系统稳定性作为控制理论的核心目标，一直是研究热点。稳定性指有界输入产生有界输出。当前，线性时变系统稳定性研究取得了显著成果^[1-3]。Feintuch和Francis在套代数框架下构建了控制理论^[4-5]，引发了系统稳定性研究的热潮^[6-10]。本文探讨套代数框架下线性时变系统的镇定及同时镇定控制器设计方法。

在套代数框架下，考虑一个离散线性时变系统L，该系统由以下差分方程描述:

$ \begin{gathered} \boldsymbol{x}_{k+1}=\boldsymbol{a}_k \boldsymbol{x}_k+\boldsymbol{b}_k \boldsymbol{u}_k, \boldsymbol{x}_0=0, \\ \boldsymbol{y}_k=\boldsymbol{d}_k \boldsymbol{x}_k+\boldsymbol{e}_k \boldsymbol{u}_k。\end{gathered} $

其中，对于每个k=1，2，…，x_k∈Cⁿ是状态，u_k∈Cⁿ是信号的输入，y_k∈Cⁿ是信号的输出，并且a_k，b_k，d_k，e_k是适当维数的复矩阵，Cⁿ是n维复向量空间。在算子理论背景下，线性时变系统L可视作无限维下三角矩阵(可能无界)。对于线性时不变系统L，它对应于Toeplitz阵, 此时线性系统的稳定性等同于其无穷维矩阵的有界性^[3]。

$ \boldsymbol{L}=\left[\begin{array}{ccccc} \boldsymbol{e}_0 & & & & \\ \boldsymbol{d}_1 \boldsymbol{b}_0 & \boldsymbol{e}_1 & & & \\ \boldsymbol{d}_2 \boldsymbol{a}_1 \boldsymbol{b}_0 & \boldsymbol{d}_2 \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{e}_2 & & \\ \boldsymbol{d}_3 \boldsymbol{a}_2 \boldsymbol{a}_1 \boldsymbol{b}_0 & \boldsymbol{d}_3 \boldsymbol{a}_2 \boldsymbol{b}_1 & \boldsymbol{d}_3 \boldsymbol{b}_2 & \boldsymbol{e}_3 & \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{array}\right]。$

20世纪70年代提出了分散控制策略，有效解决了大系统实时性和可靠性的问题，应用于如飞行器群、自动驾驶汽车、配电网等系统。分散控制研究的核心在于优化受子空间约束的闭环映射范数，这是个难题，没有统一的算法^[11]。Rotkowitz和Lall^[12]综合了具有有效算法的几类特殊情况提出了二次不变性的概念，并阐述了约束集保持二次不变的充分必要条件。Sabau等^[13]定义了二次不变子空间约束A，并基于系统双素分解给出了控制器存在的条件。在套代数框架下，于天秋^[6]研究了二次不变子空间约束下同时镇定控制器存在的充要条件。本文继续探讨在给定二次不变子空间约束下，系统强镇定和同时强镇定控制器的存在性。

在套代数框架下，系统可镇定性基于素分解，对系统稳定性的研究至关重要但存在局限。Tsiakkas等^[14]提出的双素分解作为推广，在控制理论中具有重要的研究潜力。刘浏等^[7]利用套代数完全有限性，简化了控制器参数化方法，仅需依赖左素分解或右素分解。在套代数理论框架下，针对线性系统镇定问题的研究已经取得了显著成果^[15-19]。在套代数框架下，在给定二次不变子空间约束下，本文将研究线性系统控制器的存在性，并利用双素分解工具探讨强镇定和同时强镇定控制器的存在性。

1 预备知识 1.1 算子理论知识基础及线性时变系统

令$\mathscr{H}=\left\{\left(x_0, x_1, \cdots\right): \sum_{i=0}^{\infty}\left|x_i\right|^2<+\infty, x_i \in \mathbf{C}\right\}$为复无穷维Hilbert序列空间，它是传统的输入输出空间。$\mathscr{H}$中内积和范数定义分别如下:

$ \langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{y}\rangle=\sum\limits_{i=0}^{\infty} x_i \bar{y}_i, \|\boldsymbol{x}\|=\langle\boldsymbol{x}, \boldsymbol{x}\rangle^{\frac{1}{2}}。$

记$\mathscr{H}_e=\left\{\left(x_0, x_1, \cdots\right): x_i \in \mathbf{C}\right\}$是$\mathscr{H}$的拓展完备空间。令$\boldsymbol{B}(\mathscr{H})$表示从空间$\mathscr{H}$到它本身的所有有界线性算子构成的空间。T的算子范数是$\|\boldsymbol{T}\|= \sup _{\boldsymbol{x} \in \mathscr{H}, \|\boldsymbol{x}\|=1}\|\boldsymbol{T} \boldsymbol{x}\|$，套代数的定义见下文。

设$\mathcal{N}$是Hilbert空间$\mathscr{H}$中包含{0}和$\mathscr{H}$的闭子空间，如果它在交叉和闭张中是闭的，则称$\mathcal{N}$是一个套。由套$\mathcal{N}$诱导的套代数记为: $\boldsymbol{A l g}(\mathcal{N})=\{\boldsymbol{T} \in \boldsymbol{B}(\mathscr{H}): \boldsymbol{T N} \subseteq \boldsymbol{N}, \forall \boldsymbol{N} \in \mathcal{N}\}$。在$\mathscr{H}$或者$\mathscr{H}_e$上定义的正交投影P_n为：对于n≥0，记P_n为$\mathscr{H}$上的截断投影算子，$\boldsymbol{P}_n\left(x_0, x_1, \cdots, x_n, \cdots\right)=\left(x_0, x_1, \cdots, x_n, 0, \cdots\right), n \geqslant 0$其中记P_-1=0且P_∞=I，根据套代数定义，集合ε={I-P_n: -1≤n≤+∞}诱导了$\boldsymbol{B}(\mathscr{H})$上算子的一个套代数，即$\boldsymbol{Alg}(\boldsymbol{\varepsilon})=\left\{\boldsymbol{L} \in \boldsymbol{B}\left((\mathscr{H}): \boldsymbol{P}_n \boldsymbol{L}=\boldsymbol{P}_n \boldsymbol{L} \boldsymbol{P}_n, -1 \leqslant\right.\right. n \leqslant+\infty\}$^[5]。

对于每一个k≥0和x∈$\mathscr{H}$，定义截断范数‖x‖_k=‖P_kx‖。那么{‖·‖k≥0}是$\mathscr{H}$上的一个分离的半范数族。这个半范数族在$\mathscr{H}$上定义了一个可度量拓扑，称为$\mathscr{H}$上的预解拓扑。扩展空间$\mathscr{H}_e$是按这个度量拓扑对$\mathscr{H}$的完备化。

{P_n: -1≤n≤∞}与系统因果性的物理定义有密切的联系。如果线性变换L对所有的-1≤n≤∞有P_nLP_n=P_nL，则称线性变换L在$\mathscr{H}_e$上是因果的。$\mathscr{H}_e$上的线性系统是$\mathscr{H}_e$上的因果线性变换，如果线性变换L相对于预解拓扑是一个连续的、因果的线性算子, 则称系统是一个线性系统。如果线性系统L限制在$\mathscr{H}$上是有界的，则称该线性系统是稳定的。

令$\mathscr{L}$表示$\mathscr{H}_e$上所有线性系统构成的集合，其满足标准的加法和乘法。记$\mathscr{S}$是稳定线性系统全体构成的代数，其是一个包含单位算子的弱闭代数，同时在算子理论中，也被认为是套{I-P_n: -1≤n≤+∞}决定的套代数。

1.2 线性系统的稳定性 1.2.1 标准反馈系统

本文所涉及的标准闭环系统如图 1所示，其中L是被控对象，C代表控制器。

对于L，C∈$\mathscr{L}$，考虑由系统L和控制器C组成的标准反馈图{L，C}(见图 1)，其闭环系统方程为$\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{u}_1 \\ \boldsymbol{u}_2\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{I} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{L} & -\boldsymbol{I}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{e}_1 \\ \boldsymbol{e}_2\end{array}\right]$，如果内部输入$\boldsymbol{e}=\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{e}_1 \\ \boldsymbol{e}_2\end{array}\right]$能被表示成外部输入$\boldsymbol{u}=\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{u}_1 \\ \boldsymbol{u}_2\end{array}\right]$的因果函数，则称该闭环系统{L，C}是适定的，即等价于要求$\left[\begin{array}{cc}\boldsymbol{I} & \boldsymbol{C} \\ \boldsymbol{L} & -\boldsymbol{I}\end{array}\right]$是可逆的，且其逆为下面的转移算子矩阵

$ \boldsymbol{H}(\boldsymbol{L}, \boldsymbol{C})=\left[\begin{array}{cc} (\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C} \boldsymbol{L})^{-1} & \boldsymbol{C}(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{L} \boldsymbol{C})^{-1} \\ \boldsymbol{L}(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C} \boldsymbol{L})^{-1} & -(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{L} \boldsymbol{C})^{-1} \end{array}\right] 。$

定义1^[3]   设闭环系统{L，C}是适定的。则有如下定义：

(1) H(L，C)的分块矩阵的每一项都为$\mathscr{H}$中的有界线性算子，则称{L，C}是稳定的。如果存在一个因果线性系统C使得{L，C}是稳定的，则称是L可镇定的，C称为L的控制器。

(2) 若存在一个稳定系统C∈$\mathscr{S}$满足{L，C}是稳定的，则称系统L为强可镇定的，C称为L的强镇定控制器。

(3) 若线性系统L₀，L₁，…，L_n有一个相同的控制器C∈$\mathscr{L}$，则称L₀，L₁，…，L_n可被C同时镇定，特别地，若C∈$\mathscr{S}$，则称L₀，L₁，…，L_n可被C同时强镇定。

1.2.2 稳定性分析常用数学工具

在套代数框架下，常用算子的强表示和素分解研究系统的稳定性，下面给出它们的定义和性质。

定义2^[3]   令$\widehat{\boldsymbol{M}}, \widehat{\boldsymbol{N}}, \boldsymbol{M}, \boldsymbol{N} \in \mathscr{S}$及$\boldsymbol{L} \in \mathscr{L}$，

(1) $\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{M} \\ \boldsymbol{N}\end{array}\right]$为L∈$\mathscr{L}$的右表示指G(L)=Ran$\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{M} \\ \boldsymbol{N}\end{array}\right]$。若M，N在$\mathscr{S}$中右互素的，即存在X，Y∈$\mathscr{S}$满足$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{Y} & \boldsymbol{X}\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{M} \\ \boldsymbol{N}\end{array}\right]=\boldsymbol{I}$，则称$\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{M} \\ \boldsymbol{N}\end{array}\right]$为L的强右表示。

(2) $\left[\begin{array}{ll}-\widehat{\boldsymbol{N}} & \widehat{\boldsymbol{M}}\end{array}\right]$为$\boldsymbol{L} \in \mathscr{L}$的左表示指$\boldsymbol{G}(\boldsymbol{L})= \operatorname{Ker}\left[\begin{array}{ll}-\widehat{\boldsymbol{N}} & \widehat{\boldsymbol{M}}\end{array}\right]$。若$\widehat{\boldsymbol{M}}, \widehat{\boldsymbol{N}}$在$\mathscr{S}$中左互素的，即存在$\widehat{\boldsymbol{X}}, \widehat{\boldsymbol{Y}} \in \mathscr{S}$满足$\left[\begin{array}{ll}-\widehat{\boldsymbol{N}} & \widehat{\boldsymbol{M}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}-\widehat{\boldsymbol{X}} \\ \widehat{\boldsymbol{Y}}\end{array}\right]=\boldsymbol{I}$，则称$\left[\begin{array}{ll}-\widehat{\boldsymbol{N}} & \widehat{\boldsymbol{M}}\end{array}\right]$为L的强左表示。

引理1^[3]   如果M，N∈$\mathscr{S}$，那么$\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{M} \\ \boldsymbol{N}\end{array}\right]$是L∈$\mathscr{L}$的一个强右表示当且仅当

(1) 存在X，Y∈$\mathscr{S}$，使得$[\boldsymbol{Y} \quad \boldsymbol{X}]\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{M} \\ \boldsymbol{N}\end{array}\right]=\boldsymbol{I}$。

(2) M在$\mathscr{L}$中是可逆的。

注1^[3]   $\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{M} \\ \boldsymbol{N}\end{array}\right]$是L的强右表示当且仅当NM^-1是L的右素分解。同样地，$\left[\begin{array}{ll}-\widehat{\boldsymbol{N}} & \widehat{\boldsymbol{M}}\end{array}\right]$是L的强左表示当且仅当$\widehat{\boldsymbol{M}}^{-1} \widehat{\boldsymbol{N}}$是L的左素分解。因此，在套代数框架下，强表示和素分解是可替代的等价概念。

线性系统的可镇定性与左素分解和右素分解(强左表示和强右表示)的存在密切相关，著名的Youla参数化定理描述了这种关系。

引理2^[3]   假设L∈$\mathscr{L}$且存在M，N，X，Y，$\widehat{\boldsymbol{M}}, \widehat{\boldsymbol{N}}, \widehat{\boldsymbol{X}}，\widehat{\boldsymbol{Y}} \in \mathscr{S}$使得$\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{M} \\ \boldsymbol{N}\end{array}\right]$和$\left[\begin{array}{ll}-\widehat{\boldsymbol{N}} & \widehat{\boldsymbol{M}}\end{array}\right]$分别是L的强右表示和强左表示，满足双Bezout等式

$ \begin{gathered} {\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{Y} & \boldsymbol{X} \\ -\widehat{\boldsymbol{N}} & \widehat{\boldsymbol{M}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{M} & -\widehat{\boldsymbol{X}} \\ \boldsymbol{N} & \widehat{\boldsymbol{Y}} \end{array}\right]=} \\ {\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{M} & -\widehat{\boldsymbol{X}} \\ \boldsymbol{N} & \widehat{\boldsymbol{Y}} \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{Y} & \boldsymbol{X} \\ -\widehat{\boldsymbol{N}} & \widehat{\boldsymbol{M}} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} \boldsymbol{I} & \boldsymbol{0} \\ \boldsymbol{0} & \boldsymbol{I} \end{array}\right] 。} \end{gathered} $

因果线性系统C使得L可被稳定当且仅当C有强右表示$\left[\begin{array}{l}\widehat{\boldsymbol{Y}}-\boldsymbol{N} \boldsymbol{Q} \\ \widehat{\boldsymbol{X}}+\boldsymbol{M} \boldsymbol{Q}\end{array}\right]$和强左表示$[-(\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Q} \widehat{\boldsymbol{M}}) \boldsymbol{Y}-\boldsymbol{Q} \widehat{\boldsymbol{N}}]$，其中Q∈$\mathscr{S}$。

为了简便起见，下面的讨论中我们记8个有界线性算子集合$(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{N}, \widehat{\boldsymbol{M}}, \widehat{\boldsymbol{N}}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \widehat{\boldsymbol{X}}, \widehat{\boldsymbol{Y}})$为L的素分解。

学者刘浏和卢玉峰^[7]给出了更为简便的判断系统可镇定方法，该方法仅依赖于左素分解或右素分解。记左素分解或右素分解为单素分解。

引理3^[7]   设L∈$\mathscr{L}$，则下列结论等价: (1)L可镇定。(2)L有右素分解。(3)L有左素分解。

Tsiakkas和Lanzon^[14]在有限维框架内研究了双素分解。于天秋^[8]将其结果推广到套代数的框架下。

定义3^[8]设   P∈$\mathscr{L}$，若存在N，M，L，K∈$\mathscr{S}$使得P=NM^-1L+K，其中M在$\mathscr{L}$中可逆，算子对(N，M)为右互素的，算子对(M，L)为左互素的，称线性系统P有双素分解。

1.2.3 二次不变性结论

Rotkowitz和Lall^[12]定义了二次不变性。于天秋^[6]将二次不变性的定义和定理推广到了套代数框架下。

定义4^[6]   设L∈$\mathscr{L}$，$\mathscr{A}$⊆$\mathscr{L}$。若满足CLC∈$\mathscr{A}$，对所有C∈$\mathscr{A}$均成立，则称集合$\mathscr{A}$在L下是二次不变的。

定义5^[6]   设$\mathscr{A}$⊆$\mathscr{L}$，如果对所有的C∈$\mathscr{A}$，均有sup_i≥0(lc)_ii < 1成立，其中(lc)_ii为LC主对角线上的元素，则称子空间$\mathscr{A}$在线性系统L下是inert的。

定义二次映射h: $\mathscr{L}$×$\mathscr{L}$→$\mathscr{S}$，h(L，C)=-C(I-LC)^-1，其中L，C∈$\mathscr{L}$，I-LC是可逆的，为了便于表示，设h_L(C)=h(L，C)。于天秋^[6]给出了一个判定inert子空间$\mathscr{A}$相对于系统L是否二次不变的充要条件。

引理4^[6]   假设L∈$\mathscr{L}$，并且$\mathscr{A}$是一个inert闭子空间，则$\mathscr{A}$在L下二次不变$\Leftrightarrow \boldsymbol{h_L}(\mathscr{A})=\mathscr{A}$。

2 二次不变子空间约束下的同时镇定控制器

本节主要是在套代数框架下，基于双素分解，研究在二次不变子空间约束下的强镇定控制器的设计问题。与学者于天秋^[6]的研究方法不同，我们把双素分解条件下的线性系统看作两个相关线性系统的组合进行分析。首先，在给定的二次不变子空间约束下，我们给出稳定线性系统的控制器存在的一个充要条件。

定理1   设$\mathscr{A}$为线性系统L∈$\mathscr{S}$下的inert二次不变子空间，则L的所有控制器为

$ \boldsymbol{C}(\boldsymbol{R})=(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{R} \boldsymbol{L})^{-1} \boldsymbol{R}, \boldsymbol{R} \in \mathscr{S} \text {, 且 } \boldsymbol{C}(\boldsymbol{R}) \in \mathscr{A} \Leftrightarrow \boldsymbol{R} \in \mathscr{A} \text { 。} $

证明   由L∈$\mathscr{S}$，根据引理2，L的所有控制器为C(R)=(I-RL)^-1R。若R∈$\mathscr{A}$，由引理4，有h_L$(\mathscr{A})=\mathscr{A}$，故有h_L(R)=-R(I-LR)^-1=-C(R)∈$\mathscr{A}$，也就是说C(R)∈$\mathscr{A}$。另一方面，如果C(R)∈$\mathscr{A}$，则-C(R)∈$\mathscr{A}$，

$ \begin{aligned} & \boldsymbol{h}_{\boldsymbol{L}}(-\boldsymbol{C}(\boldsymbol{R}))=\boldsymbol{R}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{L} \boldsymbol{R})^{-1}\cdot \\ & {\left[\boldsymbol{I}+\boldsymbol{L} \boldsymbol{R}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{L} \boldsymbol{R})^{-1}\right]^{-1}=\boldsymbol{R} \in \mathscr{A} 。} \end{aligned} $

接下来，在双素分解的基础上，在二次不变子空间约束下，我们探讨强镇定系统的控制器的存在性判据。引理5给出了基于素分解的系统可镇定的两个充要条件。

引理5^[3]   设L∈$\mathscr{L}$有右素分解L=N_LM_L^-1且C∈$\mathscr{L}$有左素分解$\boldsymbol{C}=\widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{C}}^{-1} \widehat{\boldsymbol{N}}_{\boldsymbol{C}}$，其中$\boldsymbol{M_L}, \boldsymbol{N_L}, \widehat{\boldsymbol{M}}_\boldsymbol{C}, \widehat{\boldsymbol{N}}_\boldsymbol{C} \in \mathscr{S}$。设闭环系统{L，C}为适定的，则{L，C}稳定当且仅当$\boldsymbol{\widehat{M}_C M_L}+\boldsymbol{\widehat{N}_C} \boldsymbol{N_L}$在$\mathscr{S}$中可逆。

同样地，如果$\boldsymbol{L} \in \mathscr{L}$有左素分解$\boldsymbol{L}=\widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{L}}^{-1} \widehat{\boldsymbol{N}}_{\boldsymbol{L}}$且$\boldsymbol{C} \in \mathscr{L}$有右素分解$\boldsymbol{C}=\boldsymbol{N_C} \boldsymbol{M_C}^{-1}$，其中$\widehat{\boldsymbol{M}}_\boldsymbol{L}, \widehat{\boldsymbol{N}}_\boldsymbol{L}, \boldsymbol{M}_\boldsymbol{C}, \boldsymbol{N}_\boldsymbol{C} \in \mathscr{S}$。如果闭环系统{L，C}为适定的，则{L，C}稳定当且仅当$\boldsymbol{\widehat{M}_L M_C}+\boldsymbol{\widehat{N}_L} \boldsymbol{N_C}$在$\mathscr{S}$中可逆。

根据引理5，我们可以推导出引理6，它表明如果C₀镇定n+1个系统，则控制器C₀(I+L₀C₀)^-1强镇定n个相关系统。

引理6   设$\boldsymbol{L}_0 \in \mathscr{S}, \boldsymbol{L}_1, \boldsymbol{L}_2, \cdots, \boldsymbol{L}_n \in \mathscr{L}$。设$\boldsymbol{L}_0, \boldsymbol{L}_1, \boldsymbol{L}_2$，$\boldsymbol{\cdots}, \boldsymbol{L}_n$可以被$\boldsymbol{C}_0$同时镇定，则$\boldsymbol{L}_1-\boldsymbol{L}_0, \boldsymbol{L}_2-\boldsymbol{L}_0, \cdots$，$\boldsymbol{L}_n-\boldsymbol{L}_0$可以被$\boldsymbol{C}_0\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{L}_0 \boldsymbol{C}_0\right)^{-1}$同时强镇定。

证明   由$\boldsymbol{C}_0$镇定$\boldsymbol{L}_0$，则$\boldsymbol{C}_0\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{L}_0 \boldsymbol{C}_0\right)^{-1} \in \mathscr{S}$。又因为$\boldsymbol{L}_i$可以被$\boldsymbol{C}_0$同时镇定，则由引理3, $\boldsymbol{C}_0$有强左表示$\left[\begin{array}{ll}-\widehat{\boldsymbol{N}}_{\boldsymbol{C}_0} & \widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{C}_0}\end{array}\right], \boldsymbol{L}_i$有强右表示$\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{M}_i \\ \boldsymbol{N}_i\end{array}\right]$并且存在$\boldsymbol{X}_i$, $\boldsymbol{Y}_i \in \mathscr{S}$，使得$\left[\begin{array}{ll}\boldsymbol{Y}_i & \boldsymbol{X}_i\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{M}_i \\ \boldsymbol{N}_i\end{array}\right]=\boldsymbol{I}$，其中$i=0, 1, \cdots, n$。也就是说存在$\boldsymbol{X}_i, \boldsymbol{Y}_i+\boldsymbol{X}_i \boldsymbol{L}_0 \in \mathscr{S}$满足$\boldsymbol{X}_i\left(\boldsymbol{N}_i-\boldsymbol{L}_0 \boldsymbol{M}_i\right)+\left(\boldsymbol{Y}_i+\boldsymbol{X}_i \boldsymbol{L}_0\right) \boldsymbol{M}_i=\boldsymbol{I}$，这等价于$\left[\begin{array}{c}\boldsymbol{M}_i \\ \boldsymbol{N_i}-\boldsymbol{L}_0 \boldsymbol{M}_i\end{array}\right]$为$\boldsymbol{L}_i-\boldsymbol{L}_0$的强右表示，$i=1, 2, \cdots, n$。由引理5，只需证$\boldsymbol{M}_i+\boldsymbol{C}_0\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{L}_0 \boldsymbol{C}_0\right)^{-1}\left(\boldsymbol{N}_i-\boldsymbol{L}_0 \boldsymbol{M}_i\right)$在$\mathscr{S}$中可逆。若$\boldsymbol{L}_i$可以被$\boldsymbol{C}_0$镇定，则由引理5，$\widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{C}_0} \boldsymbol{M}_i+\widehat{\boldsymbol{N}}_{\boldsymbol{C}_0} \boldsymbol{N}_i$在$\mathscr{S}$中可逆，$i=1, 2, \cdots, n$。则

$ \begin{gathered} \boldsymbol{M}_i+\boldsymbol{C}_0\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{L}_0 \boldsymbol{C}_0\right)^{-1}\left(\boldsymbol{N}_i-\boldsymbol{L}_0 \boldsymbol{M}_i\right)= \\ \boldsymbol{M}_i+\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}_0 \boldsymbol{L}_0\right)^{-1} \boldsymbol{C}_0\left(\boldsymbol{N}_i-\boldsymbol{L}_0 \boldsymbol{M}_i\right)= \\ \left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}_0 \boldsymbol{L}_0\right)^{-1}\left(\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}_0 \boldsymbol{L}_0\right) \boldsymbol{M}_i+\boldsymbol{C}_0\left(\boldsymbol{N}_i-\boldsymbol{L}_0 \boldsymbol{M}_i\right)\right)= \\ \left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}_0 \boldsymbol{L}_0\right)^{-1}\left(\boldsymbol{M}_i+\boldsymbol{C}_0 \boldsymbol{N}_i\right)= \\ \left(\widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{C}_0}+\widehat{\boldsymbol{N}}_{\boldsymbol{C}_0} \boldsymbol{L}_0\right)^{-1}\left(\widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{C}_0} \boldsymbol{M}_i+\widehat{\boldsymbol{N}}_{\boldsymbol{C}_0} \boldsymbol{N}_i\right) \end{gathered} $

在$\mathscr{S}$中可逆。故引理得证。

本节的主要方法是利用引理6中所示的方法，即n+1系统的同时镇定与n个相关系统的强镇定之间的关系。

在套代数框架下，线性系统的稳定性问题可归结为算子的可逆性问题，下面的引理为算子可逆性提供了一个等价命题。

引理7^[9]   设$\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B} \in \mathscr{S}$，则$\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A B}$在$\mathscr{S}$中可逆当且仅当$\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$在$\mathscr{S}$中可逆，且$\boldsymbol{A}(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{A})^{-1}=(\boldsymbol{I}- \boldsymbol{A B})^{-1} \boldsymbol{A}$。

下面，我们将双素分解条件下的系统P=NM^-1L+K看作NM^-1L和K两个部分，解决二次不变子空间约束下系统强镇定控制器的设计问题，其中N，M，L，K∈$\mathscr{S}$。于天秋^[10]给出了线性系统L∈$\mathscr{L}$的所有强镇定控制器的一种参数化表示。

引理8^[10]   设$\boldsymbol{L} \in \mathscr{L}$有强右表示$\left[\begin{array}{l}\boldsymbol{M} \\ \boldsymbol{N}\end{array}\right]$和强左表示$\left[\begin{array}{ll}-\widehat{\boldsymbol{N}} & \widehat{\boldsymbol{M}}\end{array}\right]$。如果$\boldsymbol{C} \in \mathscr{S}$强镇定$\boldsymbol{L}$，则$\boldsymbol{L}$的所有强镇定控制器为：$\boldsymbol{C}(\boldsymbol{Q})=(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Q} \widehat{\boldsymbol{N}})^{-1}(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{Q} \widehat{\boldsymbol{M}})=(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{M} \boldsymbol{Q}) \cdot (\boldsymbol{I}-\boldsymbol{N Q})^{-1}$，其中$\boldsymbol{Q} \in\left\{\boldsymbol{Q} \in \mathscr{S}:(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Q \widehat{N}})^{-1} \in \mathscr{S}\right\}$。

基于素分解，在二次不变子空间约束下，Sabau等^[13]得到了线性系统控制器存在的一个充要条件。于天秋^[6]将此结论推广到套代数框架下。

引理9^[6]   设$(\boldsymbol{M}, \boldsymbol{N}, \widehat{\boldsymbol{M}}, \widehat{\boldsymbol{N}}, \boldsymbol{X}, \boldsymbol{Y}, \widehat{\boldsymbol{X}}, \widehat{\boldsymbol{Y}})$为L∈$\mathscr{L}$的素分解，$\mathscr{A}$为L下的inert二次不变子空间。设$\boldsymbol{C}_\boldsymbol{Q}= \widehat{\boldsymbol{X}}_\boldsymbol{Q} \widehat{\boldsymbol{Y}}_\boldsymbol{Q}^{-1}=\boldsymbol{Y}_\boldsymbol{Q}^{-1} \boldsymbol{X}_\boldsymbol{Q}$，其中$\boldsymbol{X}_\boldsymbol{Q}=\boldsymbol{X}+\boldsymbol{Q} \widehat{\boldsymbol{M}}, \widehat{\boldsymbol{X}}_\boldsymbol{Q}=\widehat{\boldsymbol{X}}+\boldsymbol{M} \boldsymbol{Q}$，$\boldsymbol{Y_Q}=\boldsymbol{Y-Q \widehat{N}}, \boldsymbol{\widehat{Y}_Q}=\boldsymbol{\widehat{Y}}-\boldsymbol{N Q}$且$\boldsymbol{Q} \in \mathscr{S}$。则有如下结论成立：

(a) 若Q∈$\mathscr{S}$至少满足下列条件之一:

$ \widehat{\boldsymbol{X}}_\boldsymbol{Q} \widehat{\boldsymbol{M}} \in \mathscr{A}, \boldsymbol{M} \boldsymbol{X}_\boldsymbol{Q} \in \mathscr{A}, $

(2)

则C_Q为$\mathscr{A}$中的一个控制器。

(b) 若$\mathscr{A}$中存在一个控制器，则存在某Q∈$\mathscr{S}$使得式(2)成立，并且该控制器形如C_Q。

基于双素分解，在二次不变子空间约束下，本文给出线性系统控制器存在性的一个充要条件。

定理2   设P=NM^-1L+K为P∈$\mathscr{L}$的双素分解，其中N，M，L，K∈$\mathscr{S}$。设$\mathscr{A}$为系统P下的inert二次不变子空间。若C₀同时镇定-K，NM^-1L，则所有强镇定P的控制器为

$ \begin{aligned} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{Q})&=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{P C})^{-1} \boldsymbol{P}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{P C})^{-1}\right)= \\ & \left(\boldsymbol{C}+(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C P})^{-1} \boldsymbol{Q}\right)\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{P}(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C P})^{-1} \boldsymbol{Q}\right)^{-1}，\end{aligned} $

(3)

其中$\boldsymbol{C}=\boldsymbol{C}_0\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K} \boldsymbol{C}_0\right)^{-1}, \boldsymbol{Q} \in\{\boldsymbol{Q} \in \mathscr{S}:(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{I}+ \left.\left.\boldsymbol{P C})^{-1} \boldsymbol{P}\right)^{-1} \in \mathscr{S}\right\}$。且

$ \begin{gathered} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{Q}) \in \mathscr{A} \Leftrightarrow \boldsymbol{C}_0\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{N} \boldsymbol{M}^{-1} \boldsymbol{L} \boldsymbol{C}_0\right)^{-1}+ \\ \left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}_0 \boldsymbol{N} \boldsymbol{M}^{-1} \boldsymbol{L}\right)^{-1}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{C}_0 \boldsymbol{K}\right) \boldsymbol{Q}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K} \boldsymbol{C}_0\right) \cdot \\ \left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{N} \boldsymbol{M}^{-1} \boldsymbol{L} \boldsymbol{C}_0\right)^{-1} \in \mathscr{A}。\end{gathered} $

证明   由$\boldsymbol{C}_0$镇定$-\boldsymbol{K}, \boldsymbol{N} \boldsymbol{M}^{-1} \boldsymbol{L}$，利用引理6可得，$\boldsymbol{C}= \boldsymbol{C}_0\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K} \boldsymbol{C}_0\right)^{-1} \in \mathscr{S}$镇定$\boldsymbol{P}$，所以有$(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C P})^{-1} \in \mathscr{S}$，$(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{P C})^{-1} \in \mathscr{S}, \boldsymbol{P}(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C P})^{-1} \in \mathscr{S}$和$\boldsymbol{P}(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C P})^{-1} \in \mathscr{S}$。定义$\boldsymbol{N}_{\boldsymbol{P}}=\boldsymbol{P}(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C P})^{-1}, \boldsymbol{M}_{\boldsymbol{P}}=(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C P})^{-1}$，则$\boldsymbol{M}_{\boldsymbol{P}}+ \boldsymbol{C N}_{\boldsymbol{P}}=\boldsymbol{I}$，故$\boldsymbol{N}_{\boldsymbol{P}} \boldsymbol{M}_{\boldsymbol{P}}^{-1}$为$\boldsymbol{P}$的右素分解。同理可得，$\widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{P}}^{-1} \widehat{\boldsymbol{N}}_{\boldsymbol{P}}$为$\boldsymbol{P}$的左素分解，其中$\widehat{\boldsymbol{N}}_{\boldsymbol{P}}=(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{P C})^{-1} \boldsymbol{P}$，$\widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{P}}=(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{P C})^{-1}$。由引理8可得，所有强镇定$\boldsymbol{P}$的控制器为（3）式中的$\boldsymbol{C}(\boldsymbol{Q})$。最后，由（1）式我们很容易得到$\left(\boldsymbol{M}_{\boldsymbol{P}}, \boldsymbol{N}_{\boldsymbol{P}}, \widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{P}}, \widehat{\boldsymbol{N}}_{\boldsymbol{P}}, \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{P}}, \boldsymbol{Y}_{\boldsymbol{P}}, \widehat{\boldsymbol{X}}_{\boldsymbol{P}}, \widehat{\boldsymbol{Y}}_{\boldsymbol{P}}\right)=\left((\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C P})^{-1}\right.$，$\left.\boldsymbol{P}(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C P})^{-1}, (\boldsymbol{I}+\boldsymbol{P C})^{-1}, (\boldsymbol{I}+\boldsymbol{P C})^{-1} \boldsymbol{P}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{I}, \boldsymbol{C}, \boldsymbol{I}\right)$为$\boldsymbol{P}$的一个素分解，由引理9，有

$ \begin{gathered} \boldsymbol{M}_{\boldsymbol{P}}\left(\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{P}}+\boldsymbol{Q} \widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{P}}\right)=(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C} \boldsymbol{P})^{-1}\left(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{P C})^{-1}\right)= \\ \left(\boldsymbol{C}+(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C P})^{-1} \boldsymbol{Q}\right)(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{P C})^{-1}=\left(\widehat{\boldsymbol{X}}_{\boldsymbol{P}}+\boldsymbol{M}_{\boldsymbol{P}} \boldsymbol{Q}\right) \widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{P}}, \\ \boldsymbol{C}(\boldsymbol{Q}) \in \mathscr{A} \Leftrightarrow(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C P})^{-1}\left(\boldsymbol{C}+\boldsymbol{Q}(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{P C})^{-1}\right) \in \\ \mathscr{A} \Leftrightarrow(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C P})^{-1} \boldsymbol{C}+(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C P})^{-1} \boldsymbol{Q}(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{P C})^{-1} \in \\ \mathscr{A} \Leftrightarrow\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}_0 \boldsymbol{N} \boldsymbol{M}^{-1} \boldsymbol{L}\right)^{-1} \boldsymbol{C}_0+\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}_0 \boldsymbol{N} \boldsymbol{M}^{-1} \boldsymbol{L}\right)^{-1} . \\ \left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{C}_0 \boldsymbol{K}\right) \boldsymbol{Q}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K C}_0\right)\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{N} \boldsymbol{M}^{-1} \boldsymbol{L} \boldsymbol{C}_0\right)^{-1} \in \mathscr{A} 。\end{gathered} $

即(3)式成立。

接下来，基于双素分解，在二次不变子空间约束下，我们研究同时镇定两个系统的控制器的存在性。首先给出以下引理。

引理10^[9]   设$\boldsymbol{L}_0, \boldsymbol{L}_1 \in \mathscr{L}$可强同时镇定，则存在$\boldsymbol{T} \in \mathscr{S}$使得$\boldsymbol{I}+\boldsymbol{R}_1\left(\boldsymbol{C}_0-\boldsymbol{C}_1\right)+\left(\boldsymbol{R}_1-\boldsymbol{R}_0+\boldsymbol{R}_1\left(\boldsymbol{C}_1-\boldsymbol{C}_0\right) \boldsymbol{R}_0\right) \boldsymbol{T}$和$\boldsymbol{I}-\boldsymbol{T} \boldsymbol{R}_0$在$\mathscr{S}$中可逆，其中$\boldsymbol{C}_i \in \mathscr{S}$镇定$\boldsymbol{L}_i$，且$\boldsymbol{R}_i= \boldsymbol{L}_i\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{C}_i \boldsymbol{L}_i\right)^{-1}, i=0, 1$。那么，同时强镇定$\boldsymbol{L}_0, \boldsymbol{L}_1$的控制器有如下形式：

$ \begin{aligned} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{Q})&=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q}) \boldsymbol{R}_0\right)^{-1}\left(\boldsymbol{C}_0+\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})-\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q}) \boldsymbol{R}_0 \boldsymbol{C}_0\right)= \\ & \left(\boldsymbol{C}_0+\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})-\boldsymbol{C}_0 \boldsymbol{R}_0 \boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})\right)\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{R}_0 \boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})\right)^{-1} 。\\ \end{aligned} $

其中$\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Q}\left(\boldsymbol{R}_1-\boldsymbol{R}_0\right)-\boldsymbol{Q} \boldsymbol{R}_1\left(\boldsymbol{C}_1-\boldsymbol{C}_0\right) \boldsymbol{R}_0\right)^{-1}\cdot\left(\boldsymbol{T}+\boldsymbol{Q}+\boldsymbol{Q R _ { 1 }}\left(\boldsymbol{C}_0-\boldsymbol{C}_1\right)\right)$，且$\boldsymbol{Q} \in\left\{\boldsymbol{Q} \in \boldsymbol{S}:\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Q}\left(\boldsymbol{R}_1-\boldsymbol{R}_0\right)-\boldsymbol{Q \boldsymbol { R } _ { 1 }}\left(\boldsymbol{C}_1-\boldsymbol{C}_0\right) \boldsymbol{R}_0\right)^{-1} \in \mathscr{S}, \left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Q \boldsymbol { R } _ { 1 }}-\boldsymbol{T} \boldsymbol{R}_0\right)^{-1} \in \mathscr{S}\right\}$。

由引理6可得, 当n=1时，两个系统的同时镇定控制器与一个相关系统的强镇定控制器存在相关性。利用引理10，基于系统的双素分解，可以得到在二次不变子空间约束下同时强镇定两个系统的控制器存在性的判据。

定理3   设$\boldsymbol{P}_0, \boldsymbol{P}_1 \in \mathcal{L}$可同时镇定，且$\boldsymbol{P}_i=\boldsymbol{N}_i \boldsymbol{M}_i^{-1} \boldsymbol{L}_i+ \boldsymbol{K}_i, i=0, 1$，其中$\boldsymbol{N}_i, \boldsymbol{M}_i, \boldsymbol{L}_i, \boldsymbol{K}_i \in \mathscr{L}$。若$\boldsymbol{C}_i$镇定$-\boldsymbol{K}_i$，$\boldsymbol{N}_i \boldsymbol{M}_i^{-1} \boldsymbol{L}_i$，且$\boldsymbol{G}_i=\boldsymbol{C}_i\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{K}_i \boldsymbol{C}_i\right)^{-1}, \boldsymbol{R}_i=\boldsymbol{P}_i\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{G}_i \boldsymbol{P}_i\right)^{-1}$，$i=0, 1$。设$\mathscr{A}$为$\boldsymbol{P}_0, \boldsymbol{P}_1$下的inert二次不变子空间，则所有同时强镇定$\boldsymbol{P}_0, \boldsymbol{P}_1$的控制器为

$ \begin{aligned} \boldsymbol{C}(\boldsymbol{Q})= & \left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q}) \boldsymbol{R}_0\right)^{-1}\left(\boldsymbol{G}_0+\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})-\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q}) \boldsymbol{R}_0 \boldsymbol{G}_0\right)= \\ & \left(\boldsymbol{G}_0+\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})-\boldsymbol{G}_0 \boldsymbol{R}_0 \boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})\right)\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{R}_0 \boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})\right)^{-1}, \end{aligned} $

(4)

其中

$ \begin{gathered} \boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Q}\left(\boldsymbol{R}_1-\boldsymbol{R}_0\right)-\right. \\ \left.\boldsymbol{Q} \boldsymbol{R}_1\left(\boldsymbol{G}_1-\boldsymbol{G}_0\right) \boldsymbol{R}_0\right)^{-1}\left(\boldsymbol{T}+\boldsymbol{Q}+\boldsymbol{Q} \boldsymbol{R}_1\left(\boldsymbol{G}_0-\boldsymbol{G}_1\right)\right), \\ \boldsymbol{T} \in\left\{\boldsymbol{T} \in \mathscr{S}:\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{R}_1\left(\boldsymbol{G}_0-\boldsymbol{G}_1\right)+\left(\boldsymbol{R}_1-\boldsymbol{R}_0+\right.\right.\right. \\ \left.\left.\left.\boldsymbol{R}_1\left(\boldsymbol{G}_1-\boldsymbol{G}_0\right) \boldsymbol{R}_0\right) \boldsymbol{T}\right)^{-1} \in \mathscr{S}, \left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{T R}_0\right)^{-1} \in \mathscr{S}\right\}, \\ \boldsymbol{Q} \in\left\{\boldsymbol{Q} \in \mathscr{S}:\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Q}\left(\boldsymbol{R}_1-\boldsymbol{R}_0\right)-\boldsymbol{Q \boldsymbol { R } _ { 1 }}\left(\boldsymbol{G}_1-\boldsymbol{G}_0\right) \boldsymbol{R}_0\right)^{-1} \in\right. \\ \left.\mathscr{S}, \left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Q} \boldsymbol{R}_1-\boldsymbol{T} \boldsymbol{R}_0\right)^{-1} \in \mathscr{S}\right\} 。\end{gathered} $

并且$\boldsymbol{C}(\boldsymbol{Q}) \in \mathscr{A} \Leftrightarrow\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_0 \boldsymbol{R}_0\right)\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Q}\left(\boldsymbol{R}_1-\boldsymbol{R}_0\right)-\boldsymbol{Q} \boldsymbol{R}_1\left(\boldsymbol{G}_1-\boldsymbol{G}_0\right) \boldsymbol{R}_0\right)^{-1}$$\left(\boldsymbol{G}_0+\boldsymbol{Q}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{R}_1 \boldsymbol{G}_1\right)+\boldsymbol{T}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{R}_0 \boldsymbol{G}_0\right)\right) \in \mathscr{A}$。

证明   由C₀同时镇定-K₀，N₀M₀^-1L₀，C₁同时镇定-K₁，N₁M₁^-1L₁，由引理6我们可以得到P₀，P₁可以分别被G₀，G₁强镇定。再利用引理10，P₀，P₁的所有强同时镇定控制器形如式(4)中的C(Q)。又P₀可被G₀∈$\mathscr{S}$镇定，由Youla参数化定理可得$\boldsymbol{R}_0\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_0 \boldsymbol{R}_0\right)^{-1}$为P₀的右素分解。由式(1)可得$\left(\boldsymbol{M}_{\boldsymbol{P}_0}, \boldsymbol{N}_{\boldsymbol{P}_0}, \widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{P}_0}, \widehat{\boldsymbol{N}}_{\boldsymbol{P}_0}, \boldsymbol{X}_{\boldsymbol{P}_0}, \boldsymbol{Y}_{\boldsymbol{P}_0}, \widehat{\boldsymbol{X}}_{\boldsymbol{P}_0}, \widehat{\boldsymbol{Y}}_{\boldsymbol{P}_0}\right)$=(I-G₀ R₀，R₀，I-R₀G₀，R₀，G₀，I，G₀，I)为P₀的一个素分解，则

$ \begin{gathered} \left(\widehat{\boldsymbol{X}}_{\boldsymbol{P}_0}+\boldsymbol{M}_{\boldsymbol{P}_0} \boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})\right) \widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{P}_0}=\left(\boldsymbol{G}_0+\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})-\right. \\ \left.\boldsymbol{G}_0 \boldsymbol{R}_0 \boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})\right)\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{R}_0 \boldsymbol{G}_0\right)=\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_0 \boldsymbol{R}_0\right)\left(\boldsymbol{G}_0+\right. \\ \left.\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})-\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q}) \boldsymbol{R}_0 \boldsymbol{G}_0\right)=\boldsymbol{M}_{\boldsymbol{P}_0}\left(\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{P}_0}+\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q}) \widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{P}_0}\right), \\ \boldsymbol{M}_{\boldsymbol{P}_0}\left(\boldsymbol{X}_{\boldsymbol{P}_0}+\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q}) \widehat{\boldsymbol{M}}_{\boldsymbol{P}_0}\right)= \\ \left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_0 \boldsymbol{R}_0\right)\left(\boldsymbol{G}_0+\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})-\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q}) \boldsymbol{R}_0 \boldsymbol{G}_0\right)= \\ \left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_0 \boldsymbol{R}_0\right)\left(\boldsymbol{G}_0+\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q})-\boldsymbol{\varLambda}(\boldsymbol{Q}) \boldsymbol{R}_0 \boldsymbol{G}_0\right)= \\ \left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{G}_0 \boldsymbol{R}_0\right)\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{Q}\left(\boldsymbol{R}_1-\boldsymbol{R}_0\right)-\boldsymbol{Q} \boldsymbol{R}_1\left(\boldsymbol{G}_1-\boldsymbol{G}_0\right) \boldsymbol{R}_0\right)^{-1} . \\ \left(\boldsymbol{G}_0+\boldsymbol{Q}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{R}_1 \boldsymbol{G}_1\right)+\boldsymbol{T}\left(\boldsymbol{I}-\boldsymbol{R}_0 \boldsymbol{G}_0\right)\right) 。\end{gathered} $

最后，根据引理9可以得出结论。

3 结语

在套代数框架下，利用双素分解方法，本文研究了线性系统在二次不变子空间下的强镇定控制器的存在性判据。相较于已有结论，本文采用了不同的研究方法，同时我们在双素分解条件下进一步研究了同时强镇定两个线性系统的控制器的存在性判据，为控制系统设计提供了新理论。