \right)}} \right)={\mathit{\Theta}} \left(\infty, {{f}^{\left(k \right)}} \right)={\mathit{\Theta}} \left(\infty, f \right)=1$。

该例子表明，定理1中的等号成立，从而定理1的结论是最佳的，推论1和推论4中的亚纯函数是存在的。

例2^[5]  设a和b是两个判别的有穷复数，f是Riccati方程ω′=(ω-a)(ω-b)的非常数的亚纯解。容易验证f是非常数亚纯函数，并且a和b是f的两个Picard例外值，并且对任意正整数k, 有Θ(∞，f)=0和$\sum\limits_{a\in \bar{c}}{\delta \left(a, {{f}^{\left(k \right)}} \right)}=\delta \left(a, {{f}^{\left(k \right)}} \right)=\frac{2}{k+1}$。该例说明推论3的结论是最佳的。

1 几个引理

假设f是1个非常数亚纯函数，下面用S(r, f)表示形如$\frac{{{f}^{(k)}}}{{{f}^{(j)}}}$与$\frac{{{f}^{(k)}}}{f-a}$的若干个亚纯函数的均值函数的和，其中j, k为正整数且满足1≤j < k, a为某个有穷复数并且f^(j)不恒等于0，那么

$ S\left( {r,f} \right) \le A{\log ^ + }T\left( {r,f} \right) + B{\log ^ + }\frac{1}{{R - r}} + C{\log ^ + }R + D, $

其中0 < r < R，A, B, C和D是四个有穷正数。

为了证明本文的主要结果，介绍下面几个引理。

下述引理是由文献Heittokangas-Korhonen-Rättyä^[8]中关于对数导数引理的精确结果。

引理1^[8]  设f是复平面上的亚纯函数，k和j是两个整数，且满足k>j≥0。如果f^(j)不恒为零，那么存在1个正数r₀>1，使得

$ m\left( {r,\frac{{{f^{\left( k \right)}}}}{{{f^{\left( j \right)}}}}} \right) \le \left( {k - j} \right){\log ^ + }\left( {\frac{{T\left( {\rho ,f} \right)}}{\rho } \cdot \frac{\rho }{{\rho - r}}} \right) + \log \frac{{k!}}{{j!}} + \left( {k - j} \right)5.307\;8 $

对所有满足r₀ < r < ρ < ∞的r成立。

本文还需要文献Frank-Weissenborn^[9]下述引理：

引理2^[9]  设f是复平面上的超越亚纯函数，k是1个正整数，那么

$ k\bar N\left( {r,f} \right) < N\left( {r,\frac{1}{{{f^{\left( k \right)}}}}} \right) + N\left( {r,f} \right) + \varepsilon T\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right) + S\left( {r,f} \right), $

$ k\bar N\left( {r,f} \right) < \bar N\left( {r,\frac{1}{{{f^{\left( k \right)}}}}} \right) + N\left( {r,f} \right) + \varepsilon T\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right) + S\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right)。$

下述引理刻画了亚纯函数及其导函数的下级、级和超级之间的关系。

引理3^[3]  设f是复平面上的1个非常数亚纯函数, k为正整数，则有

$ \mu \left( f \right) = \mu \left( {{f^{\left( k \right)}}} \right),\rho \left( f \right) = \rho \left( {{f^{\left( k \right)}}} \right)。$

类似于文献[3]中定理1.21的证明方法可得。

引理4  设f是复平面上的1个非常数亚纯函数, k为正整数，则有ρ₂(f)=ρ₂（f^(k)）。

由引理1、引理3和引理4可得下述结果。

引理5  设f是复平面上的1个的超越亚纯函数，并且ρ(f)=μ(f)=∞和ρ₂(f) < ∞，那么$\underset{r\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\, \frac{S\left(r, f \right)}{T\left(r, f \right)}=0$。

证明 在引理1中令ρ=2r，由条件ρ₂(f)=ρ₂ < ∞，对于充分大的r，有

$ m\left( {r,\frac{{{f^{\left( k \right)}}}}{{f - a}}} \right) \le {M_k}{r^{{\rho _2} + \varepsilon }}\;和\;m\left( {r,\frac{{{f^{\left( k \right)}}}}{{{f^{\left( j \right)}}}}} \right) \le {M_{k,j}}{r^{{\rho _2} + \varepsilon }}, $

其中ε为给定的任意小的正数，M_k是仅与k有关的正常数，M_{k, j}是1个仅与k和j有关的正常数^[7]。因为ρ(f)=μ(f)=∞，所以

$ \mathop {\lim }\limits_{r \to \infty } \frac{{{r^{{\rho _2} + \varepsilon }}}}{{T\left( {r,f} \right)}} = 0。$

由S(r, f)的定义可知

$\underset{r\to \infty }{\mathop{\text{lim}}}\, \frac{S\left(r, f \right)}{T\left(r, f \right)}=0$。引理5证毕。

本文还需要下述引理，该引理表明1个具有满亏量和的亚纯函数一定是正规增长的。

引理6^[10]  假设f是1个非常数亚纯函数，并且μ(f) < ∞和$\sum\limits_{a\in \bar{c}}{\delta \left(a, f \right)}=2$，那么$\mu \left(f \right)=\rho \left(f \right) < \infty $。

2 定理1的证明

证明 当ρ(f) < ∞时，由定理A可知定理1的结论显然成立。

下面证明当ρ(f)=∞定理仍然成立。

由引理3和引理4得$\rho \left({{f}^{(k)}} \right)=\mu \left({{f}^{\left(k \right)}} \right)=\infty $，${{\rho }_{2}}({{f}^{(k)}}) < \infty $。

设a₁，a₂，a₃, …, a_q是q个判别的有限复值，则

$ \begin{array}{l} m\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right) + \sum\limits_{j = 1}^q {m\left( {r,\frac{1}{{{f^{\left( k \right)}} - {a_j}}}} \right)} = \\ m\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right) + m\left( {r,\sum\limits_{j = 1}^q {\frac{1}{{{f^{\left( k \right)}} - {a_j}}}} } \right) + O\left( 1 \right) \le \\ m\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right) + m\left( {r,\frac{1}{{{f^{\left( {k + 1} \right)}}}}} \right) + m\left( {r,\sum\limits_{j = 1}^q {\frac{{{f^{\left( {k + 1} \right)}}}}{{{f^{\left( k \right)}} - {a_j}}}} } \right) + O\left( 1 \right) \le \\ m\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right) + m\left( {r,\frac{1}{{{f^{\left( {k + 1} \right)}}}}} \right) + S\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right) \le \\ m\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right) + T\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right) + \bar N\left( {r,f} \right) - N\left( {r,\frac{1}{{{f^{\left( {k + 1} \right)}}}}} \right) + \\ S\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right)。\end{array} $

(1)

另一方面，由引理2可得

$ \begin{array}{l} \left( {k + 1} \right)\bar N\left( {r,f} \right) \le N\left( {r,\frac{1}{{{f^{\left( {k + 1} \right)}}}}} \right) + N\left( {r,f} \right) + \varepsilon T\left( {r,} \right.\\ \left. {{f^{\left( k \right)}}} \right) + S\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right), \end{array} $

(2)

其中ε是任意小给定正数。把(2)代入(1)得

$ \begin{array}{l} m\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right) + \sum\limits_{j = 1}^q {m\left( {r,\frac{1}{{{f^{\left( k \right)}} - {a_j}}}} \right)} \le 2T\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right) - 2k\\ \bar N\left( {r,f} \right) + \varepsilon T\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right) + S\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right)。\end{array} $

(3)

由(3)和引理5可得

$ \begin{array}{l} \delta \left( {\infty ,{f^{\left( k \right)}}} \right) + \sum\limits_{j = 1}^q {\delta \left( {{a_j},{f^{\left( k \right)}}} \right)} \le \\ \mathop {\lim \inf }\limits_{r \to \infty } \left( {2 - \frac{{2k\bar N\left( {r,f} \right)}}{{T\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right)}}} \right) + \varepsilon \le \\ 2 - 2k\mathop {\lim \sup }\limits_{r \to \infty } \frac{{\bar N\left( {r,f} \right)}}{{T\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right)}} + \varepsilon 。\end{array} $

(4)

由于

$ T\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right) \le T\left( {r,f} \right) + k\bar N\left( {r,f} \right) + S\left( {r,f} \right), $

(5)

由(5)可得

$ \frac{{\bar N\left( {r,f} \right)}}{{T\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right)}} \ge \frac{{\bar N\left( {r,f} \right)}}{{T\left( {r,f} \right) + k\bar N\left( {r,f} \right) + S\left( {r,f} \right)}}, $

所以，结合引理5可得

$ \begin{array}{l} \mathop {\lim \sup }\limits_{r \to \infty } \frac{{\bar N\left( {r,f} \right)}}{{T\left( {r,{f^{\left( k \right)}}} \right)}} \ge \\ \mathop {\lim \sup }\limits_{r \to \infty } \frac{{\bar N\left( {r,f} \right)}}{{T\left( {r,f} \right) + k\bar N\left( {r,f} \right) + S\left( {r,f} \right)}} \ge \\ \frac{{\mathop {\lim \sup }\limits_{r \to \infty } \frac{{\bar N\left( {r,f} \right)}}{{T\left( {r,f} \right)}}}}{{\mathop {\lim \sup }\limits_{r \to \infty } \left( {1 + k\frac{{\bar N\left( {r,f} \right)}}{{T\left( {r,f} \right)}} + \frac{{S\left( {r,f} \right)}}{{T\left( {r,f} \right)}}} \right)}} \ge \\ \frac{{1 - \mathit{\Theta }\left( {\infty ,f} \right)}}{{1 + k\left( {1 - \mathit{\Theta }\left( {\infty ,f} \right)} \right)}}。\end{array} $

(6)

由(4)和(6)即得

$ \begin{array}{l} \delta \left( {\infty ,{f^{\left( k \right)}}} \right) + \sum\limits_{j = 1}^q {\delta \left( {{a_j},{f^{\left( k \right)}}} \right)} \le 2 - \\ \frac{{2k\left( {1 - \mathit{\Theta }\left( {\infty ,f} \right)} \right)}}{{1 + k\left( {1 - \mathit{\Theta }\left( {\infty ,f} \right)} \right)}} + \varepsilon 。\end{array} $

上式两边令ε→0⁺和q→∞即得

$ \sum\limits_{a \in \bar C} {\delta \left( {a,{f^{\left( k \right)}}} \right)} \le 2 - \frac{{2k\left( {1 - \mathit{\Theta }\left( {\infty ,f} \right)} \right)}}{{1 + k\left( {1 - \mathit{\Theta }\left( {\infty ,f} \right)} \right)}}。$

定理1证毕。

推论1的证明：

以下分两种情形讨论：

情形1  若μ(f) < ∞，则由引理6可知μ(f)=ρ(f) < ∞。于是由定理A可知，推论1结论成立。

情形2  若μ(f)=∞，则μ(f)=ρ(f)=∞。由定理1可知推论1成立。

推论1证毕。